Transcript 簡単な微分方程式の解 - 法政大学 情報科学部

法政大学 情報科学部
リクエスト集中講義
簡単な微分方程式
1

「今」に生きている人間の限界：微分方程式
「全て」を見渡したい人間の欲望：解を求める

「変化に注目」する例

◦ 「虫が増える速さ」は「各時刻での虫の数」に比例す
る。
◦ 物体に加わる力と、速度の変化する割合が比例する。
◦ 膜の各方向の凹凸は、合計するとゼロ になる。
簡単な微分方程式
2

時刻 t における虫の数を n(t) と書く。

問：時刻 t から t + Δt の間の数の変化Δnは？
n  n(t  t )  n(t )

問： Δt→ 0 の極限で、増える速さは?
n
dn

t
dt

問：「増える速さ」と「現在数」が「比例する」式は？
dn
kn
dt
簡単な微分方程式
3

時刻 t で質量 m の物体の座標が x(t)

2
dx
dv
d
x
問：物体の速度と加速度は？ v(t ) 
a (t ) 
 2
dt
dt
dt

問：力が一定の大きさmgのとき？
速度の2乗に比例する抵抗があるときは？
d 2x
dv
m 2 m
 F  mg
dt
dt

dv
m
 m g - cv
dt
問：バネの復元力が 変位の量に比例するとき？
d 2x
m 2  kx
dt
簡単な微分方程式
4



膜の凹凸を表わす f(x,y)
曲がり方を表わす2階導関数
問：偏導関数を使って、x方向の凹凸とy方向の凹
凸の和が0となることを記せ。
2 f 2 f
 2 0
2
x
y
簡単な微分方程式
5






微分方程式：導関数を含む式
階数
：式に含まれる導関数の最高階数
解
：微分方程式を満たす関数
特殊解
：特定の（初期、境界）条件を満たす
一般解
：任意の特殊解を表わす（積分定数）
特異解
：一般解に含まれない解
簡単な微分方程式
6
y  cos x
3. y  2sin x  3cos x
dy
 cos x
dx
dy
  sin x
dx
dy
 2 cos x  3sin x
dx
d2y
  sin x
dx 2
d2y
  cos x
2
dx
d2y
  2sin x  3cos x
2
dx
d2y
d2y
  y,
y0
2
2
dx
dx
d2y
y0
2
dx
d2y
y0
2
dx

1.
y  sin x
2.
簡単な微分方程式
7

y  2e x  3e2 x
dy
 2e x  3  2e 2 x  2e x  6e 2 x ,
dx
1  d 2 y dy 
e   2  
6  dx
dx 
2x
d2y
 2 e x  1 2e 2 x
2
dx
d 2 y dy

 6e 2 x
2
dx
dx
1  dy
1  dy  d 2 y dy   dy 1 d 2 y
2x 
e    6e      2    

2  dx
dx   dx 2 dx 2
 2  dx  dx
x
 dy 1 d 2 y 
1  d 2 y dy 
1 d 2 y 3 dy
y  2 
 3  2    

2 
2
dx
2
dx
6
dx
dx
2
d
x
2 dx




d2y
dy

3
 2y  0
2
dx
dx
簡単な微分方程式
8

y  1  log x
dy d
1
 (1  log x) 
dx dx
x
d 2 y d  1  1
   2
2
dx
dx  x  x
d 2 y 1 dy

0
2
dx
x dx
dy ' 1
 y' 0
dx x
dy '
 ( y ') 2  0
dx
簡単な微分方程式
9


次の微分方程式の一般解を求めよ。
dy
 x2
dx
微分方程
式を解く
||
積分する
・・・微分してx2になる関数は？
 f ( x)dx : 微分し て f ( x)になる 全ての関数
dy
1 3
2
y   dy   dx   x dx  x  C
dx
3
初期条件 y (0)  1を 満たす特解は？
1 3
y ( x)  x  1
3
簡単な微分方程式
特解を求める
||
積分定数を
決める
10

積分の式に直せば完成！
積分がで
きないと
…
(´_｀;)
dy 1

dx x
dy
1
y   dx   dx  log x  C
dx
x
dy
 x r (r  1)
dx
1 r 1
y   x dx 
x C
r 1
dy
 e ax
dx
1 ax
y   e dx  e  C
a
dy
 sin ax
dx
1
y   sin ax dx  cos ax  C
a
r
ax
簡単な微分方程式
11

2階（以上の）微分方程式を，1階微分方程式の
連立方程式とみなす
d2y
du
 dy
2
2

x


u
,

x


2
dx
dx
 dx

dy 1 3
1 4
u
 x  C1  y  x  C1 x  C2
dx 3
12
d2y
du
 dy

 cos x    u,
 cos x 
2
dx
dx
 dx

u  sin x  C1  y   cos x  C1 x  C2
簡単な微分方程式
12

dy
dy
 f ( x)   dx   dy   f ( x)dx
dx
dx


dy  f ( x)dx
こ の形も 「 微分方程式」 と 呼ぶ
簡単な微分方程式
13

すぐに積分の形になる！
 dy   f ( x)dx
 g ( y)dy   f ( x)dx
dy  f ( x)dx

g ( y )dy  f ( x)dx


dy f ( x)

dx g ( y )
dy
1
 h( y )· f ( x), h( y ) 
dx
g ( y)

簡単な微分方程式
14
2
ydy  xdx


1 2
1
y  C '  x2  C
2
2
1 2 1 2
y  x C
2
2
1
0
 y2  x2  C
1
2
2
1
0
1
2
xdx  (1  x 2 )dy  0


x
dx  dy
2
1 x
1
log(1  x 2 )
2
98.0
98.5
99.0
 log 1  x 2  y  C
10
簡単な微分方程式
99.5
5
5
10
15
3
dy
 2 xy
dx

dy
 y   2 xdx

log | y | x 2  C

y  Ae x
2
1
3
2
1
1
2
3
1
2
2
3
x
dy
 y 1
dx



y (1)  0


dy
dx

 1 y  x
 log | y  1| log | x | C
1
1
y  1  Ae log| x|  A log| x|  A
e
x
y  1 A / x
A  1,
3
2
1
3
簡単な微分方程式
2
1
1
2
3
1
2
3
16

式中の変数は、すべて(y/x)の形で含まれる
y
dy y x
dy  y 
dy
y
dy
例： dy
  1,
  ,
  , x
 y  xy  x , x tan  y  x  0
dx x
dx x y
dx
x
dx
x
dx
2


2
2
2
 
y
dy d (ux)
du
解き方： u  と おく  
ux
x
dx
dx
dx
dy
 y
 f 
dx
x


du
ux
 f (u )
dx
du f (u )  u

dx
x
簡単な微分方程式
17
dy y
  1,
dx x
u
y

x

ux
du
 u 1
dx
du
dx
x
 1   du  
dx
x
u  log | x | C  y  ( x log | x | C )
2
dy  y 
1
du
du
dx
   , y (1)   u  x
 u2   2

dx  x 
2
dx
u u
x
1
1
1
du
u 1
 2

 ;

log
 log | x | C
 u2  u
u  u u 1 u
u
u 1
1
x

 1   1   A·x
u
u
y
x
1
1
x
y
,A0

 A  1; y 
1  Ax
2 1 A
1 x
簡単な微分方程式
18
 b y
 1  a  x  
 ax  by 
dy
 f
  f  d y ;
dx
 cx  dy 
 1    
 c  x
同次形
 a  x  s   b( y  t )   p  as  bt  
 ax  by  p 
dy
 f

  f 
dx
cx

dy

q
c
x

s

d
(
y

t
)

q

cs

dt





 
” 分子・ 分母の第3項を 同時に0にでき れば”
同次形にでき る
簡単な微分方程式
19
dy
 f ( x)·y  g ( x )
dx

同次(斉次)線形微分方程式（変数分離）
dy
 f ( x)·y  0
dx
線形：

問：同次方程式の一般解を求めよ：

y1 ( x), y2 ( x)が解 → A·y1 ( x)  B·y2 ( x)も 解
dy
 F ( x)

log
y


f
(
x
)
dx


F
(
x
)

C

y

A
·
e
y

簡単な微分方程式
20

同次方程式の解の定係数を「関数として」、もと
の１階線形微分方程式を満たす解を探す：
y  A( x) ·e  F ( x ) の形で
dy
 f ( x)·y  g ( x)を 満たすのは？
dx
F   f ( x)dx,
dy dA  F
dA  F
 dF   F dA  F
F

e  A· 
e

e

f
(
x
)
A
e

e  f ( x) y

dx dx
d
x
dx
dx



dy
dA  F
dA  F
 f ( x) y 
e  f ( x) y  f ( x) y 
e  g ( x)
dx
dx
dx

dA  F
dA
e  g ( x) 
 e F g ( x)  A   e F g ( x)dx
dx
dx
簡単な微分方程式
21





リカッティ
ベルヌイ
クレロー
ラグランジュ
完全微分方程式
簡単な微分方程式
22
3
3
初期条件は，曲線の
通過点を決定する
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
3
3
3
2
1
0
dy
1 2
 x  y  x C
dx
2
1
2
3
3
各所で指定され
た傾きdy/dxをも
つ滑らかな曲線
は？
2
1
0
1
2
3
dy
 y  y  Ae x
dx
簡単な微分方程式
23

テーラー展開の復習（例はマクローリン展開）
f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2 
an 

1 (n)
f (0),
n!
例題：
ex
sin x
1
1 x
 an x n 
収束半径： R  lim
n 
an
,
an 1
| x | R
1 2
1
x   xn 
2!
n!
1 3 1 5
 x x  x 
3!
5!
 1 x 
 1  x  x2 
 xn 
,
1
1
1
log(1  x)  x  x 2  x3  x 4 
2
3
4
| x | 1
,| x | 1, x  1
簡単な微分方程式
24


微分方程式にべき級数を代入し、係数間の関係を導く
（漸化式）
2
例題：d y  y  0 ; y  a  a x  a x 2 
dx 2
an 
1
n!
a0 , a1 : 任意定数
a0  1, a1  1
 y  ex
a0  1, a1  1
 y  e x
0
1
2
dy
 a1  2a2 x  3a3 x 2 
dx
d2y
2

2
a

3
·2
a
x

4
·3
a
x

2
3
4
dx 2
d2y
2

y

(

a

2
a
)

(

a

3
·2
a
)
x

(

a

4
·3
a
)
x

0
2
1
3
2
4
2
dx
1
1
1
a2  a0 ,
a4 
a2 
a0 , a6 
2
4·3
4·3·2
1
a3 
a1 ,
a5 
3·2
簡単な微分方程式
0
25


階数と未定定数の個数
n階微分方程式：
◦ べき級数をn回微分すると、最初のn項が消える
◦ べき級数を代入して出来る係数の関係式で、最初のn個
が自由に決められる定数（任意定数）となる
n階の微分方程式の一般解は
n個の任意定数を含む
独立な初期条件がn個あれば
特解が定まる
簡単な微分方程式
26



ある物体に加わる力が既知のとき、物体の運動は
ある時刻における位置と速度が決まると、その後
の運動が完全に決まることを確認せよ。
運動方程式は2階微分方程式：
任意定数:
d 2x
m 2  F ( x, t )
dt
x(t )  a0  a1t  a2t 2  a3t 3 
dx
v(t ) 
 a1  2a2t  3a3t 2 
dt
x(0)  a0
v(0)  a1
簡単な微分方程式
27
f ( x)と g ( x)が 独立：
独立でない 、 従属 :
すべての xについて Af ( x)  Bg ( x)  0  A  0かつB  0
f ( x)  kg ( x)
例題：次の２関数が独立であること確認せよ。
{1, x}
A  Bx  0  ( x  0 ) A  0, B  0
{x, x2}
Ax  Bx2  0  ( x  0 ) A  Bx  0  A  0, B  0
{ex , e x }
Aex  Be x  0  (e x  0 ) A  Be2 x  0  (e2 x  0 ) A  0, B  0
{sin x, sin 2 x}
{sin x, cos x}

2
0

2
0
( A sin x  B sin 2 x)  sin x dx   A,
A sin x  B sin 2 x  0  A  0, etc.
( A sin x  B cos x)  sin x dx   A, A sin x  B cos x  0  A  0, etc.
独立な関数を組み合わせて、他の独立
な組みを作ることもできる。例：
{1,x} → {1+x,1-x}
ロンスキアン(y1y2’-y1’y2)≠0
による独立の判定
簡単な微分方程式
28

2階微分方程式は、2個の未定定数をもつ
◦ 2個の定数の値を選べば解となる関数をすべて表わせる

2階微分方程式を満たす「独立な関数f(x)とg(x)」
を見出せば、Af ( x)  Bg ( x) が一般解となる
◦ 一般解は2個の未定定数をもち、その2個の値の組み合わ
せで「 f(x)とg(x) の一方だけでは表すことができない」
関数がつくられる。
簡単な微分方程式
29
d2y
dy
b
 cy  h( x )
2
dx
dx
h( x)  0のと き 斉次あ る いは同次と いう
2つの独立な解を見つければ、一般解を書くことができる
例題： d 2 y
dx
2
0
d2y
 y0
2
dx
d2y
y0
2
dx
y  A  Bx
y  A sin x  B cos x  A sin( x   )  A cos( x   )
y  Aex  Be x
簡単な微分方程式
30
ここから先は、変数をtと書くことにする（振動のイメージがあるため）


微分しても関数の形が変わらない指数関数：
d t
e   e t 微分しても関数の形が同じ
λが虚数だと： dt
1 2 1 3
z  z 
2
3!
 cos t  i sin t
ez  1  z 
eit

1 n
z 
n!
（ωを純虚数にすれば実数
の指数関数になる）
d it
ei (t t )  eit
ei·t  1 it
(1  it 
it
e  lim
 e  lim
 e  lim
t 0
t 0
t 0
dt
t
t
t
) 1
 i  eit
d 2 it
e  (i ) 2 eit   2 eit
2
dt
簡単な微分方程式
31
d2y
dy

b
 cy  0 推察：微分して「関数の形が変わらない」ものが解
2
dt
dt
y  etを 代入し 、  に関する 条件を 見出す：
( 2 )et  b et  cet  ( 2  b  c)et  0
特性方程  2  b  c  0 を満たすλについて、y
微分方程式を満たす:
 et
は
b  b2  4c
1,2 
2
微分方程式を解くかわりに
２次式の解を求めればよい
簡単な微分方程式
32

特性方程式 の解
◦ ２つの実数 λ1, λ2：
y  Ae1t  Be2t
◦ 共役複素数 λ1=p+iq, λ2=p-iq
y  Ae pt eiqt  Be pt e iqt
微分方程式の解は実数なので
A, Bは複素数
C1,C2は実数
 e pt  C1 cos qt  C2 sin qt 
1  p  iq, 1  p  iq
独立な解の組を つく り かえ る ：
{e pt eiqt , e pt e iqt }
◦ 重解（次ページ）
 pt eiqt  e  iqt pt eiqt  e iq 
pt
pt
 e
,e
  e cos qt , e sin qt
2
2i


簡単な微分方程式
33

特性方程式が重解（=b）をもつとき
◦ 微分方程式の解として１つの関数しか推定できない。しかし
・
d2y
dy 2
bt

2
b

b
y

0

te
も 解にな る ：
2
dt
dt
d bt
d 2 bt
bt
te  ( 1+bt ) e 、 2  te    2b  b 2t  ebt

dt
dt
d2y
dy 2
2
2
bt

2
b

b
y

2
b

b
t

2
b
(
1+
bt
)

b
t
e
0


2
dt
dt


・ ebtと tebtは独立:
Aebt  Btebt  ( A  Bt )ebt  0  (ebt  0) A  Bt  0  A  0, B  0
bt
y

A

Bt
e


一般解：
簡単な微分方程式
34
d2y
dy
5  6y  0
dt 2
dt
  2  5  6  (  2)(  3)  0
d2y
dy

4
 4y  0
2
dt
dt
 (  2)2  0
d2y
 4y  0
2
dt
 (  2i)(  2i)  0
 y  Ae2t  Be3t
 y  ( A  Bt )e2t
 y  Ae2it  Be2it  ( A  B) cos 2t  i( A  B)sin 2t
 C1 cos 2t  C2 sin 2t
d2y
dy

4
 8y  0
2
dt
dt
  2  4  8  0,
  (2)  (2)2  8  2  4  2  2i
 y  Ae(2 2i )t  Be(22i )t  e2t ( Ae2it  Be 2it )  e 2t ( A  B) cos 2t  i ( A  B)sin 2t
 e2t {C1 cos 2t  C2 sin 2t}
A,Bが共役複数となり、C1, C2が実数となる
簡単な微分方程式
35
dy
d2y
 6 y  0,
5

2
dt
dt
y (0)  1, y '(0)  0
y(t )  Ae2t  Be3t ,
y '(t )  2 Ae 2t  3Be3t
y(0)  A  B  1,
y '(0)  2 A  3B  0
A  3, B  2,
y(t )  3e2t  2e3t
d2y
 4 y  0,
dt 2
y  C1 cos 2t  C2 sin 2t ,
y '  2C1 sin 2t  2C2 cos 2t
y (0)  0, y '(0)  1;
y (0)  C1  0, y '(0)  2C2  1,
y (0)  1, y (1)  0;
C1 cos(0)  C2 sin(0)  1,
1
y (t )  sin 2t
2
C1 cos(2)  C2 sin(2)  0,
C1  1, C2   cot 2
y (t )  cos 2t  cot 2  sin 2t
簡単な微分方程式
36
d2y
dy

b
 cy  h(t ) を満たす解g(t)を１つ見つけ,
2
dt
dt
d2y
dy

b
 cy  0 の一般解f(t)に加えて f(t)+g(t)とすることで、
2
dt
dt
非同次方程式の一般解を得る。
例
h(t )  e t :
が特性方程式の解ではない
 g (t )  Ae t
 g (t )  Ate t
・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 解であ る
h(t )  sin  t (あ る いは cos  t ) :
iが特性方程式の解ではない
 g (t )  t ( A sin  t  B cos  t )
・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 解であ る
h(t )  k0  k1t 
 g (t )  A sin  t  B cos  t
 kn t n
c0
 g (t )  a0  a1t 
 ant n
c0
 g (t ) 
 ant n  an 1t n 1
a1t 
簡単な微分方程式
37
dy
 f ( x, y ), dy  f  x, y  dx
dx
 y1  y0  y y0  f  x0 , y0  x
f  x0 , y0    f ( x0 , y0 )   f ( x0  px, y0  qf  x0 , y0  x)
f ( x0  px, y0  qf  x0 , y0  x)  f  x0 , y0   f x  x0 , y0  px  f y  x0 , y0  qf  x0 , y0  x
f  x0 , y0   (   ) f ( x0 , y0 )   pf x  x0 , y0    qf  x0 , y0  f y  x0 , y0  x
y1
y0  (   ) f ( x0 , y0 )x   pf x  x0 , y0    qf  x0 , y0  f y  x0 , y0  x 2
dy
 y0 
dx
(   )  1,
f  x0 , y0  
x0
1 d2y
x 
2 dx 2
1
2
p ,
x 2  y0  f 0 x 
x0
1
2
1
 fx  f y f
2

0
x 2
1
2
q      , p  q 1
1
1
f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  f  x0 , y0  x)
2
2
簡単な微分方程式
38
d2y
dy
 f ( x, y , )
2
dx
dx
dy

u  dx

 du  f ( x, y, u )
 dx
( x0 , y0 , u0 )
y1  y0  u0 x
u1  u0  f ( x0 , y0 , u0 )x
( x1 , y1 , u1 )
簡単な微分方程式
39


拡散方程式
波動方程式
簡単な微分方程式
40