Aplicaciones de las Ecuaciones Cuadráticas

•

Ejemplo 1

(

Jardinería

): Un jardín rectangular es 60 por 80 pies. Parte del jardín ha sido removido para instalar una acera de ancho uniforme alrededor de el. El área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín.

Indique el ancho de la acera.

Ejemplo 1 1.

(

Jardinería

) …

Planteamiento del problema.

Como no sabemos el ancho de la acera, llamamos a su ancho

x.

x x

Acera

60 pies 60 – 2x

x x

80 – 2x 80 pies

x x x x

Jardín viejo Jardín nuevo

Ejemplo 1 2.

(

Jardinería

) …

Traduzca en una ecuación

.

El área de un rectángulo es largo por ancho.

Área del jardín viejo = 60 ∙ 80 ; Área del nuevo jardín = (60 - 2

x

)(80 – 2

x

) Debido a que el área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín, tenemos: (60 – 2

x

)(80 – 2

x

) = ½ ∙ 60 ∙ 80

3.

Solucionar la ecuación:



x



x



x



160

x



4

x

2 

1 2

 

2400 4

x

2 

280

x



2400



0

 Multiplicando en ambos miembros.

Agrupando y transponiendo términos.



x x

2 

70

x



10



x

 

600 60

  

0 0

Dividiendo entre 4 Factorizando

x



10 o

x



60

Usando el principio de cero como producto

4.

Comprobación:

Sustituimos en la ecuación original.

Para

x

 10 Ancho 

x

 Ancho  40 pies 10  Largo 

x

Largo   60 pies 10  Para

x

 60 Ancho   Ancho   60 Largo  Largo    40

x

60 

x

60  Solución verdadera porque el ancho y largo dan números positivos

x

= 60 no puede ser porque el ancho y largo dan negativo y no puede ser negativo.

5. Respuesta:

El ancho de la acera es de 10 pies.

•

Ejemplo 2

(

Localización de la Escalera

) : Una escalera se reclina contra un edificio, como se indica en el dibujo. La escalera mide 20 pies de largo. La altura donde se apoya la escalera es 4 pies mayor que la distancia (

d)

de la escalera al edificio.

Encuentre la distancia

d

y la altura donde se apoya la escalera.

Ejemplo 2

(

Localización de la Escalera

) …

1.

Planteamiento del problema

.

Primero hacemos un dibujo y lo identificamos. Queremos encontrar

d

y

d

+ 4.

20 ft

d d

 4 20 ft

d d

+ 4

Ejemplo 2

(

Localización de la Escalera

) …

2.

Traduzca en una ecuación.

Usando el Teorema de Pitágoras, dado que se forma un triángulo rectángulo en la figura, tenemos:

c

2 

a

2 

b

2 20 2 

d

2  

d

 4  2

Ejemplo 2

(

Localización de la Escalera

) …

3.

Resolver la ecuación.

20

2 

d

2  

d



4

 2

400



d

2 

d

2 

8

d



16 2

d

2 

8

d



384



0

Elevando al cuadrando.

Agrupando y transponiendo términos.



d d

2 

4

d



16



d



192



12

  

0 0

d

Dividiendo por 2.

Factorizando.



16



0 o

d



12



0

Usando los productos nulos.

d

 

16 o

d



12

Ejemplo 2

(

Localización de la Escalera

) …

4.

Resultado final

.

La distancia

d

es 12 pies y la altura a la que se apoya la escalera es 12 + 4 (

d

+ 4) , o 16 pies .



Ejemplo 3

(

localización de la Escalera

) .

Suponga que la escalera en el Ejemplo 2 tiene una longitud de 10 ft. Encuentre la distancia

d

y la distancia

d

+ 4 .

Usando el mismo razonamiento del problema anterior (Ejemplo 2), traducimos el problema a la ecuación 10 2 = d 2 + (d + 4) 2 .

Ejemplo 3

(

localización de la Escalera

) … Usando la fórmula cuadrática: 100 

d

2 

d

2  8

d

 16 2

d

2  8

d

 84  0

d

2  4

d

 42  0 Elevando al cuadrando Agrupando términos.

Multiplicando por ½ , o dividiendo entre 2

d



b

2  4

ac

 2

a

4 2 2  1 1   4 2   184 2  2   2 4 6 2

Ejemplo 3

(

localización de la Escalera

) … Dado que  

d d

46 26  0 y 46  2, encontramos que  4.782

pies 8.782

pies Respuesta: d = 4.782 pies. d + 4 = 8.782 pies.

•

Ejemplo 4

(Temperatura del agua hirviente) : La temperatura

T,

a la cual hierve el agua, se relaciona con la altitud

h

, en metros sobre el nivel del mar, mediante la fórmula:

h

 1000  100 

T

  580  100 

T

 2 La elevación aproximada del Monte Everest es de 8840, ¿cuál será la temperatura a la cual hierve el agua en la cima de esa montaña ?

•

Ejemplo 4

(Temperatura del agua hirviente) 1. Obtención de la ecuación: Se sustituye h = 8840 en la fórmula, esto es: 8840  1000  100 

T

  580  100 

T

 2 resultando: 8840  1000

x

 580

x

2 Que también se puede representar como: 580

x

2  1000

x

 8840  0 Dividiendo entre 10, tenemos: 58

x

2  100

x

 884  0

•

Ejemplo 4

(Temperatura del agua hirviente) 2. Solución de la ecuación: Se aplica la ecuación cuadrática con:

a = 58, b = 100, c = -884.

x



x

  100   100 

 

100 2



2 

  

4

 

 10000



 884 205088



116

x

  100 

x

 215088 116  100  463  116

x

1

x

2   363 .

77 116  3 .

135  116 563   4 .

86

•

Ejemplo 4

(Temperatura del agua hirviente) 3. Solución del problema: Se sustituyen los resultados en la expresión

x = 100 – T , y obtenemos: 100 – T = 3.135 y 100 – T = -4.86

Por lo que T toma los Valores: T = 96.86, y T = -104.86

Examinando con detenimiento el problema, en el enunciado se señala que la fórmula es válida para 95  T  100 , por lo que la solución T = -104.86 no es válida y se debe desechar. En conclusión, la temperatura a la que hierve el agua en la cima de monte Everest es:

T = 96.86 °C.