1ª Jornada

SISTEMAS DE NUMERACIÓN, SENTIDO NÚMERICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá Landeta Mtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.

Prof. Fortino Del Carmen Cervantes Enero 2011

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

• • • • • Egipcio Babilonio Maya Romano Multiplicación y división Elaborado por: M. en Ed. Mat.

Miguel Ángel Alcalá Landeta Mtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.

Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

La matemática babilónica

1800-1900 a. C

Actividad1: ¿Podrías descifrar la siguiente tableta matemática?

Actividad1: Desciframiento y análisis de una tableta numérica babilónica.

1.

2.

3.

4.

Observa las figuras.

¿Existe algún valor numérico asociado a cada figura?

¿Qué patrón de numeración sigue la tabla?

¿Qué competencias se desarrollan?

Elaborado por: M. en Ed. Mat.

Miguel Ángel Alcalá Landeta Mtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.

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Sabías que ….

• Este sistema apareció por primera vez alrededor de 1800-1900 a. C. También se piensa que es el primer sistema de numeración posicional • Los babilonios usaban “cuñas” para representar los números

Su sistema numérico era de base 60

Convirtiendo a su equivalente en decimal: 1x60 3 = 57x60 2 = 46x60 1 = 40+60 0 = 216000 205200 2760 40 + 424000

Sabías que ….

Se cree que adoptaron el número 60 como base debido a que el 60, es un número compuesto de muchos factores fue elegido como base debido a su factorización 2×2×3×5, que lo hace divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, y 30. y esto hace que trabajar con fracciones sea mucho más sencillo. De hecho, es el entero más pequeño divisible por todos los enteros del 1 al 6

Calcularon la raíz de 2

Conocían el “Teorema de Pitágoras” mil años antes que el lo redescubriera Tablilla Plimpton 322 Interpretación decimal

La matemática egipcia

3100 a. C. – 332 a. C.

Consultado en: http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto

Los matemáticos egipcios usaron símbolos para representar números

Los símbolos se podían repetir para representar números más grandes

• Cálculos Matemáticos

Fue un sistema decimal por yuxtaposición

Tableta con números

El sistema egipcio no era posicional

Sabías que ….

Las operaciones de multiplicación y división de los egipcios están basadas en el hecho de que cualquier número natural se puede representar por medio de una suma de potencias de 2.

“Cualquier número natural se puede expresar por medio de una suma de potencias de 2” 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 2 1 +2 0 2 2 2 2 +2 0 2 2 +2 1 2 2 +2 1 +2 0 2 3 2 3 +2 0 2 3 +2 1 2 3 +2 1 +2 0 2 3 +2 2 2 3 +2 2 +2 0 2 3 +2 2 +2 1 2 3 +2 2 +2 1 +2 0 2 2+1 4 4+1 4+2 4+2+1 8 8+1 8+2 8+2+1 8+4 8+4+1 8+4+2 8+4+2+1

Tenían un método para multiplicar

39 × 26

52 104 208 416 832

26(2 0 )

26(2 1 ) 26(2 2 ) 26(2 3 ) 26(2 4 ) 26(2 5 )

26×1

26×2 26×4 26×8 26×16 26×32

26

52 104 208 416 832 1014

1

2 4 32 39

39 × 26 = 1014

Actividad2: Multiplicación en el Antiguo Egipto Ejemplo: 15 x 85= 1275 85 

1

170 

2

340 

4

680 

8 15

+ 85 170 340 680 1275 Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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Actividad2: Multiplicación en el Antiguo Egipto Otro ejemplo: 44 x 16= 16  1 32  2

64



4 128



8

256  16

512



32 44

+ 64 128 512 704 Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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Tenían un método para dividir

1014 / 39

78 156 312 624 1014

39(2 0 )

39(2 1 ) 39(2 2 ) 39(2 3 ) 39(2 4 )

39×1

39×2 39×4 39×8 39×16 1

2

4

8 16

26 Esto es: 39x2 + 39x8 + 39x16 = 39 x (

2 + 8 + 16

) = 39 x 26 =1014 De donde: 1014 ÷ 39 = 26

Actividad3: División en el Antiguo Egipto. Ejemplo 2

133 ÷ 19 38 76 133 + 19(1)

19(2) 19(4) 1

2 4 7 +

Esto es: 19x1 + 19x2 + 19x4 = 19 x (

1 +2 + 4

) = 19 x 7 =133 De donde: 133 ÷ 19 = 7 Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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Utilizaban algunas fracciones

La matemática maya

1000 a. C. – 1687 d. C.

Los matemáticos mayas usaron punto, rayas y un símbolo para el cero

Inventaron un símbolo para representar el cero

Con solo puntos y rayas representaban grandes números

Podían representar grandes cantidades

Actividad4: Aritmética Maya (Aspectos a considerar)

 Solo utilizaban 3 símbolos (un punto, una barra y una concha para el cero).

 Utilizaban varias posiciones para expandir y expresar cantidades grandes.

 Los valores se colocaban verticalmente.

 Es un sistema base 20.

(20) 4 (20) 3 (20) 2 (20) 1 (20) 0 = 3 x 160,000 = 480,000 = 10 x 8,000 = 80,000 = 6 x 400 = 2,400 + = 13 x 20 = 260 = 17 x 1 = 17 562,677 Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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••••

—

• •

— Su sistema era posicional

••• ← Lugar de los “jbok`s” 1 jbok = 20 2 = 400 ← Lugar de los “vinik`s” 1 vink = 20 1 = 20 De base 20 ← Lugar de las unidades 1 unidad = 20 0

¿Qué número representa la imagen de arriba?

R= 1387

Usaron su matemática para hacer cálculos complicados

Los sacerdotes mayas podían predecir fenómenos astronómicos

Diseñaron la rueda calendárica

La rueda calendárica tenia 52 años (18,980 días)

La matemática Romana

750 a.C. – 476 d. C.

Los matemáticos Romanos usaron letras en su sistema de numeración

Los matemáticos romanos no usaron el cero

Numeración romana hasta el 100

Sumas y restas con números romanos

Para sumar con números romanos sigamos las siguientes reglas: • Debemos descomponer números como IX en VIIII • Agrupamos los números de igual valor X con X, V con V etcétera.

• Hacemos sumas internas. Por ejemplo si aparece IIIII lo reemplazamos por V.

• Una vez que hemos calculado, ya sea sumando o restando símbolos volvemos a respetar las reglas , esto es , por ejemplo cambiamos VIIII por IX, XXXX por XL etcétera .

Actividad5: Reflexión sistemas de numeración

Completa la siguiente tabla.

Sistema numérico ¿Es posicional?

Babilónico Egipcio Maya Romano

Base del sistema

¿Cuándo un sistema numérico se considera posicional?

Representa el número 25 d

Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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Significado geométrico de los algoritmos de las operaciones con fracciones.

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1 3

Significado geométrico de las sumas con fracciones.

1 2 Si a un medio le agregamos un tercio tenemos cinco sextos.

1 2  1 3  5 6 Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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1 5

Significado geométrico de las sumas con fracciones.

2 3 Si a dos tercios le agregamos un quinto tenemos trece quinceavos.

2 3  1 5  13 15 Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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Significado geométrico de las multiplicaciones con fracciones.

1 2

x

1 3  1 2 x 1 3 = 1 6 Se interpreta: De un tercio dame un medio, obteniéndose un sexto (que es la intersección de las dos figuras) Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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Significado geométrico de las multiplicaciones con fracciones.

2 5

x

1 3  2 5 X 1 3 2

=

15 Se interpreta: De un tercio dame dos quintos, obteniéndose dos quinceavos (que es la intersección de las dos figuras).

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Actividad6: Realiza las siguientes operaciones geométricamente.

a) 1 3  1 2 b) 2 3  3 4 c) 2  5 1 4 d) 4 6  2 3 e) 3  1 7 2 f) g) h) i) j) Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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Actividad7: Elaboración de un plan de clase por parte de los profesores.

 En equipo de 5 personas.

 El plan de clase debe ser entregado digitalmente.

 Se expondrá el último sábado.  Se compartirán con el resto del grupo; favor de traer memoria USB.

Elaborado por: M. en Ed. Mat.

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