簡単な微分方程式の解 - 法政大学 情報科学部
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Transcript 簡単な微分方程式の解 - 法政大学 情報科学部
法政大学 情報科学部
リクエスト集中講義
簡単な微分方程式
1
「今」に生きている人間の限界:微分方程式
「全て」を見渡したい人間の欲望:解を求める
「変化に注目」する例
◦ 「虫が増える速さ」は「各時刻での虫の数」に比例す
る。
◦ 物体に加わる力と、速度の変化する割合が比例する。
◦ 膜の各方向の凹凸は、合計するとゼロ になる。
簡単な微分方程式
2
時刻 t における虫の数を n(t) と書く。
問:時刻 t から t + Δt の間の数の変化Δnは?
n n(t t ) n(t )
問: Δt→ 0 の極限で、増える速さは?
n
dn
t
dt
問:「増える速さ」と「現在数」が「比例する」式は?
dn
kn
dt
簡単な微分方程式
3
時刻 t で質量 m の物体の座標が x(t)
2
dx
dv
d
x
問:物体の速度と加速度は? v(t )
a (t )
2
dt
dt
dt
問:力が一定の大きさmgのとき?
速度の2乗に比例する抵抗があるときは?
d 2x
dv
m 2 m
F mg
dt
dt
dv
m
m g - cv
dt
問:バネの復元力が 変位の量に比例するとき?
d 2x
m 2 kx
dt
簡単な微分方程式
4
膜の凹凸を表わす f(x,y)
曲がり方を表わす2階導関数
問:偏導関数を使って、x方向の凹凸とy方向の凹
凸の和が0となることを記せ。
2 f 2 f
2 0
2
x
y
簡単な微分方程式
5
微分方程式:導関数を含む式
階数
:式に含まれる導関数の最高階数
解
:微分方程式を満たす関数
特殊解
:特定の(初期、境界)条件を満たす
一般解
:任意の特殊解を表わす(積分定数)
特異解
:一般解に含まれない解
簡単な微分方程式
6
y cos x
3. y 2sin x 3cos x
dy
cos x
dx
dy
sin x
dx
dy
2 cos x 3sin x
dx
d2y
sin x
dx 2
d2y
cos x
2
dx
d2y
2sin x 3cos x
2
dx
d2y
d2y
y,
y0
2
2
dx
dx
d2y
y0
2
dx
d2y
y0
2
dx
1.
y sin x
2.
簡単な微分方程式
7
y 2e x 3e2 x
dy
2e x 3 2e 2 x 2e x 6e 2 x ,
dx
1 d 2 y dy
e 2
6 dx
dx
2x
d2y
2 e x 1 2e 2 x
2
dx
d 2 y dy
6e 2 x
2
dx
dx
1 dy
1 dy d 2 y dy dy 1 d 2 y
2x
e 6e 2
2 dx
dx dx 2 dx 2
2 dx dx
x
dy 1 d 2 y
1 d 2 y dy
1 d 2 y 3 dy
y 2
3 2
2
2
dx
2
dx
6
dx
dx
2
d
x
2 dx
d2y
dy
3
2y 0
2
dx
dx
簡単な微分方程式
8
y 1 log x
dy d
1
(1 log x)
dx dx
x
d 2 y d 1 1
2
2
dx
dx x x
d 2 y 1 dy
0
2
dx
x dx
dy ' 1
y' 0
dx x
dy '
( y ') 2 0
dx
簡単な微分方程式
9
次の微分方程式の一般解を求めよ。
dy
x2
dx
微分方程
式を解く
||
積分する
・・・微分してx2になる関数は?
f ( x)dx : 微分し て f ( x)になる 全ての関数
dy
1 3
2
y dy dx x dx x C
dx
3
初期条件 y (0) 1を 満たす特解は?
1 3
y ( x) x 1
3
簡単な微分方程式
特解を求める
||
積分定数を
決める
10
積分の式に直せば完成!
積分がで
きないと
…
(´_`;)
dy 1
dx x
dy
1
y dx dx log x C
dx
x
dy
x r (r 1)
dx
1 r 1
y x dx
x C
r 1
dy
e ax
dx
1 ax
y e dx e C
a
dy
sin ax
dx
1
y sin ax dx cos ax C
a
r
ax
簡単な微分方程式
11
2階(以上の)微分方程式を,1階微分方程式の
連立方程式とみなす
d2y
du
dy
2
2
x
u
,
x
2
dx
dx
dx
dy 1 3
1 4
u
x C1 y x C1 x C2
dx 3
12
d2y
du
dy
cos x u,
cos x
2
dx
dx
dx
u sin x C1 y cos x C1 x C2
簡単な微分方程式
12
dy
dy
f ( x) dx dy f ( x)dx
dx
dx
dy f ( x)dx
こ の形も 「 微分方程式」 と 呼ぶ
簡単な微分方程式
13
すぐに積分の形になる!
dy f ( x)dx
g ( y)dy f ( x)dx
dy f ( x)dx
g ( y )dy f ( x)dx
dy f ( x)
dx g ( y )
dy
1
h( y )· f ( x), h( y )
dx
g ( y)
簡単な微分方程式
14
2
ydy xdx
1 2
1
y C ' x2 C
2
2
1 2 1 2
y x C
2
2
1
0
y2 x2 C
1
2
2
1
0
1
2
xdx (1 x 2 )dy 0
x
dx dy
2
1 x
1
log(1 x 2 )
2
98.0
98.5
99.0
log 1 x 2 y C
10
簡単な微分方程式
99.5
5
5
10
15
3
dy
2 xy
dx
dy
y 2 xdx
log | y | x 2 C
y Ae x
2
1
3
2
1
1
2
3
1
2
2
3
x
dy
y 1
dx
y (1) 0
dy
dx
1 y x
log | y 1| log | x | C
1
1
y 1 Ae log| x| A log| x| A
e
x
y 1 A / x
A 1,
3
2
1
3
簡単な微分方程式
2
1
1
2
3
1
2
3
16
式中の変数は、すべて(y/x)の形で含まれる
y
dy y x
dy y
dy
y
dy
例: dy
1,
,
, x
y xy x , x tan y x 0
dx x
dx x y
dx
x
dx
x
dx
2
2
2
2
y
dy d (ux)
du
解き方: u と おく
ux
x
dx
dx
dx
dy
y
f
dx
x
du
ux
f (u )
dx
du f (u ) u
dx
x
簡単な微分方程式
17
dy y
1,
dx x
u
y
x
ux
du
u 1
dx
du
dx
x
1 du
dx
x
u log | x | C y ( x log | x | C )
2
dy y
1
du
du
dx
, y (1) u x
u2 2
dx x
2
dx
u u
x
1
1
1
du
u 1
2
;
log
log | x | C
u2 u
u u u 1 u
u
u 1
1
x
1 1 A·x
u
u
y
x
1
1
x
y
,A0
A 1; y
1 Ax
2 1 A
1 x
簡単な微分方程式
18
b y
1 a x
ax by
dy
f
f d y ;
dx
cx dy
1
c x
同次形
a x s b( y t ) p as bt
ax by p
dy
f
f
dx
cx
dy
q
c
x
s
d
(
y
t
)
q
cs
dt
” 分子・ 分母の第3項を 同時に0にでき れば”
同次形にでき る
簡単な微分方程式
19
dy
f ( x)·y g ( x )
dx
同次(斉次)線形微分方程式(変数分離)
dy
f ( x)·y 0
dx
線形:
問:同次方程式の一般解を求めよ:
y1 ( x), y2 ( x)が解 → A·y1 ( x) B·y2 ( x)も 解
dy
F ( x)
log
y
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
C
y
A
·
e
y
簡単な微分方程式
20
同次方程式の解の定係数を「関数として」、もと
の1階線形微分方程式を満たす解を探す:
y A( x) ·e F ( x ) の形で
dy
f ( x)·y g ( x)を 満たすのは?
dx
F f ( x)dx,
dy dA F
dA F
dF F dA F
F
e A·
e
e
f
(
x
)
A
e
e f ( x) y
dx dx
d
x
dx
dx
dy
dA F
dA F
f ( x) y
e f ( x) y f ( x) y
e g ( x)
dx
dx
dx
dA F
dA
e g ( x)
e F g ( x) A e F g ( x)dx
dx
dx
簡単な微分方程式
21
リカッティ
ベルヌイ
クレロー
ラグランジュ
完全微分方程式
簡単な微分方程式
22
3
3
初期条件は,曲線の
通過点を決定する
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
3
3
3
2
1
0
dy
1 2
x y x C
dx
2
1
2
3
3
各所で指定され
た傾きdy/dxをも
つ滑らかな曲線
は?
2
1
0
1
2
3
dy
y y Ae x
dx
簡単な微分方程式
23
テーラー展開の復習(例はマクローリン展開)
f ( x) a0 a1 x a2 x 2
an
1 (n)
f (0),
n!
例題:
ex
sin x
1
1 x
an x n
収束半径: R lim
n
an
,
an 1
| x | R
1 2
1
x xn
2!
n!
1 3 1 5
x x x
3!
5!
1 x
1 x x2
xn
,
1
1
1
log(1 x) x x 2 x3 x 4
2
3
4
| x | 1
,| x | 1, x 1
簡単な微分方程式
24
微分方程式にべき級数を代入し、係数間の関係を導く
(漸化式)
2
例題:d y y 0 ; y a a x a x 2
dx 2
an
1
n!
a0 , a1 : 任意定数
a0 1, a1 1
y ex
a0 1, a1 1
y e x
0
1
2
dy
a1 2a2 x 3a3 x 2
dx
d2y
2
2
a
3
·2
a
x
4
·3
a
x
2
3
4
dx 2
d2y
2
y
(
a
2
a
)
(
a
3
·2
a
)
x
(
a
4
·3
a
)
x
0
2
1
3
2
4
2
dx
1
1
1
a2 a0 ,
a4
a2
a0 , a6
2
4·3
4·3·2
1
a3
a1 ,
a5
3·2
簡単な微分方程式
0
25
階数と未定定数の個数
n階微分方程式:
◦ べき級数をn回微分すると、最初のn項が消える
◦ べき級数を代入して出来る係数の関係式で、最初のn個
が自由に決められる定数(任意定数)となる
n階の微分方程式の一般解は
n個の任意定数を含む
独立な初期条件がn個あれば
特解が定まる
簡単な微分方程式
26
ある物体に加わる力が既知のとき、物体の運動は
ある時刻における位置と速度が決まると、その後
の運動が完全に決まることを確認せよ。
運動方程式は2階微分方程式:
任意定数:
d 2x
m 2 F ( x, t )
dt
x(t ) a0 a1t a2t 2 a3t 3
dx
v(t )
a1 2a2t 3a3t 2
dt
x(0) a0
v(0) a1
簡単な微分方程式
27
f ( x)と g ( x)が 独立:
独立でない 、 従属 :
すべての xについて Af ( x) Bg ( x) 0 A 0かつB 0
f ( x) kg ( x)
例題:次の2関数が独立であること確認せよ。
{1, x}
A Bx 0 ( x 0 ) A 0, B 0
{x, x2}
Ax Bx2 0 ( x 0 ) A Bx 0 A 0, B 0
{ex , e x }
Aex Be x 0 (e x 0 ) A Be2 x 0 (e2 x 0 ) A 0, B 0
{sin x, sin 2 x}
{sin x, cos x}
2
0
2
0
( A sin x B sin 2 x) sin x dx A,
A sin x B sin 2 x 0 A 0, etc.
( A sin x B cos x) sin x dx A, A sin x B cos x 0 A 0, etc.
独立な関数を組み合わせて、他の独立
な組みを作ることもできる。例:
{1,x} → {1+x,1-x}
ロンスキアン(y1y2’-y1’y2)≠0
による独立の判定
簡単な微分方程式
28
2階微分方程式は、2個の未定定数をもつ
◦ 2個の定数の値を選べば解となる関数をすべて表わせる
2階微分方程式を満たす「独立な関数f(x)とg(x)」
を見出せば、Af ( x) Bg ( x) が一般解となる
◦ 一般解は2個の未定定数をもち、その2個の値の組み合わ
せで「 f(x)とg(x) の一方だけでは表すことができない」
関数がつくられる。
簡単な微分方程式
29
d2y
dy
b
cy h( x )
2
dx
dx
h( x) 0のと き 斉次あ る いは同次と いう
2つの独立な解を見つければ、一般解を書くことができる
例題: d 2 y
dx
2
0
d2y
y0
2
dx
d2y
y0
2
dx
y A Bx
y A sin x B cos x A sin( x ) A cos( x )
y Aex Be x
簡単な微分方程式
30
ここから先は、変数をtと書くことにする(振動のイメージがあるため)
微分しても関数の形が変わらない指数関数:
d t
e e t 微分しても関数の形が同じ
λが虚数だと: dt
1 2 1 3
z z
2
3!
cos t i sin t
ez 1 z
eit
1 n
z
n!
(ωを純虚数にすれば実数
の指数関数になる)
d it
ei (t t ) eit
ei·t 1 it
(1 it
it
e lim
e lim
e lim
t 0
t 0
t 0
dt
t
t
t
) 1
i eit
d 2 it
e (i ) 2 eit 2 eit
2
dt
簡単な微分方程式
31
d2y
dy
b
cy 0 推察:微分して「関数の形が変わらない」ものが解
2
dt
dt
y etを 代入し 、 に関する 条件を 見出す:
( 2 )et b et cet ( 2 b c)et 0
特性方程 2 b c 0 を満たすλについて、y
微分方程式を満たす:
et
は
b b2 4c
1,2
2
微分方程式を解くかわりに
2次式の解を求めればよい
簡単な微分方程式
32
特性方程式 の解
◦ 2つの実数 λ1, λ2:
y Ae1t Be2t
◦ 共役複素数 λ1=p+iq, λ2=p-iq
y Ae pt eiqt Be pt e iqt
微分方程式の解は実数なので
A, Bは複素数
C1,C2は実数
e pt C1 cos qt C2 sin qt
1 p iq, 1 p iq
独立な解の組を つく り かえ る :
{e pt eiqt , e pt e iqt }
◦ 重解(次ページ)
pt eiqt e iqt pt eiqt e iq
pt
pt
e
,e
e cos qt , e sin qt
2
2i
簡単な微分方程式
33
特性方程式が重解(=b)をもつとき
◦ 微分方程式の解として1つの関数しか推定できない。しかし
・
d2y
dy 2
bt
2
b
b
y
0
te
も 解にな る :
2
dt
dt
d bt
d 2 bt
bt
te ( 1+bt ) e 、 2 te 2b b 2t ebt
dt
dt
d2y
dy 2
2
2
bt
2
b
b
y
2
b
b
t
2
b
(
1+
bt
)
b
t
e
0
2
dt
dt
・ ebtと tebtは独立:
Aebt Btebt ( A Bt )ebt 0 (ebt 0) A Bt 0 A 0, B 0
bt
y
A
Bt
e
一般解:
簡単な微分方程式
34
d2y
dy
5 6y 0
dt 2
dt
2 5 6 ( 2)( 3) 0
d2y
dy
4
4y 0
2
dt
dt
( 2)2 0
d2y
4y 0
2
dt
( 2i)( 2i) 0
y Ae2t Be3t
y ( A Bt )e2t
y Ae2it Be2it ( A B) cos 2t i( A B)sin 2t
C1 cos 2t C2 sin 2t
d2y
dy
4
8y 0
2
dt
dt
2 4 8 0,
(2) (2)2 8 2 4 2 2i
y Ae(2 2i )t Be(22i )t e2t ( Ae2it Be 2it ) e 2t ( A B) cos 2t i ( A B)sin 2t
e2t {C1 cos 2t C2 sin 2t}
A,Bが共役複数となり、C1, C2が実数となる
簡単な微分方程式
35
dy
d2y
6 y 0,
5
2
dt
dt
y (0) 1, y '(0) 0
y(t ) Ae2t Be3t ,
y '(t ) 2 Ae 2t 3Be3t
y(0) A B 1,
y '(0) 2 A 3B 0
A 3, B 2,
y(t ) 3e2t 2e3t
d2y
4 y 0,
dt 2
y C1 cos 2t C2 sin 2t ,
y ' 2C1 sin 2t 2C2 cos 2t
y (0) 0, y '(0) 1;
y (0) C1 0, y '(0) 2C2 1,
y (0) 1, y (1) 0;
C1 cos(0) C2 sin(0) 1,
1
y (t ) sin 2t
2
C1 cos(2) C2 sin(2) 0,
C1 1, C2 cot 2
y (t ) cos 2t cot 2 sin 2t
簡単な微分方程式
36
d2y
dy
b
cy h(t ) を満たす解g(t)を1つ見つけ,
2
dt
dt
d2y
dy
b
cy 0 の一般解f(t)に加えて f(t)+g(t)とすることで、
2
dt
dt
非同次方程式の一般解を得る。
例
h(t ) e t :
が特性方程式の解ではない
g (t ) Ae t
g (t ) Ate t
・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 解であ る
h(t ) sin t (あ る いは cos t ) :
iが特性方程式の解ではない
g (t ) t ( A sin t B cos t )
・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 解であ る
h(t ) k0 k1t
g (t ) A sin t B cos t
kn t n
c0
g (t ) a0 a1t
ant n
c0
g (t )
ant n an 1t n 1
a1t
簡単な微分方程式
37
dy
f ( x, y ), dy f x, y dx
dx
y1 y0 y y0 f x0 , y0 x
f x0 , y0 f ( x0 , y0 ) f ( x0 px, y0 qf x0 , y0 x)
f ( x0 px, y0 qf x0 , y0 x) f x0 , y0 f x x0 , y0 px f y x0 , y0 qf x0 , y0 x
f x0 , y0 ( ) f ( x0 , y0 ) pf x x0 , y0 qf x0 , y0 f y x0 , y0 x
y1
y0 ( ) f ( x0 , y0 )x pf x x0 , y0 qf x0 , y0 f y x0 , y0 x 2
dy
y0
dx
( ) 1,
f x0 , y0
x0
1 d2y
x
2 dx 2
1
2
p ,
x 2 y0 f 0 x
x0
1
2
1
fx f y f
2
0
x 2
1
2
q , p q 1
1
1
f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 f x0 , y0 x)
2
2
簡単な微分方程式
38
d2y
dy
f ( x, y , )
2
dx
dx
dy
u dx
du f ( x, y, u )
dx
( x0 , y0 , u0 )
y1 y0 u0 x
u1 u0 f ( x0 , y0 , u0 )x
( x1 , y1 , u1 )
簡単な微分方程式
39
拡散方程式
波動方程式
簡単な微分方程式
40