MATEMATIKA DISKRIT

“Relasi Berulang” KELOMPOK 8: 1.Gina Putri Lestari 2.Ivon Griani (112070027) (112070021) 3.Dian Purwati (112070254) 4.Yunisa Prihartinah (112070054) 2j 2i 2i 2i

Pengertian Relasi Berulang

Relasi berulang merupakan sebuah barisan dengan memberikan nilai ke-n yang dikaitkan dengan suku-suku sebelumnya. Relasi rekursif sering juga disebut relasi berulang.

Sebuah relasi berulang untuk barisan a0, a1, ... merupakan sebuah persamaan yang mengaitkan an dengan a0, a1, ..., an−1. Syarat awal untuk barisan a0, a1, ... adalah nilai-nilai yang diberikan secara eksplisit pada beberapa suku dari barisan tersebut

Contoh 1

Seseorang mendepositokan uang sebesar Rp. 1.000.000,- pada sebuah bank dengan bunga majemuk 12% per tahun. Jika An menyatakan jumlah uang pada akhir tahun ke-n, carilah sebuah relasi berulang dan syarat awal yang mendefinisikan barisan An!

Modal = Rp. 1.000.000, Bunga = 12% = 0,12 A 0 = 1.000.000

A 1 A 1 A 2 A 2 A 3 = A 2 A 3 A 3 A n = A 0 = 1,12A = A 1 + 0,12A 0 0 + 0,12 A 1 = 1,12(1,12 A + 0,12 A 2 = 1,12 A 2 = 1,12{(1,12) = (1,12) n A 0 2 0 ) A 0 } → Syarat awal (rumus eksplisit)

Penyelesaian Relasi Berulang

Menyelesaikan relasi berulang yang melibatkan barisan a0, a1, ... sama halnya dengan mencari sebuah rumus eksplisit untuk bentuk umum an. Pada bagian ini kita hanya akan membahas penyelesaian relasi berulang dengan menggunakan metode iterasi. Untuk menyelesaikan relasi berulang dengan metode iterasi ini, kita menuliskan bentuk ke-n, yaitu an dalam bentuk-bentuk suku sebelumnya, yaitu an−1, an−2, ..., a0. Kemudian secara berurutan kita gunakan relasi berulang untuk menempatkan setiap an−1, ... dengan ketentuan pendahulunya. Kita lakukan terus sampai sebuah rumus eksplisit diperoleh.

Contoh 2

Selesaikan relasi berulang a

n = a n−1

+ 4, n ¸ 1 dengan syarat awal a0 = 3!

Dengan mengganti n dengan n − 1 pada rumus diatas, kita peroleh a n−1

a

n−2 + 4 Sehingga

a n

= a = (a n−1 n−2 + 4 + 4) + 4 = ((a n−3 + 4) + 4) + 4

...

= a0 + n × 4 Karena a0 = 3, maka kita peroleh an = 3 + 4n =

TEOREMA Misalkan bahwa relasi berulang dengan koefisien konstanta

a n

= C 1

a n-1

+ C 2

a n-2

+ ... + C k

a n-k

; n ≥ k, memiliki akar-akar karakteristik r 1 , r 2 , r k yang berlainan. Maka jika r 1 , r 2 , ... r k adalah konstanta setiap kombinasi linear dalam bentuk

a n

= m 1 r 1 n + m 2 r 2 n + ... + m k r k n

Contoh 3

Tentukan penyelesaian umum dari f

n

- 5f

n-1

awal f 1 = 2 ; f 2 = 3 + 6f n-2 = 0 dengan syarat f

n

- 5f

n-1

r

n

- 5r

n-1

+ 6f n-2 + 6r

n-2

= 0 dibagi r

n-2

= 0 f f f r (r – 3) (r – 2) = 0 r 2 1 – 5r + 6 = 0 = 3 , r 2 = 2 f

n n

= m = m 1 1 r 1 n (3) + m 2 r 2 n n + m 2 syarat awal f 1 2 = m 1 2 = 3m = m 1 1 3 = 9m 1 (3) 1 (3) 2 1 + m 2 + 2m + m + 4m 2 2 2 (2) (2) (2) n = 1 dan f 2 1 2 = 3 ... (1) ... (2)

Eliminasikan persamaan (1) dan (2) 3m 1 + 2m 2 = 2 x 2 6m 1 + 4m 2 = 4 9m 1 3m 1 + 4m substitusikan m + 2m 2 3( ) + 2m 2 2 -1 + 2m 2 2m 2 = 3 x 1 9m = 2 = 2 = 2 = 3 1 1 + 4m 2 -3m 1 = 3 = 1 m 1 = = ke persamaan (1) m 2 = Maka penyelesaian umumnya adalah f n = (3) n + (2) n

Aplikasi Relasi berulang dalam kehidupan sehari-hari Aplikasi relasi berulang dalam kehidupan sehari-hari, sangat membantu kita dalam memecahkan berbagai masalah dan mempermudah untuk menemukan solusinya. Misalnya untuk menghitung jumlah uang yang di depositokan ke bank dengan jumlah bunga majemuk tiap bulan dalam jangka waktu tertentu, kita bisa mengetahui jumlah uang beberapa bulan/tahun yang akan datang dengan menggunakan relasi berulang. Misalnya Masalah kombinatorial dapat dimodelkan dengan relasi berulang.

Dalam menaiki anak tangga,ada dua pilihan yaitu satu atau dua anak tangga sekaligus.Ada berapa cara untuk sampai ke anak tangga ke- n?

Dengan mengaplikasikan rumus relasi berulang kita tidak perlu mempraktikannya, untuk menemukan banyaknya cara menaiki anak tangga tersebut. Dengan mengaplikasikan rumus relasi berulang kita bisa menemukan jawaban yang relatif lebih cepat dan efektif. Aplikasi relasi berulang dalam computer misalnya Bilangan Fibonacci Relasi berulangnya : fn = fn-1 fn-2 dimana n >= 2 dan f0 = 1 dan f1 = 1 Bilangan Fibonacci sering muncul dalam berbagai masalah kombinatorial seperti pada algoritma Euclid untuk menghitung Greatest Common Divisor dari dua integer a dan b. Aplikasi relasi berulang sangat memberi manfaat dalam dunia computer, terutama dalam pemrograman misalnya untuk membuat database.

Nilai-nilai Sikap yang Terkandung dalam Relasi Berulang Nilai yang terkandung dalam pembelajaran tentang relasi berulang yaitu pada saat kita mengerjakan soal tentang relasi berulang harus dengan teliti, tidak tergesa-gesa dalam menyelesaikan soal relasi berulang