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Sesión
Contenidos:
↘Función logarítmica.
> Elementos de la función
logarítmica.
12
↘Gráfico de función
logarítmica en el plano
cartesiano.
Profesor: Víctor Manuel Reyes F.
Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011)
Primer Semestre 2012
Aprendizajes esperados:
> Determina intervalos de crecimiento y
decrecimiento, dominio y recorrido, ceros de la
función, esboza la gráfica y determina asíntotas,
a partir de la función logarítmica dada
algebraicamente.
> Resuelve ejercicios de aplicación (con enunciado
verbal), que se comportan logarítmicamente.
La función logarítmica:
La función logarítmica de
base b se define como la
inversa de la función
exponencial con base b. Es
decir, el logaritmo de base b
de un número x es el
exponente al cual debe
elevarse la base b para
obtener el mismo número x.
y
f (x) = 10x



f (x) = log10x

x










y = logb x
↔
by=x


Por ejemplo, sabemos que 103 = 1000, luego log101000=3.

Aplicación de la función logarítmica:
El pH, o potencial hidrógeno, indica el grado de acidez de una
solución o la concentración de iones de H que posee y se define
matemáticamente como el logaritmo negativo de la actividad de los
iones hidrógeno:
pH = −log [H]
donde [H] denota la concentración de iones de hidrógeno.
Este sistema se ha utilizado universalmente por lo práctico que
resulta para evitar el manejo de cifras largas y complejas.
Aplicación de la función logarítmica:
La concentración de H3O+ de 0.00000004 molar equivaldría a tener
un pH de 7,4. Al emplear la fórmula obtenemos:
pH = —log10 [0.00000004] = —[-7.4] = +7.4.
El hecho que una función
logarítmica sea la inversa de
una
función
exponencial,
significa que la acción que una
de ellas realiza sobre un
número, la otra función elimina
esa acción:
log10(10x)=x
Aplicación de la función logarítmica:
Hay que entender que una solución con pH de 6 tendrá 10 veces
más hidronios que una con pH de 7.
El pH no cambia
de una manera
aritmética, si no
de una manera
exponencial
pH 1
=
127,35 m
pH 2
=
12,735 m
pH 3
=
1,2735 m
Aplicación de la función logarítmica:
Otro ejemplo que ocupa una escala logarítmica es la escala de
Richter, la cual cuantifica la magnitud de un terremoto. Esta escala
mide la energía del terremoto en el hipocentro o foco El Richter
sigue una escala de intensidades que aumenta exponencialmente
de un valor al siguiente.
Valor en la escala
de Richter
Amplitud máx. de las
ondas (en milésimas
de milímetros)
3
1.000
(1 mm)
4
10.000
(1 cm)
5
100.000
(10 cm)
8
100.000.000
(100 mt)
Aplicación de la función logarítmica:
Equivale a la décima parte de un
bel. Una unidad de referencia
para medir la potencia de una
señal o la intensidad de un
sonido. El nombre bel viene del
físico norteamericano Alexander
Graham Bell (1847-1922).
El decibel es una unidad relativa de una señal, tal como la potencia,
voltaje, etc. Los logaritmos son muy usados debido a que la señal en
decibeles (dB) puede ser fácilmente sumada o restada y también por
la razón de que el oído humano responde naturalmente a niveles de
señal en una forma aproximadamente logarítmica.
Aplicación de la función logarítmica:
Fórmula
 I 

dB  10 log 

 I0 
En donde I es la potencia a estudiar, en vatios (variable), Io es el
valor de referencia, igual a 10 − 12 w*m-2 y log es el logaritmo en base
10 de la relación entre estas dos potencias. Este valor de referencia
se aproxima al umbral de audición en el aire.
Aplicación de la función logarítmica:
Un nivel de intensidad del sonido de 141 decibeles produce dolor en
un oído humano común. ¿Cuántas veces, aproximadamente, debe
ser I más grande para que dB alcance este nivel ?
 I 

141  10  log 

I
 0
→
 I 

14 . 1  log 

I
 0
→
 I 

 log 

10
I
 0
141
→
I  10
14 . 1
10
14 . 1

I
I0
I0
Aplicación de la función logarítmica natural:
Se acepta que el crecimiento de una población de bacterias,
durante los primeros instantes, tiene un comportamiento
exponencial. Es decir, si N0 es el población inicial de bacterias,
entonces a tiempo t, el número de bacterias sería:
N(t) = N0 ek t
Donde k = 0,4 siendo k>0 la tasa porcentual de crecimiento.
¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población se duplique?
ln(ex) = x