Slide 1 - Toegepaste statistiek voor de gedragswetenschappen

Transcript Slide 1 - Toegepaste statistiek voor de gedragswetenschappen

STATISTIEK II

Hoofdstuk 3: Betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetoetsing

Vanhoomissen & Valkeneers, hoofdstuk 3

PREVIOUSLY ON STATISTIEK II

• • • • • In wetenschappelijk onderzoek vertrekken we vanuit een onderzoeksvraag waaruit wordt afgeleid wat de populatie is en wat de onderzoekseenheden zijn. Om die vraag te beantwoorden verzamelen we data in de vorm van steekproeven omdat de hele populatie vaak moeilijk te onderzoeken is. Die steekproeven worden volgens bepaalde regels getrokken.

Om via de verzamelde data de onderzoeksvraag te beantwoorden hebben we kansberekeningen nodig: kansen stellen ons in staat om te beslissen of een observatie heel uitzonderlijk is of eerder heel gewoon. Om kansen te berekenen maken we gebruik van kansverdelingen: theoretische verdelingen van mogelijke waarden en bijhorende kansen van een variabele. In de psychologie wordt de normale verdeling vaak gebruikt, aangezien veel kenmerken van mensen als normaal verdeeld in de populatie worden beschouwd.

Omdat voor elk kenmerk een normale verdeling met een ander gemiddelde en standaarddeviatie geldt, is het onmogelijk om voor elke verdeling de exacte kansen te kennen. Daarom herleiden we die normale verdeling naar een standaardnormale verdeling door z-scores te berekenen. Daarna kunnen we de kansen van de z-scores aflezen uit een tabel.

Een specifieke kansverdeling is de steekproevenverdeling van het gemiddelde, waarmee we kunnen uitrekenen hoe groot de kans is om een bepaald gemiddelde te observeren.

VANDAAG

Betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetoetsing zoals in:

“Antwerpse studentes kruipen vaker ladderzat op publieke standbeelden dan Gentse studentes?” – klopt dit of niet?

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

Belangrijk doel in de statistiek: op basis van steekproefgegevens conclusies trekken over populatie waaruit steekproef afkomstig is

Soorten vragen:

1. Intervalestimatie “Hoe hard fuiven psychologiestudenten gemiddeld?” >> betrouwbaarheidsinterval nodig 2. Hypothesetoetsing “Psychologiestudenten fuiven harder dan de gemiddelde student” 4

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

>> schatting van een populatieparameter op basis van steekproefgrootheid:

betrouwbaarheidsinterval

Twee mogelijkheden: 1. We gebruiken het gemiddelde berekend in de steekproef als een schatting voor het gemiddelde in de populatie = PUNTSCHATTING (nadeel: onzekerheid over juistheid) 2. We bakenen een gebied (= interval) af waarvan we met een bepaalde zekerheid (bv. 95%) weten dat het populatiegemiddelde daarbinnen ligt = INTERVALSCHATTING 5

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

Hoe bakenen we dat interval af (vb. 95%)?

Met Z-transformatie van steekproevenverdeling van gemiddelde!

z x



 

µ N

Uit kenmerken van standaardnormale verdeling weten we dat 95% van de z scores ligt tussen -1.96 en +1.96 95% -1.96

1.96

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

 

µ N

ligt tussen -1.96 en +1.96 of we weten met 95% zekerheid dat Beetje herwerken, en voilà:

 1 .

96 



 1 .

96 

 1 .

96 

 

 1 .

= 95% betrouwbaarheidsinterval 7

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

Van een steekproef (N = 121) is het gemiddelde = 101 en de standaarddeviatie = 14. Wat is het 95% betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde (BI)?

opm. N > 30 dus steekproevenverdeling is normaal verdeeld N > 100 dus we mogen s gebruiken als we σ niet kennen X

 1 .

96 



 1 .

96 

101  1 .

96 14 121 

 101  1 .

96 14 121 98 .

51 

 103 .

49 8

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

Zelfde oefening, maar nu het 99% betrouwbaarheidsinterval.

Van een steekproef (N = 121) is het gemiddelde = 101 en de standaarddeviatie = 14. Uit kenmerken van standaardnormale verdeling weten we dat 99% van de z scores ligt tussen -2.58 en +2.58 X

 2 .

58 



 2 .

58 

101  2 .

58 14 121 

 101  2 .

58 97 .

72 

 104 .

28 14 121 9

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

 1 .

96 



 1 .

96 

95% betrouwbaarheidsinterval 98 .

51 

 103 .

 2 .

58 



 2 .

58 

99% betrouwbaarheidsinterval 97 .

72 

 104 .

28 95% 99% 10

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

Algemene formule (1 α )%-betrouwbaarheidsinterval



 





Z = positieve z waarde waarvoor geldt dat Pd (z) = α • • Voor α = 0.01 zijn de z waarden -2.58 en +2.58

(1-0.01)% = 99% BI Voor α = 0.05 zijn de z waarden -1.96 en +1.96

(1-0.05)% = 95% BI dus bij een kleinere α is het interval groter >> meer zekerheid, maar minder accuratesse.

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

Ander gevolg van de algemene formule: Hoe groter de steekproef, hoe kleiner het betrouwbaarheidsinterval.





 





N N

Van een steekproef (N = 121) is het gemiddelde = 101 en de standaarddeviatie = 14. Wat is het 95% BI?

101  1 .

96 14 121 

 101  1 .

96 Maar wat is het 95% BI bij n = 529? 101  1 .

96 14 529 

 101  1 .

96 14 121 14 529 98 .

51 

 103 .

49 99 .

81 

 102 .

19 12

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

Accuraatheid van betrouwbaarheidsintervallen betrouwbaarheidsinterval

•

is berekend op basis van steekproefgemiddelde

• •

verschilt dus van steekproef tot steekproef kan soms ver afwijken van populatiegemiddelde Een fout is dus mogelijk!

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN

In 5% van de gevallen zal ons betrouwbaarheidsinterval niet het populatiegemiddelde bevatten!

HYPOTHESETOETSING

Tweede soort vragen in inductieve statistiek: hypothesetoetsing Theorie •Drummers zijn dommer dan gemiddelde personen

Toetsing

•Hypothese verwerpen •Hypothese niet verwerpen Hypothese H1 •Drummers scoren lager op IQ test dan gemiddelde personen Dataverzameling •IQ test •Gemiddelden

Nulhypothese

H0 •Drummers scoren even hoog op IQ-test als anderen 15

HYPOTHESETOETSING

Analogie met rechtspraak Theorie •Een verdachte heeft een moord gepleegd

Verdict

•Onschuld verwerpen •Onschuld staande houden Hypothese H1 •De verdachte is schuldig Bewijsmateriaal •Geen alibi •Motief •DNA •…

Nulhypothese

H0 •De verdachte is onschuldig 16

HYPOTHESETOETSING

• Dus: nulhypothese (onschuld) wordt verworpen als de kans klein is dat het bewijsmateriaal aanwezig is terwijl de nulhypothese klopt.

In statistiek: • Nulhypothese wordt verworpen als de nulhypothese klopt.

kans klein is om een bepaald steekproefgemiddelde te observeren terwijl de • Nulhypothese wordt behouden als de nulhypothese klopt.

kans groot is om een bepaald steekproefgemiddelde te observeren terwijl de 17

NULHYPOTHESE

Toetsing

Dataverza meling Theorie Hypothes e

Nulhypot hese

We toetsen de onderzoekshypothese (of alternatieve hypothese) niet direct, maar zetten de onderzoekshypothese af tegen de nulhypothese (H0). bv: drummers zijn dommer dan gemiddelde personen (IQ = 100)

H1: μ1 < 100 (1 = drummers) H0: μ1 ≥ 100

Je gelooft dat H0 waar is tenzij je bewijzen (dwz. gegevens) hebt die suggereren dat dit niet zo is. In dat geval verwerp je H0 ten gunste van H1. De bewijslast voor het verwerpen van H0 ligt bij de onderzoeker.

NULHYPOTHESE

Toetsing

Dataverza meling Zoek bij de onderstaande onderzoeksvragen of onderzoekshypothesen de statistische hypothesen H0 en H1 Theorie Hypothes e

Nulhypot hese

1. Voetballers zijn extraverter dan schakers.

H1: μ voetballers H0: μ voetballers > μ schakers ≤ μ schakers 2. Na een faalangsttraining voelen kinderen zich minder angstig voor een toets dan voor de training H1: μ H0: μ angst voor > μ angst voor ≤ μ angst na angst na 19

NULHYPOTHESE

Toetsing

Dataverza meling Theorie Hypothes e

Nulhypot hese

3. Jongens en meisjes besteden niet even veel tijd aan hun huiswerk H1: μ H0: μ tijd jongens ≠ μ tijd jongens = μ tijd meisjes tijd meisjes 4. De gemiddelde score op uiterlijke beoordeling bij psychologiestudenten is hoger dan 50 H 1 : µ uiterlijk H 0 : μ uiterlijk > 50 ≤ 50 20

Theorie

HYPOTHESETOETSING

Toetsing

Hypothes e Dataverza meling

Nulhypot hese

Een onderzoeker wil de drummer-theorie toetsen en laat 36 drummers een IQ-test afleggen. Hij vindt een gemiddelde van 96 en standaarddeviatie 13. Dus: N = 36 ; X = 96 ; SX = 13 Ter herinnering:

H1: μ1 < 100 (1 = drummers) H0: μ1 ≥ 100

Kan de nulhypothese verworpen worden?

Scoren de drummers lager dan het gemiddelde?

Theorie

HYPOTHESETOETSING

Toetsing

Hypothes e Dataverza meling

Nulhypot hese

Neen! de steekproef kan toevallig een paar minder intelligente mensen bevatten, waardoor het gemiddelde daalt. Hoe beslissen of dit toeval is of niet?

>> kans berekenen op een gemiddelde van 96 of hoger bij een µ = 100 en  = 15 (toevallig exact wat we in H2 zagen!) Is die kans groot, dan is het toeval.

Is die kans klein, dan nemen we aan dat het geen toeval is: drummers halen dan écht een lager IQ dan de gemiddelde persoon.

Theorie

HYPOTHESETOETSING

Toetsing

Hypothes e Dataverza meling Kansen zijn dus noodzakelijk om inductieve beslissingen te kunnen nemen

Nulhypot hese

=> kansverdeling van steekproefgemiddelden => om te beslissen of onze steekproef uitzonderlijk is of niet 23

We trokken een steekproef van drummers en vonden een gemiddeld IQ van 96. We weten dat het gemiddelde IQ 100 is. Hoe groot is nu de kans om een gemiddelde van 96 te vinden terwijl de populatie drummers toch niet afwijkt van de algemene populatie?

,25 ,20 ,15 Kunnen we afleiden uit de verdeling van de steekproefgemiddelden: ,10 ,05 ,00 90 93 96 99 102

punten statistiek

105 108

HYPOTHESETOETSING

zodus: steekproef: N = 36 ; X = 96 ; SX = 13 populatie: µ = 100 en



= 15 een µ = 100 en



= 15 Stap1:

( 96 )  96  100   1 .

6 15 36

Stap 2: P(z < -1.6) = 0.0548

Maar is dit nu een kleine of een grote kans? Waar ligt de grens?

HYPOTHESETOETSING

Wat is een kleine en een grote kans bij hypothesetoetsing?

Moeten we gelukkig niet zelf beslissen: Klassiek wordt in gedragswetenschappen 5% of 0.05 als grenswaarde gebruikt.

(iets strenger is 0.01) Dit is de overschrijdingskans of α (alfa) DUS:

als de gevonden kans om het geobserveerde gemiddelde te vinden kleiner is dan 0.05, dan verwerpen we H0

Sir Ronald Fisher, ernstig nadenkend over hoe groot een grote kans is.

HYPOTHESETOETSING

terug naar het voorbeeld: >> kans berekenen op een gemiddelde van 96 of lager bij een µ = 100 en



= 15 We vonden: P(z < -1.6) = 0.0548

H0 verwerpen of niet?

>> 0.0548 is groter dan 0.05, dus H0 wordt niet verworpen!

>> de drummers scoren niet significant lager dan gemiddelde personen.

(oftewel: drummers zijn niet dom!)

HYPOTHESETOETSING

 

We weten dat gegevens in populatie normaal verdeeld zijn met µ = 70 en σ = 12. In steekproef (N = 49) vinden we een gemiddelde van 76 met standaarddeviatie 10. Wijkt de steekproef significant af van de populatie?

Hoe groot is de kans op het vinden van een gemiddelde van 76 of groter in een steekproef uit een populatie met gemiddelde van 70?

H1: µ > 70 H0: µ ≤ 70 Stap 1. z

( 76 )  76  70  3 .

5 12 49

Stap 2. P (z ≤ 3.5) = 0.9998

P (z > 3.5) = 0.0002

HYPOTHESETOETSING

De kans op het vinden van een score van 76 of meer is 0.0002

Deze kans is ‘klein’ (nl. ≤ 0.05), dwz. het is erg onwaarschijnlijk dat je uit een populatie met een gemiddelde van 70 en σ = 12 een steekproef trekt met een gemiddelde van 76. Dus: het verschil tussen een steekproefgemiddelde van 76 en een populatiegemiddelde van 70 is groot genoeg om te besluiten dat beide gemiddelden significant van elkaar verschillen. De gegevens (M = 76) zijn te veel in strijd met H0.

Dus: we verwerpen H0 “µ ≤ 70” >> de specifieke populatie waaruit de steekproef is getrokken verschilt significant van de algemene populatie

HYPOTHESETOETSING

De variabele “hoogtevrees” is bij kinderen normaal verdeeld in de populatie met µ = 30, op een schaal van 0 – 60. We vermoeden dat kinderen van klimmers minder hoogtevrees vertonen dan andere kinderen. In steekproef (N = 130) vinden we een gemiddelde van 28 met standaarddeviatie 14.



Wijkt de steekproef significant af van de populatie?

H1: µ < 30 H0: µ ≥ 30 aangezien N > 100 mogen we s gebruiken om σ te schatten Stap 1. z

( 28 )  28  30 14   1 .

Stap 2. P (z ≤ 1.57) = 0.9418

P (z ≤ -1.57) = 0.06

111 29

HUISWERK

Een onderzoeker onderzoekt 25 blinde kinderen die les kregen samen met kinderen zonder gezichtsbeperking. De onderzoeker is benieuwd of hun gevoel van eigenwaarde kleiner is dan dat van de kinderen in het algemeen. Alle kinderen beantwoorden een aantal vragen die hun gevoel van eigenwaarde meten. De blinde kinderen krijgen een gemiddelde score van 67 op de meting van eigenwaarde. In de populatie is het gemiddelde 69 met een standaarddeviatie van 6.12. De bestudeerde variabele is normaal verdeeld in de populatie.

− −

Welke hypotheses moet de onderzoeker formuleren?

Kan de onderzoeker besluiten dat de eigenwaarde van de kinderen met gezichtsbeperking kleiner is dan die van kinderen in het algemeen?

HUISWERK

•

Welke hypotheses moet de onderzoeker formuleren?

H 1 : µ blind < µ 0 H 0 : μ blind ≥ µ 0

H 1 : µ blind < 69 H 0 : μ blind ≥ 69 31

HUISWERK

•

Kan de onderzoeker besluiten dat de eigenwaarde van de kinderen met gezichtsbeperking gelijk is aan die van kinderen in het algemeen?

Stap1:

( 67 )  67  69 6 .

12   1 .

63 25

Stap 2: P(z ≤ -1,63) = 0.0516

Conclusie: Resultaat is net niet significant. De eigenwaarde van blinde kinderen wijkt niet significant af van de eigenwaarde van kinderen in het algemeen.

SAMENGEVAT

• • • • Om te onderzoeken of een onderzoekshypothese waar is, trekken we een steekproef, die een bepaald gemiddelde en standaarddeviatie heeft. In theorie zijn er veel verschillende steekproeven mogelijk, vandaar de steekproevenverdeling, die alle mogelijke gemiddelden weergeeft, met hun kans op voorkomen.

Aan de hand van deze verdeling kunnen we besluiten of onze steekproef uitzonderlijk is (H1) of net niet (H0).

Als de kans om onze steekproefgegevens te observeren kleiner is dan  (.05) - volgens de verdeling die bij H0 past - menen we dat dit uitzonderlijk is en verwerpen we H0. 33

PREVIOUSLY ON STATISTIEK II

Bij hypothesetoetsing gebruiken we de steekproevenverdeling van het gemiddelde als kansverdeling. Ook hier zetten we waarden (gemiddelden!) om naar z-scores. We kunnen dan beslissen of ons geobserveerde gemiddelde uitzonderlijk is of niet. Als het uitzonderlijk is – volgens de verdeling die bij H0 hoort – dan verwerpen we H0. 34

•35

VERVOLG

Hypothesetoetsing Mogelijke fouten, kritieke waarden, één- of tweezijdig toetsen

HYPOTHESETOETSING

Tot nu toe getoetst: H0: µ ≥ 50 (rechtseenzijdig) H0: µ ≤ 50 (linkseenzijdig) m.a.w. toetsen of een steekproefgemiddelde groter of kleiner is dan het populatiegemiddelde, met een specifieke richting voor ogen.

Maar je kan ook toetsen of een steekproefgemiddelde al dan niet gelijk is aan het populatiegemiddelde, ongeacht de richting: >> tweezijdig toetsen (= standaard situatie) 36

HYPOTHESETOETSING

éénzijdig toetsen bv: H1: µ > 100 bv: H1: µ < 100 tweezijdig toetsen bv: H1: µ  100 0.05

0.05

− − 0.025

Maar  blijft steeds 0.05, en die wordt bij tweezijdig toetsen verdeeld over de twee richtingen; dus 0.025 langs elke kant.

Dus het steekproefgemiddelde zal extremer moeten zijn om de nulhypothese te verwerpen!

0.025

HYPOTHESETOETSING

Alternatief gedemonstreerd: 38

HYPOTHESETOETSING

Tweezijdig toetsen

H0: µ = 100 geen richting dwz. ligt het gemiddelde H1: µ ≠ 100 duidelijk boven of duidelijk onder 100?

We weten dat gegevens in populatie normaal verdeeld zijn met µ = 100 en σ = 20. In steekproef (n = 49) vinden we een gemiddelde van 106 met standaarddeviatie 18. -> Hoe groot is de kans op het vinden van een gemiddelde dat even ver of verder afwijkt van het populatiegemiddelde 100 dan het steekproefgemiddelde 106?

H0 wordt verworpen als het steekproefgemiddelde

té groot of té klein

is in vergelijking met 100

HYPOTHESETOETSING

H0: µ = 100 H1: µ ≠ 100 X = 106

20 49  2 .

Stap 2. P (z ≥ 2.1) = 0.0179

Let op: bij tweezijdig toetsen -> 0.0179 vergelijken met 0.025

Maar: om



= 0.05 te behouden in rapportering doen we 0.0179*2 = 0.0358 en we vergelijken met 0.05.

HYPOTHESETOETSING

Algemene beslisregels bij hypothesetoetsing: notatie: P R (Z X ) = rechteroverschrijdingskans of P(Z ≥ Z X ) P L (Z X ) = linkeroverschrijdingskans of P(Z ≤ Z X ) H1: steekproefgemiddelde is groter dan µ  H0 verwerpen als P R (Z X ) <  H1: steekproefgemiddelde is kleiner dan µ  H0 verwerpen als P L (Z X ) <  H1: steekproefgemiddelde is niet gelijk aan µ   als X < µ wordt H0 verworpen als 2P L (Z X ) <  als X > µ wordt H0 verworpen als 2P R (Z X ) <  41

EÉN

- OF TWEEZIJDIG?

Eén- of tweezijdig toetsen?

Keuze voor éénzijdig of tweezijdig toetsen maak je altijd vooraf: enkel bij een uitgesproken richting in de hypothese en voldoende theoretische/empirische gronden mag je éénzijdig toetsen.

Dus standaard altijd tweezijdig toetsen!

EÉN

- OF TWEEZIJDIG?

De keuze voor één- of tweezijdig toetsen kan soms bepalend zijn voor het antwoord op de vraag of de resultaten significant zijn!

Populariteit van docenten statistiek is in populatie normaal verdeeld met µ = 100 en σ = 15. Onderzoekshypothese: 1. door doorgedreven training en complete restyling kan de populariteitsscore stijgen (= eenzijdig).

of: 2. door doorgedreven training en complete restyling kan de populariteitsscore veranderen (= tweezijdig).

25 docenten worden getraind. Populariteitsscore na training in deze steekproef = 105.

EÉN

- OF TWEEZIJDIG?

1. Rechtseenzijdig toetsen: H0: µ ≤ 100 H1: µ > 100 z x

 105  100 15  105  100 15 25 25  1 .

Pr (1.67) = 0.0475 = 0.048

Is 0.048 ≤ 0.05?

-> ja, dus verwerp H0 µ ≤ 100

EÉN

- OF TWEEZIJDIG?

2. Tweezijdig toetsen: H0: µ = 100 H1: µ ≠ 100 z x

 105  100 15  105  100 15 25 25  1 .

Pd (1.67)= Pl (-1.67) + Pr (1.67) = 0.0475 + 0.0475 = 0.095

Is 0.095 ≤ 0.05?

-> neen, dus verwerp H0 µ = 100 niet

EÉN

- OF TWEEZIJDIG?

In SPSS meestal tweezijdige overschrijdingskans!

info Equal variances ass umed Equal variances not as sumed Levene's Test for Equality of Variances F ,109 Sig.

,741

Independent Samples Test

t-tes t for Equality of Means t -2,342 -2,350 df 697 Sig. (2-tailed) ,019 Mean Difference -,0929 Std. Error Difference ,03968 687,853 ,019 -,0929 ,03954 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper -,17082 -,01502 -,17056 -,01528 46

EÉN

- OF TWEEZIJDIG?

Stel: jij wil rechtseenzijdig toetsen maar SPSS geeft de tweezijdige overschrijdingskans.

Dus: SPSS geeft jou Pd (1.67) = 0.095 (“sign. 2-tailed”) maar je wil eigenlijk Pr (1.67) dus: Pd (z) = 2 x Pr (+z) Pr (+z) = Pd (z) / 2 in casu: Pr (1.67) = 0.095 / 2 = 0.0475

EÉN

- OF TWEEZIJDIG?

Vuistregel: SPSS geeft 2-zijdige overschrijdingskans -> als je éénzijdige overschrijdingskans nodig hebt (omdat je links- of rechtszijdig wil toetsen): overschrijdingskans uit SPSS delen door 2 en kijken of dat getal ≤ α (bv. 0.05) -> als je tweezijdige overschrijdingskans nodig hebt (omdat je tweezijdig wil toetsen): overschrijdingskans uit SPSS gebruiken en kijken of dat getal ≤ α (bv. 0.05) 48

KRITIEKE WAARDEN

Kritieke waarden en verwerpingsgebied

• Tot nu toe: toetsen door de Z-waarde te berekenen en de bijhorende kans uit de tabel af te lezen. Als de kans kleiner is dan .05, verwerpen we de nulhypothese = toetsen via overschrijdingskansen • Ook mogelijk: toetsen door eerst de Z-waarde behorende bij .05 te zoeken (=kritieke waarde) en daarna de berekende Z-waarde hiermee te vergelijken = toetsen via kritieke waarde 49

KRITIEKE WAARDEN

Toetsen met kritieke waarden

H0: µ = 100 H1: µ ≠ 100 We weten dat gegevens in populatie normaal verdeeld zijn met µ = 100 en σ = 20. In steekproef (n = 49) vinden we een gemiddelde van 106 met standaarddeviatie 18. H0 verwerpen of niet?

H0 wordt verworpen als het steekproefgemiddelde té groot of té klein is in vergelijking met 100. Kunnen we beslissen door z-waarde van het steekproefgemiddelde te vergelijken met de

kritieke z-waarden bij α = .05

KRITIEKE WAARDEN

Dus: welke kritieke z-waarden horen bij



= 0.05 ?



zie tabel: -1.64 en +1.64 (bij éénzijdig toetsen) -1.96 en +1.96 (bij tweezijdig toetsen) Vervolgens: X omrekenen naar z-waarde: z

( 106 )  106  100 20  2 .

1 49

En: Z X vergelijken met Z kritiek : 1.96 < 2.1 Dus de z-waarde van het steekproefgemiddelde overschrijdt de kritieke waarde – nulhypothese kan verworpen worden.

KRITIEKE WAARDEN

Rechtseenzijdig toetsen

Vb. H0: µ ≤ 100 H1: µ > 100 -> is het steekproefgemiddelde voldoende groter dan 100?

-> is P r (z x) ≤ 0.05?

ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet = toetsen via overschrijdingskansen -> is z x ≥ 1.64?

ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet = toetsen via kritieke waarden Z = 1.64

Pr = .05

KRITIEKE WAARDEN

Linkseenzijdig toetsen

Vb. H0: µ ≥ 100 H1: µ < 100 -> is het steekproefgemiddelde voldoende kleiner dan 100?

-> is P l (z x) ≤ 0.05?

ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet = toetsen via overschrijdingskansen -> is z x ≤ -1.64?

ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet = toetsen via kritieke waarden Pr = .05

Z = -1.64

KRITIEKE WAARDEN

Tweezijdig toetsen

Vb. H0: µ = 100 H1: µ ≠ 100 -> is het steekproefgemiddelde voldoende kleiner of groter dan 100?

-> is P d (z x) ≤ 0.05?

ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet = toetsen via overschrijdingskansen Pr = .025

-> is z x ≤ -1.96 of z x ≥ 1.96?

ja: verwerp H0 neen: verwerp H0 niet = toetsen via kritieke waarden Z = -1.96

Pr = .025

Z = 1.96

KRITIEKE WAARDEN

Overschrijdingskansen of kritieke waarden zijn dus twee methodes om hetzelfde te doen!

Het “verwerpingsgebied” bestaat dan uit alle waarden die groter zijn dan bv. 1.64 (bij rechtseenzijdig toetsen) of alle waarden die kleiner zijn dan -1.64 (linkseenzijdig toetsen). Bij tweezijdig toetsen bestaat het verwerpingsgebied uit alle waarden die kleiner zijn dan -1.96 of groter dan 1.96.

(telkens bij α = 0.05 !) 55

ONZEKERHEDEN

Zijn we daar nu helemaal zeker van?

>> Neen! Het blijft een kansberekening en er zijn fouten mogelijk: H 0 is waar Realiteit H 0 is niet waar H 0 verwerpen Type I-fout = α Correcte verwerping = 1 - β

Beslissing

H 0 niet verwerpen Correct aanvaarden = 1 - α Type II-fout = β 56

ONZEKERHEDEN

Een onderzoeker zal NOOIT weten of de nulhypothese die hij formuleert in werkelijkheid (in populatie) waar is of niet. Daarom zal hij bij het al of niet verwerpen van H0 altijd het volgende in zijn achterhoofd moeten houden: Als hij H0 verwerpt dan houdt hij er rekening mee dat de kans dat deze beslissing fout is = α Als hij H0 niet verwerpt dan houdt hij er rekening mee dat de kans dat deze beslissing fout is = β α wordt door de onderzoeker vooraf vastgelegd (meestal 0.05) β bepalen is moeilijker; β wordt mee bepaald door oa. α (hoe kleiner α , hoe groter β) - steekproefgrootte (hoe kleiner steekproef, hoe groter β) 57

ONZEKERHEDEN

.025

H0 waar H0 niet waar

“verwerp H0” .025

“aanvaard H0” “verwerp H0”  58 

= .05

ONZEKERHEDEN

.008

H0 waar H0 niet waar

“verwerp H0” .008

“aanvaard H0” “verwerp H0”  59 

= .016

ONZEKERHEDEN

 Het heeft geen zin om α zo klein mogelijk te nemen, want dan wordt β groter.

 Bij een gegeven α kan men proberen een zo groot mogelijke steekproef te trekken, want dan wordt β kleiner.

RELATIE HYPOTHESETOETSING > BI

Relatie tussen hypothesetoetsing en betrouwbaarheidsintervallen.

H0: µ = 98 H1: µ ≠ 98 In een steekproef (n = 121) is het gemiddelde = 101 en de standaarddeviatie = 14. We toetsen H0 met α = 0.05

Stap 2. P d (2.36) = 2 x P r(2.36) = 2 x 0.0091

= 0.018

 2 .

Stap 3. Is 0.018 ≤ 0.05? Ja, dus we verwerpen H0

RELATIE HYPOTHESETOETSING > BI

Zelfde voorbeeld, maar nu is H0: µ = 99

H0: µ = 99 H1: µ ≠ 99 In een steekproef (n = 121) is het gemiddelde = 101 en de standaarddeviatie = 14. We toetsen H0 met α = 0.05

Stap 2. P d (1.57)

 1 .

57 14

= 2 x P r(1.57) = 2 x 0.0582 = 0.1164

Stap 3. Is 0.1164 ≤ 0.05? Neen, dus we verwerpen H0

niet

RELATIE HYPOTHESETOETSING > BI

Zelfde voorbeeld, 95% BI: 101  1 .

96 14 121 

 101  1 .

96 14 121 98 .

51 

 103 .

49 Betekenis van 95% BI: alle tweezijdige H0 die in het BI liggen worden niet verworpen bij α = 0.05

In casu zagen we: H0: µ = 98 wordt verworpen (98 ligt niet in 95% BI) H0: µ = 99 wordt niet verworpen (99 ligt wel in 95% BI) 63

EFFECTGROOTTE

Stel: onderzoek toont aan dat mannelijke fruitvliegjes meer alcohol drinken als hun seksuele avances genegeerd worden door vrouwtjes.

Significantie:

= .035 of

= .00003

Welke p-waarde suggereert het sterkste verband? In welke situatie wordt het alcoholgebruik het sterkst bepaald door de seksuele deprivatie?

>> p-waarde geeft geen indicatie van belangrijkheid van het effect. >> effectgrootte nodig 64

EFFECTGROOTTE

• • • • Effectgrootte = indicatie van de mate waarin de onafhankelijke variabele de variatie in de afhankelijke variabele kan verklaren.

Kan uitgedrukt worden in uiteenlopende grootheden (r, d, …) maar vaak wordt r gebruikt.

Interpretatie: − − − Dus: r > .50 : sterk effect − .30 < r < .50 : matig effect Significantie: “Is er een effect van seksuele deprivatie op alcoholgebruik?” − .10 < r < .30 : klein effect Effectgrootte: “Hoe sterk bepaalt seksuele deprivatie het alcoholgebruik?” 65

PARAMETRISCH VS. NON PARAMETRISCH

Volgende hoofdstukken: hypothesetoetsing met behulp van verschillende toetsen die elk hun nut hebben in specifieke omstandigheden. Twee grote groepen hierin: parametrische en non parametrische toetsen: 1. Parametrische toetsen: gebaseerd op normaalverdeling, voorwaarden: − variabelen normaal verdeeld in populatie − (afhankelijke) variabelen gemeten op intervalniveau − steekproeven hebben gelijke varianties * *als er meerdere steekproeven zijn 66

PARAMETRISCH VS. NON PARAMETRISCH

2. Non-parametrische toetsen: − geen normale verdeling vereist − voordeel: breder inzetbaar wegens minder voorwaarden, ook bij nominale- en ordinale variabelen − nadeel: minder snel significante resultaten Dus: voorkeur voor parametrisch toetsen, maar enkel als aan de voorwaarden voldaan is!

SAMENVATTING

We zijn nooit helemaal zeker van de juistheid van onze conclusie na hypothesetoetsing: fouten zijn mogelijk, en belangrijk is dat we weten hoe groot de kans is op een fout.

Bij hypothesetoetsing kan je overschrijdingskansen gebruiken, maar net zo goed kan je de kritieke waarden berekenen die bij de overschrijdingskansen horen.

Hypotheses kunnen éénzijdig of tweezijdig getoetst worden. Eénzijdig toetsen geeft meer kans op significante resultaten, maar mag enkel toegepast worden als er een duidelijk verantwoorde richting in de hypothese zit.