Transcript A Kembali ke SAP

SAP






Eliminasi

Persamaan trigonometri

sederhana

Persamaan trigonometri

lanjutan

Segitiga menurut bentuk dalildalil segitiga
Macam-macam segitiga
Garis-garis istimewa pada
segitiga
Dalil sinus
Dalil cosinus
Macam-macam grafik fungsi
Dalil-dalil siklometri
Rumus –rumus fungsi
siklometri
ELIMINASI

Sekiranya diketahui dua buah persamaan yang
masing-masingnya mempunyai satu bilangan yang
tidak dikenal yaitu x. Maka x dapat dihilangkan.
Jadi dengan sendirinya tidak akan ada persamaan
yang sama dalam kedua persamaan itu, sekiranya
koefisien dari kedua persamaan itu tidak
mempunyai persyaratan yang mesti dipenuhi
keduanya. Syarat yang harus dipenuhi itu ialah
menghilangkan x dari kedua persamaan itu.
Menghilangkan x dari kedua persamaan itu
disebut mengeliminasikans
LATIHAN SOAL ELIMINASI
Eliminasilah x dan y dari persamaan-persamaan
ini:
JAWABAN SOAL ELIMINASI
Umpamakan tg x = t dan tg y = u, maka
sehingga dengan
permisalan ini di peroleh :
Dari dua persamaan yang pertama diperoleh jika, a≠c dan
p≠r:

sehingga mempergunakan
keikatannya dengan persamaan yang ketika diperoleh :

atau
umpama a = b,
maka persamaan yang pertama menjadi palsu, sedangkan
kalau a = c, maka persamaan dalam setiap kejadian akan
identik. Seterusnya kalau p ≠q, maka y dapat diselesaikan
dengan jalan dua penyelesaian dan seterusnya x dapat
diselesaikan dari persamaan yang ketiga. Akhirnya
diperoleh hasil persamaan dengan eliminasi ini :
(a≠b, p≠q)
Atau a =b = c (dengan catatan p = q ≠r)
Atau p = q = r (dengan catatan a = b ≠c)
PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA

Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat
fungsi trigonometri dari suatu sudut yang belum diketahui.
Contoh persamaan trigonometri adalah 2 sin x = 1, tan x +
= 0,
dan cos x =
Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah mencari sudut ×
yang membuat persamaan menjadi benar. Dalam menyelesaikan
persamaan trigonometri kita gunakan operasi aljabar dan juga
identitas trigonometri jika diperlukan. Beberapa persamaan
trigonometri dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran dan
menyatakan persamaan tersebut dalam satu macam fungsi
trigonometri saja.
Berikut ini akan diberikan penyelesaian umum dari persamaan
trigonometri:
1. Pada bagian sebelumnya kita dapatkan bahwa fungsi sinus bernilai
positif di kuadran I dan II serta periode dasarnya adalah 360°. Dengan
demikian, penyelesaian dari persamaan
sin x = sin α adalah
x = α + k . 360° atau
x = (180 – α) + k . 360 °.
dengan k = 0, ± 1, ± 2, …
2. Fungsi kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV serta mempunyai
periode dasar 360°, sehingga penyelesaian dari
cos x = cos α adalah
x = α + k . 360° atau
x = (- α) + k . 360°.
dengan k = 0, ± 1, ± 2, …
3. Fungsi tangen bernilai positif di kuadran I dan III serta periode dasarnya
adalah 180°, sehingga penyelesaian dari
tan x = tan α adalah
x = α + k . 180°
dengan k = 0, ± 1, ± 2, …

LATIHAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI
SEDERHANA

Tentukan solusi dari sin x + sin x cos x = 0
untuk 0° ≤ x < 360°

Tentukan solusi dari cos² x + sin x – 1 = 0
untuk 0° ≤ x < 360°
JAWABAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI
SEDERHANA

Soal pertama menggunakan penyelesaian pemfaktoran:
Sin x + sin x cos x = 0
sin x (1 + cos x) = 0
a. sin x = 0
b. 1 + cos x = 0
x = 0°
cos x = -1
x = 180°
Jadi, solusinya adalah 0° dan 180°

Soal kedua menggunakan penyelesaian menyatakan persamaan tersebut dalam satu macam fungsi
trigonometri
cos² x + sin x – 1 = 0 (subtitusi cos² x = 1 – sin² x)
1 - sin² x + sin x – 1 = 0
sin x - sin² x = 0
sin x (1 – sin x) = 0
a. sin x = 0
b. 1 – sin x = 0
x = 0°, 180°
sin x = 1
x = 90°
Jadi, solusinya adalah 0°, 90°, dan 180°
PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTAN
Dibawah ini akan di bicarakan persamaan-persamaan yang penyelesaiannya
dapat di kembalikan kepada a cos x+b sin x= c tipe-tipenya adalah
 A tg x+ b cot x + c= 0 (a dan b ≠ c)
Persamaan ini dapat di jadikan menjadi kuadrat dalam tg x, namun
pendapat tidak secara logaritms dan kurang mantap dalam cara
perhitungan. Supaya berbentuk logaritmis dan kedua bagian kiri dan kanan
sama-sama di kalikan dengan 2 sinx cos x, sehingga persamaan berbentuk
(a-b) cos 2x-c sin 2x= a+b. Bentuk dirubah begitu rupa sehingga menjadi
bentuk :
 Cos (2x+ϕ)Sin x sin (x-a) = p cos 2x. Sesudah kedua ruas di kalikan denga 2, maka di
peroleh persamaan seperti berkut :
Cos a – cos (2x-a) = p (1+ cos 2x), bentuk ini serupa dengan bentuk a cos +
b sin x = c
LATIHAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI
LANJUTAN

Carilah x dari sin x + cos x + tg x + cotg x ≠sec x
+ cosec x = a!
PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTAN

A sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d. Karena sin x cos x= ½
sin 2x dan kuadrat dari sin x cos x dapat dikembalikan
kepada cos 2x maka di perbanya kedua ruas dengan 2, dan
persamaan di rubah menjadi:
A (1-cos 2x)+b sin 2x + c (1-cos 2x) = 2d, (c-a) cos 2x +b sin
2x= 2d-a-c dan seterusnya. Persamaan juga dapat dirubah
menjadi persamaan kuadrat dalam tg x.

Tg (x+a) + tg (x-a) = b. Dengan merubah tg x dengan sin x
dan cos x, dalam mengalikan sekalian suku dengan
penyebut, maka di peroleh : sin 2x= b cos (x+a)cos (x-a )= ½
b (cos 2x+ cos 2a) : maka di peroleh : -b cos 2x + 2 sin 2x =
b cos 2a.
JAWABAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI
LANJUTAN

Bentuk soal di atas di tulis dengan sin x dan
cos x seluruhnya makan di perolehlah :
dengan memisalkan sin x + cos x = p ; makan
persamaan terakhir menjadi
dengan memisalkan sin x + cos x = p ; makan
persamaan terakhir menjadi
SEGITIGA MENURUT BENTUK DALIL-DALIL
SEGITIGA
1. Jika dua buah sisi sebuah segitiga tidak sama panjang,maka sudut
terbesar terletak di hadapan sisi terpanjang.Pada ΔABC, BC > AB ⇒
∠BAC > ∠ACB Bukti:
B
1
1
A
D
2
2
ΔABD samakaki
∠DAB = ∠ADB
∠ADB = ∠DAC + ∠ACD
∠DAB = ∠DAC + ∠ACD
sehingga:
∠DAB + ∠DAC > ∠DAC + ∠ACD
∠BAC > ∠ACD
atau ∠BAC > ∠ACB
C
SEGITIGA MENURUT BENTUK DALIL-DALIL
SEGITIGA
2. Jika dua buah sudut pada sebuah segitiga tidak sama, maka sisi
terpanjang terletak di hadapan sudut terbesar Pada ΔABC, ∠A > ∠C ⇒ BC >
AB Bukti:
B
A
C
Digunakan bukti tidak langsung.
Ada 3 kemungkinan hubungan antara BC dan AB yaitu:
1) BC < AB
2) BC = AB
3) BC > AB
1) Jika BC < AB, maka ∠A < ∠C (menurut Teorema I)
2) Jika BC = AB, maka ∠A = ∠C. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Jadi BC =AB salah
3) Jadi kemungkinan yang benar BC > AB
SEGITIGA MENURUT BENTUK DALIL-DALIL
SEGITIGA
3. Dalam sebuah segitiga, jumlah panjang dua
buah sisi, lebih panjang dari panjang sisi yang
ketiga
Jika pada ΔABC, AC yang panjangnya b adalah
sisi terpanjang pun, b < a + c
MACAM-MACAM SEGITIGA

Jenis-jenis segitiga dapat ditinjau dari berdasarkan :
Panjang sisi-sisinya ;
(i)
Segitiga sembarang
(ii)
Segitiga sama kaki
(iii)
Segitiga sama sisi
 Besar sudut-sudutnya
(i) Segitiga lancip (0°<x<90°)
(ii)Segitiga tumpul (90°<x<180°)
(iii)Segitiga siku-siku (90°)
 Panjang sisi dan besar sudut
(i)
Segitiga siku-siku sama sisi
(ii)
Segitiga tumpul sama kaki

LATIHAN SOAL MACAM-MACAM SEGITIGA
1.
2.
Tentukan jenis segitiga-segitiga berikut ini
a. ∆ ABC dengan < A=60°, < B=60°, dan < C=60°
b. ∆ PQR dengan PQ=7cm, PR=5cm, RQ=7cm
Dari segitiga yang ada di bawah ini kelompokkan yang mana merupakan Segitiga
sama kaki, segitiga sama sisi, segitiga lancip, segitiga siku-siku,segitiga tumpul.
a
b
JAWABAN SOAL MACAM-MACAM SEGITIGA
1.
2.
a. segitiga sama sisi : karena < A=< B=< C,
masing-masing sudut sama besar.
b. segitiga sama kaki : karena besar dari
PQ=RQ.
- gambar A menunjukkan segitiga sama sisi
- gambar b menunjukkan segitiga siku-siku
GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIGA
1.
2.
3.
4.
Garis Tinggi
Garis Bagi
Garis Berat
Garis sumbu
c
c
c
A
B
d
d
Gambar A , garis cd
pada gambar B, garis cd
Merupakan Garis bagi.
Merupakan garis tinggi
C
d
gambar C, garis cd
Merupakan garis berat
D
DALIL SINUS

Perhatikan gambar di bawah berikut:

Pada gambar diatas, ΔABC yang ada adalah segitiga lancip dan tumpul. Pada
masing-masing segitiga dibuat garis tinggi CD yang panjangnya h.
Pada gambar (b), <CAD = 180° - A dan sin <CAD = sin (180° - A) = sin A.
Untuk kedua segitiga kita dapatkan:


Sin A =
Sin B =
atau h = b sin A dan,
atau h = a sin B
Sehingga a sin B = b sin A.




Dengan membagi kedua ruas dengan sin A sin B
diperoleh
=
Dengan menarik garis tinggi melalui titik A dan dengan
cara yang sama diperoleh:
=
Gabungan dari kedua persamaan diatas kita peroleh
aturan sinus berikut ini.
Pada ΔABC dengan sudut-sudutnya A, B, dan C serta isiisi dihadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a, b,
dan c berlaku
=
=
Perlu diperhatikan bahwa aturan sinus tersebut dapat
digunakan dalam perhitungan pada segitiga, jika
diketahui:
1. Dua sudut dan sembarang sisi
2. Dua sisi dan satu sudut di depan salah satu sisi
LATIHAN SOAL DALIL SINUS

Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga
ABC jika A = 30°, B = 70°, dan a = 4

Tentukan unsur-unsur segitiga ABC jika a = 2, b
= 6, dan A = 20°
JAWABAN SOAL DALIL SINUS

Sketsa segitiga ABC
sudut C dengan mudah ditentukan, yaitu
C = 180° - A – B = 180° - 30° – 70° = 80°
Untuk mencari b, gunakan pasangan pertama dan kedua dari
aturan sinus, yaitu
=
atau b =
=
= 7, 52
Gunakan aturan sinus sekali lagi untuk mencari c,
=
atau c =
=
= 7, 88

Jadi, C = 80°, b = 7,52 dan c = 7,88
Dengan aturan sinus
=
Sin B =
=
= 1,026
Karena nilai sinus tidak mungkin lebih besar dari 1, maka tidak
ada segitiga yang memenuhi soal.
DALIL KOSINUS

Perhatikan gambar disamping

Dari titik C tarik garis tinggi CD sehingga diperoleh segitiga siku-siku ADC dan
segitiga siku-siku BDC. Berdasarkan perbandingan trigonometri pada segitiga
siku-siku ADC, maka diperoleh
Cos A =
atau AD = AC x cos A = b cos A



Selain itu, berdasarkan teorema Pythagoras, berlaku
DC² = AC² - AD²
= b² - (b cos A)²
= b² - b² cos² A
Pada segitiga siku-siku BDC berlaku
BC² = DC² + BD²
= b² – b² cos² A + (BA – AD)²
= b² – b² cos² A + (c – b cos A)²
= b² – b² cos² A + c² – 2 bc cos A + b² cos² A
a² = b² + c² – 2 bc cos A




Dengan cara yang sama akan kita peroleh rumus:
b² = a² + c² - 2ac cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C
Sehingga kita peroleh aturan kosinus berikut ini:
Pada ΔABC dengan sudut-sudutnya A, B, dan C serta sisi-sisi dihadapan sudut
tersebut berturut-turut adalah a, b, dan c berlaku
a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = a² + c² - 2ac cos B
c² = a² + b² -2ab cos C
aturan kosinus tersebut dapat diucapkan “kuadrat dari sebarang sisi suatu
segitiga sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lain dikurangi dua kali perkalian
sisi itu dikalikan kosinus sudut apit kedua sisi tersebut”.
Aturan kosinus tersebut dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur
lainnya pada segitiga, jika diketahui hal-hal berikut ini:
1. Dua sisi dan sudut apit kedua sisi tersebut
2. Tiga sisi diketahui
LATIHAN SOAL DALIL KOSINUS

Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga
ABC, jika c = 10, b = 40, dan A = 120°

Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga
ABC, jika diketahui a = 7, b = 6, dan c = 8
JAWABAN SOAL KOSINUS
1. Dengan aturan kosinus,
a² = b² + c² - 2bc cos A
= 40² + 10² - 2(40) (10) cos 120°
= 1600 + 100 – 800 (-0,5)
= 2100
a = 45, 825

Meskipun B dan C dapat dicari dengan aturan kosinus, tetapi lebih mudah
jika kita gunakan aturan sinus. Untuk C kita cari dengan rumus =
sehingga sin C =
=
= 0,189

Jadi, C = 10,89° (sudut C harus lancip karena A sudut tumpul)
Selanjutnya B = 180° - A –C = 180° – 120° – 10,89° = 49,11°
2.



Kita hitung dahulu sudut yang terbesar (sudut
dihadapan sisi terpanjang) yaitu sudut C
c² = a² + b² - 2ab cos C
8² = 7² + 6² - 2(7) (6) cos C
64 = 85 – 84 cos C
84 cos C = 21
Cos C = 0,25
Karena cos C positif, maka C = 75,52²
Untuk mencari A dan B kita gunakan aturan sinus
=
↔ sin B =
=
= 0,726
Sehingga B = 46,55°
Dengan demikian A = 180° – B – C = 180° – 46,55° –
75,52° = 57,93°
Jadi A = 57,93°, B = 46,55°, dan C = 75,52°
MACAM – MACAM GRAFIK FUNGSI

Grafik sinus
MACAM-MACAM GRAFIK FUNGSI

Grafik kosinus
MACAM-MACAM GRAFIK FUNGSI

Grafik tangen
PENGERTIAN SIKLOMETRI
Dalam penyelesaian dari persamaan trigonometri, biasanya yang
ditemui adalah bentuk-bentuk seperti berikut : sin X= a, cos Y= b, tg
Z= c. Selain diketahui bahwa |a|≤1, maka dapat dicari besar X dari
sin x= a, dan tidak mungkin dicari X sembarang yang tidak
memenuhi harga mutlak dari a tersebut. Pengertian tersebut dapat
dituliskan dengan kalimat seperti berikut :
- X = adalah sebuah sudut, yang sinusnya sama dengan a
- X = sudut dengan sinusnya = a
- X = sudut sin a
Untuk menuliskan pengertian di atas dengan singkat, maka
dibuatlah sebuah sepakatan dan ditulis sebagai notasi, yaitu: arc sin
a, atau dalam bahasa indonesia x = busur sin a (arc adalah
kependekan dari arcus). Arc sin x adalah inversi dari sin x dan
seturusnya. Arc sin x, arc cos x, dan arc tg x dinamakan fungsi
siklometri, sedangkan x dalam fungsi siklometri itu disebut argumen.
FUNGSI SIKLOMETRI
Fungsi siklometri yang paling sederhana adalah y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = sec x, y = coses x,
dan y = cot x.
x
f
y
g
Relasi f dari x dan y merupakan fungsi siklometri. Masalahnya: relasi apakah g dari y ke
x ? Mari ikuti uraian berikut:
x
X dalam radian, x = arcus (busur) AB (arcus di baca arkus). Misal:
 Sin
, pernyataan tersebut dapat dibaca: adalah suatu sudut yang sinusnya
sama dengan atau ⅙ Atau: adalah arcus
yang sinusnya sama dengan

Maka berarti: sin
<---->
= arc sin
Umumnya: y sin x <----> x
 Definisi:
Jika f: X  Y relasi goniometri maka g: Y  X
merupakan relasi siklometri.
Bila f: y sin x dan g: x + arc sin y, dinyatakan
dengan notasi himpunan: jika
maka
atau
g yang merupakan relasi siklometri tersebut
disebut invers dari f, yang biasanya ditulis f-1 (g
= f-1 dan g-1 = f). lebih lanjut kita bicarakan
relasi siklometri
<---->
,


Ternyata
suatu relasi yang bukan fungsi, karena terdapat banyak nilai
x yang memenuhi. Agar relasi
merupakan fungsi maka x harus
tunggal, syaratnya: jika
atau
untuk membedakan
relasi
X: arc sin y, fungsi
Misal
fungsi siklometri. Dengan demikian
atau
atau
dinamakan harga utama
atau
harga utamanya
RUMUS –RUMUS FUNGSI SIKLOMETRI
Fungi goniometri (f) Fungsi siklometri (f-1) Domain
Range
{ (x,y) y = sin x}
{(x,y) y = arc sin x}
{y|-1 ≤ y ≤1 }
{x| ½ ∏ ≤ x ½∏}
{(x,y) y = cos x}
{(x,y) y= arc cos x}
{y| -1 ≤y ≤ 1}
{x| 0≤ x ≤ x∏ }
{(x,y) y = tan x}
{(x,y) y = arc tan x}
{y| -~ ≤ y <~}
{x| ½ ∏ ≤ x ½∏}
{(x,y) y = cot x}
{(x,y) y = arc cot x}
{y| -~ ≤ y <~}
{x|0 ≤ x ≤ ∏}
{(x,y) y = sec x}
{(x,y) y = arc sec x}
{y| y ≤ -1 }
{y | y ≥ 1}
{x|0 ≤ x ≤ ½∏}
{x| ½ ∏ ≤ x ≤∏}
{(x,y) y = csc x }
{(x,y) y = arc csc x}
{y| y ≤ -1 }
{y | - y ≥ 1}
{x|½ ∏≤ x ≤ 0}
{x|0 ≤ x ≤ ½∏}
LATIHAN SOAL RUMUS –RUMUS FUNGSI
SIKLOMETRI
X =?
Π
,x=?
 x utama = ?

JAWABAN SOAL RUMUS –RUMUS FUNGSI
SIKLOMETRI
a.
b.
c.
