Transcript Chapter 5 Irisan Kerucut

Irisan Kerucut dan Koordinat Kutub
I Irisan Kerucut (kurva-kurva)
• Lingkaran : bidang yang tegak lurus kepada sumbu kerucut.
• Elips : bidang yang memiliki sudut tertentu terhadap sumbu
kerucut.
• Parabola : bidang yang sejajar dengan sisi kerucut.
• Hiperbola : bidang yang sejajar dengan sumbu kerucut.
Definisi: Himpunan titik-titik P dimana rasio antara jarak |PF| dari
fokus dengan jarak |PL| dari garis l merupakan sebuah konstanta e
positif.
e
PF  e PL
PF
e = eksentrisitas
PL
disebut irisan kerucut
Parabola mempunyai satu titik puncak sedangkan elips dan
hiperbola mempunyai dua titik puncak.
 Parabola (e = 1)
Definisi : himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis l dan
fokus F, maka :
PF  PL
sumbu koordinat pada sumbu x dan fokus pada (p,0) dan
direktris (garis l ) pada persamaan x=-p maka berdsarkan rumus
jarak maka :
PF  PL
x  p    y  0
2
2

x  p    y  y 
2
2
Persamaan standar:
y  4 xp
2
dimana p adalah jarak dari fokus ke
titik puncak.
Parabola yang lain :
Contoh soal:
1. Tentukan fokus dan direktris (garis tetap) dari parabola yang
mempunyai persamaan y 2  12x
Peny:
y 2  4 px  y 2  12x  4xp  12x
p3
F(p,0) maka fokus di (3,0) dan direktriks (l ) x=-p maka
x=-3
2. Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktris pada
parabola dibawah ini: x 2  16 y
Peny:
x  4 py  x  16y  4 py  16y
2
2
p4
Parabolanya vertikal dan terbuka ke bawah pada F(0,-4) dan
persamaan direktrisnya y=4.
3. Tentukan persamaan parabola yang verteksnya (titik puncak)
di titik asal melalui (-2,4) dan terbuka ke kiri.
Peny:
Titik puncaknya (0,0), terbuka ke kiri dan melalui (-2,4) maka:
y  4 px  4  4 p 2
2
2
16  8 p  p  2
Maka persamaan parabolanya:
y  4 px  y  42x
2
2
y  8x
2
4. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari
parabola dibawah ini y 2  16x 1,4
Peny:
Titik singgung: y 2  16x pada (1,-4)


16
2 yy  16  y 
2y
'
'
y  2
'
Maka persamaan garis singgungnya:
y  2 x  2
Garis normal merupakan garis yang tegak lurus pada garis
singgung, syaratnya:
m1.m2  1
1
m2 
2
1
9
y 
x
2
2
 Elips ( 0 < e < 1 )
Apabila |PF|= e |PL| dimana 0 < e < 1 maka akan membentuk
elips.
Fokusnya F(c,0), direktrisnya x=k dan verteksnya A’ (-a,0) dan
A (a,0) maka :
a  c  ek  a   ek  ea
a  c  ek  a   ek  ea
Dari persamaan sebelumnya didapat nilai c dan k :
c  ea
a
k
e
Dari gambar diatas dengan syarat |PF|= e |PL| maka:
x  ae   y  0
2
2
2
a

2
 e  x    y  y
e

x2
y2
 2
1
2
2
a a 1 e


Persamaan standar elips:


b2  a 2 1  e2  b  a 1  e2
2
2
x
y
 2 1
2
a
b
Pada elips syarat a > b
maka
Contoh soal:
x2 y2
1. Sketsalah grafik 36  4  1 dan tentukan fokus dan
eksentrisitasnya.
Peny:
x2 y2
x2 y2
Berdasarkan pers a 2  b 2  1  36  4  1
maka a = 6 dan b =2 maka dari per a 2  b 2  c 2
c4 2
c  ae  e 
fokusnya (±c,0) =
 4
c
 0,94
a

2 ,0
Bentuk grafik dari persamaan diatas:
2. Tentukan fokus dan eksentrisitas dari persamaan berikut:
x2 y2

1
16 25
Peny:
x2 y2
 2 1
2
b
a
dimana a=5 dan b =4 dan c=3 maka :
c
c  ea  e   e  0,6 fokusnya(0,±3)
a
 Hiperbola (e > 1 )
Seperti yang terlihat pada gambar diatas dimana e > 1 maka:
x2
y2
 2
1
2
2
a a 1 e


supaya e2 - 1 bernilai positif maka
2
2

b  a 1 e
2
2
2

x
y
2
2
2


1
 b  a e  1
2
a
b
maka persamaan hiperbola horizontal menjadi:
2
2
x
y
 2 1
2
a
b
dimana c=ae maka c2=a2+b2
persamaan disamping untuk hiperbola
horizontal.
Sedangkan hiperbola vertikal adalah:
verteksnya (0,±a)
2
2
y
x
fokusnya (0,±c)

1
a
2
b
2
Dari gambar diatas diagonalnya merupakan asimtotnya :
b
y x
a
Contoh soal:
1. Sketsalah grafik dan tunjukkan asimtot-asimtotnya,
bagaimana persamaan asimtotnya dan berapa fokusnya dari
persamaan berikut:
x2 y2

1
9 16
Peny:
x2 y2
x2 y2
 2 1

1
2
a
b
9 16
a =3 dan b=4 dimana a kaki horizontal dan b kaki vertikal
Asimtot y  4 x dan y   4 x
3
3
Fokusnya
c 2  a 2  b 2  c  32  4 2  5
Fokusnya (±c,0)
F (±5,0)
x2 y2
  1
4 9
2. Tentukan fokus dari persamaan berikut:
dari pers diatas kurvanya merupakan hiperbola vertikal
dimana a =3 dan b =2 maka :
c  a  b  c  3  2  3,61
2
2
2
Fokusnya (0,±3,61)
2
2
Bentuk grafik dari hiperbola vertikal adalah:
3. Jarak maksimum bumi dari matahari 94,56 juta mil dan jarak
minimumnya 91,45 juta mil. Bagaimana eksentrisitas dari
orbitnya dan bagaimana diametermayor dan minornya.
Peny:
Sesuai gambar diatas maka:
a  c  max  a  c  94,56
a  c  min  a  c  91,45
_
2c  3,11 c  1,56
a  c  94,56  a  93,01
Maka
a 1,56
c  ae  e  
 0,017
c 93,01
Diameter mayor dan minornya dalam juta mil adalah:
Mayor = 2 a = 2 (93,01) =186,02
2
2
2
2
2
Minor =2 b dimana a = b + c maka b  a  c
= 2
93,01 1,56 
2
2
 185,99
 Translasi Sumbu
Definisi: kedudukan dimana sumbu mayor tidak berada di
salah satu sumbu koordinat dan pusatnya tidak berada di titik
asal.
ex:
x  2   y  3
2
2
 25
Diskusi:
1. Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktris dan
gambar sketsanya:
2
dan 3x 2  9 y  0
y  3x  0
2. Tentukan persamaan standar dari info berikut dan asumsikan
verteksnya berada di titik asal.
• Direktrisnya adalah x= 3
• Fokusnya adalah 
1
 0, 
9

3. Sketsa grafik dan tentukan verteks, fokus dan asimtot apabila
hiperbola:
2
2
2
2
4x  25y  100 dan x  4 y  8
Dari pers diatas grafiknya:
Secara umum bentuk grafiknya:
Penggunaan sumbu-sumbu baru tidak mengubah bentuk atau
ukuran dari sebuah kurva.
Dari gambar diatas :
(x,y) = koordinat lama
(u,v) = koordinat baru
(h,k) = titik asal yang baru
Hubungan dari koordinat yang lama terhadap koordinat yang
baru:
u  xh x uh
v  yk  y  vk
Contoh soal:
1. Tentukan koordinat baru dari P (-6,5) setelah translasi
sumbu-sumbu ke titik asal baru di (2,-4)
Peeny:
Titik asal baru (2,-4) ; maka P (-6,5)
u=x–h
v=y–k
= -6-2
= 5 – (-4)
u = -8
v= 9
Koordinat yang baru (-8,9)
2. Diketehui persamaan 4 x 2  y 2  40x  2 y  97  0
Tentukan persamaan dari grafiknya setelah proses translasi
dengan titik asal baru (-5,1).
Peny:
x uh  y vk
x  u  5  y  v 1
maka didapat :
Sesuai persamaan diatas :
4x 2  y 2  40x  2 y  97  0
4u  5  v  1  40u  5  2v  1  97  0
2
2
4u 2  v 2  4  0  4u 2  v 2  4
2
v
u  1
4
2
Persamaan Elips
 Melengkapi kuadrat
bertujuan menghilangkan suku-suku berderajat satu dalam
persamaan :
Ax2  Cy 2  Dx  Ey  F  0  A  0  C  0
Contoh:
1. Buatlah sebuah translasi yang akan menghilangkan sukusuku berderajat satu.
4 x 2  9 y 2  8x  90y  193 0
dan gambar grafiknya.
Peny:
4 x 2  9 y 2  8x  90y  193 0
x  1
2
9

y  5

2
4
1
Translasi:
u  x 1
u 2 v2
 1
9 4
dan
v  y 5
Kurva berbentuk elips horizontal.
2. Namailah irisan kerucut yang ditunjukkan oleh persaman
berikut:
2
y  5x  4 y  6  0
Peny:
y  4 y  5x  6
2
 y  2
2
 5x  2
Kurvanya adalah parabola yang terbuka ke kanan.
Maka gambar grafiknya:
v2  4 pu  v2  5u  4 pu  5u
5
p
4
3. Tulislah persamaan sebuah hiperbola dengan fokus di (1,1)
dan (1,11) dan verteks-verteksnya di (1,3) dan (1,9).
Peny:
Verteksnya (1,3) dan (1,9) maka titik sumbunya (1,6)
Pertengahan dari keduanya.maka a= 3 dan c=5 maka
b  c 2  a 2  25  9  4
 y  6
2
9

x  1

2
16
1
Ringkasan :
1.  y  k 2  4 px  h
2.
x  h 
a
3.

y  k

2
2
2
b
x  h 
2
a
2
2
1

y  k

2
b
2
1
1.
Tugas:
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal
kemudian sketsalah parabola, garis singgung dan garis
normal dari pers berikut:
2
2
dan
y
 9 x, 1,3
x  2 y, 4,8
Tentukan persamaan dari irisan kerucut dan sketsa grafiknya:
a) Elips dengan fokus di (6,0) dan eksentrisnya 2
3
b) Hiperbola dengan fokus di (5,0) dan verteks (4,0)
Namailah irisan kerucut yang dipresentasikan oleh
persamaan berikut:
2
2
4 x 2  4 y 2 8x  28y 11  0 dan 4 x  4 y  2 x  2 y  1  0
Sketsa grafik dari persamaan-persamaan berikut:
x  32   y  42  25 dan 4 x  3  y  2 2

2.
3.
4.

 

