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情報数学１ 第3-1章
多進法の原理と変換算法
香川大学工学部 富永浩之
[email protected]
概
要
■ 自然数の記数法
位取記数法、多進法と多進法
■ 多進法の原理
切捨
切上
四捨五入
ガウス記号
■ 多進数への変換
多進数への変換
■ 多進数からの変換とホーナー法
多進数からの変換
■ 多進法の例題
ホーナー法
第01節 [1] 自然数の記数法
● 自然数の記数法
何らかの体系的な規則に従った記号列により、
数を表記する方法を総称して記数法[algorism]という。
● 位取記数法
空位0で、数字の位置である桁[digit]を区別する。
有限個の数字で幾らでも大きな数を表記できる。
● 多進法
rずつ束にすることを段階的に繰り返し、
0～r-1 のr種の数字を使って自然数を表す方法を、
rを基数[radix]とする多進法または単にr進法という。
第01節 [2] 数の歴史
● 古代
○ インド
○ バビロニア
○ ローマ
○ 中国
0の発見、10進数、数字0～9の使用
60進数、楔形文字の数字
木の棒の刻み目、ローマ数字の起源
3999まで、計算に不向き
漢数字、位ごとに別の漢字、算盤の使用
● 中世
○ アラビア
○ ヨーロッパ
インドのアラビア数字の普及
アラビア商人は東西文化の懸け橋
アラビア商人からイタリア商人へ
フィボナッチ「算盤の書」 筆算の解説書
第02節 [1] 十進法系と二進法系
● 十進法系
● 二進法系
● 三進法系
人間の手指の本数から
電気信号のON/OF
正零負の場合分けから(等号、天秤)
10
2
8
16
10
2
8
16
0
0
0
0
8
1000
10
1
1
1
1
9
1001
2
10
2
2
10
3
11
3
3
4
100
4
5
101
6
7
10
2
8
16
10
2
8
16
8
16 10000
20
10
24
11000
30
18
11
9
17 10001
21
11
25
11001
31
19
1010
12
A
18 10010
22
12
26
11010
32 1A
11
1011
13
B
19
10011
23
13
27
11011
33 1B
4
12
1100
14
C
20 10100
24
14
28
11100
34 1C
5
5
13
1101
15
D
21 10101
25
15
29
11101
35 1D
110
6
6
14
1110
16
E
22
10110
26
16
30
11110
36 1E
111
7
7
15
1111
17
F
23
10111
27
17
31
11111
37
2進法 ‥ 0と1の数字(ビット列)
8進法 ‥ 0～7の数字
2進法の3桁ごとに1つの数字
16進法 ‥ 0～9, A～Fの数字
2進法の4桁ごとに1つの数字
1F
第03節 [1] 多進数への変換
● 多進数の基底表現と整除表現
○ 基底表現 46 ＝ 1201[3] ＝ 1×33＋2×32＋0×31＋1×30
多進数の直接的表現
○ 整除表現 46 ＝ 1201[3] ＝ ((1×3＋ 2)×3＋0)×3＋1
効率的な変換算法のための式
● 基底表現と整除表現の計算回数
○ 基底表現
○ 整除表現
乗算 p(p-1)/2回
乗算
p-1回
加算 p-1回
加算 p-1回
● 基底表現の原理
除法の定理の連続的な適用
46÷3＝15‥1
15÷3＝5‥0
第03節 [2] 多進数への変換
● 多進数への変換の算法
[0] 10進数を整商の初期値として右上に書く。基数 を左端に書く。
[1] 整商が基数 以上の間、[2][3]の処理を繰り返す。
[2] 基数 による剰余を下段に書く。
[3] 基数 による整商を左に書く。
[4] 整商が基数 未満になったら、各剰余を 進法での各桁の数字に直す。
[5] 各桁での数字を左から順に並べると多進数を得る。
3
0
1
5 15 46
1
2
0
整商の列
1 ⇒ 1201[3]
16
剰余の列
2 47
764
2 15
12
2
2
0
1
2
4
9 19 38 77
1
0
0
1
1
0
1
155
1 ⇒ 10011011[2]
F
C ⇒ 2FC[3]
第04節 [1] 多進数からの変換
● 多進数からの変換の算法
[0] 多進数の各桁の数字を並べる。
[1] A→10, B→11 のように、桁の数字を数値に直しておく。
[2] 最上位桁の数値 をそのまま初期値とし、最下段に書く。
[3] 左下のそれまでの途中結果に、基数 を乗算し、次の桁の数値の下に書く。
[4] 桁の数値と乗算した値を加算し、最下段に書く。
[5] 最下位桁の値を加算した結果が、求める10進数である。
1
3
1
1
2
1
2
2
2 各桁
0
2
3
15 51
153 基数と乗算
5
17 51
155 加算
1
0
2 10
12
0
0
1
1
1
2
4
8 18 38 76
154
2
4
9 19 38 77
155
A
B
11 数字を数値に
24
408
2 34
419
第07節 [1] ホーナー法による整式の求値
● 整式の基底表現と整除表現
○ 基底表現
f(X) ＝ 2×X3－3×X2＋0×X1＋4×X0
○ 整除表現
f(X) ＝ ((2×X＋ 3)×X＋0)×X＋4
f(X) =
3X5 －7X4
＋6X3 －7X2 ＋0X －3
f(2)＝((((3×2－7)×2)＋6)×2－7)×2＋0)×2－3 ＝ +1
+3
+2
+6
+3
組立除法
-7 +6
-7
0
-3 降冪順の係数
-2 +8 +2 +4 代入値の乗算
-1 +4 +1 +2 +1 係数との加算
整式への値代入を整除表現で効率的に求める
分配律の連続適用で乗算回数を大幅に減らす
西洋ではホーナーが発見
東洋(中国)ではそれ以前(九章算術)から既知
第07節 [2] ホーナー法の応用
係数や代入値が一般の実数や複素数でも使える (効力を発揮)
f (X )  X
f (1 
5
 2X
4
 3X
3
 2X
2
 3X  2
2)  7  3 2
+1
-1+√2
+1
f (X )  X
5
+2
-3
-2
-1+√2
+1
+2-2√2 -4+2√2 +5-3√2
+1+√2
-2
-2√2 -1+2√2 +7-3√2
 2X
4
 2X
3
 7X
2
+3
+2
 3X  8
f (  2  i )   7  2i
+1
-2-i
+1 -2i
+1
+2
-2
-7
+3
-8
-2 -i
-1 +2i
+8 -i
-3 +i
+1 -2i
-i
-3 +2i
+1 -i
+i
-7 -2i
第05節 [1] 多進法の原理
● 多進法の原理
𝚲＝𝒂𝒑−𝟏 𝒂𝒑−𝟐 ‥𝒂𝟏 𝒂𝟎 𝒓 ; 𝟎 ≤ 𝒂𝒌 ≤ 𝒓 − 𝟏, 𝒂𝒑−𝟏 ≠ 𝟎
・ 自然数 M に対し、2以上の基数 r による
多進数表記 Λ の各桁 𝑎𝑘 は一意に決まる
・ 除数 r による整除演算の繰返しで、下位桁から計算できる
𝒑−𝟏
𝑴 = 𝒂𝒑−𝟏 𝒓𝒑−𝟏 + 𝒂𝒑−𝟐 𝒓𝒑−𝟐 + ‥ + 𝒂𝟏 𝒓 + 𝒂𝟎 =
𝑴 = (‥(𝒂𝒑−𝟏 𝒓 + 𝒂𝒑−𝟐 )𝒓 + ‥ + 𝒂𝟏 )𝒓 + 𝒂𝟎
𝒂𝒌 𝒓𝒌
𝒌=𝟎
・ 多進数表記 Λ が表す自然数は、基底表現を計算して得られる
・ 実際の計算では、整除表現で求める方が効率的である
第06節 [1] 多進法の応用問題
● 着目点
・ 桁数による大きさの見積り
(p 桁の r 進数 A の10 進数での値 T は、 rp≦T≦ rp-1 -1 の範囲にある)
・ 剰余の性質(加法・乗法・累乗との分配律)
・ 各桁の数字 ak は基数 r を越えない自然数 0≦ ak ＜r
・ 基数 r が未知数のとき、 m 桁の r 進数は、
r に関する m-1 次の整式とみることができる
・ ある数を r1 , r2 進法で表した値を A1 , A2 とすると、
r1＜r2 ならば、 A1の桁数≧ A2 の桁数
第06節 [2] 多進法の応用問題
【例題1】 365[10] は、何進法で表すと 555 になるか。
題意は、 365[10]＝555[r] と表わされる。
基底表現より、二次方程式 5r2+5r+5＝365 が立つ。
整理すると、 (r-8)(r+9)＝0 となる。これを解くと、 r＝8,-9 となる。
ここで、多進数の数字として 5 が現れているから、基数は 6 以上である。
すなわち、 r≧6 であるから、 ｒ＝8 となる。よって、8進法である。
別解として、多進数の性質を用いて、基数の候補を絞っていく。
この方法の場合、最後に、十分条件として、実際に題意を満たすことを示す必要がある。
まず、数字に 5 が使われているから r≧6 である。
また、 555[r]＝365[10]＜555[10] より r≦9 となる。
さらに両辺を 5 で割って、 73[10]＝111[r] を得る。
さらに両辺から 1 を引いて、 72[10]＝110[r] を得る。
よって、 r は 72 の約数である。すなわち、 6, 8, 9 のいずれかである。
また、 100[r]＝r2＜110[r]＝72, 200[r]＝2r2＞111[r]＝73 より、 r＝8 と求められる。
実際、 365[10]＝555[8] が成立し、題意を満たす。
第06節 [3] 多進法の応用問題
【例題2】 80[10] を何進法で表すと各桁が同じ数字の2つ以上の並びになるか。
4 3＝64≦80＜52＝125 より、
80が r 進表記で 3 桁以上になるのは、 r≦4 のときである。
80[10]＝1100[4]＝2222[3]＝1010000[2] より、 r＝3 は題意に適する。
80が r 進表記で数字 a が 2 桁並ぶ数となるとすると 80＝a(r+1) である。
ただし 、 1≦a≦r-1 である。
したがって、 a と r+1 は 80 の約数であり、 a は 80-a の約数である。
すなわち、 r の候補は 79, 39, 19, 15, 9, 7 であり、
80[10]＝11[79]＝22[39]＝44[19]＝55[15]＝88[9]
なお、 r＝7 のときは、 a＝10＞r-1 より不適。
以上をまとめると、 r＝3, 9, 15, 19, 39, 79 となる。
第06節 [4] 多進法の応用問題
【例題3】 u 進法で表すと 47 となり、v 進法で表すと 74 になるような、
u と v の組を求めよ。
題意から、 47[u]＝74[v] より 4u＋7＝7v＋4 で、
一次不定方程式 4u－7v＝-3 を立てる。
4u－7v＝4(u-2v)+v w＝u-2v とおいて 4w+v＝-3
これから、具体解 w＝0, v＝-3 さらに、 u＝w+2v＝-6
これから、整数パラメタ t を用いて、
一般解 <u,v>＝<-6+7t, -3+4t> が得られる。
ここで、多進法の桁の数字より 8≦v＜u でなければならない。
よって、 8≦-3+4t＜-6+7t より t≧3 を得る。
ここで、 t-3 を改めてパラメタ ｔ と置き直して、
解 <u,v>＝<15+7t, 9+4t> ; t≧0 を得る。
第06節 [5] 多進法の応用問題
【例題4】 1108 を r 進法で表すと 31a2 となるとき、a と r を求めよ。
r 進数の表記の条件から、大小関係を用いての範囲を絞り込む。
題意より、 3000[r]＝3r3＜1108＜4000[r]＝4r3 が成立するから、
247＜r3＜369+1/3 となる。 73＝343 より、 r＝7 となる。
下図のホーナー法より (1108-2)÷7＝158＝31a[7] で a＝158%7＝4
7
0
3
22
3
1
158 1108
a
2
別解として、多進数の性質から求める。
1108＝31a2[r] の両辺から2を引くと、 1106＝31a0[r] となる。
したがって、基数 r は、 1106＝2×7×79 の約数である。
r 進数が 10 進数より大きくなっているから、 r≦9 であり、 r＝7 と決まる。
より、 158＝31a[7] となる。 158＝7×22＋4 より、 a＝4 と求まる。
実際、 1108＝3142[7] が成立し、題意を満たす。
第08節 [1] 多進数における数字の使用回数
【例題1】 0から63までの64個の自然数を2進数で表したとき、
0と1の数字がそれぞれ何個必要となるか。
【例題2】 0から99までの100個の自然数をr進数で表したとき、
全体として何個の数字が必要になるか。
r＝2～10の場合の解法を整理し(あるいは一般的に解き)、
結果を表にまとめよ。