Transcript Probabilitas dan Statistika BAB 10 Uji Hipotesis Sampel Ganda
Pokok Bahasan
Uji Hipotesis Varians dengan Sampel-Ganda Uji Hipotesis Mean dengan Sampel-Ganda Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-Ganda
Uji Hipotesis Varians dengan Sampel-Ganda
Ilustrasi : Seorang ahli pompa ingin mengetahui apakah kapasitas dan tinggi tekan sebuah pompa minyak yang diuji dengan posisi instalasi pipa vertikal sama dengan hasil pengujian secara horizontal Seorang Telecomers ingin menguji kuat sinyal jaringan HSDPA dari 2 provider komunikasi seluler
Uji Hipotesis Varians dengan Sampel-Ganda
Untuk memperoleh hasil yg berguna, uji hipotesis sampel ganda harus memenuhi asumsi sebagai berikut : Data di kedua populasi yang di ambil sebagai sampel harus terdistribusi normal Sumber data pada populasi pertama harus independen terhadap sumber data di populasi kedua (independent sample)
1.
Prosedur Uji Dua Varians
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif
H 0 H 1
: σ 1 2 : σ 1 2 = σ 2 ≠ σ 2 2 2 ; σ 1 2 > σ 2 2 ; σ 1 2 < σ 2 2 Pemilihan tingkat kepentingan (Level of significance), α Penentuan distribusi pengujian yang digunakan
distribusi F
Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule) Perhitungan rasio uji (RU)
RU F
F test
s
1 2
s
2 2 Pengambilan keputusan secara statistik
Distribusi F
Sifat-sifat : Distribusi F adalah distribusi sampling untuk variabel
s
1 2 /
s
1 2 (rasio varians sampel) Seluruh nilai F > 0 Tidak simetris Terdapat perbedaan bentuk distribusi yang bergantung pada jumlah sampelnya serta banyaknya pengamatan dalam sampel-sampel tersebut.
Distribusi F
Notasi dan Bentuk umum Notasi :
F
,
df
1 ,
df
2 Bentuk umum :
df 1 = v 1 = n 1 – 1 df 2 = v 2 = n 2 – 1
Contoh soal
Eksperimen pengurangan kebisisngan bahan peredam suara pada kompartemen mobil dengan 2 jenis bahan yang berbeda A dan B. Hasilnya sebagai berikut : Bahan A : 8 kompartemen 41, 43, 60, 56, 85, 79, 51, 49 (dB) Bahan B : 9 kompartemen 73, 67, 83, 70, 66, 68, 92 ,76, 59 (dB) Dengan uji dua varians, kesimpulan apa yg dapat diambil?
Jawaban
Sampel bahan A : Sampel bahan B :
x
1
x
1
x
n n x
58 72 , 7
dan dan s
1 2
s
1 2 (
x n
1
x
) 2 (
x n
1
x
) 2 260 , 29 98 Langkah-langkah uji hipotesis : 1.
2.
Hipotesis : H
1
: σ 1 2 α = 0,05 < σ 2 2 3.
4.
Menggunakan distribusi F
n 1 < n 2
n 1
= 8 ; n
2
= 9
df 1
= 7 ; df
2
= 8 Batas-batas daerah penolakan (kritis) uji dua ujung α = 0,05 α /2 = 0,025
F
0.025, 7, 8 = 4,53
Jawaban
5.
6.
7.
Aturan keputusan : Tolak H 0 dan terima H 1 jika RU
F
> 4,53. Jika tidak demikian terima H 0 Rasio uji :
RU F
F test
Pengambilan keputusan :
s
1 2
s
2 2 260 , 98 29 2 , 656 karena RU tersebut.
F
< 4,53 maka H
0
:
s
1 2 =
s
2 2 diterima. Hal ini berarti tidak terdapat perbedaan yang signifikan terhadap variabilitas hasil dari kedua eksperimen
Uji Hipotesis Mean dengan Sampel-Ganda
Ada 4 prosedur untuk uji ini : 1.
2.
3.
4.
Uji t-pasangan untuk populasi yang saling tergantung (dependent population) Uji z untuk populasi yang independen dan jika varians varians populasi diketahui atau jika kedua sampel ukuran lebih dari 30 Uji t sampel ukuran kecil untuk populasi yang independen jika uji F-nya menunjukkan σ 1 2 ≠ σ 2 2 Uji t sampel ukutan kecil untuk populasi yang independen jika uji F-nya menunjukkan σ 1 2 = σ 2 2
Prosedur Uji Mean dengan Sampel-Ganda
Uji t-Pasangan untuk Populasi Saling Tergantung
Prosedur uji : 1.
2.
3.
4.
Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif
H 0 H 1
:
μ d
:
μ d
= 0 ≠ 0
μ d
> 0 uji dua-ujung uji satu-ujung Pemilihan tingkat kepentingan (Level of significance), α Penentuan distribusi pengujian yang digunakan
distribusi t
Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis
df = v = n – 1
n = banyaknya pasangan data
Uji t-Pasangan untuk Populasi Saling Tergantung
5.
6.
7.
Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule) Perhitungan rasio uji (RU)
RU F s d
t test
d
d s d
/ (
d n
1
d
) 2
n
Di mana : d = perbedaan nilai pasangan data (sebelum dan sesudah diberi perlakuan) Pengambilan keputusan secara statistik
Contoh Soal
Seorang akan sarjana informatika sedang merekomendasikan kepada mengevaluasi perusahaan suatu program baru untuk mengolah database. Jika dengan program yang baru ini terdapat penghematan waktu yang berarti, dia untuk menggunakan program baru tersebut. Suatu sampel yang terdiri dari 8 orang dilatih untuk menggunakan program baru tersebut kemudian waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama dengan program yang lama dan yang baru dicatat, seperti yang ditunjukkan pada Tabel. Kemudian dilakuka perhitungan sebagai berikut :
Jawaban
Operator Amir Beni Coki Dedi Emir Fariz Gani Heru Program Baru (x
1
)
85 84 80 93 83 71 79 83
d s d
d
n
(
d
16 8
n
1
d
) 2 2 120 8 1 17 , 143 4 , 14
Program Lama (x
1
)
80 88 76 90 74 70 81 83
∑ Perbedaan (d
= x 1 – x 2 )
5 -4 4 3 9 1 -2 0 16
_ (d – d)
3 -6 2 1 7 -1 -4 -2 0
_ (d – d)
2
9 36 4 1 49 1 16 4 120
Jawaban
Uji hipotesis dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1.
2.
3.
Hipotesis :
H 0 H 1
:
μ d
:
μ d
= 0 ≠ 0 α = 0,05 uji dua-ujung uji dua-ujung Menggunakan distribusi t 4.
5.
Batas-batas daerah penolakan/batas kritis uji dua-ujung : α = 0,05 α/2 = 0,025 dengan derajat kebebasan df = v = n – 1 = 8 – 1 = 7 Dari tabel t : t 0,025, 7 = 2,365 Aturan keputusan : Tolak H
0
dan terima H
1
demikian terima H
0
jika RU
t
< -2,365 atau RU
t
> +2,365 . Jika tidak
Jawaban
6.
Rasio uji :
RU t
t test
d
d s d
/
n
2 4 , 14 / 0 8 1 , 37 7.
Pengambilan keputusan : Karena -2,365 < RU
t
< +2,365 maka H
0
:
μ d
= 0 diterima. Hal ini berarti rata-rata kecepatan pengolahan data dengan program baru tidak berbeda dengan program lama. Jadi sarjana informatika tersebut tidak perlu merekomendasikan perusahaannya.
untu menggunakan program baru kepada
Uji z untuk Populasi yang Independen
Uji z digunakan apabila : Sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal Nilai-nilai deviasi standar populasi σ 1 dan σ 2 telah diketahui atau ukuran kedua sampel lebih dari 30 (
n
> 30)
Uji z untuk Populasi yang Independen
Prosedur uji hipotesisnya adalah sebagai berikut : 1.
2.
Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif
H 0 H 1 : μ 1 : μ μ 1 1 = μ 2 ≠ μ 2
> μ2
uji dua-ujung uji satu-ujung
μ 1 < μ2
uji satu-ujung Pemilihan tingkat kepentingan (Level of Significance), α 3.
4.
5.
Penentuan distribusi pengujian yang digunakan Distribusi z Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule)
Uji z untuk Populasi yang Independen
6.
Perhitungan Rasio Uji Jika σ1 dan σ2 telah diketahui : Jika σ1 dan σ2 tidak diketahui, tetapi ukuran kedua sampel > 30 :
RU z
z test
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
RU z
1 2
n
1
z test
2 2
n
2
x
1 ˆ
x
2
x
1
x
2 7.
x
1
x
2 Pengambilan keputusan secara statistik
s
1 2
n
1
s n
2 2 2
Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang Independen
Jika Uji F menunjukkan : σ 1 2 ≠ σ 2 2 Uji ini digunakan bila : Sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal Nilai-nilai deviasi standar populasi σ 1 diketahui dan σ 2 tidak Ukuran sampel n
1
atau n
2
kecil (<30) Uji F pada varians menunjukkan bahwa σ 1 2 ≠ σ 2 2
Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang Independen
Jika Uji F menunjukkan : σ 1 2 ≠ σ 2 2 Prosedur uji hipotesisnya merupakan gabungan prosedur pengujian dua varians dan uji t dengan ketentuan sebagai berikut : a.
Rasio Uji
RU t
t test
s
1 2
x
1
n
1
x
2
s
2 2
n
2 b.
Derajat kebebasan : Derajat kebebasan yang digunakan ialah derajat kebebasan yang lebih kecil di antara dua sampel tersebut
Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang Independen
Jika Uji F menunjukkan : σ 1 2 = σ 2 2 Uji ini digunakan bila : Sampel diambil dari dua populasi yang independen dan terdistribusi normal Nilai-nilai deviasi standar populasi σ 1 diketahui dan σ 2 tidak Ukuran sampel n
1
atau n
2
kecil (<30) Uji F pada varians menunjukkan bahwa σ 1 2 = σ 2 2
Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang Independen
Jika Uji F menunjukkan : σ 1 2 = σ 2 2 Prosedur uji hipotesisnya merupakan gabungan prosedur pengujian dua varians dan uji t dengan ketentuan sebagai berikut : a.
Rasio Uji
RU t
t
test
s
1 2 (
n
1
n
1 1 )
x
1
x
2
n
2
s
2 2 ( 2
n
2 1 ) 1
n
1 1
n
2 b.
Derajat kebebasan : Derajat kebebasan yang digunakan adalah :
df = v = n 1 + n 2 – 2
Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-Ganda
Terdapat dua asumsi yang harus dipenuhi dalam melakukan uji ini : Kedua sampel diambil dari dua populasi yang saling independen Sampel-sampel yang diambil dari masing-masing populasi harus berukuran cukup besar. Untuk masing-masing sampel np > 500 dan juga, n(100 – p) > 500
Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-Ganda
Prosedur Uji Dua Presentase : 1.
2.
3.
4.
5.
Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif H 0 H 1 : π 1 : π π π 1 1 1 = π 2 ≠ π 2 > π 2 < π 2 uji dua-ujung uji satu-ujung uji satu-ujung Pemilihan tingkat kepentingan (Level of Significance), α Penentuan distribusi pengujian yang digunakan Distribusi z Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule)
Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-Ganda
Prosedur Uji Dua Presentase : 6.
Perhitungan rasio uji
RU z
p
1 ˆ
p
2
p
1
p
2 ˆ
p
1
p
2
p
1 ( 100
p
1 )
n
1
p
2 ( 100
p
2 )
n
2 7.
Pengambilan keputusan secara statistik