Transcript НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ и

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ
УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В
УПРУГОМ ПЛАСТЕ
При разработке и эксплуатации месторождений
углеводородного сырья в пластах часто возникают
неустановившиеся процессы, обусловленные
пуском или остановкой скважин, изменением
темпов отбора флюида из скважин и т. д.
Для неустановившихся процессов
характерно
• перераспределение пластового давления
• изменение во времени скоростей фильтрационных
потоков
• изменение во времени дебитов скважин и т.д.
Количественные характеристики неустановившихся
процессов зависят от упругих свойств пластов и
насыщающих их жидкостей.
Основной формой пластовой энергии, обеспечивающей
приток жидкости к скважинам в неустановившихся
процессах, является энергия упругой деформации
жидкостей (нефти и/или воды) и твердого скелета пласта.
Математическая модель неустановившегося
движения упругого флюида учитывает
проявление упругих сил в однофазном
фильтрационном потоке.
Считается, что давление в любой точке потока
выше давления насыщения жидкости газом.
Первыми исследователями, разрабатывавшими теорию
упругого режима в 30-х годах XX-го века, были Маскет,
Шилсуиз, Херст, Туейс и Джекоб. Однако они не учитывали
объемную упругость пласта.
Наиболее полно теория упругого режима с учетом упругих
свойств твердого скелета пласта и насыщающих жидкостей
была разработана В.Н. Щелкачевым.
Подсчет упругого запаса жидкости в
пласте
• Под упругим запасом жидкости в пласте
понимают количество жидкости, которое
можно извлечь из пласта при снижении
давления в нем за счет объемной упругости
твердого скелета пласта и насыщающих его
жидкостей.
• При снижении давления в пласте упругий
запас жидкости естественно убывает, а при
повышении давления происходит
накопление упругого запаса жидкости в
нем.
Подсчет упругого запаса жидкости в
пласте
• Выделим элемент объема пласта V0.
• V0ж есть объем жидкости, насыщающей этот
элемент объема пласта при начальном
давлении р0.
• Упругий запас жидкости будем определять по
ее объему, замеряемому при начальном
пластовом давлении.
• Обозначим через ΔV изменение упругого
запаса жидкости внутри объема пласта V0 при
изменении давления во всех его точках на
величину Δp.
Подсчет упругого запаса жидкости в
пласте
- b Ж V 0 Ж Dp = DV Ж
и
b сV 0 Dp = DV П .
Полагая, что изменение упругого запаса
складывается из DV Ж и DV П , получим:
DV з = b ж V 0 ж Dp + b cV 0 Dp.
Подсчет упругого запаса жидкости в
пласте
Учтем, что начальный объем жидкости, насыщающей
элемент объема пласта V0, равен полному объему пор в
этом элементе:
V 0 ж = mV 0 ,
Тогда
DV з = (m b ж + b с )V 0 Dp
или
DV з = b *V 0 Dp,
где
b * = m bж + bc .
Коэффициент b называется коэффициентом
упругоемкости пласта.
*
Вычисление средневзвешенного
пластового давления в
разрабатываемой части пласта
Вычислить средневзвешенное пластовое давление p!
можно, если известна геометрия возмущенной части
пласта и конкретное распределение давления в ней.
*
Дифференцируя DV з = b V 0 Dp, - получим:
d ( DV з ) = b * d éëV 0 (t ) Dp ùû .
С другой стороны, изменение упругого запаса
жидкости в пласте за время dt, равное объему
отобранной из пласта нефти, задается выражением
d ( DV з ) = Q (t ) dt,
где Q (t ) – дебит всех скважин, эксплуатирующих
данную нефтяную залежь.
Вычисление средневзвешенного
пластового давления в
разрабатываемой части пласта
Приравняв правые части двух последних равенств,
получим дифференциальное уравнение истощения нефтяной
залежи в условиях замкнуто-упругого режима
b * d éëV 0 (t ) Dp ùû = Q (t ) dt.
Полученное соотношение далее будет использоваться при
построении приближенных решений теории упругого режима.
Математическая модель
неустановившейся фильтрации
упругой жидкости в упругой
пористой среде
Для вывода основных дифференциальных
уравнений фильтрации упругой жидкости в
упругой пористой среде необходимо
воспользоваться:
• уравнением неразрывности потока
• уравнениями движения (законом Дарси)
• уравнениями состояния пористой среды и
насыщающей ее жидкости.
Математическая модель неустановившейся фильтрации
упругой жидкости в упругой пористой среде
!
¶mr
+ div r w = 0,
¶t
!
k
w = - (grad p + r f ) ,
m
r = r ( p) , m = m ( p ) , k = k ( p ) , m = m ( p ) ,
после пренебрежения массовыми силами и введения
обобщенной функции Лейбензона
система уравнений преобразуется к виду
¶mr
- DP = 0,
¶t
!
r w = -grad P,
r = r ( p) , m = m ( p ) , k = k ( p ) , m = m ( p ) ,
P=
ò
k ( p)
r ( p) dp.
m ( p)
Математическая модель неустановившейся фильтрации
упругой жидкости в упругой пористой среде
В качестве уравнений состояния среды и жидкости
воспользуемся уравнениями состояния упругой жидкости и
упругой пористой среды в ранее полученной форме :
r = r0 éë1 + b ж ( p - p0 )ùû ;
m = m0 + b c ( p - p0 ) .
Для проницаемости и вязкости примем
k = const и m = const ,
Вывод дифференциального уравнения
фильтрации упругой жидкости в упругой
пористой среде по закону Дарси
Вывод дифференциального уравнения
фильтрации упругой жидкости в упругой
пористой среде по закону Дарси
• для постановки и решения задач в рамках модели
необходимо так преобразовать уравнения, чтобы
получить одно дифференциальное уравнение для
одной искомой функции.
• Для этой цели рассмотрим первое уравнение
системы. Подставив в него функцию Лейбензона.
¶ (m r )
¶t
=
k
m
D
( ò r dp )
¶ (m r )
¶t
=
k
m
D
( ò r dp ) .
преобразуем выражение в левой части уравнения, для чего используем уравнения
состояния упругой жидкости и упругой пористой среды:
r = r0 éë1 + b ж ( p - p0 )ùû ; m = m0 + b c ( p - p0 )
и вычислим произведение m r :
2
m r = m0 r0 + (m0 r0 b ж + r0 b с )( p - p0 ) + r0 b c b ж ( p - p0 ) .
Последним слагаемым в правой части полученного выражения, ввиду его малости можно
пренебречь. Тогда получим:
m r = m0 r0 éë1 + b * ( p - p0 ) m0 ùû ,
откуда после дифференцирования выражения по времени t находим:
¶ (m r )
¶t
= r0 b *
¶p
.
¶t
Теперь преобразуем правую часть равенства
k
m
D
( ò r dp ) . (*)
Подставив под знак интеграла уравнение состояния упругой жидкости получим
æ
ö
æ p2
ö
D ò r dp = D ç r 0 p + r 0 b Ж ç
- p0 p ÷ + C ÷ ,
m
m è
è 2
ø
ø
k
(
)
k
но снова учитывая, что жидкость слабосжимаемая и коэффициент b Ж мал, пренебрежем
вторым слагаемым и в результате получим
k
m
D
( ò r dp ) = mk r Dp . (**)
0
Подставив (*) и (**) в исходное дифференциальное уравнение получим
дифференциальное уравнение относительно давления:
b*
¶p k
= Dp
¶t
m
или, в декартовой системе координат,
æ ¶2 p ¶2 p ¶2 p ö
¶p
=hç 2 + 2 + 2 ÷ ,
¶t
¶y
¶z ø
è ¶x
где введено обозначение
h = k ( mb * ) .
Основное дифференциальное
уравнение упругого режима
b*
¶p k
= Dp
¶t
m
основное дифференциальное уравнение теории упругого режима фильтрации.
По предложению В.Н. Щелкачева, оно названо уравнением пьезопроводности.
Дифференциальное уравнение пьезопроводности относится к уравнениям типа уравнения
теплопроводности (уравнения Фурье).
Коэффициент h , характеризующий скорость перераспределения пластового давления при
неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде,
В.Н. Щелкачев назвал коэффициентом пьезопроводности пласта по аналогии с
коэффициентом температуропроводности в уравнении теплопроводности.
Размерность коэффициента пьезопроводности h :
[h ] =
k
[ m ][ b * ]
=
L2
L2
=
,
L -1 MT -1 L M -1 T 2
T
где L, M, Т – соответственно размерности длины, массы и времени. Наиболее часто
встречающиеся в нефтепромысловой практике значения коэффициента
2
пьезопроводности заключены в пределах от 0,1 до 5 м /с.
Плоскорадиальный фильтрационный поток
упругой жидкости. Основная формула теории
упругого режима фильтрации
• Пусть в неограниченном горизонтальном пласте
постоянной толщины h имеется добывающая
скважина нулевого радиуса (точечный сток).
• Начальное пластовое давление во всем пласте
одинаково и равно .
• В момент времени t = 0 скважина пущена в
эксплуатацию с постоянным объемным дебитом Q0.
• В результате в пласте образуется неустановившийся
плоскорадиальный поток упругой жидкости.
Распределение давления в пласте имеет вид:
æ ¶ 2 p 1 ¶p ö
¶p
=hç 2 +
÷.
r ¶r ø
¶t
è ¶r
Начальные и граничные условия задачи следующие:
p ( r , t ) = pк
при t = 0 ;
Первое условие означает, что до момента времени t = 0 во всем пласте давление
было постоянным и равным контурному.
p ( r , t ) = pк при t > 0 и r ® ¥ ;
Второе условие показывает, что граница возмущенной зоны (т.е. значение радиуса,
на котором давление равно контурному) перемещается с ростом времени и для больших
времен стремится к бесконечности.
Q =
2p k h æ ¶p ö
= Q0 = const
r
m çè ¶r ÷ør = 0
при r = 0, t > 0 .
Из третьего условия следует, что дебит скважины поддерживается постоянным.
Давление в любой точке плоскорадиального потока в условиях упругого режима
фильтрации определяется по формуле
Qm
p ( r , t ) = pк - 0
4h k h
é
æ r 2 öù
ê- E i ç ÷ú .
4
h
t
è
øû
ë
Формула получила название основной формулы теории упругого режима
фильтрации.
Она имеет широкое практическое применение и, в частности, используется при
интерпретации результатов исследования скважин, в расчетах распределения давления
при фильтрации упругой жидкости и т.д.
Определение коллекторских свойств пласта по данным
исследования скважин при упругом режиме
На основании основной формулы теории упругого режима можно получить следующую
функциональную зависимость между изменением забойного давления Dpc и временем t с
момента пуска скважины в эксплуатацию с постоянным дебитом:
Dpс º pк - pс ( t ) =
=
Qm
4p k h
Qm
4p k h
é
æ rс¢2 ö ù
Qm
E
i
ê
ç÷ú »
è 4h t ø û 4p k h
ë
æ 4h t
ö
Qm
ç ln 2 - ln 1, 781 ÷ =
è rc¢
ø 4p k h
æ 4h t
ö
ç ln 2 - 0, 5772 ÷ =
è rc¢
ø
æ
4h t ö
Qm
2, 246h t
=
0,
1832
lg
.
ç 2, 3 lg
÷
2
2
¢
¢
1,
781
r
k
h
r
c ø
c
è
Здесь rc¢ – приведенный радиус скважины.
Последнее выражение можно переписать в виде
Dpс = 0, 1832
Q m 2, 246h
Qm
lg
+
0,
1832
lg t
kh
rc¢2
kh
или
Dpc = A + i lg t ,
где
A = i lg
2, 246h
; i = 0, 1832 Q m ( k h ) .
rc¢2
Рассмотрим теперь кривую восстановления забойного давления, т. е. рост забойного
давления после мгновенной остановки скважины.
Будем считать, что до остановки скважина весьма длительно работала с постоянным
дебитом Q, и вокруг нее в пласте имело место установившееся распределение пластового
давления.
Мгновенная остановка скважины в момент t = 0 имитируется включением фиктивного
источника с дебитом -Q , находящегося в той же точке пласта. Характер восстановления
давления в пласте определяется:
p(r , t ) = pс.у ст
Qm
r
Qm
+
ln +
2p k h rc¢ 4p k h
é
æ r 2 öù
ê- E i ç ÷ú .
4
h
t
è
øû
ë
Зависимость, описывающая восстановление забойного давления после мгновенной
остановки скважины:
Dpс. º pс.неу ст - pс.у ст
Qm
=
4p k h
é
æ rс¢2 ö ù
ê- E i ç ÷ú .
4
h
t
è
øû
ë
Снятую скважинным манометром кривую роста забойного давления после остановки
скважины перестраивают в координатах Dpс , l g t .
По ее угловому коэффициенту i=tg j при известной толщине пласта, дебите и вязкости
жидкости может быть найдена абсолютная проницаемость:
k = 0, 1832 Q m ( h tg j ) .
Координата А точки пересечения прямой с осью l g t = 0 при известном коэффициенте
пьезопроводности может быть использована для определения приведенного радиуса
скважины и оценки скин-эффекта по первому из равенств:
rc¢ = 2.246h10 - A
tg f
.
рс
pк
1
0