Pokok Bahasan

   Uji Hipotesis Varians dengan Sampel-Ganda Uji Hipotesis Mean dengan Sampel-Ganda Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-Ganda

Uji Hipotesis Varians dengan Sampel-Ganda

 Ilustrasi :  Seorang ahli pompa ingin mengetahui apakah kapasitas dan tinggi tekan sebuah pompa minyak yang diuji dengan posisi instalasi pipa vertikal sama dengan hasil pengujian secara horizontal  Seorang Telecomers ingin menguji kuat sinyal jaringan HSDPA dari 2 provider komunikasi seluler

Uji Hipotesis Varians dengan Sampel-Ganda

 Untuk memperoleh hasil yg berguna, uji hipotesis sampel ganda harus memenuhi asumsi sebagai berikut :  Data di kedua populasi yang di ambil sebagai sampel harus terdistribusi normal  Sumber data pada populasi pertama harus independen terhadap sumber data di populasi kedua (independent sample)

1.

Prosedur Uji Dua Varians

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

H 0 H 1

: σ 1 2 : σ 1 2 = σ 2 ≠ σ 2 2 2 ; σ 1 2 > σ 2 2 ; σ 1 2 < σ 2 2 Pemilihan tingkat kepentingan (Level of significance), α Penentuan distribusi pengujian yang digunakan 

distribusi F

Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule) Perhitungan rasio uji (RU)

RU F



F test



s

1 2

s

2 2 Pengambilan keputusan secara statistik

Distribusi F

Sifat-sifat :   Distribusi F adalah distribusi sampling untuk variabel

s

1 2 /

s

1 2 (rasio varians sampel) Seluruh nilai F > 0  Tidak simetris  Terdapat perbedaan bentuk distribusi yang bergantung pada jumlah sampelnya serta banyaknya pengamatan dalam sampel-sampel tersebut.

Distribusi F

Notasi dan Bentuk umum  Notasi :

F

 ,

df

1 ,

df

2  Bentuk umum :

df 1 = v 1 = n 1 – 1 df 2 = v 2 = n 2 – 1

Contoh soal

 Eksperimen pengurangan kebisisngan bahan peredam suara pada kompartemen mobil dengan 2 jenis bahan yang berbeda A dan B. Hasilnya sebagai berikut :  Bahan A : 8 kompartemen  41, 43, 60, 56, 85, 79, 51, 49 (dB) Bahan B : 9 kompartemen 73, 67, 83, 70, 66, 68, 92 ,76, 59 (dB) Dengan uji dua varians, kesimpulan apa yg dapat diambil?

Jawaban

 Sampel bahan A :  Sampel bahan B :

x

1 

x

1  

x



n n x

 58  72 , 7

dan dan s

1 2 

s

1 2   (

x n

  1

x

) 2  (

x n

  1

x

) 2  260 , 29  98 Langkah-langkah uji hipotesis : 1.

2.

Hipotesis : H

1

: σ 1 2 α = 0,05 < σ 2 2 3.

4.

Menggunakan distribusi F

n 1 < n 2



n 1

= 8 ; n

2

= 9

df 1

= 7 ; df

2

= 8 Batas-batas daerah penolakan (kritis)  uji dua ujung α = 0,05  α /2 = 0,025

F

0.025, 7, 8 = 4,53

Jawaban

5.

6.

7.

Aturan keputusan : Tolak H 0 dan terima H 1 jika RU

F

> 4,53. Jika tidak demikian terima H 0 Rasio uji :

RU F



F test

Pengambilan keputusan : 

s

1 2

s

2 2  260 , 98 29  2 , 656 karena RU tersebut.

F

< 4,53 maka H

0

:

s

1 2 =

s

2 2 diterima. Hal ini berarti tidak terdapat perbedaan yang signifikan terhadap variabilitas hasil dari kedua eksperimen

Uji Hipotesis Mean dengan Sampel-Ganda

Ada 4 prosedur untuk uji ini : 1.

2.

3.

4.

Uji t-pasangan untuk populasi yang saling tergantung (dependent population) Uji z untuk populasi yang independen dan jika varians varians populasi diketahui atau jika kedua sampel ukuran lebih dari 30 Uji t sampel ukuran kecil untuk populasi yang independen jika uji F-nya menunjukkan σ 1 2 ≠ σ 2 2 Uji t sampel ukutan kecil untuk populasi yang independen jika uji F-nya menunjukkan σ 1 2 = σ 2 2

Prosedur Uji Mean dengan Sampel-Ganda

Uji t-Pasangan untuk Populasi Saling Tergantung

Prosedur uji : 1.

2.

3.

4.

Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

H 0 H 1

:

μ d

:

μ d

= 0 ≠ 0

μ d

> 0  uji dua-ujung  uji satu-ujung Pemilihan tingkat kepentingan (Level of significance), α Penentuan distribusi pengujian yang digunakan 

distribusi t

Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis

df = v = n – 1

n = banyaknya pasangan data

Uji t-Pasangan untuk Populasi Saling Tergantung

5.

6.

7.

Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule) Perhitungan rasio uji (RU)

RU F s d

 

t test



d

 

d s d

/  (

d n

  1

d

) 2

n

Di mana : d = perbedaan nilai pasangan data (sebelum dan sesudah diberi perlakuan) Pengambilan keputusan secara statistik

Contoh Soal

 Seorang akan sarjana informatika sedang merekomendasikan kepada mengevaluasi perusahaan suatu program baru untuk mengolah database. Jika dengan program yang baru ini terdapat penghematan waktu yang berarti, dia untuk menggunakan program baru tersebut. Suatu sampel yang terdiri dari 8 orang dilatih untuk menggunakan program baru tersebut kemudian waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama dengan program yang lama dan yang baru dicatat, seperti yang ditunjukkan pada Tabel. Kemudian dilakuka perhitungan sebagai berikut :

Jawaban

Operator Amir Beni Coki Dedi Emir Fariz Gani Heru Program Baru (x

1

)

85 84 80 93 83 71 79 83

d s d

  

d



n

 (

d

16 8 

n

 1 

d

) 2 2  120 8  1  17 , 143  4 , 14

Program Lama (x

1

)

80 88 76 90 74 70 81 83

∑ Perbedaan (d

= x 1 – x 2 )

5 -4 4 3 9 1 -2 0 16

_ (d – d)

3 -6 2 1 7 -1 -4 -2 0

_ (d – d)

2

9 36 4 1 49 1 16 4 120

Jawaban

Uji hipotesis dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1.

2.

3.

Hipotesis :

H 0 H 1

:

μ d

:

μ d

= 0 ≠ 0 α = 0,05  uji dua-ujung  uji dua-ujung Menggunakan distribusi t 4.

5.

Batas-batas daerah penolakan/batas kritis uji dua-ujung : α = 0,05  α/2 = 0,025 dengan derajat kebebasan df = v = n – 1 = 8 – 1 = 7 Dari tabel t : t 0,025, 7 = 2,365 Aturan keputusan : Tolak H

0

dan terima H

1

demikian terima H

0

jika RU

t

< -2,365 atau RU

t

> +2,365 . Jika tidak

Jawaban

6.

Rasio uji :

RU t



t test



d

 

d s d

/

n

 2  4 , 14 / 0 8  1 , 37 7.

Pengambilan keputusan : Karena -2,365 < RU

t

< +2,365 maka H

0

:

μ d

= 0 diterima. Hal ini berarti rata-rata kecepatan pengolahan data dengan program baru tidak berbeda dengan program lama. Jadi sarjana informatika tersebut tidak perlu merekomendasikan perusahaannya.

untu menggunakan program baru kepada

Uji z untuk Populasi yang Independen

Uji z digunakan apabila :  Sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal  Nilai-nilai deviasi standar populasi σ 1 dan σ 2 telah diketahui atau ukuran kedua sampel lebih dari 30 (

n

> 30)

Uji z untuk Populasi yang Independen

Prosedur uji hipotesisnya adalah sebagai berikut : 1.

2.

Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

H 0 H 1 : μ 1 : μ μ 1 1 = μ 2 ≠ μ 2



> μ2

 uji dua-ujung uji satu-ujung

μ 1 < μ2

 uji satu-ujung Pemilihan tingkat kepentingan (Level of Significance), α 3.

4.

5.

Penentuan distribusi pengujian yang digunakan  Distribusi z Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule)

Uji z untuk Populasi yang Independen

6.

 Perhitungan Rasio Uji Jika σ1 dan σ2 telah diketahui :  Jika σ1 dan σ2 tidak diketahui, tetapi ukuran kedua sampel > 30 :

RU z



z test



x

1  

x

2

x

1 

x

2 

x

1 

x

2

RU z

   1 2

n

1

z test

   2 2

n

2

x

1  ˆ 

x

2

x

1 

x

2 7.



x

1 

x

2  Pengambilan keputusan secara statistik

s

1 2

n

1 

s n

2 2 2

Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang Independen

Jika Uji F menunjukkan : σ 1 2 ≠ σ 2 2 Uji ini digunakan bila :  Sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal  Nilai-nilai deviasi standar populasi σ 1 diketahui dan σ 2 tidak   Ukuran sampel n

1

atau n

2

kecil (<30) Uji F pada varians menunjukkan bahwa σ 1 2 ≠ σ 2 2

Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang Independen

Jika Uji F menunjukkan : σ 1 2 ≠ σ 2 2 Prosedur uji hipotesisnya merupakan gabungan prosedur pengujian dua varians dan uji t dengan ketentuan sebagai berikut : a.

Rasio Uji

RU t



t test

 

s

1 2

x

1

n

1   

x

2

s

2 2

n

2  b.

Derajat kebebasan : Derajat kebebasan yang digunakan ialah derajat kebebasan yang lebih kecil di antara dua sampel tersebut

Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang Independen

Jika Uji F menunjukkan : σ 1 2 = σ 2 2 Uji ini digunakan bila :  Sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal  Nilai-nilai deviasi standar populasi σ 1 diketahui dan σ 2 tidak   Ukuran sampel n

1

atau n

2

kecil (<30) Uji F pada varians menunjukkan bahwa σ 1 2 = σ 2 2

Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang Independen

Jika Uji F menunjukkan : σ 1 2 = σ 2 2 Prosedur uji hipotesisnya merupakan gabungan prosedur pengujian dua varians dan uji t dengan ketentuan sebagai berikut : a.

Rasio Uji

RU t



t



test



s

1 2 (

n

1 

n

1 1 ) 

x

1

x

2 

n

2

s

2 2  ( 2

n

2  1 ) 1

n

1  1

n

2 b.

Derajat kebebasan : Derajat kebebasan yang digunakan adalah :

df = v = n 1 + n 2 – 2

Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-Ganda

Terdapat dua asumsi yang harus dipenuhi dalam melakukan uji ini :  Kedua sampel diambil dari dua populasi yang saling independen  Sampel-sampel yang diambil dari masing-masing populasi harus berukuran cukup besar. Untuk masing-masing sampel np > 500 dan juga, n(100 – p) > 500

Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-Ganda

Prosedur Uji Dua Presentase : 1.

2.

3.

4.

5.

Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif H 0 H 1 : π 1 : π π π 1 1 1 = π 2 ≠ π 2  > π 2  < π 2  uji dua-ujung uji satu-ujung uji satu-ujung Pemilihan tingkat kepentingan (Level of Significance), α Penentuan distribusi pengujian yang digunakan  Distribusi z Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule)

Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-Ganda

Prosedur Uji Dua Presentase : 6.

Perhitungan rasio uji

RU z



p

1  ˆ 

p

2

p

1 

p

2  ˆ

p

1 

p

2 

p

1 ( 100 

p

1 ) 

n

1

p

2 ( 100 

p

2 )

n

2 7.

Pengambilan keputusan secara statistik