Transcript Definisi dan Relasi Pokok
Definisi dan Relasi Pokok
Yenni Astuti, S.T., M.Eng.
[email protected]
Rekayasa Trafik
• • Notasi “Kendall” untuk sistem antrian: – Proses kedatangan; – – Distribusi waktu layanan; Contoh – contoh.
Hasil “Little”: – Hasil pokok; – Pembuktian; – Contoh – contoh.
Yenni, TE 2012
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
1.
Notasi “Kendall” untuk sistem antrian
Kedatangan eksponensial Kedatangan umum Layanan eksponensial Layanan umum posisi tunggu tak-terbatas Kedatangan Erlang Layanan hiper eksponensial posisi tunggu tak-terbatas Layanan eksponensial Kedatangan umum posisi tunggu terbatas posisi tunggu tak-terbatas Gambar 1: Berbagai sistem antrian Pertanyaannya: Bagaimana cara merepresentasikan dalam bentuk yang kompak?
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
• • • • • • •
Komponen yang harus disebutkan:
Proses kedatangan; Distribusi waktu layanan; Banyak server yang dimiliki sistem; Adakah tempat antri dalam sistem; Jika ada, berapa banyak tempat tunggu yang dimiliki; Apa aturan layanannya’ Adakah aturan khusus yang digunakan dalam sistem: – – – Adakah kekosongan server’ Apakah kedatangan terjadi dalam kelompok atau tidak; Adakah prioritas dalam layanan untuk pelanggan tertentu.
Catatan: kita harus menyebutkan setidaknya kelas kedatangannya, kelas departure nya, jumlah server
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
• • •
Notasi Sederhana dari Sistem Antrian:
Kendall pada tahun 1960-an; Mengusulkan untuk menggunakan huruf untuk menyebutkan karakteristik sistem antrian; Huruf – huruf dipisahkan dengan ‘garis miring’ (5 posisi): / / / / • • • • • • •
Posisi Pertama digunakan untuk menyebutkan proses kedatangan:
M: eksponensial (M diambil dari Markovian); E k : Erlang dengan orde-k; H k : Hipereksponen dengan orde-k; D: konstan; PH: tipe fase; GI: (general uncorrelated) umum tak terkorelasi; G: (general) umum.
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
• • • • •
Beberapa proses waktu-kontinyu terkenal:
IPP: Interrupted Poisson Process; SPP: Switched Poisson Process; MMPP: Markov Modulated Poisson Process; MAP: Markovian Arrival Process; BMAP: Batch Markovian Arrival process; • • • • •
Beberapa proses waktu-diskret terkenal:
IBP: Interrupted Bernoulli Process; SBP: Switched Bernoulli Process; MMBP: Markov Modulated Bernoulli Process; D-MAP: Discrete-time Markovian Arrival Process; D-BMAP: Discrete-time Batch Markovian Arrival process;
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
• • • • • •
Posisi kedua: proses layanan:
M: eksponensial (M diambil dari Markovian); E k : Erlang dengan orde-k; H k : Hipereksponen dengan orde-k; D: konstan; PH: tipe fase; G: (general) umum.
• •
Perlu diperhatikan:
Waktu layanan biasanya diasumsikan tak-terkorelasi (dalam hal ini G merupakan tak-terkorelasi) Terkadang, hal ini tidak benar.
• • •
Posisi ketiga:
Waktu layanan; Setidaknya harus ada satu server; dapat bernilai
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
•
Beberapa contoh sistem antrian dalam notasi Kendall sbb:
M/M/1 M/PH/10 MAP/PH/1/ Posisi lainnya (ke-4 dan ke-5) diasumsikan sebagai tak-terbatas.
• •
Tempat keempat: kapasitas sistem:
Harus setidaknya ada 1; Kapasitas dari bukan jumlah posisi antrian; – Kapasitas = jumlah posisi antrian – jumlah server.
– M/PH/10/N, M/M/1/K.
Jika , tempat keempat ini dapat dilewati; MAP/PH/1/
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
• • •
Posisi kelima: populasi kedatangan:
Bisa terbatas: – Proses kedatangan mesin rusak di antrian tukang reparasi (jumlah mesin terbatas) Bisa tak-terbatas: – Proses kedatangan panggilan pada exchange telpon.
Diabaikan bila tak-terbatas!
• •
Hal-hal berikut ini penting:
Posisi kelima biasanya salah dinotasikan sebagai aturan layanan; Aturan layanan harus diberikan secara terpisah (bukan di notasi Kendall) !
• • • •
Aturan layanan yang umum digunakan:
FCFS (First Come, First Serve), misalnya: urutan kedatangan; Urutan acak (RANDOM); LCFS (Last Come, First Serve); PS (Processor Sharing)
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
Gambar 2: Berbagai jenis sistem antrian dan notasi Kendallnya
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
2. Hasil Little:
• Merupakan hasil yang paling umum dan paling dapat diandalkan.
• Dapat digunakan untuk berbagai sistem antrian; • Berkaitan dengan hal-hal berikut: – – – Nilai rerata pelanggan dalam sistem (panjang antrian rerata) Waktu tinggal rerata pelanggan dalam sistem; Jumlah rerata pelanggan masuk ke sistem per unit waktu.
• • •
Mari kita definisikan:
L: rerata panjang antrian; W: rerata waktu tunggu pelanggan dalam sistem (waktu tinggal); : rerata jumlah pelanggan masuk sistem per unit waktu;
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
•
Aturan Little:
L =
W
Hasil ini pertama kali dipublikasikan oleh Little tahun 1961.
• • •
Catatan untuk Hasil Little:
Ditujukan untuk menjaga kestabilan antrian (laju layanan > laju kedatangan) ; Satu-satunya hasil yang berlaku untuk semua sistem antrian; merupakan laju kedatangan aktual!
Gambar 3: Laju kedatangan aktual ketika jumlah posisi tunggu terbatas
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012 2.1. Penjelasan intuitif dari Hasil Little
• • •
Dalam sistem antrian:
Tidak menjadi masalah jenis proses kedatangannya; Tidak menjadi masalah jenis proses layanannya; Untuk memudahkan, kita mengasumsikan jumlah posisi tunggu tak terbatas.
• • •
Strategi Pengoperasian sebagai berikut:
Pelanggan masuk sistem dalam waktu acak; Buffer digunakan untuk menunggu selama belum dilayani; Setelah layanan, pelanggan meninggalkan sistem.
• •
Perlu diperhatikan:
Proses kedatangan sebagai jumlah kumulatif dari kedatangan [0,t); Proses departure sebagai jumlah kumulatif dari departure [0,t).
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
Gambar 4: Ilustrasi kuantitas yang berbeda terkait dengan suatu antrian
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
• • • • •
Diasumsikan suatu periode waktu T dan digunakan notasi berikut:
N(T): jumlah kedatangan dalam periode T; A(T): waktu layanan total dari semua pelanggan dalam periode T: – Area antara kurva; – Arti fisik: volume trafik yang dibawa.
(T) = N(T)/T: rerata laju kedatangan dalam periode T; W(T) = A(T)/N(T): waktu holding rerata dalam sistem per pelanggan dalam periode T; L(T)/T: jumlah rerata pelanggan dalam sistem dalam selama periode T.
Maka, relasi antar variabel sebagai berikut:
L(T) = A(T)/T = W(T)N(T)/T = (T)W(T).
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
Diasumsikan berlaku nilai limit berikut: Maka, limit berikut juga akan terjadi:
• • •
Akhirnya, diperoleh formula Little:
L = W L: jumlah rerata pelanggan; : Laju pelanggan masuk ke sistem; W: waktu tunggu rerata.
• • Penting!: Koneksi hasil Little Parameter masukan : biasanya diketahui; Parameter keluaran L dan W: kita tidak mengetahuinya.
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
2.2 Contoh: cara untuk menggunakan hasil Little.
Dalam suatu sistem antrian sederhana, sistem antrian M/M/1.
• • • • Sistem antrian tersebut dikarakterkan dengan: Proses kedatangan bergantian dengan waktu antar kedatangan terdistribusi eksponensial; Waktu layanan terdistribusi eksponensial; Server tunggal; Posisi tunggu yang berjumlah tak-terbatas.
• • •
Didefinisikan berikut:
: laju kedatangan rerata pelanggan dalam sistem; µ: laju layanan rerata server; E[W]: waktu tunggu rerata, E[T]: waktu tinggal rerata.
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
•
Untuk kestabilan kita asumsikan
= µ : Untuk kasus ini jumlah pelanggan tidak bertambah hingga tak-terbatas.
•
Dapat ditunjukkan bahwa:
E[N] = /(1 ) Kita akan menurunkan hasil ini kemudian dalam materi berikutnya.
Kita bisa memperoleh waktu tinggal rerata dan waktu tunggu rerata:
E[T] = E[N]/ = 1/(µ(1 )), E[W] = (E[N]/ ) (1/µ) = /(µ(1 )).
Catatan: E[N] digunakan!
dan E[W] ketika dan aturan Little tidak dapat
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
2.2 Pembuktian aturan Little
• •
Perhatikan hal berikut:
Terdapat sejumlah bukti untuk aturan Little.
Untuk sistem antrian tertentu, bukti-bukti tersebut muncul!
• •
Diberikan bukti untuk kasus:
= µ ; Catatan: secara eksplisit diimplikasikan bahwa sistem kosong secara tak terbatas sering.
• • • • •
Diasumsikan sebagai berikut:
Diawali dengan sistem kosong; Pada interval waktu [0,t); t merupakan waktu ketika sistem juga kosong; A(t) jumlah kedatangan dalam [0,t); C(t) jumlah penyelesaian layanan dalam [0,t).
Rekayasa Trafik Yenni, TE 2012
Gambar 4: Ilustrasi waktu yang dihabiskan dalam sistem T i , i=1,2,…