Transcript 10-Programa Dinamis

Programa Dinamis
Pendahuluan
 Persoalan bersifat dinamis diarahkan kepada pemecahan secara
bertahap yang masing-masingnya merupakan satu kesatuan.
 Ada 3 hal yang penting diketahui tentang programa dinamis,
yaitu:
o Stage (tahapan) dari persoalan yang dihadapi dan ingin dicari
solusinya.
o State (kondisi) yang menjadi faktor penentu keputusan dari
tiap tahapan.
o Decision (keputusan) yang harus diambil dari tiap tahap untuk
sampai kepada solusi keseluruhan.
........................... Pendahuluan
• Keputusan tahap N sangat ditentukan oleh keputusan pada
tahap-tahap sebelumnya. Model formulasi tujuan yang
diharapkan akan berbeda, tergantung pada jenis persoalan
yang dihadapi.
• Selanjutnya akan ditunjukkan 3 jenis persoalan yang
mengarah pada model programa dinamis.
Contoh 1: Stage Coach
 Memilih rute angkutan barang/orang dengan kereta kuda (stage
coach) dari kota asal (A) ke kota tujuan (K).
 Persoalan lebih disederhanakan dengan memilah tahapan yang
dapat ditempuh dengan lama waktu tempuh antarkota yang
dilewati sebagai berikut.
............................................. Contoh 1: Stage Coach
 Tahap 1 → Pilihan rute AB atau AC.
 Tahap 2 → Pilihan rute antara BD, BE, BF, atau BG, serta antara
CD, CE, CF, atau CG,
 Tahap 3 dan 4 → Dapat dibaca lanjut seperti di atas.
 Penjelasannya dari persoalan tersebut:
o Tahapan diperlukan sebagai penentu rute yang akan dipilih.
o Secara keseluruhan, tujuan utama dari persoalan tersebut
adalah minimasi waktu tempuh dari kota asal (A) ke kota
tujuan akhir (K),
o Penyelesaian dapat dilakukan dengan cara mundur
(backward) atau maju (forward), walau pada umumnya
banyak dipilih cara mundur.
............................................. Contoh 1: Stage Coach
 Secara tradisional, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan
menghitung setiap altematif rute yang mungkin (2 x 4 x 3 x 1 =
24 altematif), kemudian pilih waktu tempuh terkecil.
 Cara programa dinamis lebih sistematis dan mudah dikerjakan.
............................................. Contoh 1: Stage Coach
 Misalkan, waktu tempuh antarkota (dalam hari) seperti pada
gambar didepan.
 Penyelesaian cara programa dinamis adalah dengan membuat
matriks setiap tahap, dimulai dari tahap 4, ke tahap 3, ke tahap 2,
dan terakhir ke tahap 1 -7 dikenal sebagai cara mundur
(backward).
 State (kondisi penentu keputusan) adalah minimasi waktu
tempuh dari route yang dipertimbangkan.
............................................. Contoh 1: Stage Coach
Tahap 4: min { f4(X4) }
Dari/Ke
K
f4(x4)
x4*
H
15
15
HK
I
13
13
IK
J
10
10
JK
 Tahap 4 hanya dicantumkan waktu tempuh dari (H, I, atau J) -ke
(K)
 f4(x4) adalah nilai perolehan pada tahap 4
 x4 * adalah rote terbaik pada tahap 4
Hasil tahap 4:
• Dari H terus ke K dengan waktu 15 hari
• Dari I terus ke K dengan waktu 13 hari
• Dari J terus ke K dengan waktu 10 hari
........................... Pendahuluan
TAHAP 3: min {f3(x3) +f4*(x4)}
Dari/Ke
H
I
J
f3(x3)
x3*
D
27
27
26
26
DJ
E
30
28
23
23
EJ
F
30
31
30
30
FH/FJ
G
30
26
27
26
GH
• Tujuan di tahap 3 adalah minimasi waktu tempuh tahap 3 ditambah
yang terbaik dari tahap 4. Misalnya, untuk DH = 12 + 15 = 27
(dihitung mulai dari D hingga K), demikian yang lainnya.
• f4*(x4) adalah perolehan terbaik dari tahap 4 (pakai tanda *).
• f3(x3) adalah nilai perolehan pada tahap 3.
• x3* adalah rute terbaik pada tahap 3.
........................... Pendahuluan
HASIL TAHAP 3:
 Dari D, yang terbaik adalah terus ke J hingga ke K dengan total
waktu tempuh = 16 + 10 = 26 hari .
 Dari E, yang terbaik adalah terus ke J hingga ke K dengan total
waktu tempuh = 13 + 10 = 23 hari .
 Dari F, ada 2 jalur yang terbaik, yaitu: a) terus ke H hingga ke K
dengan total waktu tempuh = 15 + 15 = 30 hari dan b) terus ke J
hingga ke K dengan total waktu tempuh = 20 + 10 = 30 hari .
 Dari G, yang terbaik adalah terus ke I hingga ke K dengan total
waktu tempuh = 13 + 13 = 26 hari.
............................................. Contoh 1: Stage Coach
Tahap 2: min f2(x2) +f3*(x3)
Dari/Ke
D
(26)
E
(23)
F
(30)
G
(26)
f2(x2)
x2*
B
46
40
48
43
40
BE
C
44
58
50
46
44
CD
 Tujuan tahap 2 adalah minimasi waktu tempuh tahap 2 ditambah
yang terbaik dari tahap 3. Misalnya, untuk BE = 17 + 23 = 40
(dihitung mulai dari B hingga K), demikian pula yang lainnya.
 f3*(x3) adalah perolehan terbaik dari tahap 3 (pakai tanda *).
 f2(x2) adalah nilai perolehan pada tahap 2.
 x2 * adalah rute terbaik pada tahap 2.
 Dari tahap 2 ini, tampak bahwa tujuan berikutnya adalah ke D
(bila dari C) atau E (bila dari B).
............................................. Contoh 1: Stage Coach
HASIL TAHAP 2:
 Dari B, yang terbaik adalah terus ke E, lanjut ke J, hingga ke K
dengan total waktu tempuh = 17 + 13 + 10 = 40 hari .
 Dari C yang terbaik adalah terus ke D, lanjut ke J, hingga ke K
dengan total waktu tempuh = 18 + 16 + 10 = 44 hari.
............................................. Contoh 1: Stage Coach
TAHAP 1: min {f1(x1) +f2*(x2)}
Dari/Ke
B
/40/
C
/44/
f1(x1)
x1*
A
15+40=55
12+44=56
55
AB
 Tujuan tahap 1 adalah minimasi waktu tempuh tahap 1 ditambah
yang terbaik dari tahap 2.
 Y ang terbaik pada tahap 1 adalah rute AB
 Bila diteruskan dapat diperoleh rute terbaik (waktu tempuh 55
hari), yaitu dari A ke B ke E ke J dan berakhir di K
............................................. Contoh 1: Stage Coach
 Dapat ditunjukkan hasil akhir rute terbaik dengan programa
dinamis sebagai berikut (diberi wama merah).
Rute terbaik → dari A ke B ke E ke J ke K dengan waktu tempuh
55 hari
CONTOH 2: CARGO LOADING
Misalkan, sebuah perusahaan angkutan mendapat order
mengirimkan barang dari satu tempat ke tempat lainnya dengan
menggunakan satu truk besar yang berkapasitas 15 ton. Jenis barang
yang diangkut, berat, dan biayanya adalah sebagai berikut.
Jenis Barang
Berat (ton)
Biaya (juta/ton)
A
2
66
B
5
155
C
3
96
Barang yang diangkut harus utuh (tidak boleh setengah atau
seperempat-nya (kalau mengangkut 1 barang B berarti
kapasitasnya 5 ton, bila 2 barang B berarti 10 ton, dan seterusnya).
...................... Contoh 2: Cargo Loading
Jawab:
Stage dalam persoalan ini adalah jumlah barang yang harus
diangkut dengan syarat tanpa melampaui kapasitas serta dapat
memaksimumkan pendapatan.
→ Ada 3 jenis barang, berarti ada 3 tahapan (stage).
 Tahap 3: max { f3(X3) }
• Karena berat barang C (sebagai X3) = 3 ton, berarti jumlah
maksimum barang C yang dapat diangkut adalah 5 buah.
• Siapkan kolom untuk C = ° (tanpa barang C), C=1, C=2, C=3,
C=4, dan C=5
• Perhatikan kapasitasnya, cantumkan rupiah yang diperoleh .
...................... Contoh 2: Cargo Loading
Kapasitas
C=0
C=1
C=2
C=3
C=4
0
0
3
0
96
6
0
96
192
9
0
96
192
288
12
0
96
192
288
384
15
0
96
192
288
384
•
•
•
•
•
C=5
480
Pada C= 1, berarti rupiahnya = 1 x 96 = 96 juta .
Pada C= 2, berarti rupiahnya = 2 x 96 = 192 juta .
Pada C= 3, berarti rupiahnya = 3 x 96 = 288 juta .
Pada C= 4, berarti rupiahnya = 4 x 96 = 384 juta .
Pada C= 5, berarti rupiahnya = 5 x 96 = 480 juta.
f3(x3)
x3*
0
0
96
1
192
2
288
3
384
4
480
5
...................... Contoh 2: Cargo Loading
Hasil tahap 3:
 Pada kapasitas ° ton, tidak ada yang diangkut sehingga tidak ada
rupiah yang diperoleh.
 Pada kapasitas 3 ton, yang diangkut hanya 1 barang C dengan
berat 3 ton sehingga diperoleh 96 juta.
 Pada kapasitas 6 ton, yang diangkut 2 barang C dengan berat 2 x
3 ton sehingga diperoleh 2 x 96 juta = 192 juta.
 Pada kapasitas 9 ton, yang diangkut 3 barang C dengan berat 3 x
3 ton sehingga diperoleh 3 x 96 juta = 288 juta.
 Pada kapasitas 12 ton, yang diangkut 4 barang C dengan berat 4 x
3 ton sehingga diperoleh 4 x 96 juta = 384 juta.
 Pada kapasitas 15 ton, yang diangkut 5 barang C dengan berat 5 x
3 ton sehingga diperoleh 5 x 96 juta = 480 juta.
...................... Contoh 2: Cargo Loading
TAHAP 2: max { f2x2 + f3 * (kapasitas - x3) }
 Karena barang B (disebut X2) = 5 ton maka maksimum jumlah
barang B yang dapat diangkut adalah 3 buah.
 Siapkan B=O , B=1 , B=2, dan B=3.
 Perhatikan kapasitasnya.
 Formula di atas berarti rupiah yang diharapkan adalah dari
barang B ditambah dengan sisa kapasitas yang tersedia untuk
tahap 3 (tanda *) yang terbaik.
 Hasil terbaik pada tahap 2 ini sudah mencakup hasil terbaik pada
tahap 3.
...................... Contoh 2: Cargo Loading
Catatan perhitungan pada tahap 2:
 Pada kolom f2*X2 tercantum nilai rupiah terbaiknya.
 Kolom X2* menunjukkan jumlah barang B yang harus diangkut
pada tahap 2.
 Jumlah barang B yang dapat diangkut dapat 0, 1, atau 2 tergantung pada kapasitasnya.
...................... Contoh 2: Cargo Loading
Kapasitas
B=0
0
B=1
B=2
B=3
f2(x2)
x2*
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
3
96
96
0
4
96
96
0
5
96
155
155
1
6
192
155
192
0
7
192
155
192
0
8
192
251
251
1
9
288
251
288
0
10
288
251
310
310
2
11
288
347
310
347
1
12
384
347
310
384
0
13
384
347
406
406
2
14
384
443
406
406
1
15
480
443
406
480
0
465
...................... Contoh 2: Cargo Loading
HASIL TAHAP 2:
 Pada kapasitas 0 hingga 2 ton, tidak ada barang B yang dibawa
(B=O) sehingga tidak ada rupiah yang diperoleh .
 Pada kapasitas 3 hingga 4 ton, yang terbaik adalah bawa 1
barang C (C=l) tanpa barang B (B=O) dengan perolehan 96 juta .
 Pada kapasitas 5 ton, yang terbaik adalah bawa 1 barang B (B=I)
tanpa barang C (C=O) dengan perolehan 155 juta .
 Pada kapasitas 6 hingga 7 ton, yang terbaik adalah bawa 2 barang
C (C=2) tanpa barang B (B=O) dengan perolehan 2 x 96 = 192 juta.
 Pada kapasitas 8 ton, yang terbaik adalah bawa 1 barang B (B= 1)
dan 1 barang C (C=I) dengan perolehan 155 + 96 = 251 juta .
...................... Contoh 2: Cargo Loading
HASIL TAHAP 2:
 Pada kapasitas 0 hingga 2 ton, tidak ada barang B yang dibawa
(B=O) sehingga tidak ada rupiah yang diperoleh .
 Pada kapasitas 3 hingga 4 ton, yang terbaik adalah bawa 1
barang C (C=l) tanpa barang B (B=O) dengan perolehan 96 juta .
 Pada kapasitas 5 ton, yang terbaik adalah bawa 1 barang B (B=I)
tanpa barang C (C=O) dengan perolehan 155 juta .
 Pada kapasitas 6 hingga 7 ton, yang terbaik adalah bawa 2 barang
C (C=2) tanpa barang B (B=O) dengan perolehan 2 x 96 = 192 juta.
 Pada kapasitas 8 ton, yang terbaik adalah bawa 1 barang B (B= 1)
dan 1 barang C (C=I) dengan perolehan 155 + 96 = 251 juta .
...................... Contoh 2: Cargo Loading
 Pada kapasitas 9 ton, yang terbaik adalah bawa 3 barang C (C=3)
tanpa barang B (B=O) dengan perolehan 3 x 96 = 288 juta .
 Pada kapasitas 10 ton, yang terbaik adalah bawa 2 barang B (B=2)
tanpa barang C (C=O) dengan perolehan 2 x 155 = 310 juta .
 Pada kapasitas 11 ton, yang terbaik adalah bawa 1 barang B (B=1)
dan 2 barang C (C=2) dengan perolehan 155 + (2 x 96) = 347 juta.
 Pada kapasitas 12 ton, yang terbaik adalah bawa 4 barang C (C=4)
tanpa barang B (B=O) dcngan perolehan 4 x 96 = 384 juta .
 Pada kapasitas 13 ton, yang terbaik adalah bawa 2 barang B
(B=2) dan 1 barang C (C=l) dengan perolehan (2 x 155) + 96 = 406
juta .
...................... Contoh 2: Cargo Loading
 Pada kapasitas 14 ton, yang terbaik adalah bawa 1 barang B (B=I)
dan 3 barang C (C=3) dengan perolehan 155 + (3 x 96) = 443 juta .
 Pada kapasitas 15 ton, yang terbaik adalah bawa 5 barang C (C=5)
tanpa barang B (B=O) dengan pcrolehan 5 x 96 = 480 juta.
Tahap 1: max { f1x1 + f2* (kapasitas – x1) }
 Pada tahap akhir, cukup dicantumkan kapasitas maksimum (15
ton).
 Karena berat barang A (disebut x.) = 2 ton maka maksimum jumlah
barang yang dapat diangkut adalah 7 buah barang A dengan sisa 1
ton.
 Nilai rupiah terbaik dihitung dari jumlah barang A yang diangkut
dengan ditambah rupiah terbaik dari si sa kapasitas di tahap 2
...................... Contoh 2: Cargo Loading
Siapkan kolom A=O, A=I, A=2, A=3, A=4, A=5, A=6, A=7
Kapa
sitas
15
A=0
0
+
480
=
480
A=1
66
+
406
=
472
A=2
132
+
347
=
479
A=3
198
+
288
=
486
A=4
264
+
192
=
456
A=5
330
+
155
=
485
A=6
396
+
96
=
492
A=7
462
+
0
=
462
f1(x1)
x1*
492
6
 Hasil terbaik dari tahap 1 dan secara kesuluruhan adalah 492 juta
 Bawa 6 buah barang A (6 x 66 juta = 396 juta) .
 Dari tahap 2, tambahan 96 juta dari kolom B = 0 (berarti tidak ada
barang B yang diangkut) .
 Ke tahap 3, nilai 96 tersebut dari kolom C = 1 (berarti bawa 1
barang C).
...................... Contoh 2: Cargo Loading
 Ringkasan
Tahap
1
2
3
Total
Jumlah Barang
A=6
B=0
C=1
Tonase
12
0
3
15 ton
Rupiah
396
0
96
492 juta
Bawa 6 barang A, tidak perlu bawa barang B, dan bawa 1
barang C. Total perolehan = 492 juta
CONTOH 3: RELIABILITY
 Suatu peralatan elektronik terdiri atas 3 komponen utama yang
disusun secara seri. Agar keandalan (reliability) sistem tersebut
lebih baik lagi maka dimungkinkan untuk menambah unit-unit
paralel pada ketiga komponen utama dengan kendala biaya, serta
dengan tujuan mendapat- kan keandalan yang lebih tinggi.
 Tabulasi untuk tambahan unit paralel dengan kondisi biaya (ci)
dan probabilitas sistem dapat berfungsi (Ri) adalah sebagai
berikut:
Jumlah
Komponen 1
Komponen 2
Komponen 3
Unit Paralel
R1
c1
R2
c2
R3
c3
1
0,6
1
0,7
3
0,5
2
2
0,8
2
0,8
5
0,7
4
3
0,9
3
0,9
6
0,9
5
............... Contoh 3: Reliability
 Pada tiap komponen utama minimal harus dipasang 1 unit
paralel.
 Tahapan adalah untuk komponen utama (ada 3 tahapan).
 Tujuan perhitungan adalah mendapatkan probabilitas berfungsinya sistem yang tinggi (maksimasi reliabilitas).
 Kendalanya adalah biaya, misalnya total dana $ 10 juta (satuan c,
dalam juta $).
→ Penyelesaian dengan metode backward (ada 3 tahap).
............... Contoh 3: Reliability
Tahap 3; max {f3 x3}
Dana
x3=1
2
x3=2
x3=3
f3*(x3)
x3*
0,5
0,5
1
3
0,5
0,5
1
4
0,5
0,7
0,7
2
5
0,5
0,7
0,9
0,9
3
6
0,5
0,7
0,9
0,9
3
 Pada tahap ini, cukup dicantumkan nilai R, dari data asal dengan
total dana yang disiapkan adalah $ 6 juta.
 Dana yang sudah pasti dipakai minimal $ 2 juta (untuk memasang
1 unit paralel di komponen utama Ill).
............... Contoh 3: Reliability
H asil Tahap 3:
 Dengan dana $ 2 juta hingga $ 3 juta, dipasang 1 unit paralel (1 x
$ 2 juta) dengan reliabilitas 0,5 .
 Dengan dana $ 4 juta, dipasang 2 unit paralel (2 x $ 2 juta)
dengan reliabilitas 0,7 .
 Dengan dana $ 5 juta hingga $ 6 juta, dipasang 3 unit paralel (3 x
$ 2 juta) dengan reliabilitas 0,9.
Hasil terbaik di tahap 3 akan digunakan untuk mencari yang terbaik
di tahap 2 nantinya. Untuk ke tahap 2, minimal dana yang terpakai
adalah $ 5 juta ($ 2 juta + $ 3 juta) untuk pemasangan minimal 1 unit
paralel pada komponen utama II dan Ill). Dana maksimal yang
dipakai adalah $ 9 juta (karena harus disiapkan minimal 1 unit
paralel pada komponen utama I yang berharga $ 1 juta).
............... Contoh 3: Reliability
Tahap 2: max {f2x2, f3*(dana-x3)}
Dana
x2=1
5
x2=2
x2=3
f2*(x2)
x2*
0,7x0,5=0,35
0,35
1
6
0,7x0,5=0,35
0,35
1
7
0,7x0,7=0,49
0,8x0,5=0,40
0,49
1
8
0,7x0,9=0,63
0,8x0,5=0,40
0,9x0,5=0,45
0,63
1
9
0,7x0,9=0,63
0,8x0,7=0,56
0,9x0,5=0,45
0,63
1
 Probabilitas sistem yang disusun seri adalah hasil perkalian antara
probabilitas tiap komponennya. Dana yang disiapkan adalah $ 9
juta.
 Hasil tahap 2 menunjukkan bahwa se1alu hanya memasang 1 unit
parale1 saja (dari nilai X2* = 1).
 Lanjut ke tahap 1 yang cukup ditampilkan dengan total dananya
(10 juta).
............... Contoh 3: Reliability
Hasil tahap 2:
 Dengan dana $ 5 juta hingga $ 6 juta, yang terbaik adalah
dipasang 1 unit paralel di komponen utama II (1 x $ 3 juta) dan 1
unit parale1 di komponen utama III (1 x $ 2 juta) dengan
reliabilitas 0,7 x 0,5 = 0,35 .
 Dengan dana $ 7 juta, yang terbaik adalah dipasang 1 unit parale1
di komponen utama II (1 x $ 3 juta) dan 2 unit parale1 di
komponen utama III (2 x $ 2 juta) dengan reliabilitas 0,7 x 0,7 =
0,49
 Dengan dana $ 8 juta hingga $ 9 juta, yang terbaik adalah
dipasang 1 unit parale1 di komponen utama II (1 x $ 3 juta) dan 3
unit parale1 di komponen utama III (3 x $ 2 juta) dengan
re1iabilitas 0,7 x 0,9 = 0,63.
............... Contoh 3: Reliability
Tahap 1: max {f1x1, f2*(dana-x2)}
Dana
x1=1
x1=2
x1=3
f1*(x1)
x1*
10
0,63x0,63=0,378
0,8x0,63=0,504
0,9x0,49=0,441
0,540
2
• Reliabilitas tertinggi adalah 0,504. Solusi terbaiknya adalah
dengan memasang 2 unit paralel di komponen utama I, 1 unit
paralel di komponen utama Il, dan 3 unit paralel di komponen
utama Ill.
............... Contoh 3: Reliability
Solusi (ringkasan) terbaiknya
Komponen
Utama I
Komponen
Utama II
Komponen
tama III
Jumlah Unit Paralel
yang dipasang
2
1
3
Biaya yang
dibutuhkan
2 x $ 1juta
1x $ 3juta
3 x $ 2juta
Realibilitas
0,8
0,7
0,9
 Total biaya = $10 juta.
 Total reliabilitas = 0,8 X 0,7 X 0,9 = 0,504
............... Contoh 3: Reliability
............... Contoh 3: Reliability
............... Contoh 3: Reliability
............................................. Contoh 1: Stage Coach
............................................. Contoh 1: Stage Coach
