Transcript xP(x) - WordPress.com

IT 105
Matematika Diskrit
Kalkulus Predikat/
Kalimat Berkuantor
Grace Lusiana Beeh, S. Kom.
[email protected]
Selasa, 21 Feb 2012
Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011
Kuantor
 Universal


x.P(x)  negasi : x.P(x)
Untuk semua (setiap) x berlaku P(x)
 Eksistensensial


x.P(x)  negasi : x.P(x)
Ada (beberapa) x berlaku P(x)
Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011
…contoh kuantor universal…

x.P(x)
Semua mahasiwa masuk kuliah.
Negasinya: x.P(x)
 Ada/beberapa mahasiswa tidak masuk kuliah.


x.P(x)
Setiap mahasiwa memakai pakaian rapi dan
sepatu.
Negasinya: x.P(x)
 Ada/beberapa mahasiswa yang tidak memakai
pakaian rapi atau tidak memakai sepatu.

Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011
…contoh kuantor eksistensial…

x.P(x)
Ada mahasiwa yang sakit.
Negasinya: x.P(x)
 Semua mahasiswa tidak sakit.


x.P(x)
Ada x yang berlaku x>0 atau x genap.
Negasinya: x.P(x)
 Semua x berlaku x<0 atau x=0 dan x tidak
genap.

Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011
Kuantor Ganda
 Ada
8 cara berbeda dalam
menggunakan 2 kuantor  dan  dalam 2
variabel x dan y, masing-masing adalah :


(x)(y), (y)(x), (x)(y), (y)(x),
(x)(y), (y)(x), (y)(x), (x)(y).
 Jika
semua kuantornya sama, maka
urutan penulisan kuantor-kuantor itu bisa
dibalik. Akan tetapi, jika kuantornya
berbeda, urutan penulisannya tidak selalu
dapat dibalik.
Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011
…


Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x”
Nyatakan arti simbol logika di bawah ini dalam bahasa
sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya.

(x) (y) p(x,y)
Untuk setiap orang x, terdapatlah seorang y,
sedemikan hingga y adalah ibu dari x.
Dengan kata lain : setiap orang mempunyai ibu.
(nilai kebenarannya : benar)

(y) (x) p(x,y)
Terdapatlah seorang y sehingga untuk semua orang
x, y adalah ibu dari x. Dengan kata lain : Ada
seseorang yang merupakan ibu dari semua orang di
dunia ini. (nilai kebenarannya: salah)
Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011
Ingkaran Kuantor Ganda
 Secara


formal:
 { (x)(y) p(x,y) }  (x)(y) p(x,y)
 { (x)(y) p(x,y) }  (x)(y) p(x,y)
Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011
Contoh ingkaran kuantor ganda…
Apakah ingkaran kalimat berikut ini ?
( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n = 2k
Atau :
Semua bilangan bulat adalah bilangan genap.
Penyelesaian :
Ingkaran :
( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n  2k.
Atau :
Ada bilangan bulat yang tidak sama dengan 2
kali bilangan bulat lain.
Dengan kata lain :
Ada bilangan bulat yang tidak genap
Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011
Materi Kuantor tambahan…
Kuantor Universal

Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap
obyek dalam semestanya mempunyai sifat
kalimat yang menyatakannya.

Kata yang digunakan: semua atau setiap

Misalnya:
p(x) : “x dapat mati”.
Karena semua manusia dapat mati, maka hal
tersebut dinyatakan dengan :
(x) x  manusia, x  p(x).

Kalau semesta sudah jelas, maka dapat
dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya
sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di
bumi, maka dituliskan: ( x) p(x).
Kuantor Eksistensial
 Kuantor
Eksistensial menunjukkan bahwa di
antara obyek-obyek dalam semestanya, paling
sedikit ada satu obyek (atau lebih, asal tidak
semua) yang memenuhi sifat kalimat yang
menyatakannya.
 Kata
yang digunakan: terdapat, ada,
beberapa, paling sedikit satu
 Contoh:
(x  D) q(x), disingkat (x) q(x) :


bernilai T jhj paling sedikit ada satu x dalam D yang
menyebabkan q(x) benar
hanya bernilai salah jika untuk semua x  D, q(x)
bernilai salah.
Contoh (1a)


Misalkan D adalah himpunan bilangan
bulat.
Buktikan bahwa :
kalimat (m  D) m2 = m bernilai benar.
Penyelesaian:
Kalimat (x) p(x) bernilai benar bila dapat
ditunjukkan bahwa ada satu x (atau lebih)
yang memenuhi sifat p.
Untuk m = 1  D, m2 = 12 = 1 = m.
Jadi, kalimat (mD) m2 = m benar untuk m
=1
Terbukti bahwa kalimat ( m  D) m2 = m
benar.
Contoh (1b)

Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat
antara 5 dan 10.
Buktikan bahwa :
kalimat ( m  E) m2 = m bernilai benar.
Penyelesaian:
Untuk 5  m  10, 52 = 25  5 ; 62 = 36  6 ; . . . ;
102 = 100  10
Berarti tidak ada satupun m  E yang memenuhi
relasi m2 = m.
Jadi, kalimat ( m  E) m2 = m salah
Contoh (2b)

Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini
dalam bahasa sehari-hari
( bilangan bulat m) m2 = m

Penyelesaian:
Berikut ini diberikan beberapa cara untuk
menyatakannya :



Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan
bilangan itu sendiri
Beberapa bilangan bulat sama dengan kuadratnya
sendiri
Terdapat bilangan bulat yang kuadratnya sama
dengan bilangan itu sendiri.
Contoh (3a)


Tentukan kebenaran kalimat di bawah
ini (Semesta pembicaraannya adalah
himpunan bilangan bulat)
(x) x2 – 2  0
Penyelesaian:
a. Jika x = 1 maka x2 – 2 = 12 – 2 = -1 < 0 Jadi,
tidak semua x memenuhi x2 – 2  0
sehingga kalimat (x) x2 – 2  0 bernilai
salah.
Contoh (3b)


Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini
(Semesta pembicaraannya adalah himpunan
bilangan bulat)
(x) x2 – 10x + 21 = 0
Penyelesaian:
x2 – 10x + 21 = 0
(x – 3)(x – 7) = 0
x1 = 3 ; x2 = 7
Memang benar ada x yang
memenuhi relasi x2 – 10x + 21 = 0(yaitu 3
dan 7) sehingga kalimat (x) x2 – 10x + 21
= 0 bernilai benar.
Contoh (4a-b)

Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan
menggunakan kuantor  dan 
a.
b.

Beberapa orang rajin beribadah.
Setiap bilangan adalah negatif atau mempunyai akar
riil.
Penyelesaian:
a. Jika p(x) : “x rajin beribadah”
maka kalimat (a) dapat ditulis (x) p(x).
b. Jika p(x) : “x adalah bilangan negatif”
q(x) : “x mempunyai akar riil”
Maka kalimat (b) dapat ditulis (x)(p(x) 
q(x)).
Contoh (4c-d)

Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan
menggunakan kuantor  dan 
c.
d.

Ada bilangan yang tidak riil.
Tidak semua mobil mempunyai karburator.
Penyelesaian:
c. Jika p(x) : “x adalah bilangan riil”
maka kalimat (c) dapat ditulis sebagai (x) 
p(x).
d. Jika q(y) = “mobil mempunyai karburator”
Maka kalimat (d) dapat ditulis sebagai ((y)
q(y)).
atau kalimat (d) dapat ditulis sebagai (y) 
q(y).
Ingkaran Kalimat Berkuantor

Secara umum:

Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)” adalah :
“Ada x yang tidak bersifat p(x)”
Dalam simbol:
 ((x  D) p(x))  (x  D)  p(x)

Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)”
adalah :
“Semua x tidak bersifat q(x)”.
Dalam simbol :
 ((x  D) q(x))  (x  D)  q(x)
Contoh (5a)

Tulislah ingkaran kalimat berikut ini :
Terdapatlah bilangan bulat x
hingga x2 = 9

sedemikian
Penyelesaian:
Untuk lebih memudahkan penyelesaian,
terlebih dahulu kalimat ditulis ulang
dengan menggunakan kuantor, kemudian
barulah dituliskan ingkarannya.
Kalimat mula-mula :
(x  bulat) x2 = 9
Ingkaran
:
(x  bulat) x2
9
Atau : Kuadrat semua bilangan bulat tidak
sama dengan 9
Contoh (5b)

Tulislah ingkaran kalimat berikut ini :
Semua program COBOL mempunyai
panjang lebih dari 20 baris.

Penyelesaian:
Kalimat mula-mula :
(x  program COBOL) panjang x > 20 baris)
Ingkaran
:
(x  program COBOL) (panjang x  20 baris)
Atau :
Ada program COBOL yang panjangnya kurang
dari
atau sama dengan 20 baris
Contoh (6a)

Tulislah kalimat di bawah ini dalam simbol logika
berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya
(semestanya adalah himpunan bilangan bulat)
Untuk setiap x, jika x bilangan genap maka x2 + x genap

Penyelesaian:
Misalkan Z : himpunan bilangan bulat
Misal p(x)
:
x bilangan genap
q(x)
:
x2 + x bilangan
genap
Kalimat mula-mula :
(x  z) (p(x)  q(x))
Ingkaran:
(x  Z) (p(x)  q(x))
=
(x  Z) (p(x)  q(x))
=
(x  Z) (p(x)   q(x))
Atau : “Ada bilangan bulat x yang merupakan
bilangan genap tetapi x2 + x bukan genap”
Presentasi MatDis - Grace Beeh - 2011
Usai
nb: Minggu Depan TTS MatDis