Transcript presentatie

Constructies
Passer & Liniaal, Origami en Meccano
Wiskunde D-module
Luuk Hoevenaars
Hogeschool Utrecht
Binnenkort op site Bètasteunpunt Utrecht
Opbouw van de Module
• Eerste helft:
–
–
–
–
Klassikale lessen
Onmogelijkheid van constructieproblemen
Huiswerkopdrachten voor een cijfer
Inzet van Geogebra
• Tweede helft:
– Groepsopdrachten met eindverslag
– Keuze uit opdrachten met Origami en Meccano
– Feedbackpresentaties
Spelregels
Zwart is gegeven, rood is nieuw
1
3
2
4
5
6
11
!
✗
✗
?
✗
✗
?
✗
✓
✗
✓
!
?
?
Van meetkunde naar algebra
• Descartes: coördinaten en vergelijkingen
• Formules voor lijnen en cirkels
• Waar liggen coördinaten van snijpunten?
• Meetkundige rekenmachine: + − × ÷ √
Hebben we gebouwd met macro’s van Geogebra!
Gauss: regelmatige 17-hoek (heptadecagon)
Algebraïsche vraag:
Welke getallen kunnen worden
opgebouwd met + − × ÷ √ ?
De worteltruc
Noemers wortelvrij maken
1
=
2 +1
1
2 -1
×
=
2 +1 2 -1
2 -1
1
Nieuwe constructiestap geeft hooguit 1 nieuwe wortel:
a+b c
met a,b,c minder wortels.
Voorbeeld
(
)
512
- 24
3 + 3 -11 114
7
3
4
3
1424
3 4243
a
c
b
Verdubbeling van de kubus
Feit: 3 2 is geen breuk.
Stel dat 3 2 construeerbaar is.
Aanname:
3
2 bevat minimaal n verschillende wortels.
Verdubbeling van de kubus
3
b¹0
2 =a+b c
c>0
a,b,c bevatten maximaal n-1 verschillende wortels.
c is niet uit te drukken in deze n-1 wortels.
(
) (
2 = a a2 + 3b2c + b 3a 2 + b2 c
Oplossen van
)
c
c : deze is wél uit te drukken in de n-1 wortels?!
Verdubbeling van de kubus
Conclusie:
Verdubbeling van de kubus met passer en liniaal
is onmogelijk!
Derdegraads vergelijking x3 =2 niet oplosbaar
met tweedemachtswortels...
Constructies met Meccano
Achtergronden
• Linkages: Watt, Peaucellier
• Meccano, Hornby 1901 (Make and know)
• Gerard ‘t Hooft: Meccano Math I & II
Interessante onderwerpen
• Rigiditeit
• Spelregels + computersimulatie
• Klassieke constructieproblemen
• Wat is construeerbaar?
Rigiditeit van grafen
Rigide
Minimaal rigide
Flexibel
Niet minimaal rigide
De stelling van Laman
Graaf met H hoekpunten en Z zijden is minimaal rigide precies als
• Z = 2H - 3
• Z’ ≤ 2H’ – 3
voor elke deelgraaf op H’ punten
H = 6, Z = 9
Z = 2H – 3
Maar er zijn “verspilde” zijden...
H’ = 4, Z’ = 6
Z’ > 2H – 3
Subtiliteit
• Meccano constructies kunnen niet om elk
hoekpunt scharnieren, zijn dus geen grafen...
• Maar nu wel!
Meccano vs. Passer en liniaal
p
Breuken x = r
q
q
r
p
x
Meccano vs. Passer en liniaal
Wortels
2n
n -1
2n -1
n
Meccano vs. Passer en liniaal
Passer en
liniaal
Meccano
Breuken en
wortels
Peaucellier linkage
Dit is een “Meccano liniaal”, een passer is geen probleem...
Driedeling van een hoek (Kempe)
Een gekruist parallellogram.
De basishoeken zijn gelijk.
Een bissectrice...
Driedeling van een hoek
Wat is construeerbaar?
Maehara (1991):
Meccano construeerbare coördinaten zijn precies alle
oplossingen van algebraïsche vergelijkingen.
Kempe (1875):
There is a linkage that signs your name.
11
✗
✗
✗
✗
✗
✓
✗
✓
✓
✗
✓
✓