Transcript 聯合機率分布

考卷檢討&
聯合機率分布
離散隨機變數
• 袋中有5顆白球8顆紅球，自代中以不歸返的方式
取出3個球。若第i個取出的為白球，則令Xi為1，
否則則令Xi為0，求：
– (a)X1, X2 的聯合機率質量函數
– (b)X1, X2, X3 的聯合機率質量函數
ANS:(b)(X1, X2, X3)=(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1),(1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)
P{0,0,0}=84/429, P{1,0,0}=70/429
P{0,0,1}=70/429, P{1,0,1}=40/429
P{0,1,0}=70/429, P{1,1,0}=40/429
P{0,1,1}=40/429, P{1,1,1}=15/429
離散隨機變數
• 一箱中有5個電晶體而其中有2個是壞的。欲每次
檢驗1個電晶體直到壞的才停止。令N1表示直到第
一個不良電晶體被發現時所作的檢驗次數，N2表
示直到發現第二個不良電晶體所添加的檢驗次
數；求N1和N2的聯合機率質量函數
• ANS:
(N1,N2)=(1,1),(1,2) ,(1,3), (1,4),(2,1), (2,2), (2,3) ,(3,1) (3,2), (4,1)
(1,1)=(第1次抽到壞掉,第2次抽到壞掉)=(2/5)*(1/4)=1/10
(1,2)=(第1次抽到壞掉,第3次抽到壞掉)=(2/5)*(3/4)*(1/3)=1/10
.
.
.
連續隨機變數
• X和Y的聯合機率密度函數為
6
7
𝑥𝑦
)
2
0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 2
– (a)驗證此函數確為一聯合機率質量函數
𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 2 +
• ANS:
– (b)求X的密度函數
– (c)求P{ X>Y }
• ANS=
1 𝑥6
0 0 7
𝑥2 +
𝑥𝑦
2
– (d)求P{ Y>1/2 | X<1/2 }
• ANS=
1
2
1
2
𝑃{𝑌> ,𝑋< }
1
2
𝑃{𝑋< }
𝑑𝑦 𝑑𝑥
*注意積分範圍
連續隨機變數
• X和Y的聯合機率密度函數為
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒 −(𝑥+𝑦) 0 ≤ 𝑥 < ∞, 0 ≤ 𝑦 < ∞
– (a)求P{ X<Y }
– (b)求P{ X<a }
* e0=1, e- ∞ =0