Objetivo



Presentar el estudio, análisis de esfuerzos y estados esfuerzo como el paso básico para establecer la relación entre el nivel de esfuerzos de un elemento y su resistencia ; especialmente, cuando se trata de esfuerzos combinados que estados de esfuerzo complejos originan

Contenido

         Objetivo del módulo Definición de Esfuerzo Tipos de estado de esfuerzo Esfuerzos simples. Tracción/compresión, Cortante directo, Cortante por flexión y de Torsión Ley de Hooke Ley de Hooke Generalizada Transformación de Estados de Esfuerzo.

 Estado biaxial. Círculo de Mohr y Caso Concentradores de Esfuerzo Esfuerzos residuales

Esfuerzos y Estados de Esfuerzo

Definición de Esfuerzo (Tensión or Stress)

 Es la reacción unitaria que se genera al interior de las fibras de los sistemas y de sus componentes como resultado de la acción de un agente externo y/o Carga.

 Sus unidades son las de fuerza sobre unidades de área

Definición de Estado de Esfuerzo

 Es la mínima representación (unitaria) del nivel, intensidad y tipo de carga en las fibras internas de un componente en una sección dada  Esta representación constituye el paso inicial en el desarrollo de relaciones entre el estado de relaciones entre el estado de esfuerzo de un elemento y su resistencia; siendo una herramienta básica en el análisis de falla de los componentes

Tipos de Estado de esfuerzo

 Estados de Esfuerzo Simple . Son los generados por cargas simples, normalmente son uniaxiales. Pueden ser de dos tipos básicos:  Normales.

Pueden ser generados por cargas axiales o momentos flectores y tienden a alargar o acortar las dimensiones del elemento 

De Corte.

Actúan paralelos a las caras de los cubos de estado de esfuerzo, en pares sobre las caras opuestas y, tienden a generar distorsión en los cubos de estado de esfuerzo, en lugar de alargarlo o acortarlo. Pueden ser generados, por cortante directo, transversal de flexión y por torsión  Estados de esfuerzo complejos y/o espaciales.

Son el resultado de la acción simultánea de diferentes tipos de cargas, conduciendo a estados de esfuerzos multi-axiales

Tipos de Estado de esfuerzo

 Estados de Esfuerzo Simple . Son los generados por cargas simples, normalmente son uniaxiales. Pueden ser de dos tipos básicos:  Normales.

Pueden ser generados por cargas axiales o momentos flectores y tienden a alargar o acortar las dimensiones del elemento 

De Corte.

Actúan paralelos a las caras de los cubos de estado de esfuerzo, en pares sobre las caras opuestas y, tienden a generar distorsión en los cubos de estado de esfuerzo, en lugar de alargarlo o acortarlo. Pueden ser generados, por cortante directo, transversal de flexión y por torsión  Estados de esfuerzo complejos y/o espaciales.

Son el resultado de la acción simultánea de diferentes tipos de cargas, conduciendo a estados de esfuerzos multi-axiales

Tipos de Estado de esfuerzo

 Estados de Esfuerzo Simple (a) (b)

Figura 3.1

Estados de esfuerzos a) normales y b) de corte.  Estados de esfuerzo complejos y/o espaciales.

Multi-axiales 

xy =



xy En general



ij =



ij

Figura 3.1

Ejemplos de sistemas sometidos a cargas simples

Tipos de Estado de esfuerzo

 Estados de Esfuerzo multiaxial 

xy =



xy En general



ij =



ij BIAXIAL TRIAXIAL Tornillo de potencia Recipiente a presión

Tipos de Estado de esfuerzo

 Convenciones en el análisis de esfuerzos 

xy =



xy En general



ij =



ij

BIAXIAL  > 0 si es de tracción  ij > 0 si es SR, sentido se observa en caras positivas  xy =  yx TRIAXIAL  > 0 si es de tracción caras positivas  ij > 0 si el esfuerzo tiene el sentido del eje a que es paralelo se observa en las I  xy I = I  yx I I  xz I = I  zx I I  yz I = I  zy I

Ley de Hooke

Ley de Hooke (Rango elástico)

 Relación entre el esfuerzo y la deformación Edo. Uniaxial  xx = E*  xx En el rango elástico, las tensiones en los ejes se relacionan con las deformaciones de acuerdo con las siguientes propiedades del material: G,  y E  xy =  xy En general  ij =  ij Material Anisótropo Edo. Muti-xial, ,               

xx yy zz yz zx xy

          

C

11  

C

21  

C

 

C

 

C C

31 41 51 61

C

12

C

22

C

32

C

42

C

52

C

62

C

13

C

23

C

33

C

43

C

53

C

63

C

14

C

24

C

34

C

44

C

54

C

64 s = C·e

C

15

C

25

C

35

C

45

C

55

C

65

C

16

C

26

C

36

C

46

C

56

C

66      .

                  

xx yy zz yz zx xy

         e :Matriz de deformaciones constitutive relations C: Matriz de Rigidez s: Matriz de Esfuerzos

Ley de Hooke (Rango elástico)

 Relación entre el esfuerzo y la deformación  xy =  xy En general  ij =  ij       

xx yx zx

  

xy yy zy

Tensor de Esfuerzos   

xz zz yz

           

xx yx zx

  

xy yy zy

 

xz



yz zz

    Tensor de Deformaciones

Ley de Hooke (Rango elástico)



xy =



xy En general



ij =



ij



Relación de Poisson

Es una propiedad del material que nos permite relacionar las deformaciones longitudinales y transversales derivadas de la aplicación de un esfuerzo dentro del rango elástico   

yx



xx

  

transv long

      

yx xx E

          

zx xx E

     

yx

 

zx

Ley de Hooke (Rango elástico)

Consideraciones en la derivación de la Ley de Hooke Generalizada:  Se puede aplicar el principio de superposición debido a que:   Cada efecto está linealmente relacionado con la carga que lo produce Las deformaciones son pequeñas por lo que no inciden en las condiciones de aplicación de las cargas restantes

Ley de Hooke (Rango elástico)

 xy =  xy En general  ij =  ij    Planteamiento alternativo para la Ley de Hooke Generalizada: Se ha considerado que los ejes x, 1

t

2

t

3

t

    1

E

 2 

E

3

E

      

E

 1 

E

1

E

2        3

E

 3 

E

2

E

y, z corresponden a las direcciones principales de esfuerzo Se puede demostrar que en cualquier material de ingeniería 0<  <(1/2)

Deformación Cortante (Rango elástico)

 xy =  xy En general  ij =  ij Planteamiento alternativo para la Ley de Hooke Generalizada: 

xt

 

x

   

zt yt

 

E y

  

xy E

  

z



E xy

 ;

G

  

E x



E x E



yz y

     

E

   

G E



xy E

;

y z z



zx

 

xy G

El esfuerzo cortante es directamente proporcional a la distorsión angular que genera, proporcionalidad la constante se de denomina Módulo de rigidez o de cortante G Se puede demostrar que:

G

 2  1

E

  

Propiedades Mat’s de Ingeniería

Propiedades mecánicas de algunos Materiales de Ingeniería

Unidades Sistema Técnico Inglés o Americano Material ALEACIONES DE MAGNESIO

AZ80(Forjado) AZ31(Extrusión)

TITANIO

Aleación(6% Al, 4% V)

ALEACIÓN MONEL 400(Ni-Cu)

En Frío Recocida

CUPRONÍQUEL

(90% Cu, 10% Ni) Recocido Trabajado en frío

MADERA Secada al aire

Pino-Douglas Picea, Sitka Pino de hoja Corta Pino Blanco Pino Ponderosa Roble blanco Roble rojo Abeto Occidental Nogal de corteza fibrosa Secoya

HORMIGÓN

Resistencia media Alta resistencia

PLÁSTICOS

Nylon tipo 6/6 (Moldeado Policarbonato Poliéster PBT (Termoplástico) Poliéster elastomérico Políestireno Vinilo, PVC rígido Caucho Granito (promedio) Mármol (Promedio) Arenisca (Promedio) Cristal, 98% silicio

Peso Específico lb./pulg³ Resistencia última Fluencia Tensión Compresión Cortante Tensión Cortante ksi ksi ksi ksi ksi Módulo de Elasticidad Módulo de rigidez 10E6 psi 10E6 psi Coeficiente de Expansión Térmica 10E-6/°F

0,065 0,064 0,161 0,319 0,319 50 37 130 98 80 23,0 19,0 36,0 29,0 120,0 85,0 32,0 50,0 18,0 6,5 6,5 16,5 26,0 26,0 2,4 2,4 14,0 14,0 5,3 7,7 7,7 0,041 0,043 0,048 0,043 0,037 0,520 0,033 0,100 0,100 0,083 0,079 0,323 0,323 0,017 0,015 0,018 0,014 0,015 0,025 0,024 0,016 0,026 0,015 0,084 0,084 53 85 15 8,6 8,4 13 9,4 2 3 2 1 11 9,5 8 6,5 8 6 7,2 5,6 7,3 5,0 5,3 7,4 6,8 7,2 9,2 6,1 4,0 6,0 14,0 12,5 11,0 13,0 10,0 35,0 18,0 12,0 7,0 1,1 1,1 1,4 1,0 1,1 2,0 1,8 1,3 2,4 0,9 5,5 5,0 4,0 2,0 16,0 79,0 6,5 9,0 8,0 8,0 6,5 3,6 4,5 0,4 0,35 0,35 0,03 0,45 0,45 10,00 8,00 6,00 9,60 20,0 20,0 1,9 1,5 1,7 1,5 1,3 1,8 1,8 1,6 2,2 1,3 7,5 7,5 0,1 0,07 4,00 3,00 2,00 4,10 9,5 9,5 Varios 1,7 a 2 5,5 5,5 80,0 68,00 75 70 75 90 4 6 5 4,40

Transformación de estados de esfuerzo Planos  xy =  yx  x   (  )  ( n  )  x   xy =  yx  y  y t Se obtienen las expresiones por sumatoria de fuerzas eje normal y tangencial para un espesor unitario dz 

F t

 0

y



F n

 0  (  )  

x

 

y

2  

x

 

y Cos

2   

xy

.

Sen

2  2   (  )  

x

 

y

2

Sen

2   

xy



Cos

2  

Transformación de esfuerzos

• Las ecuaciones pueden re-escribirse Y    

x

 

y

 

x

  2    2  

y

cos 2   

xy

sin 2   

x

' X Y X   

x

  

ave

 2   2

x



y

 

R

2  ( 

c

)  

x

 

y

2  

avg

 

x

 

y



cte

donde 

ave

 

x

 

y

2 

R

  

x

 

y

2    

x

 

y

2   2   2

xy

  

x

 

y

2   2  

xy

2   0       

x

 

y

2   2  

xy

2 

Esfuerzos principales

Planos de esfuerzo normal máximo y cortante máximo Para definir los valores máximos y mínimos en relación de φ se deriva y se iguala a cero.

Tan

2 

p

 

x

2  

xy



y



Tan

2 

c

  

x

2  

xy



y

 2 

p

 2 

c

  2 Con estos valores críticos se determina σ max , σ min , τ max y τ min .

Esfuerzos principales

Si se grafican las expresiones (1) y (2) en un diagrama  (  ) versus  (  ), se llega a la conclusión que los estados de esfuerzos equivalentes definidos por el corte del elemento original de esfuerzos por un plano de inclinación  describen un circulo cuyo centro no se encuentra en el origen, este circulo se denomina

Mohr. Círculo de

  

x

 

y

2     

x

 

y

2   2  

xy

2  0        

x

 

y

2   2  

xy

2   ( 

c

)  

x

 

y

2  

avg

 

x

 

y



cte

Círculo de Mohr

Y X   

2 ,



x >



y

 

σ y



σ y 2 , τ max

   

y

, 

xy

  

σ x



σ y 2 ,0

   c 2 

p

 

1 ,

  

x

,



xy

 

Figura 1. Círculo de Mohr y sus ecuaciones respectivas.

Estados de esfuerzo equivalentes

Estados de esfuerzos multiaxiales

Esfuerzos tridimensionales

𝜎 1 , 𝜎 2 𝑦 𝜎 3 . Se requieren seis componentes de los esfuerzos (𝜎 𝑥 , 𝜎 𝑦 , 𝜎 𝑧 , 𝜏 𝑥𝑦 , 𝜏 𝑥𝑧 esfuerzo en tres dimensiones, a diferencia de los tres componentes de esfuerzo (𝜎 𝑥 𝑦 𝜏 , 𝜎 𝑦 𝑦𝑧 𝑦 𝜏 ) 𝑥𝑦 para especificar un estado general de ) que se usaron para el esfuerzo bidimensional (plano o biaxialEl proceso implica encontrar las tres raíces de la ecuación cubica 𝜎 3 − 𝜎 − 𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 𝑥 𝜎 + 𝜎 𝑧 𝑦 + 𝜎 𝑧 𝜎 2 + 2𝜏 𝑥𝑦 𝜏 𝑦𝑧 𝜏 𝑧𝑥 + 𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 − 𝜎 𝑥 𝜏 2 𝑦𝑧 + 𝜎 𝑥 𝜎 𝑧 − 𝜎 𝑦 𝜏 2 + 𝜎 𝑧𝑥 𝑦 𝜎 − 𝜎 𝑧 𝑧 𝜏 − 𝜏 2 𝑥𝑦 2 𝑥𝑦 − 𝜏 = 0 2 𝑦𝑧 − 𝜏 2 𝑧𝑥 𝜎 En la mayoría de las situaciones de diseño muchos de los componentes del esfuerzo son iguales a cero

Se puede generar un circulo de Mohr para los estados de esfuerzo triaxial; pero a menudo esto es innecesario. De esta forma, la ecuación anterior usualmente es todo lo que se necesita Los esfuerzos cortantes principales que aparecen en la figura 1 se determinan a partir de 𝜏 = 𝜎 1 −𝜎 2 2 𝜏 = 𝜎 2 −𝜎 3 2 𝜏 = 𝜎 1 −𝜎 2 2 Los esfuerzos normales principales se deben ordenar como se mencionó con anterioridad. De la ecuación anterior el esfuerzo cortante principal máximo es 𝜏 ∴ 𝜎 1 = 23.43 𝑘𝑠𝑖 𝜎 2 = 4.57 𝑘𝑠𝑖 𝜎 3 = 0

Ejemplo

Hallar Determine los esfuerzos cortantes principales para un estado de esfuerzo triaxial y dibuje el diagrama del circulo de Mohr adecuado.

Si el esfuerzo cortante 𝑡 𝑥𝑦 se cambia de 8 𝑎 16 𝑘𝑠𝑖 , demuestre como cambian los círculos de Mohr para los estados de esfuerzos biaxial y triaxial.

Solución

De la ecuación 2 los esfuerzos cortantes principales en un estado de esfuerzo triaxial son 𝜏 𝜏 𝜏 = = 𝜎 1 𝜎 = 2 𝜎 2 1 −𝜎 2 = −𝜎 3 2 = (23.43 − 4.57)10 3 𝑝𝑠𝑖 = 9.43 𝑘𝑠𝑖 −𝜎 3 2 (4.57)10 3 = 𝑝𝑠𝑖 = 2.285 𝑘𝑠𝑖 2 (23.43 − 0)10 3 𝑝𝑠𝑖 = 11.765 𝑘𝑠𝑖 2 2 En la figura 2a se muestra el diagrama del circulo de Mohr apropiado para el estado de esfuerzo triaxial 𝜏 1 , 𝜏 2 = ± 𝜏 2 𝑥𝑦 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦 2 2 = ±10 3 16 2 + 9 − 19 2 2 𝑝𝑠𝑖 = ±16.76𝑘𝑠𝑖 Los esfuerzos normales principales de estado de esfuerzo biaxial son: 𝜎 1 = 𝜎 𝑐 + 𝜏 1 = 30,76 𝑘𝑠𝑖 𝜎 2 = 𝜎 𝑐 + 𝜏 2 = 2,76 𝑘𝑠𝑖

En la figura 2b se muestra el diagrama de Mohr resultante para el estado de esfuerzo biaxial. En un estado de esfuerzo triaxial ordenado

𝜎 1 = 30,76 𝑘𝑠𝑖, 𝜎 2 = 0, 𝜎 3 = −2,76 𝑘𝑠𝑖

, de la ecuación 2 los esfuerzos cortantes principales se pueden escribir como

𝜏 𝜏 𝜏 = = = 𝜎 1 𝜎 1 𝜎 2 2 −𝜎 2 −𝜎 −𝜎 3 2 3 2 = (30.76 − 0)10 3 = 2 𝑝𝑠𝑖 = 15.38 𝑘𝑠𝑖 2 (0 + 2.76)10 3 = 𝑝𝑠𝑖 = 1.38 𝑘𝑠𝑖 2 (30.76 + 2.76)10 3 𝑝𝑠𝑖 = 16.76 𝑘𝑠𝑖

Ejemplo

Un elemento de esfuerzo tiene σ x = 80 MPa, τ xy =50 MPa, determinar los esfuerzos en las direcciones principales. 

xy

  50

MPa



x

 80

MPa

a)

Figura 1. Elemento de Esfuerzo.

Solución

Con el sistema de coordenadas establecido empezamos a construir el círculo:

3.

Marcamos el centro del círculo con la letra C, y lo ubicamos sobre el eje σ, a una distancia de

4.

Marcamos el punto A, que servirá de referencia para determinar el radio del círculo y cuyas coordenadas son (σ x , τ xy ).

5.

Con estos datos y por trigonometría hallamos el radio R. SR 

prom

F R A σ x , τ xy )



xy

 

x

 

y prom



C

(  2

x

 , 0 ) 80

MPa

 2  0  ( 40 , 0 ) 40

MPa

D C B σ x

A

( 

x

, 

xy

)  ( 80 ,  50 ) B Entonces, por trigonometría calculamos el radio del circulo:

R

 (  2

x

) 2  

xy

2  40 2  50 2  64 .

03

MPa

τ xy



E

x

a)

Figura 1. Círculo de Mohr.

Solución

Y con el radio trazamos el círculo.

σ 2 D



prom

2Φ p F C A ( 80, 50 ) 2Φc R=64.03



xy

σ 1 B σ x τ xy



E

x

tan 

p

' 2 

p

'   

xy prom

 25 .

67

o

 50 40 τ max θ c  90 º  2 θp´  90 º  51 .

3 º  38 .

7 º 2  19 .

35 º σ 2 19.35º x σ 1 x 25.67

Concentradores de Esfuerzo

Estudio independiente ¿Sabe usted determinar los concentradores de esfuerzo?

Concentradores de Esfuerzo

 Definición Todo cambio geométrico en un elemento o componente que afecte la distribución normal de los esfuerzos  Orígenes de su presencia Estas causas pueden ser:  Requerimientos funcionales (Chaveteros, hombros, etc.)  Requerimientos de fabricación o ensamble (agujeros de sujeción o de montaje)  Los concentradores puede aparecer por defectos

Concentradores de Esfuerzo

Stress raisers

σ Trayectoria de Esfuerzo A d Dristribución del Esfuerzo σ max A

Por equilibrio, la distribución de esfuerzo a nivel de agujero no puede ser cte .

 máx  i

B B σ ω

 i

Concentradores de Esfuerzo

 Factores que inciden sobre el nivel de intensificación de los esfuerzos en un cambio geométrico:  Geometría de la discontinuidad  Naturaleza del material  Naturaleza y tipo de la carga  Distribución Nominal de los esfuerzos

Concentradores de Esfuerzo

 Estimación del concentrador de esfuerzos El incremento teórico de los esfuerzos sólo considerando geometría y cargas viene dado por:

K t

 

máx



nom

;

K t s

 

máx



nom

El valor real, adicionando la incidencia del material es:

K f

 1 

q

 (

K t

 1 );

K f s

 1 

q s

 (

K t s

 1 )

q: sensibilidad del material a las entallas

Concentradores de Esfuerzo

 Sensibilidad del material

(q i ).

Se refiere a la susceptibilidad que tiene el material de afectar la distribución y valor de los esfuerzos por un cambio geométrico  Sensibilidad de los materiales dúctiles.

materiales dúctiles son menos sensibles que los frágiles; especialmente ante carga estática, donde la concentración de esfuerzos se desprecia por el flujo plástico local que redistribuye los esfuerzos En general los Para la mayoría de materiales frágiles se debe considerar los concentradores tanto en el diseño estático como en el dinámico

Concentradores de Esfuerzo

 Métodos para determinar los factores teóricos de concentración de esfuerzo:  Analogía de flujos (Teórico).

En este caso, se establece que las líneas de flujo de esfuerzo en la fibras del material tienen el mismo comportamiento que las del flujo de un fluido ante la presencia de un cambio geométrico del conducto

Concentradores de Esfuerzo

 Rangos de valores para la intensificación de esfuerzos: Rara vez llega a veinte , pero usualmente es menor que cinco . Precisamente, en esto yace el riesgo de las entallas, pero es controlable desde el diseño Consideraciones concentradores 1.

2.

de diseño relativas a los Evitar cambios grandes y no graduales en la sección del elemento Ser generosos en la asignación de radios para las entallas

Factor de concentración teórico

Se determinan fiablemente a partir de Nomogramas y de la ecuación dada

Shaft Key design types Keys and keyways (keyseats) Cabeza

Section of shaft with gear

Sencilla Cuña paralela Cuñas trapezoidales Distintos tipos de chavetas

Diámetros de los ejes (in) Ancho nominal de la cuña (in) Diámetro del tornillo prisionero (in) Diámetros de los ejes (mm)

Cuña Woodruff

Ancho y alto de la cuña (mm)

aft

Chaveta Norton

Theoretical stress concentration factors

Stress-concentration in double-ended milled keyways

Aproximación promedio de la relación r/d=0.021 para d≤6.5 in sugerido por los estándares de ANSI

Algunos tipos de chavetas

Cuñero fresado en sus extremos con doble terminación

Norton

Cuñero terminado o fresado en un solo extremo.

Cuñero de patín con un solo extremo.

Tomado de Deutschman

52

Theoretical stress concentration factors and real factors (k

f

)

Sensibilidad del Material

Shigley También se determinan fiablemente a partir de Nomogramas, si no se tiene información asumir q=1, para materiales insensibles tomar q= (0, 0.2)

Sensibilidad a la entalla q/q

s

Aceros y aleaciones de Aluminio K f /f s



1



q f /f s

(

K t/ts

 1 )

K f /f s Si K



f /f s 1 *

 

σ q f /f s

(

máx K



τ t/ts máx

  1 ) 

Sy t/s

 1

q

 1 

K

a a r

 1 /  2   :

K

Juvinall depende del material

Si K f /f s * Si K f /f s *

 

σ



σ máx



τ máx máx σ mín

 

Sy t/s

 

τ máx



r

K

: radio de 

Sy f m/f ms t/s



K 2Sy t/s f /f s σ a



τ mín

  

2Sy t/s



K f m/f ms



0

Determinación experimental de los concentradores de esfuerzo

Esfuerzos Residuales

Esfuerzos Residuales

 Definición Son tensiones internas en el elemento derivadas de las acciones de los procesos de fabricación, de ensamblaje, de tratamientos térmicos o de procesos en que se de aplicación de calor no uniforme  Origen.

En procesos mecánicos se generan por la irreversibilidad de las deformaciones plásticas al interior del material; mientras que, los térmicos aparecen por las restricciones de elementos externos a la dilatación térmica libre o por calentamiento no uniforme

Esfuerzos Residuales

 ¿Cómo controlarlos desde el diseño?

Indicando desde el diseño tratamientos térmicos de alivio de tensiones posteriores a los procesos inductores de tensiones residuales, sí ellos afectan negativamente el desempeño del componente; uno de éstos podría ser el recocido  Procesos inductores de esfuerzos térmicos residuales: Tratamientos térmicos, soldadura, corte con flama, cambios de temperatura en operación y en menor escala procesos de mecanizado  Una regla: “ lo que enfría de último queda a tracción ”

Conclusiones

 El diseño, el análisis y transformación de esfuerzos es el eslabón entre la evaluación de cargas y la aplicación de teorías de falla  El análisis y transformación de esfuerzos es una herramienta útil en el

análisis de fallos

para el entendimiento de la orientación de ciertas fracturas y en la

mecánica de fracturas,

para la predicción de ciertos planos de propagación de fisuras, según la naturaleza del material.



Un método semi gráfico

facilita la interpretación de resultados y reduce la necesidad de memorizar formulas.

ANEXO