Transcript 间接平差

误差理论与测量平差基础
第7章 间接平差
主讲：王华
1
主要内容
1. 间接平差原理
2. 误差方程
3. 精度评定
4. 间接平差公式汇编和水准网平差示例
5. 间接平差特例-直接平差
6. 三角网坐标平差
7. 测边网坐标平差
8. 导线网间接平差
9. GPS网平差
10.七参数坐标转换平差
2
1.间接平差原理
3
间接平差原理
• 间接平差（参数平差法）选定t个独立参数，将每个观测量的平差值
分别表达成这t个参数的函数，按最小二乘原理，用求自由极值的方
法解出参数的最或然值，从而求得各观测量的平差值。
间接平差函数模型
观测值方程：
Lˆ  B Xˆ  d
（7-1-1）
取参数的近似值X0,则有
ˆ  X0  xˆ
X
（7-1-2）
误差方程：
n1
nt t1
n1
V  Bxˆ  l
l  L  ( BX 0  d )  L  L0
（7-1-4）
（7-1-3）
L0=BX0+d为观测值的近似值，l 是观测值与近似值之差，即误差方程的
常数项。l 与 L 只差一个常数L0，其精度相同，Dl =DL=D,Qll=QLL=Q,
也称 l 为观测值。
D   02 Q   02 Pn1n
间接平差的随机模型
n1
nn
4
一、基础方程及其解
• 设有n个观测值方程
ˆ bX
ˆ
ˆ

L1  v1  a1X
1 2   t 1X t  d1
1

ˆ b X
ˆ
ˆ

L2  v 2  a 2 X
2 2   t 2Xt  d 2 
1



ˆ b X
ˆ t X
ˆ d 
Ln  v n  a n X
n 2
n t
n
1

• 令：
ˆ  X 0  xˆ
X
i
i
i
li  Li  (a i X10  bi X02   t i X0t  di )
• 得误差方程：
vi  a i xˆ1  bi xˆ2  t i xˆt  li
5
令：
 L1 
 
L 
2
L 
  
 
 
 Ln 
 a1

a
B 2


a
 n
 V1 
 
V 
2
V  
  
 
 
V n 
b1
b2

bn




t1 

t2 


t n 
 Xˆ 1 


 ˆ 
 X2 
Xˆ  

  


 Xˆ 
 n
 X 01 


 0 
X 2
X0 

  
 0 
X t
 d1 
 
d 
2
d  
  
 
 
dn 
 xˆ 1 
 
 xˆ 
2
xˆ   
  
 
ˆ 
 xt 
 l1 
 
l 
2
l  

 
 
 ln 
得误差方程的矩阵表达式
V  Bxˆ  l
l  L  ( BX 0  d )  L  L0
（7-1-7）
按最小二乘原理求函数自由极值的方法，得
V T PV
V
 2V T P
 V T PB  0
xˆ
xˆ
转置后得
B PV  0
T
（7-1-8）
7-1-7和7-1-8为间接平差的基础方程
6
间接平差的基础方程
V  Bxˆ  l
BT PV  0
将 V代入第二式，得到法方程：
B T PBxˆ  B T Pl  0
N BB  B T PB,
令
W  B T Pl
t ,1
t ,t
N BB xˆ  W  0
则法方程表达为
（7-1-9）
（7-1-10）
式中系数阵NBB为满秩，方程有唯一解，即
1
ˆ  N BB
x
W
或


xˆ  B T PB
1
（7-1-11）
B T Pl
（7-1-12）
将上式代入误差方程，得到改正数，进而得到观测值和参数的平差值
ˆ  L V
L
Xˆ  X 0  xˆ
（7-1-13）
7
当权阵为对角阵时，法方程的纯量形式为
paaxˆ1  pabxˆ2    patxˆt  pal 
pabxˆ1  pbbxˆ2    pbtxˆt  pbl



patxˆ1  pbtxˆ2    pttxˆt  ptl 
式中
paa  p1a 2  p 2a 22    p n a 2 , pbb  p1b 2  p 2 b 22    p n b 2
ptt  p1t 2  p 2 t 22    p n t 2 , pab  p1a1b1  p 2a 2 b 2    p n a n b n
pat  p1a1t1  p 2a 2 t 2    p n a n t n , pbt  p1b1t1  p 2 b 2 t 2    p n b n t n
pal  p1a1l1  p 2a 2l2    p n a n ln , pbl  p1b1l1  p 2 b 2l2    p n b n ln
ptl  p1t1l1  p 2 t 2l2    p n t n ln
1
1
n
1
n
n
8
二、间接平差法求平差值的步骤
1. 根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；
2. 列出误差方程；
3. 组成法方程；
4. 解算法方程；
5. 计算改正数V；
6. 计算观测值的平差值
9
例题7-1 如图7-1所示的水准网中，已知水准点A的高程是HA=237.483, 为求B、C和D
的高程，进行了水准测量，测得高差和水准路线长度见下表。试按照间接平差方法
求B、C和D的高程平差值。
水准路线
观测高差(m)
路线长(km)
1
2
3
4
5
5.835
3.782
9.640
7.384
2.270
3.5
2.7
4.0
3.0
2.5
解：n=5，t=3；选取B、C和D三点的高程分别为参数 Xˆ 1、Xˆ 2、Xˆ 3
1、列出误差方程
平差值方程
 L1  v1  Xˆ 1  H A

ˆ
ˆ
 L2  v 2   X 1  X 2

 L3  v 3  Xˆ 2  H A
 L  v  Xˆ  Xˆ
4
2
3
 4
 L5  v 5  Xˆ 3  H A
0
参数的近似值选为 X 1  H A  L1
误差方程
X 20  H A  L3
v1  Xˆ 1  ( H A  L1 )

ˆ
ˆ
v 2   X 1  X 2  L2

v 3  Xˆ 2  ( H A  L3 )
v  Xˆ  Xˆ  L
2
3
4
 4
v 5  Xˆ 3  ( H A  L5 )
X 30  H A  L5
10
将
ˆ  X 0  xˆ  xˆ  H  L 
X
1
1
1
1
A
1
0
ˆ  X  xˆ  xˆ  H  L 
X
2
2
2
2
A
3
0
ˆ  X  xˆ  xˆ  H  L 
X
3
3
3
3
A
5
v1  xˆ 1  0
v   xˆ  xˆ  23
1
2
 2
v 3  xˆ 2  0
v  xˆ  xˆ  14
2
3
 4
v 5  xˆ 3  0
代入误差方程得：
 v1   1
  
 v2   1
v    0
 3 
 v4   0
v  
 5  0
0
1
1
1
0
2、组成法方程
取10km观测高差为单位权观测，即 pi 
 2.9 0
 0 3. 7

P 0
0

0
0
 0
0
0
0
2.5
0
0
0
0 
0
0 
0
0 

3.3 0 
0 4.0 
0
 0 



0  xˆ1    23
 
0  xˆ2    0 





ˆ
x
 1 3   14 
 0 
1 


10
Si
法方程：
0   xˆ 1   85.1 
 6 . 6  3. 7
 3.7 9.5  3.3  xˆ     38.9   0

 2  

 0
 3.3 7.3   xˆ 3   46.2
11
3、解法方程
0   xˆ 1   85.1 
 6 . 6  3. 7
 3.7 9.5  3.3  xˆ     38.9   0

 2  

 0
 3.3 7.3   xˆ 3   46.2
 xˆ1 
 11.75 
 


1
xˆ   xˆ 2   N BB
W  ( B T PB) 1W    2.04
 xˆ 
  7.25
 3


4、计算改正数
 1

 1
V  Bxˆ  l   0

 0
 0

0
1
1
1
0
0
 0   12 



0  11.75    23  9 


0   2.04   0    2 ( m m)


  


 1  7.25  14    9 
 0  -7
1 

  
5、计算平差值
5.835
 12 
5.847


3.782
 3.791
9






Lˆ  L  V  9.640 ( m)    2 (m m)  9.638 ( m)






7
.
384

9
7
.
375






 -7 
2.270



 2.263
检核
12
例7-2
13
上次课程主要内容回顾
间接平差的函数模型和随机模型是
误差方程为： V  Bxˆ  l

Lˆ  L  V  BXˆ  d
D   2Q   02 P 1
l  L  L0  L  BX 0  d
法方程为：
其解为

B T PBxˆ  B T Pl  0


1
1
xˆ  B PB B T PBl  N BB
W
T
观测量和参数的平差值： Lˆ  L  V , Xˆ  X 0  xˆ
（7-1-1）
（7-1-5）
（7-1-4）
（7-1-3）
（7-1-9）
（7-1-11）
（7-1-13）
练习：7.1.04
14
2.误差方程
15
误差方程要点
• 要确定平差问题中未知数的个数（等于必要观测的个数t ）；
• 选择哪些量作为未知数（足数、独立、最简）；
• 要考虑怎样列出平差值方程；
• 如何选取未知数的近似值；
• 如何写出误差方程。
16
一、测方向三角网函数模型
• 观测值为方向值，选定待定点坐标为参数，建立以坐标改正数表示方
向值改正数的误差方程。t=未知点个数×2＋测站数（有必要起算数
据时）
• 在图7-2中，j为测站点，h和k为照准点，Ljh和Ljk为观测方向值，jo 方
向为度盘置零方向（非观测值）， Zˆ j 为j 站的定向角，即零方向的方
位角（每个测站有一个定向角），则方向观测值的平差值为：
L jk  v j k  αˆ jk  Zˆ j
（7-2-1）
• 由上式可得jk方向的误差方程为：
v j k   Zˆ j  αˆ jk  L jk
（7-2-2）
式中 ˆ jk 为 jk 方向的方位角的平差值。
寻找方位角与坐标的函数关系
17
0
0
0
0
设j、k是两个待定点，它们的近似坐标为 ( X j , Yj ), ( X k , Yk ) ，由此计算两点
0
0
间的近似坐标方位角 a jk 和近似边长 S jk ，以及近似定向角 Z 0j 。
设这两点的近似坐标改正数为 xˆ j、yˆ j 和xˆk、yˆk，即
Xˆ j  X 0j  xˆ j 


Yˆj  Y j0  yˆ j 

Xˆ k  X k0  xˆk 

Yˆk  Yk0  yˆ k 
（7-2-3）
根据图7-2可以写出：
Yˆk  Yˆj
aˆ jk  arctan
Xˆ k  Xˆ j
将上式按台劳公式展开得：
 aˆ jk 
 aˆ jk 
 aˆ jk 
 aˆ jk 






 yˆ k ,
aˆ jk  arctg 0

xˆ j 
yˆ j  
xˆk  
0

（7-2-5）
ˆ
ˆ 
 Yˆ 
X K  X j  Xˆ j 

X

Y
j
k
K




0

0
0
0
Yk0  Y j0
0
 jk  arctg 0
0
0
X

X
K
j
由于： αˆ jk  α jk  α jk
 aˆ jk 
 aˆ jk 
 aˆ jk 
 aˆ jk 






 yˆ k ,
 jk 
xˆ j 
yˆ j  
xˆk  


ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 X 
 Y 
j 0
 YK 18
 X k  0
0

 j 0
Yk0  Y j0
Yk0  Y j0
 aˆ jk 

 
 Xˆ 
j 0

X
 X 0j
0
k

2
 Y Y 

1 
 X X 


0
k
0
k
0
j
0
j
2

X
Yk0  Y j0
0
k
X
  Y
0 2
j
0
k
Y
 aˆ jk 
X 0jk

 
0 2
 Yˆ 
S
j
jk

0
 
 aˆ jk 
Y jk0


 Xˆ    0 2
S jk
 k 0
 
 aˆ jk 
X 0jk


 Yˆ   0 2
 k  0 S jk
 


Y jk0 

2
S 0jk 













  
0 2
j
arctan(x ) 

1
1
   2
x
x
1
1 x2
将上列结果代入（7-2-6）式，并顾及全式的单位得
v jk 
 Y jk0
S 
0 2
jk
xˆ j 
 X 0jk
S 
0 2
jk
yˆ j 
 Y jk0
S 
0 2
jk
xˆk 
 X 0jk
S 
0 2
jk
yˆ k ,
（7-2-8）
  sin  0jk
  cos  0jk
  sin  0jk
  cos  0jk
或：v 
xˆ j 
yˆ j 
xˆk 
yˆ k
S 0jk
S 0jk
S 0jk
S 0jk
jk
19
令：
a jk 
 Yjk0
0 2
jk
(S )
b jk  

 X 0jk
0 2
jk
(S )
 sin jk0
S0jk

 cos jk0
S0jk
则有坐标改正与坐标方位角改正之间的一般关系式：
 "jk  a jk xˆ j  bjk yˆ j  a jk xˆk  bjk yˆk
（7-2-12）
代入（7-2-2），得 jk 方向的误差方程
v jk  Zˆ j  αˆ jk  L jk
 ( Z 0j  zˆ j )  ( 0jk   jk )  L
（7-2-14）
  zˆ j  a jk xˆ j  b jk yˆ j  a jk xˆk  b jk yˆ k  l jk
式中常数项
l jk  Ljk  (α0jk  Z 0j )  Ljk  L0jk
（7-2-15）
20
测方向三角网中各测站的每一方向都可列立用坐标改正数表示的误差方程。
测方向坐标平差的误差方程的特点如下：
v jk  zˆ j  a jk xˆ j  bjk yˆ j  a jk xˆk  bjk yˆk  l jk
1.
2.
3.
方向值的误差方程中，其待定参数除待定点坐标平差值之外，尚有测站定向角平差
值。在每个测站的误差方程中，仅出现本测站的定向角平差值，各测站不同，其系
数均为－1。
若某边的两端均为待定点时，它们的坐标未知数的系数的绝对值相等，符号相反。
其他点的坐标未知数的系数均为零，即为（7-2-14）式。
若测站点 j 为已知点
  
jk
 Y jk0
S 
0 2
jk
xˆk 
 X 0jk
S 
0 2
jk
yˆ k
v jk   zˆ j  a jk xˆk  b jk yˆ k  l jk
若照准点k为已知点
 
jk
 Y jk0
S 
0 2
jk
xˆ j 
 X 0jk
S 
0 2
jk
yˆ j
v jk   zˆ j  a jk xˆ j  b jk yˆ j  l jk
21
测方向三角网中各测站的每一方向都可列立用坐标改正数表示的误差方程。
测方向坐标平差的误差方程的特点如下：
v jk  zˆ j  a jk xˆ j  bjk yˆ j  a jk xˆk  bjk yˆk  l jk
4. 若某边的两个端点均为已知点，则
 jk  0
（7-2-19）
v jk   zˆ j  l jk
5. 同一边的正反坐标方位角的改正数相等
 jk 
 kj 
 Y jk0
S 
0 2
jk
 Ykj0
S 
即知 v jk
0 2
jk
xˆ j 
xˆk 
 X 0jk
S 
0 2
jk
 X kj0
S 
0 2
jk
yˆ j 
yˆk 
 Y jk0
S 
0 2
jk
 Ykj0
S 
0 2
jk
xˆk 
xˆ j 
 X 0jk
S 
0 2
jk
 X kj0
S 
0 2
jk
yˆ k ,
Y jk0  Ykj0 
,
0
0
X jk  X kj 
yˆ j ,
 vkj
22
综上所述，对于方向法观测的三角网，采用间接平差，选择待定点坐标平
差值和测站定向角平差值为参数时，列误差方程的步骤为；
1. 计算各待定点近似坐标；
2.
由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角和
近似边长；
3.
4.
列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数；
列出误差方程。
23
例7-3 在图7-3中，A、B、C为已知坐标的三个控制点，加密待
定点D，起算数据列于表7-2，在四个测站共观测10个方向，观
测值列于表7-3，试以D点坐标为平差参数，列出其误差方程。
点名
坐标(m)
坐标方位角
° ′ ″
边长
（m）
X
Y
A
13737.37
10501.92
B
8986.68
5705.03
225 16 38.1 6751.24
C
6642.27
14711.75
104 35 24.3 9306.84
测
站
D
C
方向观测值
°
′ ″
照准点
测
站
方向观测值
°
′ ″
照准点
C
1
0
00
00.0
B
6
0
00
00.0
A
2
127
48
41.2
D
7
30
52
44.0
B
3
234
39
23.4
C
8
59
A
4
0
00
00.0
D
9
0
00
00.0
D
5
23
45
16.2
A
10
42
16
39.1
A
B
18
49.0
24
解：n=10, 1个待定点，在方向法观测情况下，需要确定4
个测站定向角Z，故 t = 2 + 4 =6 。
1) 在已知点B、A观测D点的角度，按前方交会的余切公
式计算D点的近似坐标
ü
X A cotL B + X BcotL A - YB + YA
X =
= 10122.12m ï
cotL A + cotL B
ï
ý
Y cotL B + YBcotL A + X B - X A
YD0 = A
= 10312.47m ï
ï
cotL A + cotL B
þ
0
D
LB = L10 - L9
LA = L7 - L6
2) 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角和近似边长于表7-4。
近似坐标方位角
°
′ ″
方向
Y0(m)
X0(m)
(S0)2 (m2)
近似边长S0(m)
DA
－4607
－11.35
2252×104
4745
256
09
DB
189
3615
1311×104
3620
2
DC
4399
－3480
3146×104
5609
128
的系数（秒/dm)
a
b
22.0
－4.22
+1.04
59
59.0
+0.30
－5.69
20
39.0
+2.88
+2.28
25
3) 计算坐标方位角改正数方程的系数（见表7-4）
ü
0
r¢DYDA0
r¢¢DX DA
vaDA = da DA = 0 2
xˆD - 0 2
yˆD = aDA xˆD - bDA yˆD ï
(SDA ) ´10
(SDA ) ´10
ï
ï
0
0
ï
r¢DYDB
r¢¢DX DB
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
vaDB = da DB = 0 2
xD - 0 2
yD = aDB xD - bDB yD ý
(SDB ) ´10
(SDB ) ´10
ï
ï
0
r¢DYDC0
r¢¢DX DC
vaDC = da DC = 0 2
xˆD - 0 2
yˆD = aDC xˆD - bDC yˆD ï
(SDC ) ´10
(SDC ) ´10
ïþ
4) 计算各测站定向角近似值Z0
nj
Z 0j =
å(a
0
jk
- L jk )
k=1
nj
式中nj 为在测站 j 上观测的方向数。此例中测站A的定向角近似计算公式为
0
0
0
(a AB
- L6 ) + (a AD
- L7 ) + (a AC
- L8 )
Z =
3
0
A
26
5) 计算误差方程的常数项，结果列于表7-5中。
l jk = L jk - (a 0jk - Z 0j ) = L jk - L0jk
6) 组成各方向的误差方程
（据表7-4中的系数a、b和表7-5中的l ）
v jk = -zˆj + a jk xˆ j + bjk yˆ j - a jk xˆk - bjk yˆk - l jk
v1 = - zˆD + 2.88 xˆD + 2.28 yˆD + 0.53
v2 = - zˆD - 4.22 xˆD +1.04 yˆD + 2.33
v3 = - zˆD + 0.30 xˆD - 5.69 yˆD - 2.87
v4 = - zˆC
+ 0.75
v5 = - zˆC + 2.88 xˆD + 2.28 yˆD - 0.75
v6 = - zˆA
+ 0.97
v7 = - zˆA - 4.22 xˆD +1.048 yˆD + 0.87
v8 = - zˆA
- 2.83
v9 = - zˆB + 0.30 xˆD - 5.69 yˆD + 0
v10 = - zˆB
+0
27
表7-5
方向
D
C
A
B
C
A
B
A
D
B
D
C
D
A
编
号
方 向 观 测 值L
° ′
″
1
0
2
127
48
3
234
39
4
0
5
23
00
00
45
00.0
近 似 方 位 角0
° ′
″
128
20
39.0
41.2
256
09
23.4
2
59
0－L
° ′
″
128
20
－ l = 0－L －Z0
°
′
39.0
0.53
22.0
40.8
2.33
59.0
35.6
－2.87
=
128
20
38.47
－0.01
284
35
24.3
0.75
22.8
－0.75
00.0
284
35
24.3
16.2
308
20
39.0
=
284
35
23.55
0
45
16
38.1
0.97
6
0
00
00.0
45
16
38.1
7
30
52
44.0
76
09
22.0
38.0
0.87
104
35
24.3
35.3
－1.83
37.13
0.01
8
59
18
9
0
00
10
42
16
49.0
00.0
39.1
=
45
182
182
59
59.0
225
16
38.1
=
182
16
59
59
59.0
0
59.0
0
59.0
0
″
28
二、测角网函数模型
观测值为角度，参数为待定点坐标的平差问题，称为测角网坐标平差
如图7-4中，j,k,h为待定点，参数为其坐标，并令：
ˆ Yˆ = Y 0 + yˆ
Xˆ = X 0 + x,
对于角度，其观测方程为：
Li + ui = aˆ jk - aˆ jh
将 aˆ = a 0 + va 代入，并令：
li = Li - (a 0jk - a 0jh ) = Li - L0i
即角度观测值减去其近似角值就是常数项 l ，
得：
vi = da jk - da jh - li
29
将方位角改正数表达为坐标改正数，得测角网坐标平差的误差方程
da jk =
da jh =
r¢¢DY jk0
(S )
0 2
jk
r¢¢DY jh0
(S )
0
jh
2
xˆ j xˆ j -
r¢¢DX jk0
(S )
0 2
jk
r ¢¢DX 0jh
(S )
0
jh
2
yˆj yˆ j -
r¢¢DY jk0
(S )
0 2
jk
xˆk +
r ¢¢DY jh0
(S )
0
jh
2
xˆh +
r¢¢DX 0jk
(S )
0 2
jk
r ¢¢DX 0jh
(S )
0
jh
2
yˆk ,
vi = da jk - da jh - li
yˆh ,
æ
æ
0
0 ö
0
0 ö
DY
DY
DX
DX
jk
jh ÷
jk
jh ÷
ç
ˆ
¢¢
vi = r ¢¢ç
x
r
yˆ j
j
2
2
2
2
ç S0
÷
ç S0
÷
0
0
S
S
(
)
(
)
(
)
(
)
jk
jh
jk
jh
è
ø
è
ø
-r ¢¢
或：
DY jk0
(S )
0
jk
2
xˆk + r ¢¢
DX jk0
(S )
0
jh
2
yˆk + r ¢¢
DY jh0
(S )
0
jk
2
xˆh - r ¢¢
DX 0jh
(S )
0
jh
2
yˆh - li
vi = (a jk - a jh )xˆ j +(bjk - bjh )yˆ j - a jk xˆk - bjk yˆk + a jh xˆh + bjh yˆh -li
（7-2-29）
30
测角三角网不存在定向角参数，而测方向值依赖度盘零位
置，必须引进定向角参数以固定方向值，从而才能与点的
坐标建立函数关系。
如果三角网是按方向观测的，应采用测方向的坐标平差，
若要按角度平差，则其观测值由相邻两方向观测值之差求
得，一个测站上的多个观测角之间相关，严密的平差要顾
及其相关权阵。
31
例7-4 在图7-5中，同精度测得6个角度，已知点A、B、C
的起算数据列于表7-2中，角度观测值列于表7-6中，试列
出测角网坐标平差的误差方程。
点名
坐标(m)
坐标方位角
° ′ ″
边长
（m）
X
Y
A
13737.37
10501.92
B
8986.68
5705.03
225 16 38.1 6751.24
C
6642.27
14711.75
104 35 24.3 9306.84
观 测 值Li
角号
°
′
观 测 值Li
角号
°
″
′
″
1
106
50
42.2
4
28
26
05.0
2
30
52
44.0
5
127
48
41.2
3
42
16
39.1
6
23
45
16.2
32
解（1）计算D点的近似坐标（前方交会余切公式7-2-22）
ü
X A cot LB + X B cot LA -YB +YA
X =
= 10122.12m ï
cot LA + cot LB
ï
ý
Y cot LB +YB cot LA + X B - X A
YD0 = A
= 10312.47m ï
ï
cot LA + cot LB
þ
0
D
（2）按已知点坐标和待定点近似坐标计算各边的近似方位
角和近似边长，计算误差方程系数a、b，见下表
近似坐标方位角
°
′ ″
方向
Y0(m)
X0(m)
(S0)2 (m2)
近似边长S0(m)
DA
－4607
－11.35
2252×104
4745
256
09
DB
189
3615
1311×104
3620
2
DC
4399
－3480
3146×104
5609
128
的系数（秒/dm)
a
b
22.0
－4.22
+1.04
59
59.0
+0.30
－5.69
20
39.0
+2.88
+2.28
da DA = da AD = -4.22 xˆD +1.04 yˆD
待定边坐标方位角改正数方程：
da DB = da BD = 0.30 xˆD - 5.69 yˆD
da DC = daCD = 2.88 xˆD + 2.28 yˆD
33
解（3）参照图7-5列出观测值方程
L1 + v1 = aˆ DB - aˆ DA , L4 + v4 = aˆ AC - aˆ AD
L2 + v2 = aˆ BD - aˆ AB , L5 + v5 = aˆ DA - aˆ DC
L3 + v3 = aˆ BA - aˆ BD, L6 + v6 = aˆCD - aˆCA
将 aˆ = a 0 + d a 代入上式：
v1 = da DB - da DA - l1 = 4.52 xˆD - 6.73yˆD - 5.2
v2 = da AD - l2 = -4.22 xˆD +1.04 yˆD - 0.1
v3 = -da BD - l3 = -0.30 xˆD + 5.69 yˆD + 0.0
v4 = -da AD - l1 = 4.22 xˆD -1.04 yˆD - 2.7
v5 = da DA - da DC - l5 = -7.10 xˆD -1.24 yˆD +1.8
v6 = daCD - l6 = 2.88 xˆD + 2.28 yˆD -1.5
式中:
0
0
0
0
l 1  L1  (  DB
  DA
) , l 2  L2  (  AD
  AB
)
0
0
0
0
l 3  L3  (  BA
  BD
) , l 4  L4  (  AC
  AD
)
0
0
0
0
l 5  L5  (  DA
  DC
) , l 6  L6  (  CD
  CA
)
34
误差方程写成矩阵得形式为：
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
v1 ù é
ú
4.52 -6.73 ù
ê
ú
v2 ú
-4.22
1.04
ú
ú ê
v3 ú ê -0.30 5.69 úé xˆD
ê
=
v4 ú ê 4.22 -1.04 úêë yˆD
ú
ú ê
-7.10
-1.24
ú
v5 ú ê
ê
ú
v6 úû ë 2.88 2.28 û
é
ê
ù ê
ú-ê
úû ê
ê
ê
êë
5.2
0.1
0.0
2.7
-1.8
1.5
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
úû
（4）组成法方程，求参数和观测量的平差值
设各角的观测精度相等，其中误差均为σ=1，权阵单位矩阵，
法方程系数阵为
é
ê
ê
é 4.52 -4.22 -0.30 4.22 -7.10 2.88 ùê
T
N BB = B PB = ê
úê
-6.73
1.04
5.69
-1.04
-1.24
2.28
ë
ûê
ê
êë
4.52
-4.22
-0.30
4.22
-7.10
2.88
-6.73
1.04
5.69
-1.04
-1.24
2.28
ù
ú
ú
ú é 114.84 -25.53 ù
ú = ê -25.53 86.57 ú
û
ú ë
ú
úû
35
é
ê
ê
é
ù
4.52 -4.22 -0.30 4.22 -7.10 2.88 ê
W = BT Pl = ê
úê
-6.73
1.04
5.69
-1.04
-1.24
2.28
ë
ûê
ê
êë
法方程为
é 114.84 -25.53 ùé xˆD
ê
úê
ë -25.53 86.57 ûêë yˆD
解算法方程，得
5.2
0.1
0
2.7
-1.8
1.5
ù
ú
ú
ú é 51.58 ù
ú = ê -32.04 ú
û
ú ë
ú
úû
ù é
ù
51.58
ú-ê
ú= 0
úû ë -32.04 û
xˆ D = 0.393dm
yˆ D = -0.254dm
求改正数、角度平差值和D点坐标平差值
é -1.7¢¢ ù
é 106°50¢40.5¢¢
ê
ú
ê
¢¢
-2.
0
ê
ú
ê 30°52¢42.0¢¢
ê -1.6¢¢ ú
ˆ = ê 42°16¢37.5¢¢
V =ê
,
L
ê 28°26¢04.2¢¢
-0.8¢¢ ú
ê
ú
ê
ê -0.7¢¢ ú
ê 127°48¢40.5¢¢
êë -0.9¢¢ úû
êë 23°45¢15.3¢¢
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
úû
Xˆ D = 10122.16m
Yˆ = 10312.44m
D
ü
ï
ý
ï
þ
36
三、测边网函数模型
• 观测值为边长，选定待定点坐标为参数，建立以坐
标改正数表示边长改正数的误差方程
• 在图7-6中，测得待定点j、k间的边长Li，它们的坐
标平差值可表示为：
Xˆ j  X 0j  xˆ j , Yˆj  Y j0  yˆ j ,
Xˆ k  X k0  xˆk , Yˆk  Yk0  yˆ k .
• 边长的平差值方程为：
Lˆi  Li  i 
Xˆ
k
 
2
 Xˆ j  Yˆk  Yˆj

2
按台劳公式展开，得
X 0jk  X k0  X 0j , Y jk0  Yk0  Y j0
S 0jk 
X
0
k
 
2
 X 0j  Yk0  Y j0

2
Li  vi  S 
0
jk
X 0jk
S
0
jk
xˆ
k
 xˆ j 
Y jk0
S
0
jk
yˆ
k
 yˆ j 
37
Li  vi  S 
0
jk
X 0jk
S
0
jk
xˆ
k
 xˆ j 
Y jk0
S
yˆ
0
jk
k
 yˆ j 
再令： l i  Li  S 0jk
则由（7-2-31）式可得测边的误差方程为
vi  
X 0jk
S
0
jk
xˆ j 
Y j0k
S
0
jk
X 0jk
yˆ j 
S
0
jk
xˆk 
Y j0k
S
0
jk
yˆ k  li
（7-2-33）
1. 若某边的两个断点均为未知点，则（7-2-33）为其误差方程；
两端点的x/y坐标改正数的系数分别互为相反数；常数项等于
该边的观测值减去其近似值。
2. 若j为已知点，则：xˆ  yˆ  0
j
vi 
j
X 0jk
S
0
jk
xˆk 
Y jk0
S
3. 若k为已知点，则：xˆk  yˆ k  0
vi  
X 0jk
S 0jk
xˆ j 
0
jk
yˆ k  li
Y jk0
S 0jk
yˆ j  li
4. 某边的误差方程，按jk或kj方向列立的结果相同。
38
例7-5 同精度测得图7-7中的三个边长，L1 = 387.363m, L2 =306.065m, L3 = 354.862m,已
知A、B、C三点的起算数据列于表7-7。试列出误差方程并求平差值。
点
名
坐
标（m）
X
Y
A
2692.201
5203.153
B
2092.765
5132.304
603.608
286
44
26.4
C
2210.593
5665.422
545.984
77
32
13.3
667.562
316
10
25.6
A
方位角
° ′ ″
边长（m）
S
解（1）本题n=3, t=2,选择待定点D的坐标为参数，其近似值由已知点A、B和观测边L1、
L2交会计算得到。图7-8中设h 为ABD底边AB上的高，l 为L1在AB上的投影，得
2
L12  l 2  L22  ( AB  l)2  L22  AB  l 2  2 AB  l
2
L12  AB  L22
l
 348.502
2 AB
h  L12  l 2  169.105
XB  XA
 0.9930882
AB
Y Y
 B A  0.1173758
AB
cosα AB 
sin α AB
39
0
按此，计算待定点 X D  X A  l cosα AB  h sin α AB  2326.259m

的近似坐标为：
YD0  YA  l sin α AB  h cosα AB  5330.184m 
（2）据近似坐标和已知点坐标求出误差方程系数和常数项，组成误差方程。
方 向
j k
X k0  X j
(m)
A D
l=L－S0
(m)
X 0jk
Y jk0
(m)
近似边长S0
(m)
S0
S0
-365.942
127.031
387.363
-0.9447
0.3279
0
B D
233.494
197.880
306.065
0.7629
0.6465
0
C D
115.666
-335.238
354.631
0.3262
-0.9453
0. 231
Yk0  Y j
据（7-2-34）式 xˆ j  yˆ j  0
vi 
写出误差方程
X 0jk
S 0jk
xˆk 
Y jk0
S 0jk
yˆ k  li
 0.9447 0.3279 
 0 


V   0.7629
0.6465  xˆ   0 
 0.3262  0.9453
0.231
xˆ  [ xˆD
yˆ D ]T
40
上次课程主要内容回顾
• 方向观测间接平差函数模型
v jk  zˆ j  a jk xˆ j  bjk yˆ j  a jk xˆk  bjk yˆk  l jk
• 角度观测间接平差函数模型
vi  (a jk  a jh ) xˆ j  (bjk  bjh ) yˆ j  a jk xˆk  bjk yˆk  a jh xˆh  bjh yˆh  li
• 距离观测间接平差函数模型
vi  
X 0jk
S
0
jk
xˆ j 
Y j0k
S
0
jk
yˆ j 
X 0jk
S
0
jk
xˆk 
Y j0k
S
0
jk
yˆ k  li
41
四、拟合模型
• 拟合模型是一种函数逼近型或统计回归模型
• 曲线拟合：由下图的离散点拟合一条直线
yi  a0  a1 xi  a2 xi2  a3 xi3  
vi  aˆ0  aˆ1 xi  aˆ2 xi2  aˆ3 xi3  yi
42
1
2
3
库水位
（m）
105
95
124
形变量
（mm）
2.0
1.5
4.5
例：为了研究大坝形变量与库水位的关
系，现对其进行观测，得到的数据如下
表所示，试计算大坝库水位与坝基沉降
量之间的一元线性回归模型。
答： 依据题意可得观测方程为： 2  105* a  b
2 
105 1
a 
 


设： L  1.5 , B  95 1 , xˆ  b 
 
4.5
124 1

1.5  95* a  b
4.5  124* a  b

35426 324
910.5
则法方程为： 
ˆ
324 3
  x  8





0.11 
ˆ
x

解法方程得：
 8.90


因此，大坝库水位与坝基沉降量之间的一元线性回归模型为： y
 8.90  0.11x
43
• 标准曲线拟合：对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。
• 例：地图数字化中，已知圆上m个点的数字化观测值，设为等权独立观测，
求该圆的曲线方程。
• 由于圆曲线的参数方程为
Xˆ i  Xˆ 0  rˆ cosˆ i 

ˆ
ˆ
Yi  Y0  rˆ sin ˆ i 
ˆ ˆ
式中： ( X 0 , Y0 ) 为圆心坐标，R为半径，这三个参数是圆的基本参数，ˆ i 为
第i点矢径的方位角。所以确定一条圆曲线的必要观测数为t=3+m。在圆周
上观测了n=2m个点的坐标，则r=m-3。


vxi  xˆ0  cos 0r  r 0 sin  i0 i  l xi 


令： Xˆ i  X i  vxi , Yˆi  Yi  v yi 得误差方程


0
0

rˆ  r  r， ˆ i   i   i 
v yi  yˆ 0  sin  0r  r 0 cos i0 i  l yi 



0
0
ˆ
ˆ
X 0  X 0  xˆ0 , Y0  Y0  yˆ 0 

l xi  X i  ( X 00  r 0 cos i0 )  X i  X i0 

0
0
0
0
l yi  Yi  (Y0  r sin  i )  Yi  Yi

44
曲面拟合：曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。将地面视为一个连续
的曲面，则高程可表达为平面坐标的函数，且可用多项式表达为：
H i  a0  a1 xi  a2 yi  a3 xi2  a4 yi2  a5 xi yi  
vi  aˆ0  aˆ1 xi  aˆ2 yi  aˆ3 xi2  aˆ4 yi2  aˆ5 xi yi  H i
45
五、坐标转换模型
• 测绘中经常用到坐标转换，设某点在新旧坐标
系中的坐标分别为：(xi , yi ), ( xi ' , yi ' )
• 为将旧网合理的配合到新网上，需要对旧网的
坐标系加以平移、旋转和尺度因子改正
• 二维新旧坐标系的坐标变换方程为：
xi  x0  xim cosα  yim sin α 

yi  y0  yim cosα  xim sin α 
• 令：a  x0 , b  y0 , c  m cos , d  m sin 
xi  a  xic  yid 

yi  a  yic  xid 
46
3.精度评定
47
一、单位权方差的估值
• 单位权方差与中误差
V T PV V T PV
ˆ 

r
nt
2
0
• 计算VTPV
V T PV
ˆ 0 
nt
1. 直接计算
V T PV  p1v12  p2v22   pnvn2
2. 用常数项计算
V T PV  ( Bxˆ  l )T PV  xˆ T BT PV  l T PV
 l T P( Bxˆ  l )  l T Pl  W T xˆ
48
二、协因数阵
• 间接平差中，基本向量为 Ll , Xˆ  xˆ , V , Lˆ ，已知QLL=Q
• 各基本向量的自协因数阵和两两向量间的互协因数阵
 L   l  L0 
 Xˆ   1 T 
N BB B Pl 



Z

V   Bxˆ  l 

 ˆ 
L
L

V
  

QZZ
QLL
Q
ˆ
  XL
 QVL

QLˆL
QLXˆ
QLV
QXˆXˆ
QXˆV
QVXˆ
QVV
QLˆXˆ
QLˆV
QLLˆ 
QXˆLˆ 
QVLˆ 

QLˆLˆ 
QLL  Q
1 T
1
1
QXˆXˆ  N BB
B PQPBN BB
 N BB
1 T
1 T
QXˆL  N BB
B PQ  N BB
B  QLTXˆ
由前三个式子，按协
1 T
T
QVL  BQXˆL  Q  BN BB
B  Q  QLV
因数传播律得出：
1
1
QVXˆ  BQXˆXˆ  QLXˆ  BNBB
 BN BB
 0  QXˆV
1 T
1 T
1 T
QVV  BQXˆXˆ B T  BQXˆL  QLXˆ B T  Q  BNBB
B  BNBB
B  BNBB
B Q
1 T
 Q  BNBB
B
49
再计算与（7-3-7）式有关的协因数阵，得
1 T
QLˆL  Q  QVL  BN BB
B  QLTLˆ


T
1 T
1
1
QLˆXˆ  Q N BB
B P  QVXˆ  QPBN BB
 0  BN BB
 QXTˆLˆ
QLˆV  QLV  QVV  0  QVTLˆ
1 T
QLˆLˆ  Q  QLV  QVL  QVV  BN BB
B
L
L
Q
Xˆ
V
1
BN BB
1
BN BB
BT  Q
1
N BB
0
Xˆ
1
N BB
BT
V
1
BN BB
BT  Q
0
ˆ
L
1
BN BB
BT
1
BN BB
1
Q  BN BB
BT
0
ˆ
L
1
BN BB
BT
1
N BB
B
0
1
BN BB
BT
50
三、参数函数的中误差
• 在间接平差中，解算法方程求得的是t个
参数后，便可来计算观测量的平差（最
或然值）。如在图7-10中水准网中，已
知A点的高程为HA。若平差时选定P1、P2、
P3点的高程平差值作为参数，则在求得参
数后，即可求出各观测高差的平差值。
例如P3P2路线高差的平差值为
Lˆ5  Xˆ 2  Xˆ 3
P1 P3路线的高差平差值为
Lˆ4  Xˆ 1  Xˆ 3
51
在图7-5中，求得D点坐标平差值后，即可计算任何一边的边长
或坐标方位角的平差值。如AD边长和坐标方位角的平差值分别
为：
Sˆ AD  ( Xˆ D  Xˆ A ) 2  (YˆD  YˆA ) 2 ,
aˆ AD
YˆD  YˆA
 arctan
Xˆ D  Xˆ A
综上所述，在间接平差中，任何一个平差值都可以由平差所选
参数求得，或者说都可以表达为参数的函数。
假定间接平差问题有t个参数，设参数的函数为：


ˆ   Xˆ 1 , Xˆ 2 ,, Xˆ t ,
为求函数的中误差，需要对上式进行全微分：
dˆ  f1dXˆ 1  f 2 dXˆ 2    f t dXˆ t
或：
dˆ  f1 xˆ1  f 2 xˆ2    f t xˆt
 
fj 
 Xˆ
 j



0
52
当平差函数为线性函数时，其函数式为：
ˆ  f1 Xˆ 1  f 2 Xˆ 2    f t Xˆ t
T
  f1 , f 2 ,  , f t 
令： F
1t
ˆ
则： dˆ  F T X
1
Qˆˆ  F T QXˆXˆ F  F T N BB
F
ˆ
设有函数向量： m
,1
ˆ
dˆ  F T dX
m ,1
m,t
即计算m个参数平差值函数的精度，其协因阵为
1
Qˆˆ  F T QXˆXˆ F  F T N BB
F
mm

1
D ˆˆ  ˆ 02Qˆˆ   02 F T N BB
F

m,m
53
例7-6 在图7-11中，A、B为已知水准点，高程分别为
HA、HB，设无误差，各路线长度为S1=4km, S2=2km,
S3=2km, S4=4km。试求P1和P2点高程平差值的协因数。
解：选取P1和P2点的高程为平差参数，组成误差方程为
v1  Xˆ 1  H A  h1  xˆ1  (  X 10  H A  h1 )  xˆ1  l1 

v2   Xˆ 1  Xˆ 2  h2   xˆ1  (X10  Xˆ 2  h2 )   xˆ1  xˆ2  l2 

v3   Xˆ 1  Xˆ 2  h3   xˆ1  (X10  Xˆ 2  h3 )   xˆ1  xˆ2  l3 
v4  H B  Xˆ 2  h4   xˆ2  (X 20  H B  h4 )   xˆ2  l4 
 v1   1 0 
 l1 
v   1 1  xˆ
l 


 2  
 1   2
v3   1 1   xˆ2  l3 
  
 

v
0

1

 4 
l4 
令C=4，即4km观测高差的权为1，则观测值权阵为：
法方程：
4
4
ˆ1  W1 
- 4  x
5


 P1 
1 0 0 0
  W   0
-4
x
4

ˆ
5

 2   2 
P 
0 2 0 0 


 2  2

P


 P3 
0 0 2 0 
4
协因数阵：

 


1
0 0 0 1 
 P4   2 
5
4


0.56 0.44 
4
Q


- 4 5 
0.44 0.56 
 
XˆXˆ




4
54
例7-7 测角网如图7-5,在例7-4中已求得参数和观测值的平差
值，现要求平差后D点坐标、DA边坐标方位角和边长的协因
数及中误差。
解：（1）列出DA边坐标方位角的权函数式
αˆ DA  arctan
YA  YˆD
X A  Xˆ D
全微分得权函数式
δαˆ DA
0
0
ρΔYDA
ρΔX DA
 0 2
xˆ D  0 2
yˆ D
(SDA ) 10
(SDA ) 10
式中ˆ DA 的单位为秒，xˆD , yˆ D 的单位为分米，将例7-4中的数据代入，权函数式为
δαˆ DA  4.22xˆD  1.04yˆ D
为坐标方位角改正数方程，故可将坐标方位角改正数方程作为坐标方位角的权函
数式。
55
例7-7 测角网如图7-5,在例7-4中已求得参数和观测值的平差
值，现要求平差后D点坐标、DA边坐标方位角和边长的协因
数及中误差。
解：（2）列边长的权函数式
已知 Sˆ DA 
X
 
ˆ 2  Y  Yˆ

X
A
D
A
D

2
全微分得权函数式
已知
0
0
ΔX DA
ΔX DA
ˆ
δS DA   0
xˆD  0
yˆ D
S DA 10
S DA 10
dSˆDA  0.02 xˆD  0.10 yˆ D
（3）计算协因数
ˆ
ˆ
权函数式 dˆ  d DA    4.22 1.04  x D 
 dSˆ   0.02 0.10  yˆ 
 D 
 DA  
其协因数为
Qˆˆ
 4.22 1.04 QXˆ D Xˆ D

 Q
0
.
02
0
.
10

  YˆD Xˆ D
QXˆ Yˆ   4.22 0.02
D D
QYˆ Yˆ   1.04 0.10
D D 
56
例7-4中法方程系数为
 114.84  25.53
N BB  

 25.53 86.57 
1
QXˆXˆ
QXˆ D Xˆ D

 QYˆD Xˆ D
Qˆˆ
 0.1553  0.0006 Qαˆαˆ

  Q

0
.
0006
0
.
00014

  Sˆαˆ
则有
 114.84  25.53
0.0093 0.0027
ˆ 
DYD



QYˆ Yˆ   25.53 86.57 
0
.
0027
0
.
0124


D D 
QXˆ
QαˆSˆ 

QSˆSˆ 
（4）计算单位权中误差
V T PV
V TV
11.39
ˆ 0 


 1.7
nt
nt
4
（5）计算 Xˆ D、Yˆ D、ˆ DA、Sˆ DA 的中误差
σˆ Xˆ
D
 σˆ 0
σˆYˆ  σˆ 0
D
σˆ αˆ DA  σˆ 0
σˆ Sˆ
DA
 σˆ 0
Q Xˆ
QYˆ
ˆ
DXD
ˆ
D YD
 1.7 0.0093  0.16dm
 1.7 0.0124  0.19dm
Qαˆαˆ  1.7 0.1553  0.67
QSˆSˆ  1.7 0.00014  0.02dm
σˆ αˆSˆ  σˆ 02QαˆSˆ  1.7 2 ( 0.0006)  0.0173
57
上次课程主要内容回顾
• 拟合模型
• 坐标转换
• 精度评定
• 参数函数的中误差计算
作业：
7.2.18/19/21，7.3.31/40
58
4.间接平差公示汇编和水准网
平差示例
59
一、公示汇编
间接平差的函数模型和随机模型是
误差方程为： V  Bxˆ  l
Lˆ  L  V  BXˆ  d
D   2Q   02 P 1

l  L  L0  L  BX 0  d
法方程为：

B T PBxˆ  B T Pl  0
其解为


1
1
xˆ  B PB B T PBl  N BB
W
T
观测量和参数的平差值： Lˆ  L  V , Xˆ  X 0  xˆ
单位权中误差：
平差参数的协方差阵：
权函数式：
V T PV
V T PV
ˆ 0 

r
nt
1
DXˆXˆ   02 Q XˆXˆ   02 N BB
dˆ  ˆ  F T xˆ
（7-1-1）
（7-1-5）
（7-1-4）
（7-1-3）
（7-1-9）
（7-1-11）
（7-1-13）
（7-3-2）
（7-3-16）
（7-3-13）
协因数阵：
1
Qˆˆ  F T QXˆXˆ  F T N BB
F
（7-3-14）
方差：
Dˆˆ   02Qˆˆ
（7-3-17）
60
例7-8 见图5-14所示的水准网，按间接平差求：
（1）各待定点的高程平差值；
（2）C至D点的高差平差值的中误差；
（3）待定点C、D高程平差值的中误差。
路
线
号
观测
高差
(m)
路线
长
(km)
已知
高程
(m)
1
+1.359
1.1
2
+2.009
1.7
HA=5.016
HB=6.016
3
+0.363
2.3
4
+1.012
2.7
5
+0.657
2.4
6
+0.238
1.4
7
-0.595
2.6
解:(1)设C/D/E三点的高程为未知参数，其近似值为：
X 10  H A  h1  5.016 1.359  6.375
X 20  H A  h2  5.016 2.009  7.025
X 30  H A  h1  h6  5.016 1.359 0.238  6.613
误差方程为：
v1  xˆ1  0
v2  xˆ 2  0
v3  xˆ1  4
v4  xˆ 2  3
v5   xˆ1  xˆ 2  7
v6   xˆ1  xˆ3  0
v7   xˆ3  2
 v1   1 0
v   0 1
 2 
 v3   1 0
  0 1
v4  
 v5    1 1
v  
 6   1 0

v7 
 
 0 0
0
0 
0 
0

 
0   xˆ1   4

 
0   xˆ 2   3 
 
0 
 xˆ3 
 7 

 
1
0 
2
 1

 
61
例7-8 见图5-14所示的水准网，按间接平差求：
（1）各待定点的高程平差值；
（2）C至D点的高差平差值的中误差；
（3）待定点C、D高程平差值的中误差。
路
线
号
观测
高差
(m)
路线
长
(km)
已知
高程
(m)
1
+1.359
1.1
2
+2.009
1.7
HA=5.016
HB=6.016
3
+0.363
2.3
4
+1.012
2.7
5
+0.657
2.4
6
+0.238
1.4
7
-0.595
2.6
(2)法方程
以1公里的观测高差为单位权观测值，各观测值相互
独立，pi=1/si，权阵为
0.91



0
.
59




0.43

P
0.37




0.42


0.71


0
.
38


  1.18 

W  B T Pl  
 4.03 

  0.77

N BB
 2.47  0.42  0.71

 B T PB  
  0.42 1.38 0


1.10 
  0.71 0

62
法方程： 2.47
  0.42


  0.71
 0.42
1.38
0
 0.71  xˆ1   1.18 
  xˆ   4.03   0
0
 2  





ˆ
1.10 

0
.
77
x
 3  

 0.243
 ( m m)
1
xˆ  N BB
W  
2
.
855





0
.
858


（3）计算V
V  Bxˆ  l  [0.2 2.9  4.2  0.1  3.9  0.6  1.1]T

L  L  V  [1.359 2.012 0.359 1.012 0.653 0.237  5.596]T (m)
（4）精度评定
σˆ 0 
T
V PV
19.75

 2.2mm
n t
4
C、D点高程的中误差
1
QXˆXˆ  N BB
0.53 0.16 0.35
 0.16 0.78 0.10
0.35 0.10 1.13 
σˆ C  σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ Xˆ  2.2 0.53  1.6m m ,
1
1
1
σˆ D  σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ
ˆ
2
2X2
 2.2 0.78  1.9m m
C至D点高差平差值 的中误差
 Xˆ 1 
ˆ
ˆ
ˆ
h5  X 2  X 1   1 1 
ˆ
X2
0.53 0.16  1
Qˆˆ  F QXˆXˆ F  -1 1
 0.98



0.16 0.78 1 
T
 hˆ   ˆˆ  σˆ 0 Qˆˆ  2.2 0.98  2.2mm
5
63
5.间接平差特例-直接平差
64
直接平差
• 直接平差：对同一未知量进行多次直接观测，直接求该量的平差值并
评定度，称为直接平差。是间接平差中只有一个未知参数的特殊情况。
P
ˆ 进行n次不同精度观测，观测值为 L
设对未知量 X
n1 ，权阵为 nn ，且为对角
阵，其元素 pi 为 Li 的权，其误差方程为
vi  Xˆ  Li
即
T
V  1 1  1 Xˆ  L1
法方程为 B PBXˆ  B Pl 
T
T
n
T
n
 p Xˆ   p L
i 1
解得加权平均值
 Ln 
L2
i
i 1
i
i
0
n
Xˆ 
pL
i 1
n
i
p
i 1
i
i
65
单位权中误差：
V T PV
V T PV
σˆ 0 

n-t
n-1
协因数：
1
QXˆXˆ  N BB
 (BT PB)1 
1
n
p
i
i 1
加权平均值的权：
n
p Xˆ   pi
i 1
加权平均值的中误差：
ˆ Xˆ  ˆ 0 QXˆ Xˆ  ˆ 0
1
n
p
i 1
观测值的中误差：
σˆ Li  σˆ 0
1
pi
i
等权情况：
V TV
σˆ 0 
n-1
σˆ Xˆ  σˆ 0 / n
66
6.三角网坐标平差
67
三角网
• 三角网坐标平差：在三角网中，以角度或以方向值为观测值，以待定
点坐标为未知参数的间接平差称为三角网坐标平差。
• 测角三角网以角度为单位权观测值，测方向三角网以方向值为单位权
观测值。
• 必要的起算数据：两个已知点坐标，或一点坐标、一边边长和方位角。
起算数据是平差的基准。
• 自由网：三角网的起算数据与必要的起算数据相等。
• 附合网：三角网的起算数据大于必要的起算数据。
68
• 例7-9 设有一测角三角网，如图7-12所示，A、
B、C、D是已知点，P1、P2是待定点，同精度
观测了18个角度。试按间接平差法求待定点
平差后的坐标值及其中误差。已知数据和观
测数据见表7-11和表7-12。
表7-11
点 名
坐
标（m）
边 长
（m）
坐标方位角
° ′ ″
X
Y
A
9684.28
43836.82
B
10649.55
31996.50
11879.60
274 39 38.4
C
19063.66
37818.86
10232.16
34 40 56.3
D
17814.63
49923.19
12168.60
95 53 29.1
10156.11
216 49 06.5
A
69
• 例7-9 设有一测角三角网，如图7-12所示，A、
B、C、D是已知点，P1、P2是待定点，同精度
观测了18个角度。试按间接平差法求待定点
平差后的坐标值及其中误差。已知数据和观
测数据见表7-11和表7-12。
表7-12
角度
编号
观 测 值
° ′ ″
角度
编号
观 测 值
° ′ ″
角度
编号
观 测 值
° ′ ″
1
126 14
24 .1
7
22
02 43.0
13
46
38
56.4
2
23
39
46.9
8
130
03
14.2
14
66
34
54.7
3
30
05 46.7
9
27
53
59.3
15
66 46
08.2
4
117
22
10
65
55
00.8
16
29
58
35.5
46.2
5
31 26 50.0
11
67
02
49.4
17
120
08
31.1
6
31 10 22.6
12
47
02
11.4
18
29
52
55.4
70
解：1、t=4,设待定点的坐标为参数，用前方交
会计算待定点的近似坐标，用坐标反算计算各
边的近似坐标方位角。
X A cot LB  X B cot LA  YB  YA 

cot LA  cot LB
YA cot LB  YB cot LA  X B  X A 
0

Yp 

cot LA  cot LB
X p0 
A、B代表前方交会的
两已知点，还可用其
他方法计算。
算得待定点近似坐标为 X10  13188.61m,X20  15578.61m,Y10  37334.97m,Y20  44391.03m
方向
近似坐标方位角
° ′ ″
方向
近似坐标方位角
° ′ ″
P1 A
118
19
24.7
P2 A
185 22
17.0
P1 B
244
33
48.6
P2 C
297
56
09.0
P1 C
4
42
30.4
P2 D
67
59
31.7
P 1 P2
71
17 16.6
71
2、计算各边坐标方位角改正数系数
δαjk  a jk xˆ j  b jk yˆ j  a jk xˆk  b jk yˆ k
a jk 
ρΔY jk0
0 2
jk
(S )

ρ sin α 0jk
S
bjk  
0
jk
ρΔX 0jk
0 2
jk
(S )
y0
(m)
x0
(m)
(S0)2
(m2)
P1 A
6502
-3504
P1 B
-5338
P1 C
方向

ρ cosα 0jk
S 0jk
v= 系 数（秒/dm)
(a)
(b)
(a)
(b)
5455×104
2.46
1.32
-2539
3495×104
-3.15
1.50
484
5875
3475×104
0.29
-3.49
P1 P2
7056
2390
5550×104
2.62
-0.89
-2.62
0.89
P2 A
-554
-5894
3505×104
-0.33
3.47
P2 C
-6572
3485
5534×104
-2.45
-1.30
P2 D
5532
2236
3560×104
3.20
-1.30
72
3、计算角度观测值的误差方程系数和常数项
 Y 0
 X 0
Y jh0 
X 0jh 
Y j0k
X j0k
Y j0h
X 0jh
jk
jk


v j   

xˆ   

yˆ   
xˆ   
yˆ   
xˆ 
yˆ h  l j
0 2 k
0 2 k
0 2 h
0 2
 S0 2 S0 2  j
 S0 2 S0 2  j
S jk
S jh
S jk
S jh
jh
jh
 jk

 jk

   
   
 
 
 
 
l j  L j  (α0jk  α0jh )  L j  L0j
系 数
a
b
c
d
常 数
改正数
参 数
xˆ 1
ˆy 1
xˆ 2
ˆy 2
－l
v
－0.1030
2.3208
－1.2069
－0.5348
1
－5.61
0.18
－0.2
0.8
2
2.46
1.32
－0.6
2.2
3
3.15
－1.50
3.1
－0.7
角 号
4
－3.53
4.77
－0.9
0.8
5
0.33
－3.47
－0.5
1.0
6
3.20
－1.30
2.6
－0.6
7
－2.45
－1.30
－3.1
0.5
8
5.65
0
8.5
1.7
9
－3.20
1.30
－1.9
1.3
10
2.62
－0.89
－2.29
－2.58
－1.2
0.6
11
－2.46
－1.32
－0.33
3.47
2.9
－1.4
12
－0.16
2.21
2.62
－0.89
－3.3
－3.3
13
－2.62
0.89
0.17
－2.19
－4.0
－4.0
14
2.33
2.60
－2.60
0.89
－8.5
－8.5
15
0.29
－3.49
2.45
1.30
13.2
13.2
16
－ 0.29
3.49
－9.6
－9.6
17
3.44
－4.99
10.7
10.7
18
－ 3.15
1.50
－3.1
－3.1
73
4、组成法方程，计算系数阵的逆阵（P为单位矩阵）
 94.61  22.11  11.45  6.96   xˆ1    43.52 
 22.11 70.51  6.95  8.42   yˆ   178.81 

 1   

 11.45  6.95 96.09  20.21  xˆ2   120.11

  

ˆ
y

6
.
96

8
.
42

20
.
21
66
.
63

30
.
07

 2  

1
N BB
 0.0121
0.0044

0.0023

0.0025
0.0044
0.0161
0.0024
0.0032
0.0023
0.0024
0.0117
0.0041
0.0025
0.0032
0.0041

0.0169
 xˆ1 
  0.1030
 yˆ 
 2.3208 
1
1
 (dm)
xˆ     N BB
W 
 xˆ 2 
  1.2069
 


ˆ
y

0
.
5348


 2
5、计算平差值
（1）坐标平差值
 Xˆ 1   X 10   xˆ1  13188.61
  0.1030
13188.60
 ˆ   0   





 Y1    Y1    yˆ1   37334.97(m )  2.3208 (dm )  37335.19(m )
 Xˆ   X 20   xˆ2  15578.61
  1.2069
15578.49
 2  0    





 Yˆ2   Y2   yˆ 2   44391.03
 0.5348
44390.98
（2）观测值的平差值：
V  Bxˆ  l
见表7-16
ˆ
L  L V
74
6、评定精度
（1）计算单位权中误差——测角中误差
V T PV
22.28
σˆ 0 

 1.3
n-t
18-4
（2）计算待定点的坐标中误差
 0.0121
0.0044

0.0023

0.0025
1
QXˆXˆ  N BB
σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ Xˆ ,
i
i
i
0.0044
0.0161
0.0024
0.0032
0.0023
0.0024
0.0117
0.0041
0.0025
0.0032
0.0041

0.0169
σˆYˆ  σˆ 0 QYˆ Yˆ
i
i i
σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ Xˆ  1.3 0.0121 0.14dm, σˆYˆ  σˆ 0 QYˆ Yˆ  1.3 0.0161 0.16dm
1
1
1
1
1 1
σˆ P1  0.142  0.162  0.21dm
σˆ Xˆ  σˆ 0 QXˆ
2
ˆ
2X2
 1.3 0.0117  0.14dm, σˆYˆ  σˆ 0 QYˆ Yˆ  1.3 0.0169  0.17dm
2
2 2
σˆ P2  0.142  0.172  0.22dm
75
上次课程主要内容回顾
• 公式汇编
• 水准网平差
• 直接平差
• 三角网坐标平差
作业：
7.4.45/46，7.6.53
76
7.测边网坐标平差
77
测边网坐标平差
• 测边网坐标平差：在三角网中，以边长为观测值，以待定点坐标为未
知参数的间接平差称为测边网坐标平差。
• 边长观测值的权：
σ 02
pSi  2
σ Si
(i  1,2 , ,n)
• 单位权方差任意选定，边长测量方差一般按厂方给定的测距仪的标称
精度确定，即
σ Si  a  bSi
• 式中a为固定误差，b为比例误差(ppm),Si 以公里为单位的边长。
78
• 例7-10 测边网如图7-13,A、B、C、D为已知
点，P1、 P2、 P3、 P4为待定点，用某测距
仪测了13条边，标称精度为3mm+1ppm。起算
数据和观测数据列于下列表中。试按间接平
差法求待定点的坐标平差值及其中误差。
点
名
坐标（m）
X
Y
A
53743.136
61003.826
B
47943.002
66225.854
C
40049.229
53782.790
D
36924.728
61027.086
边长
(m)
7804.558
7889.381
方位角
°′″
138 00 08.6
113 19 50.8
编号
观测值
编号
观测值
编号
观测值
1
5760.706
6
8720.162
11
5487.073
2
5187.432
7
5598.570
12
8884.587
3
7838.880
8
7494.881
13
7228.367
4
5483.158
9
7493.323
5
5731.788
10
5438.382
79
1、计算待定点的近似坐标
2
L12  AB  L22
l
, h  L12  l 2
2 AB
X  XA
Y  YA
cos α AB  B
, sin α AB  B
AB
AB
X D0  X A  l cos α AB  h sin α AB
YD0  YA  l sin α AB  h cos α AB
由已知点A、B及观测值L1、 L2计算P1的近似坐标；由点P1 、 A 及观测值L3、 L4计算P2
的近似坐标；由点P1 、 P2 及观测值L10、 L5计算P3的近似坐标；由点P1 、 P3 及观测值
L9、 L12计算P4的近似坐标。其结果为
X 10  48580.270m
Y10  60500.505m
X 20  48681.390m
Y20  55018.279m
X 30  43767.223m
Y30  57968.593m
X 40  40843.219m
Y40  64867.875m
80
2、计算误差方程的系数及常数项
vi  
X 0jk
S
0
jk
xˆ j 
Y j0k
S
0
jk
yˆ j 
X 0jk
S
0
jk
xˆk 
Y j0k
S
0
jk
yˆ k  li
li  Li  S 0jk
边号
方向
X0（m）
Y0（m）
S0（m）
a=- X0/S0
b=- Y0/S0
l =L-S0(dm)
1
P1 B
-637.268
5725.349
5760.70583
0.1106
-0.9939
0.0017
2
P1 A
5162.866
503.321
5187.34203
-0.9953
-0.0970
-0.0003
3
P2 A
5061.746
5985.547
7838.88037
-0.6457
-0.7636
-0.0037
4
P2 P1
-101.120
5482.226
5483.15850
0.0184
-0.9998
-0.0050
5
P2 P3
-4914.167
2950.314
5781.78768
0.8574
-0.1547
0.0032
6
P2 C
-8632.161
-1235.489
8720.12824
0.9899
0.1417
0.3376
7
P3 C
-3717.994
-4185.803
5598.60930
0.6641
0.7477
-0.3930
8
P3 D
-6842.495
3058.493
7494.93944
0.9129
-0.4081
-0.5844
9
P3 P4
-2924.004
6899.282
7493.32313
0.3902
-0.9207
-0.0013
10
P3 P1
4813.047
2531.912
5438.38209
-0.8850
-0.4656
-0.0009
11
P4 D
-3918.491
-3840.789
5486.91460
0.7142
0.7000
1.5840
12
P4 P1
7737.051
-4367.370
8884.58659
-0.8708
0.4916
0.0041
13
P4 B
7099.783
1357.979
7228.48709
-0.9822
-0.1879
-1.2009
由上表可以列误差方程，见表7-19
81
3、计算观测值的权
σ 02 102
pS i  2  2
σ Si σ Si
σ Si  a  bSi  3m m 1m m Si(km)
边号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
σ(mm)
8.8
8.2
10.8
8.5
8.7
11.7
8.6
10.5
10.5
8.4
8.5
11.9
10.2
pi
1.29
1.49
0.86
1.38
1.32
0.73
1.35
0.91
0.91
1.42
1.38
0.71
0.96
4、组成法方程
BT PBxˆ  BT Pl
编
号
a xˆ 1
b ˆy 1
-0.0079
a
3.1428
b
c
d
e xˆ 3
f ˆy 3
g xˆ 4
h ˆy 4
0.0373
-0.3286
0.1305
1.0316
1.0289
-0.0005
0.0254
-1.1122
-0.5851
-0.5384
0.3039
0.0022
0.0254
-1.3794
-0.5851
-0.3078
0.3039
-0.1716
-0.0111
2.0447
-0.2863
-0.9704
0.5825
0
0
0.2495
2.2452
0.5825
-0.3497
0
0
-0.0278
3.5749
0.0070
-0.1386
0.3269
-0.8408
2.3352
0.3269
-0.7714
-0.1758
2.3070
0.2362
2.6914
1.6531
1.7471
c xˆ 2
d ˆy 2
-0.0779
-0.0650
0.2578
3.1472
对
e
f
称
g
h
解算法方程
-1
xˆ  (BT PB)-1BT Pl  N BB
BT Pl
BT Pl
结果见表中红色数字
82
1
NBB
(QXˆXˆ )
(Xˆ 1 )
(Xˆ 1 )
0.4187
(Yˆ1 )
(Yˆ1 )
(Xˆ 2 )
(Yˆ2 )
(Xˆ 3 )
-0.0530
0.0681
-0.0708
0.1683
0.0093
0.1267
-0.1295
0.5089
-0.0169
0.3432
-0.0142
0.1822
-0.1233
0.1680
0.6524
-0.0186
0.2177
-0.2190
0.0797
-0.1709
0.7174
-0.1102
0.2192
-0.1188
0.1897
0.4274
-0.1045
0.1002
-0.1805
0.6297
-0.1658
0.3850
0.5302
-0.2090
(Xˆ 2 )
(Yˆ2 )
(Xˆ 3 )
(Yˆ3 )
(Xˆ 4 )
(Yˆ4 )
(Yˆ3 )
(Xˆ 4 )
(Yˆ4 )
0.8914
5.平差值计算
（1）坐标平差值
Xˆ 1  X 10  xˆ1  48580.269m
Xˆ  X 0  xˆ  48681.384m
Yˆ1  Y10  yˆ1  60500.497m
Yˆ  Y 0  yˆ  55018.283m
Xˆ 3  X 30  xˆ3  43767.190m
Xˆ 4  X 40  xˆ 4  40843.322m
Yˆ3  Y30  yˆ 3  57968.606m
Yˆ4  Y40  yˆ 4  64867.978m
2
2
2
2
2
2
（2）边长平差值（表7-19）
Lˆ  L  V
83
6、评定精度
VT PV
0.658
ˆ



 0.36dm
（1）单位权中误差
0
nt
13  8
（2）待定点坐标平差值的中误差
1
N BB
( QXˆ Xˆ )
ˆ )
(X
1
ˆ )
(X
1
0.4187
(Yˆ1 )
ˆ )
(X
2
(Yˆ 2 )
(Yˆ 3 )
ˆ )
(X
4
(Yˆ4 )
0.1683
0.0093
0.1267
-0.1295
0.3432
-0.0142
0.1822
-0.1233
0.1680
-0.0186
0.2177
-0.2190
0.0797
-0.1709
0.7174
-0.1102
0.2192
-0.1188
0.1897
0.4274
-0.1045
0.1002
-0.1805
0.6297
-0.1658
0.3850
0.5302
-0.2090
(Yˆ1 )
ˆ )
(X
2
(Yˆ 2 )
-0.0530
0.0681
-0.0708
0.5089
-0.0169
0.6524
ˆ )
(X
3
( Xˆ 3 )
(Yˆ 3 )
ˆ )
(X
4
(Yˆ4 )
0.8914
σˆ Xˆ  0.36 0.4187  0.23dm , σˆYˆ  0.36 0.5089  0.26dm ,
σˆ P1  0.35dm
σˆ Xˆ  0.36 0.6524  0.29dm , σˆYˆ  0.36 0.7174  0.30dm ,
σˆ P2  0.42dm
σˆ Xˆ  0.36 0.4274  0.24dm , σˆYˆ  0.36 0.6297  0.28dm ,
σˆ P3  0.37dm
σˆ Xˆ  0.36 0.5302  0.26dm , σˆYˆ  0.36 0.8914  0.34dm ,
σˆ P4  0.43dm
1
2
3
4
1
2
3
1
84
8.导线网间接平差
85
导线网
• 边角网有两类观测元素，即边长观测值和角度观测值。边角网又分为
边角同测或测边网中测部分角度，或者测角网中部分测边。导线网属
于边角同测网。
一、函数模型
• 导线网的坐标平差中有角度观测的误差方程和边长观测的误差方程，
角度的误差方程与测角网坐标平差的误差方程相同，边长的误差方程
与测边网坐标平差的误差方程相同。
0 
0 
 Y 0
 X 0

Y

X
jk
jh
jk
jh 
 xˆ   
vi   


yˆ
0 2 j
0 2
0 2  j
 S0 2

S jh 
S jh 
 jk
 S jk
Y jk0
X jk0
Y jh0
X 0jh
  
xˆ   
yˆ   
xˆ   
yˆ h  li
0 2 k
0 2 k
0 2 h
0 2
S jk
S jh
S jk
S jh
   
 
vS i  
X 0jk
S
0
jk
   
 
xˆ j 
Y j0k
S
0
jk
yˆ j 
 
X 0jk
S
0
jk
xˆk 
 
Y j0k
S
0
jk
yˆ k  li
86
角度误差方程：
v 3  (aEG  aED ) xˆ E  (bEG  bED ) yˆ E
 aEG xˆG  bEG yˆ G  aED xˆ D  bED yˆ D  l 3
l3   3   30
v8  aCH xˆ H  bCH yˆ H  l8
l3   8   80
边长误差方程：
0
0
X AD
YAD
vS1  0 xˆ D  0 yˆ D  lS1
S AD
S AD
lS1  S1  S10
0
0
0
0
X DE
YDE
X DE
YDE
vS 2   0 xˆ D  0 yˆ D  0 xˆ E  0 yˆ E  lS 2
S DE
S DE
S DE
S DE
lS 2  S 2  S 20
87
二、随机模型
• 确定边、角两类观测元素的随机模型，主要是为了确定两类观测值的
权比问题。但导线网中各边长和各角度都是独立观测的，因此随机模
型中的权阵是对角阵。
D  σ02Q  σ02 P1
• 设网中有n1个角度观测值，有n2个边长观测值，观测总数n=n1 +n2,则
权阵为

P  diag p β1 ,pβ2 , ,pβn ,pS1 ,pS1 , ,pS n
nn
 p β1







 0
1
2

p βn
1
pS1


0 


  Pβ
   n1n1
  0
 

pS n2 

0

PS 
n 2 n2 

88
确定观测值的权阵P，须已知观测值的先验方差D，

D  diag σ β21 , ,σ β2n ,σ S21 , ,σ S2n
nn
1
2

（1）单位权方差的确定
导线测量中，各角度为等精度观测，即  1    2      n    ，定权时一般令
1
 
2
0
2
即测角中误差为单位权中误差，则有
σ 02
p βi  2  1 ,
σβ
2
σ 02 σ β
pSi  2  2
σ Si σ Si
（7-8-7）
（2）先验方差的确定：先验方差一般采用厂方给定的测角、测距仪器的标称精度
或者经验数据确定，目的是为了定权。
（3）边角网中权的单位：边角网中 角度的权无量纲，边长的权的单位为秒2/m2
（或秒2/mm2 等）。
89
例7-11 如图7-14所示的结点导线，观测了10个角度和
7条边长，起算数据和观测数据列于表中。试按间接平
差法求各导线点的坐标平差值及其点位精度。
点
名
坐
X
Y
A
11768.714
8419.242
A=274 23 34
B
10878.302
8415.114
B= 8
10
27
C
11101.949
8017.572
C=107
41
27
角
号
角度观测值
° ′ ″
角
号
1
86
43
6
123
09
2
182
22
43
7
131
3
188
59
57
4
5
16
115 23 37
176
33
43
角度观测值
° ′ ″
标（m）
坐标方位角
° ′
″
边
号
边长观测值
(m)
边
号
边长观测值
(m)
05
1
221.650
6
151.480
27 46
2
195.843
7
187.751
8
165 40 29
3
229.356
9
165 59 58
4
189.781
10
113 08 37
5
98.163
90
解：n=17,t=5×2=10。选定待定点的坐标平差值为参数，即

Xˆ  Xˆ D
YˆD
Xˆ E
YˆE
Xˆ F
YˆF
Xˆ H
YˆH
Xˆ G
YˆG

T
1、计算待定点的近似坐标
首先推算各边的近似坐标方位角，然后推算各边的近似
坐标，再据近似坐标推算近似边长和近似坐标方位角，
见p143表7-25。G点的近似坐标取为
X G0  11127.716m,
YG0  8353.334m
2、计算各边坐标方位角改正数方程的系数
a jk 
ρΔY jk0
(S 0jk )2
b jk  

ρΔX 0jk
(S 0jk )2
ρ sin α 0jk
结果见表7-25
S 0jk

ρ cosα 0jk
S 0jk
3、确定角和边的权
设σ0=10″
σ 02
pβ  2  1
σβ
σ 02
100
pSi  2 
(秒 2 /mm 2 )
σ Si S i(m)
各观测值的权列于表7-26中（p144).
91
4、计算角度和边长误差方程系数和常数项（表7-26）
v 3  (aEG  aED ) xˆ E  (bEG  bED ) yˆ E
 aEG xˆG  bEG yˆ G  aED xˆ D  bED yˆ D  l 3
l3   3   30
v8  aCH xˆ H  bCH yˆ H  l8
l3   8   80
0
0
X AD
YAD
vS1  0 xˆ D  0 yˆ D  lS1
S AD
S AD
lS1  S1  S10
0
0
0
0
X DE
YDE
X DE
YDE
vS 2   0 xˆ D  0 yˆ D  0 xˆ E  0 yˆ E  lS 2
S DE
S DE
S DE
S DE
lS 2  S 2  S 20
5、组成法方程、解算法方程（表7-26）
B T PBxˆ  B T Pl  0
1
xˆ  N BB
W
92
6、计算平差值
Xˆ  X 0  xˆ
（1）计算坐标平差值
（2）计算观测值的平差值
V  Bxˆ  l
Lˆ  L  V
7、精度评定
（1）单位权中误差（测角中误差）
VT PV
1113.9
ˆ 0 

 12.6
r
17  10
（2）待定点点位中误差
1
QXˆXˆ  NBB
QX D  1.4634,QYD  0.5294,QX E  1.4956,QYE  1.1212,
QX F  0.9233,QYF  0.3305,QX H  0.2708,QYH  1.1182
QX G  0.6597,QYG  1.2079.
σˆi  σˆ 0 Qii
σˆ D  σˆ X2 D  σˆY2D  12.6 1.4634 0.5294  17.7 m m
σˆ E  σˆ X2 E  σˆY2E  12.6 1.4956 1.1212  20.4m m
σˆ F  σˆ X2 F  σˆY2F  12.6 0.9233 0.3305  13.7 m m
σˆ H  σˆ X2 H  σˆY2H  12.6 0.2708 1.1182  14.8m m
σˆ G  σˆ X2 G  σˆY2G  12.6 0.6597 1.2079  17.2m m
93
作业
• 7.7.58
• 7.8.61
• 7.10.65
• 7.10.69
94