Transcript Trigonometria1

Introdução
• A palavra trigonometria (do grego TRIGONO = triângulo, METRIA =
medida) teve origem na resolução de problemas práticos, relacionados
principalmente à navegação e à astronomia.
• A trigonometria relaciona mas medidas dos lados dos triângulos com a
medida de seus ângulos e é de grande utilidade para o cálculo de
distancias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres,
distancia entre rios.
Introdução
• Acredita-se que como ciência, a trigonometria nasceu pelas mãos de
diversos homens, com destaque ao astrônomo grego Hiparco de Nicélia
(190 aC – 125 aC).
• Este astrônomo utilizou a matemática aplicada
para prever eclipses e movimentos dos astros,
permitindo a elaboração de calendários mais
precisos e propiciando mais segurança à
navegação.
• Hiparco ficou conhecido como pai da trigonometria
por ter sistematizado algumas relações no
triangulo retângulo.
Introdução
• A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos
aplicações, por exemplo:
• na engenharia: na cinemática, trabalho, no movimento harmônico
• na acústica: o som segue uma função seno.
Introdução
• A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos
aplicações, por exemplo:
• na química: Na química utilizamos a trigonometria para definir a
geometria das moléculas e assim definir algumas propriedades suas.
• na astronomia: Para o calculo do distancia entre o astros.
• na medicina: A variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de
um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Conceitos iniciais:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Atividade 1:
• Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo
retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊.
• Agora, calcule as seguintes razões:
Por que deu igual
o de todo
mundo?
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Todos encontraram o mesmo resultado por que a razão está relacionada
ao valor do ângulo e não da medida do lado propriamente dito.
Vale lembrar:
Todos os triângulos desenhados na sala são semelhantes, pois possuem
todos os ângulos internos iguais. Ou seja, os lados de todos os triângulos
são proporcionais, logo a razão resultará num mesmo valor.
• Essas divisões, recebem, cada uma, um nome específico.
São eles: SENO, COSSENO, TANGENTE.
CO
CA
• Voltemos à atividade 1...
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Atividade 1:
• Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo
retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊.
• Agora, calcule as seguintes razões:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Atividade 1:
• Ou seja: Podemos concluir que:
Seno de 50 ̊ = 0,766
sen(50 ̊) = 0,766
CO
Coseno de 50 ̊ = 0,642
cos(50 ̊) = 0,642
CA
Tangente de 50 ̊ = 1,119
tg(50 ̊) = 1,119
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Os valores de seno, cosseno e
tangente dos ângulo menores
que 90 ̊, já são conhecidos e
estão tabelados.
• Observe ao lado:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Atividade 2:
• O ângulo de elevação do topo da encosta tomado a partir do pé de uma
árvore é de 60 ̊. Sabendo que a arvore está a 50m de distância da base da
encosta, qual é a medida que deve ter um cabo de aço para ligar a base da
arvore ao topo da encosta?
Da tabela: cos(60 ̊) = 0,5
Qual relação
vamos utilizar?
COSSENO
C adjacente
Hipotenusa
50
cos(600 ) 
 0,5
X
50
X 
 100m
0,5
cos seno 
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Atividade 3:
• A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao
solo é importante para previsões meteorológicas e na orientação de
aviões para que evitem turbulências. Nessas condições, determine a altura
das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho a seguir.
Da tabela: tg (4 ̊) = 0,07
Qual relação
vamos utilizar?
TANGENTE
tan gente 
C oposto
C adjacente
X
tg(4 ) 
 0,07
80
X  0,07  80  5,6km
0
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Atividade 4:
• Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um
comprimento máximo de 30m, quando é levantada a um ângulo máximo
de 70 ̊. Sabe-se que a base da escada está colocada sobre um caminhão, a
uma altura de 2m do solo. Que altura em relação ao solo, essa escada
poderá alcançar?
Qual relação
vamos utilizar?
SENO
Da tabela: sen(70 ̊) = 0,939
C oposto
Hipotenusa
H
0
sen(70 ) 
 0,939
30
H  0,939 30  28,19m
seno 
Alturatotal  28,19  2  30,19m
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Como saber qual relação usar???
• Depende dos dados do seu problema...
• Se as variáveis a serem relacionadas são:
Cateto Oposto e Hipotenusa -> Seno
Cateto Adjacente e Hipotenusa -> Cosseno
Cateto Oposto e Cateto Adjacente -> Tangente
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Na resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores da
seguinte tabela:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Exercícios:
– Página 71: E 33, 34, 43
Objetivo:
Determinar a altura de objetos do
modo indireto, utilizando as
funções trigonométricas
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• O teodolito é um instrumento ótico
utilizado na Topografia e na
Agrimensura para realizar medidas
de ângulos verticais e horizontais,
usando cálculos de triangulação.
• Basicamente é um telescópio com
movimentos graduados na vertical e
na horizontal, e montado sobre um
tripé, podendo possuir ou não uma
bússola incorporada.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Construindo um teodolito:
Materiais necessários:
Copo plástico com tampa de encaixe.
Cópia de transferidor circular
Quadrado de papelão
Pedaço de arame fino ( 15 cm)
Conudinho do Mc Donal`s
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Construindo um teodolito:
Como construir
1.
Cubra o quadrado do papelão, colando
a cópia do transferidor, no centro do
quadrado; posicione o ângulo zero na
direção do ponto médio de um lado.
2. Cole a tampa do copo no interior da
figura do transferidor, centralizada.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Construindo um teodolito:
Como construir
3. Passe o arame pela boca do copo numa
posição diametral, deixando que suas
pontas, atinjam as extremidades do
transferidor.
4. Cole o pedaço de canudinho no fundo do
copo, também em posição diametral, na
mesma direção do arame.
5. Encaixe o copo na tampa.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Utilizando o um teodolito:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Vamos então fazer um experimento?
• Podemos ir até o ginásio de esportes da escola para medir a altura da
tabela da cesta da basquete.
Procedimento:
• Primeiro deve-se marcar no chão a
linha perpendicular que contém a
tabela.
• Deste ponto em diante, usar a trena
para marcar as distâncias de 5m, 10m,
20m, 30m para serem referência de
marcação.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Os dados obtidos serão registrados em uma tabela:
Distancia do
observador ao
objeto
5m
10m
Medida do
ângulo de
visada
Altura do
Observador
Altura do
objeto
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Há duas relações importantes válidas entre as razões trigonométricas
estudadas. Observe a primeira:
C oposto 
sen 
Hipotenusa


C adjacente
cos 
hipotenusa

C oposto
sen Hipotenusa

cos C adjacente
hipotenusa
sen
C oposto Hipotenusa C oposto



 tg
cos Hipotenusa C adjacente C adjacente
sen
 tg
cos
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• Segunda relação:
sen 
c
b
b
c
e cos 
a
c
sen2  cos2  
a
b2 a2 a2  b2
b a
     2  2 
c
c
c2
c c
2
2
• Pelo Teorema de Pitágoras: a 2  b 2  c 2
2
2
2
a

b
c
• Substituindo, obtemos: sen2  cos2  
 2 1
2
c
c
sen2  cos2   1
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
• As duas relações aprendidas servem como uma ferramenta a mais para
determinarmos o valor das funções trigonométricas dos ângulos.
• EXERCÍCIOS:
Página 61 – E14, 15