Transcript Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez

Biomechanika przepływów
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu
przez odkształcalne ciało porowate;
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Na tym wykładzie omówione zostaną podstawowe relacje opisujące procesy : wymiany
ciepła, dyfuzji, oraz mechaniki przepływu płynów podczas przepływu przez ciało porowate.
Wymiana ciepła
Ruch ciepła (wymiana ciepła) jest to pojęcie obejmujące cały kompleks zagadnień
przenoszenia ciepła miedzy ciałami – względnie między częściami tego samego ciała
- uwarunkowany występowaniem różnicy temperatur.
różnica temperatur
wymiana ciepła
gęstość strumienia cieplnego q (obciążenie cieplne) [ W / m2 ]
 q x q y q z

 


t
c p    x
y
z
T
1

qv
 
 cp  
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
lub w innej notacji:
T
t
   c p   div q   q v
podstawiając wyrażenie na pierwsze prawo Fouriera:
qx   
dT
dx
 
T   
T   
T 
  
 
  cp 
 

 
  qv
t
x 
x  y 
y  z 
z 
T
Jest to ogólne równanie przewodzenia ciepła w ciele izotropowym z uwzględnieniem
wewnętrznych źródeł ciepła.
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
w ogólnej postaci λ przybiera postać macierzy:
 x

   0

 0
0
y
0
0 

0 
 z 

dla materiału ortotropowego
Przykład 1
Stacionarne przewodzenie
ciepła wzdłuż długiej bryły

stałe temperatury T1 i T2 na ścianach
brak przepływu ciepła wzdłuż osi z
przypadek 2D x – y dla T2=0 rozkład
temperatury opisuje równanie:
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Przykład 2
Nieustalone przewodzenie ciapła przez pół-nieskończoną bryłę:
stały strumień ciepła q na granicy ciała
Początkowa tempertaura ciała 0
Analityczne rozwiązanie:
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
2
2
  2T
 T
 T
 ux 
 uy 
 uz 

 


2
2
2
t
x
y
z
c p    x
y
z
T
T
T

T



Jest to równanie energii opisujące rozkład temperatury w poruszającym
się płynie.
Korzystając z definicji pochodnej wędrownej:
DT
dyfuzyjności cieplnej:
a 

Dt

T
t
 ux 
T
x
 uy 
T
y
 uz 
cp  
i wprowadzając operator Laplacea równanie energii przyjmuje postać:
DT
Dt
 a  T
2
T
z
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Dyfuzja
Omówimy procesy przenoszenia masy w wieloskładnikowych ośrodkach ze
szczególnym uwzględnieniem procesów przepływowych. Najogólniej rzecz ujmując
różne rodzaje transportu masy podzielić można na dwie zasadnicze grupy:
Przenoszenie molekularne - DYFUZJA
Makroskopowe mieszanie elementów
płynu - KONWEKCJA
Zaznaczyć należy, że podczas wymiany masy w płynach obydwa sposoby przenoszenia
występują z reguły jednocześnie.
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Jeżeli w różnych punktach płynu składającego się z dwóch składników A i B,
pozostającego w spoczynku lub poruszającego się ruchem laminarnym będą różne
stężenia obu składników to wówczas wystąpi spontaniczny ruch cząstek z miejsc o
stężeniu wyższym do miejsc o stężeniu niższym.
Mamy doczynienia z procesem DYFUZJI
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Stężenie dyfundującej substancji może być określone w postaci stężenia masowego,
molowego lub odpowiednich stężeń ułamkowych. Wzory definicyjne zestawiono
poniżej:
stężenie masowe składnika
stężenie molowe składnika
i 
ci 
stężenie molowe dla gazów doskonałych
mi
V
ni
V

i
Mi
ci 
pi
R T
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
ułamek masowy składnika
wi 
ułamek molowy składnika w fazie ciekłej
ułamek molowy składnika w fazie gazowej
i

xi 
ni
n
xi 
ci
c

ci
c
i

pi
p
gdzie: mi – masa składnika; V – objętość mieszaniny; ni – liczba moli składnika;
pi – ciśnienie cząstkowe; Mi – masa molowa; ρ, c, p – odpowiednie wielkości dla
mieszaniny.
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Każdy składnik dyfundujący w mieszaninie przemieszcza się z właściwą sobie
prędkością vi względem układu współrzędnych umiejscowionych w przestrzeni.
Stąd wypadkowa prędkość mieszaniny, w zależności od użytych stężeń, może być
obliczona jako :
n
lokalna średnia prędkość masowa
v

i
 vi
i 1

lub jako:
n
lokalna średnia prędkość molowa
v
c
n
i
 vi
i 1

n

i 1
ci
c
i
i 1
c
 vi
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Rozpatrując dyfuzję składnika w strumieniu płynu opieramy się na doświadczalnym
prawie FICKA, które dla warunków izotermicznych i izobarycznych wyrażone jest
wzorem:
J AX   D AB 
lub dla dowolnych warunków:
dc A
prawo FICKA
dx
współczynnik dyfuzji [ m2 / s ]
J AX   c  D AB 
dy A
dx
molowa gęstość strumienia w kierunku x [ mol / m2 * s ]
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Równanie KONWEKCJI - DYFUZJI
Równanie to można zapisać w postaci:
równanie KONWEKCJI - DYFUZJI
Dc
Dt
A
 D AB  c A  R A
2
Dla współrzędnych prostokątnych:

c A
c A
c A 
  D AB
  u x 
 uy 
 uz 
t
x
y
z 

c A
  2c A  2c A  2c A
 


2
2
2

x

y

z


  R A

WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Gdy nie zachodzą przemiany chemiczne :
Dc
A
Dt
 D AB  c A
2
A dla płynów w spoczynku u = 0:
c A
t
 D AB  c A
drugie prawo Ficka
2
Ogranicza się ono do opisu dyfuzji w ciałach stałych oraz płynach nieruchomych,
pełna analogia do drugiego prawa Fouriera jest oczywista.
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Przykład 1
Jednokierunkowa nieustalona dyfuzja w roztworze rozcieńczonym
Równanie Konwekcji –dyfuzji przyjmuje postać:

c
t

   c 
  x 2 
c  x, t 0   exp 

4 Dt 0 
D
  0
 x   x 
Stałej wartości współczynnika dyfuzji D =const.
Analityczne rozwiązanie przyjmuje postać:
c  x, t  
  x 2 
exp 

t
4
Dt


Dla warunku początkowego postaci:

t0

I dla warunków brzegowych postaci:
c  x 0 , t  
  x 2 
exp  0 
t
4 Dt 
t0
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Przepływ płynu:
równanie ciągłości:
   u1 
 x1

 u 2 
x2

 u 3 
x3


t
0
Dla cieczy nieściśliwej:
 u1
 x1

u 2
x2

u 3
x3
Lub w notacji wektorowej:
0
div u   0
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
relacje konstytutywne :
 ij   p  ij   ij
delta Kroneckera = 1 dla i=j
=0 dla i≠j
naprężenia lepkie są proporcjonalne do odkształcenia:

 ij
 u


u
j
i
  




 x i 
 x j
lepkość dynamiczna [Pa s]
Dla ośrodka ciągłego równanie ruchu przybiera postać:

  u

u
 p  ik
V
i
i
 

u k   

 fi
 x k 
x i x k
  t
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
po podstawieniu wyrażeń na naprężenia otrzymujemy:
u x
t
u y
t
u z
t
 ux
 ux
 ux
u x
x
u y
x
u z
x
 uy
 uy
 uy
u x
y
u y
y
u z
y
 uz
 uz
 uz
  2u x  2u x  2u x
1 p
 gx  
  


2
2
2
z
 x

x

y

z




2
2
2


u

u

uy
1 p
y
y
 gy  
 


2
2
2

z
 y

x

y

z





  2u z  2u z  2u z
1 p
 gz  
  


2
2
2
z
 z

x

y

z




u x
u y
u z
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Lub stosując pojęcie pochodnej wędrownej:
RÓWNANIE NAVIERA - STOKESA
Du i
Dt
 gi 
1

  p   ui
2
Równanie to opisuje w pełni przepływ lepkiego płynu Newtonowskiego.
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Przepływ płynu przez deformowalne ciało porowate:
Rozważmy ciało stałe które jest porowate, a jego pory wypełnione są płynem. Zakładamy, że
ciało się deformuje a płyn porusza w stosunku do niego. Dana konfiguracja w chwili t opisana
jest na rys. tB . Pozycja punktu P w układzie traktowanym jak ciało ciągłe, opisana jest tr.
Parametry fizyczne opisujące stan punktu P to: prędkość ciała stałego u , prędkość płynu q

[(strumień objętościowy)/
przez jednoskę powierzchni mieszaniny], i ciśnienie w płynie p.
porowatość
przyśpieszenie ciała stałego
Stan równowagi dla ciała stałego:
1     s  1    sb 
T
naprężenia w ciele stałym
k  q  1    s uÝ
Ý 0
1
macierz przepuszczalności
gęstość ciała stałego
siły masowe
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Stan równowagi plynu:
(uogulnione prawo Darcy)
1
 p   f b  k  q   f vÝf  0
wykorzystując relację:
q   v f  uÝ

możemy otrzymać:
1
Ý
 p   f b  k q   f uÝ

f

qÝ 0
jeżeli teraz pomnożymy to przez ε i dodamy do równania na stan równowagi ciała stałego:

Ý  f qÝ 0
    b   uÝ
T
gdzie:   1    s   mp

mT=[1 1 1 0 0 0] wektor (ciśnienie ma wpływ tylko na
naprężenia normalne)
WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
Potrzebne jest równanie konstytutywne dla ciała stałego:
 C
'
E
e  e 
P
odkształcenie całkowite

e 
p
m
odkształcenie ciała stałego na skutek ciśnienia p
p
3K S
równanie dla płynu:
T
E
 
m
C
T
T
 q  m 
3K S

T
E
 1  

m C m 



eÝ 
2

pÝ  0
Kf
9K s 
  K s
(dla danej konfiguracji i danej porowatości)

WYKŁAD 6 : Wymiana Ciepła, Dyfuzja i Mechanika przepływu płynu przez odkształcalne ciało porowate;
W analizie numerycznej problemu można uwzględnić zmiany porowatości:

i dalej:


T
 q  
f
moduł ściśliwości płynu

T
 q  
f
 f  p
K f t
  f  
t
 f

t
0
0