ANALISIS DERET WAKTU Abdul Kudus, SSi., MSi., PhD.

Ingat bahwa fungsi autokorelasi utk proses AR(1):

x t

 

x t

 1 

w t

adalah 

k

 

k

(

k



0)

.................(1) dimana proses tsb bersifat stabil jika   1 Persamaan (1) menunjukkan bhw grafik autokorelasi akan meluruh menuju nol, dan peluruhannya akan lebih cepat untuk  yang kecil.

Autokorelasi Parsial (PACF = Partial Autocorrelation Function)

atau 

kk



t

  1

Y

t

 1   2

Y

t

 2   

k

 1

Y

t k

1)

,

Y

Contoh untuk   22  1

Y

t

 

1

k

2  1)    1  2 1 2  2

Y

t k

2)   

k

 1

Y

t

 1

)

Sehingga autokorelasi parsial untuk proses AR(1) yang mempunyai 

k

   22  

1

2     2 2 

0

Jadi, bagi AR(1) PACF lag ke-2-nya adalah nol.

Secara umum bagi AR(p), PACF lag ke-(p+1) dst-nya adalah nol.



kk



0 untuk

k



p

REGRESI

Linier

u

i,t adalah variabel prediktor ke-i pada waktu t Contoh model linier: Polinom ber-orde p dimana u i,t = t

i

(i = 1,2,...,p) Kasus khusus adalah jika p = 1 

x

t

   0  1

t



z

t

.........(2)

Kestasioneran

Model linier utk deret waktu bersifat TIDAK stasioner krn merupakan fungsi dari t. Pembedaan pertama terhadap model (2) Artinya dgn asumsi {z

t

} stasioner, maka 

x t

merupakan fungsi dari t.

stasioner krn tidak

Simulasi

x

t



z t

= 0.8z t-1 + w

t

z

t

 error dari regresi adalah berkorelasi berupa AR(1)

w t

stasioner Misal t = 1,2,...,100

> set.seed(1) > z <- w <- rnorm(100, sd = 20) > for (t in 2:100) z[t] <- 0.8 * z[t - 1] + w[t] > Time <- 1:100 > x <- 50 + 3 * Time + z > plot(x, xlab = "time", type = "l")

0 20 40 time 60 80 100

Penaksiran Model Penaksiran Model Berdasarkan Data Hasil Simulasi

Model linier ditaksir dengan metode peminimuman jumlah kuadrat error yang dapat dilakukan dengan perintah lm dalam R

> x.lm < lm (x ~ Time) > coef(x.lm) (Intercept) Time 58.551218 3.063275 > sqrt(diag(vcov(x.lm))) (Intercept) Time 4.88006278 0.08389621

Setelah penaksiran model, kita harus melakukan pemeriksaan korelogram dari residu.

> acf(resid(x.lm)) > pacf(resid(x.lm))

Series resid(x.lm)

0 5 10 Lag

Series resid(x.lm)

15 20 5 10 15 20 Lag Berdasarkan ACF dan PACF di atas, residu tsb merupakan proses apa?

Penaksiran Model utk Data Suhu Global (kuliah-2 slide-13)

Kita hanya ambil data tahun 1970 sampai 2005

> temp <- window(Global.ts, start = 1970) > temp.lm <- lm(temp ~ time(temp)) > coef(temp.lm) (Intercept) time(temp) -34.920409 0.017654

> confint(temp.lm) 2.5 % 97.5 % (Intercept) -37.21001248 -32.63080554

time(temp) 0.01650228 0.01880572

> acf(resid(temp.lm))

Series resid(temp.lm)

0 5 10 Lag 15 20 25

Generalised Least Squares (GLS)

Jika {x

t

: t = 1,...,n} merupakan deret waktu yang stasioner dengan E(x

t

) =  dan Var(x

t

) =  2 TETAPI tidak saling bebas, melainkan mempunyai autokorelasi Corr(x

t

, x t+k ) = 

k

, maka varians dari rata-rata sampelnya adalah Oleh karena itu, jika 

k

> 0 maka varians yang sesungguhnya adalah lebih besar dari yg kita hitung (underestimate). Salah satu solusinya adalah metode penaksiran GLS.

Penaksiran Menggunakan Metode GLS utk Data Simulasi > library(nlme) > x.gls <- gls(x ~ Time, cor = corAR1(0.8) ) > coef(x.gls) (Intercept) Time 58.233018 3.042245 > sqrt(diag(vcov(x.gls))) (Intercept) Time 11.9245679 0.2024447

Bagaimana kalau data riil?

Selang Kepercayaan utk Trend dari Data Suhu > temp.gls <- gls(temp ~ time(temp), cor = corAR1(0.7)) > confint(temp.gls) 2.5 % 97.5 % (Intercept) -39.80571598 -28.49658972

time(temp) 0.01442274 0.02011148