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Facultad de ciencias económicas y administrativas
Departamento de calidad y producción
La estructura cristalina de los sólidos
Temas a tratar
¿Como se ensamblan los átomos dentro de las estructuras sólidas
(nos enfocaremos en los metales)
¿ cómo la densidad de un material depende de su estructura?
¿ Cuándo las propiedades del material varian con la orientación de la
muestra?
2
CONTENIDO
1. Introducción
2. Estructuras cristalinas
Sistemas cristalinos
Factores de empaquetamiento
Densidad teórica
Direcciones y planos cristalográficos
Estudios de rayos X
Estructuras importantes
3. Estructuras no cristalinas
Estruturas amorfas
3
MATERIALES Y ESTRUCTURA
Materiales cristalinos
• Arreglos periódicos de átomos 3D
• Típicos de - Metales
- Muchos cerámicos
- Algunos polímeros
SiO2 Cristalino
Si
Materiales no cristalinos
• Los átomos no tienen arreglo periódico
• Ocurre en : -Estructuras complejas
Enfriamientos muy rápidos
“Amorfo" = No Cristalino
Oxígeno
SiO2 No cristalino
4
Redes, Celdas Unitarias, Bases y
Estructuras Cristalinas
 Red – Es una colección de puntos (puntos de red)
ordenados en un patrón periódico.
 Celda unitaria – Una subdivisión de una red que sigue
conservando las características generales de la red.
 Parámetro de red – describen el tamaño y la forma de
la celda unitaria (aristas y ángulos).
Celda unitaria
7 crystal systems
14 crystal lattices
Fig. 3.4, Callister 7e.
a, b, and c are the lattice constants
6
Definición de
los
parámetros
de red y su
aplicación en
los sistemas
cristalinos
cúbico,
ortorrómbico
y hexagonal.
(c) 2004 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
Parámetro de red
Características de los siete sistemas cristalinos
Los catorce
tipos de redes
de Bravais,
agrupados en
siete sistemas
cristalinos.
Celda unitaria
(c) 2004 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
Muestras de Cristales
cúbico
tetragonal
ortorrómbico
monoclínico
triclínico
hexagonal
 Cantidad de átomos por celda – cantidad
especifica de puntos de red.
 Radio atómico Vs. Parámetro de red – las
direcciones compactas son las direcciones a lo
largo de las cuales los átomos están en
contacto continuo.
Ejemplo: Determinación de la cantidad de puntos
de red en sistemas cúbicos
Calcule la cantidad de puntos de red por celda en los sistemas
cristalinos cúbicos. Si sólo hay un átomo en cada punto de red,
calcule la cantidad de átomos por celda.
SOLUCIÓN
En la SC: punto de red / celda unitaria = (8 vértices)1/8 = 1
En la BCC:
= (8 vértices)1/8 + (1 centro)(1) = 2
En la FCC:
= (8 vértices1/8 + (6 caras)(1/2) = 4
Estructura cristalina metálica
 Tiende a ser densamente empaquetada.
Razones para el empaquetamiento denso:
 únicamente un elemento esta presente, por lo
tanto todos los radios atómicos son los mismos.
 Tienen estructuras cristalinas simples
• Factor
de
empaquetamiento
–
fracción del espacio ocupada por átomos,
suponiendo que son esferas duras.
• Radio atómico – Radio aparente de un
átomo, comúnmente calculado a partir de
las dimensiones de la celda unitaria,
usando direcciones compactas (depende
del número de coordinación).
•Numero de coordinación – cantidad de
vecinos
átomos
más
cercanos
a
determinado átomo.
Estructura cubica simple (SC)
 Rare due to low packing denisty (only Po has this structure)
 Close-packed directions are cube edges.
• Coordination # = 6
(# nearest neighbors)
(Courtesy P.M. Anderson)
15
FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO
FE =
Volumen de átomos en celda unitaria*
Volumen de celda unitaria
*Asumiendo esferas sólidas
volumen
átomos
átomos
4
a
Celda unitaria 1
p (0.5a) 3
3
R=0.5a
FE =
a3
volumen
Direcciones compactas
Celda unitaria
Contienen 8 x 1/8 =
1 átomo/celda unitaria • FE para una estructura simple = 0.52
16
ESTRUCTURA BCC
• Los átomos se tocan a lo largo de las diagonales del cubo.
--Ojo ¡ Todos los átomos son iguales.
Fe, Ti, W, Mo, Nb, Cr, V, Ta
Ejemplo: Cr, W, Fe (), Tantalio, Molibdeno
• Número de Coordinación = 8
2 átomos/celda: 1 centro + 8 esquinas x 1/8
17
FE - ESTRUCTURA BCC
3a
a
2a
R
átomos
celda
FE =
Direcciones compactas
Longitud = 4R = 3 a
a
2
4
3
p ( 3 a/4)3
a3
volumen
átomo
• FE BCC = 0.68
volumen
celda
18
ESTRUCTURA FCC
• Los átomos se tocan a lo largo de la diagonal de las caras
Ojo: Todos los átomos son iguales
Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag
• Número de coordinación = 12
4 átomos/celda: 6 cara x 1/2 + 8 esquinas x 1/8
19
FE - ESTRUCTURA FCC
Mayor máximo de FE
Direcciones compactas:
Longitud = 4R = 2 a
2a
Celda unitaria:
6 x 1/2 + 8 x 1/8
= 4 átomos/celda
a
átomos
celda
APF =
• FE FCC = 0.74
4
4
3
p ( 2a/4)3
a3
volumen
átomos
volumen
celda
20
Determine el factor de empaquetamiento (FE), para la estructura hexagonal
compacta.
• ABAB... Secuencia de apilamiento
• Proyección 3D
c
• Proyección 2D
A
Plano superior
B
Plano intermedio
A
Plano inferior
a
• FE = ?
6 átomos/Celda
ej: Cd, Mg, Ti, Zn
21
DENSIDAD TEÓRICA
Densidad =  =
 =
Donde
Masa de átomos en celda unitaria
Volumen de celda unitaria
nA
VC NA
n = número of átomos/celda
A = Peso atómico
VC = Volumen de celda unitaria
NA = Número de Avogadro
= 6.023 x 1023 átomos/mol
23
DENSIDAD TEÓRICA
 Ej: Cr (BCC)

A = 52.00 g/mol
R = 0.125 nm
n=2


R
átomos
Celda
=
volumen
Celda
a
2 52.00
a 3 6.023 x 1023
g
mol
a = 4R/ 3 = 0.2887 nm
teórica
= 7.18 g/cm3
real
= 7.19 g/cm3
átomos
mol
24
Propiedades seleccionadas de elementos
DENSIDAD TEÓRICA
En general
metales > cerámicos > polímeros
30
Por qué?
Cerámicos presentan...
• Ordenamiento menos
compactos
• Elemento ligeros
 (g/cm3 )
Metales presentan...
• Ordenamientos compacto
(Enlaces metálicos)
• Grandes masas atómicas
Metals/
Alloys
20
Platinum
Gold, W
Tantalum
10
Silver, Mo
Cu,Ni
Steels
Tin, Zinc
5
4
3
2
1
Polimeros presentan
• Ordenamientos no compactos
(o amorfos)
• Elementos muy livianos (C,H,O)
0.5
0.4
0.3
Titanium
Aluminum
Magnesium
Graphite/
Ceramics/
Semicond
Polymers
Composites/
fibers
B
*GFRE, CFRE, & AFRE are Glass,
Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced
Epoxy composites (values based on
60% volume fraction of aligned fibers
in an epoxy matrix).
Zirconia
Al oxide
Diamond
Si nitride
Glass -soda
Concrete
Silicon
G raphite
PTFE
Silicone
PVC
PET
PC
HDPE, PS
PP, LDPE
Glass fibers
GFRE*
Carbon fibers
CFRE *
Aramid fibers
AFRE *
Wood
26
Ejemplo 2
Determinación de la densidad del hierro BCC
Determine la densidad del hierro BCC, cuyo parámetro de red
es 0,2866 nm.
SOLUCIÓN
Átomos/celda = 2; a0 = 0,2866 nm = 2,866  10-8 cm
Masa atómica = 55,847 g/mol
Volumen de
cm3/celda
3
celda = a 0 = (2.866  10-8 cm)3 = 23.54  10-24
Número de Avogadro NA = 6.02  1023 átomos/mol
Densidad
(número
 
(volumen
 
de átomos/cel da)(masa
de la celda unitaria)(
( 2 )( 55 . 847 )
( 23 . 54  10
 24
)( 6 . 02  10
23
 7 . 882 g / cm
)
atómica
numero
3
de hierro)
de Avogadro)
Ejemplo 2
Tarea
 Determine la densidad del cobre FCC, cuyo
parámetro de red es 0,3615 nm.
 Determine la densidad del vanadio BCC, cuyo
parámetro de red es 0,3027 nm.
Crystals as Building Blocks
• Some engineering applications require single crystals:
--diamond single
crystals for abrasives
(Courtesy Martin Deakins,
GE Superabrasives,
Worthington, OH. Used
with permission.)
--turbine blades
Fig. 8.33(c), Callister 7e.
(Fig. 8.33(c) courtesy
of Pratt and Whitney).
• Properties of crystalline materials
often related to crystal structure.
--Ex: Quartz fractures more easily
along some crystal planes than
others.
(Courtesy P.M. Anderson)
29
Anisotropic
• Most engineering materials are polycrystals.
Adapted from Fig. K,
color inset pages of
Callister 5e.
(Fig. K is courtesy of Paul
E. Danielson, Teledyne
Wah Chang Albany)
1 mm
• Nb-Hf-W plate with an electron beam weld.
• Each "grain" is a single crystal.
• If grains are randomly oriented,
Isotropic
overall component properties are not directional.
• Grain sizes typ. range from 1 nm to 2 cm
(i.e., from a few to millions of atomic layers).
30
Monocristales Vs Policristales
• Monoscristales
-Propiedades varían con la dirección
anisotropia.
-Ejemplo: Módulo
de elasticidad (E) Fe BCC :
E (diagonal) = 273 GPa
E (borde) = 125 GPa
• Policristal
-Propiedades pueden variar o no con la dirección.
-Si los granos están aleatoriamente orientados:
isotrópico.
200 mm
(E = 210 GPa)
-Si los granos estan texturizados (anisotrópico).
31
POLIMORFISMO
• Dos estructuras en el mismo material
(alotropía/polimorfismo)
Hierro
Titanio
Líquido
, -Ti
1538ºC
-Fe
BCC
Carbono
1394ºC
Diamante -Grafito
FCC
-Fe
912ºC
BCC
-Fe
32
Puntos, Direcciones y Planos en la
Celda Unitaria
 Coordenadas de puntos – se escriben con base en las tres
dimensiones y los números se separan con comas.
 Índices de Miller - notación abreviada para describir ciertas
direcciones cristalográficas y planos en un material.
 Importancia de las direcciones – se usan para indicar determinada
orientación de un solo cristal o material policristalino.
 Importancia de los planos – Los metales se deforman a lo largo de
ciertos planos de átomos.
Coordenadas de puntos
Coordenadas de puntos seleccionados en la celda unitaria. El número
indica la distancia al origen, en términos de parámetros de red.
ÍNDICES DE MILLER-PUNTOS
Números
separados
por comas¡
35
Determinación de los Índices de Miller de
Direcciones
Determine los índices de
Miller de las direcciones A, B
y C de la Figura.
Direcciones cristalográficas y
coordenadas
(c) 2004 Brooks/Cole Publishing /
Thomson Learning™
Pasos para la solución:
1.
2.
3.
4.
Determine las coordenadas de dos puntos que estén en
esa dirección.
Reste las coordenadas del punto "cabeza" de las
coordenadas del punto "cola".
Reduzca las fracciones y/o los resultados obtenidos de
la resta en mínimos enteros.
Encierre los números en corchetes [ ]. El signo negativo
se representa con una barra sobre el número.
SOLUCIÓN
Dirección A
1. Los dos puntos son 1, 0, 0, y 0, 0, 0
2. 1, 0, 0, – 0, 0, 0 = 1, 0, 0
3. No hay fracciones que eliminar o enteros a reducir
4. [100]
Dirección B
1. Los dos puntos son 1, 1, 1 y 0, 0, 0
2. 1, 1, 1, – 0, 0, 0 = 1, 1, 1
3. No hay fracciones que eliminar o enteros a reducir
4. [111]
Dirección C
1. Los dos puntos son 0, 0, 1 y 1/2, 1, 0
2. 0, 0, 1 – 1/2, 1, 0 = – 1/2, – 1, 1
3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2
4 . [ 1 2 2]
Direcciones de la familia <110> en sistemas cúbicos
Importancia de las direcciones cristalográficas
 Indican determinada orientación de un solo cristal o de un material
policristalino.
Ejemplos:
 Los metales se deforman con más facilidad en direcciones a lo largo de
las cuales los átomos están en contacto más estrecho (direcciones
compactas).
 Aplicaciones magnéticas: - núcleos de transformadores.
- materiales magnéticos para medios de
grabación.
• Propiedades de resistencia: - cristales con los que se fabrican los álabes
de las turbinas.
Planos en la celda unitaria
 Los metales se deforman a lo largo de planos de átomos que estén
empacados de la manera más compacta ( planos compactos).
Ejemplos:
 Crecimiento de cristales [ materiales electrónicos en forma de
películas delgadas ( Si ó GaAs)]
Determinación de los índices de Miller de planos
Determine los índices de
Miller de los planos A, B y
C.
Planos cristalográficos e
intercepciones
(c) 2004 Brooks/Cole Publishing /
Thomson Learning™
Pasos para la solución:
1.
2.
3.
4.
Identifique los puntos en donde el plano cruza los ejes
x, y y z. Si el sistema cruza por el origen, mover el
origen del sistema de coordenadas.
Obtenga los recíprocos de esas intersecciones.
Simplifique fracciones, pero no a mínimos enteros.
Encierre los números en corchetes ( ). El signo negativo
se representa con una barra sobre el número.
SOLUCIÓN
Plano A
1. x = 1, y = 1, z = 1
2. 1/x = 1, 1/y = 1,1 /z = 1
3. No hay fracciones que eliminar
4. (111)
Plano B
1. El plano nunca intercepta el eje Z, por lo que x = 1, y = 2 y z = ∞
2. 1/x = 1, 1/y =1/2, 1/z = 0
3. Eliminar fracciones:
1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0
4. (210)
Plano C
1. Se debe cambiar el origen, porque el plano pasa por
0, 0, 0. Nos
movemos un parámetro de red en dirección y. Entonces, x = ∞, y = -1, y
z=∞
2. 1/x = 0, 1/y = 1, 1/z = 0
3. No hay fracciones que eliminar
4. (0 1 0)
Índices de Miller-Bravais para celdas unitarias
hexagonales
 Simetría exclusiva del sistema.
 El procedimiento para determinar los índices de planos es exactamente
igual a los anteriores, pero con cuatro intersecciones (hkil).
En las celdas unitarias HCP
se obtienen los índices de
Miller-Bravais usando un
sistema coordenado de
cuatro ejes.
(c) 2004 Brooks/Cole Publishing / Thomson
Learning™
(c) 2004 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
Direcciones comunes en la celda unitaria HCP, usando sistemas con tres y
cuatro ejes. Las líneas punteadas muestran que la dirección [1210] es
equivalente a una dirección [010].
Determinación de los índices de Miller-Bravais
para planos y direcciones
Determine los índices de
Miller-Bravais para los planos A
y B y para las direcciones C y
D de la Figura.
En las celdas unitarias HCP se
obtienen los índices de MillerBravais usando un sistema
coordenado de cuatro ejes. Los
planos identificados con A y B y las
direcciones identificadas con C y
D.
(c) 2004 Brooks/Cole Publishing /
Thomson Learning™
SOLUCION
Plano A
1. a1 = a2 = a3 = , c =1
2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, 1/c = 1
3. No hay fracciones para simplificar
4. (0001)
Plano B
1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -1/2, c = 1
2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 1
3. No hay fracciones para simplificar
4. (11 2 1)
Dirección C
1. Los dos puntos son 0, 0, 1 y 1, 0, 0.
2. 0, 0, 1, -1, 0, 0 = 1, 0, 1
3. No hay fracciones para simplificar.
4. [ 1 01 ] or [ 2 113]
SOLUCION (Continuación)
Direction D
1. Los dos puntos son 0, 1, 0 and 1, 0, 0.
2. 0, 1, 0, -1, 0, 0 = -1, 1, 0
3. No hay fracciones para simplificar.
4. [ 1 10 ] ó [ 1 100]
Planos y direcciones compactos
Planos y direcciones compactos
Comportamiento isotrópico y anisotrópico
 Un material es cristalográficamente anisotrópico si sus
propiedades dependen de la dirección cristalográfica en la
cual se mide la propiedad.
 Si las propiedades son idénticas en todas las direcciones, el
material, es cristalográficamente isotrópico, (materiales
policristalinos).
VARIACIÓN DE PROPIEDADES CON LA
ORIENTACIÓN CRISTALOGRÁFICA
(ANISOTROPÍA)
Técnicas de difracción para el análisis de la estructura
cristalina
• Los rayos X que inciden son difractados por la
estructura cristalina del sólido.
q
q
l
d
Medición de ángulo crítico, qc,
permite
resolver
el
espaciamiento interplanar, d.
d hkl 
spacing
between
planes
Intensidad de RX
extra
distance
travelled
by wave “2”
reflections must
be in phase for
a detectable signal
qc
a0
h k l
2
2
nl
d
2 sin qc
q
54
2
X-Ray diffractometer
Figure 3.44 Photograph of a XRD
diffractometer. (Courtesy of H&M
Analytical Services.)
Figure 3.45 (a) Diagram of a
diffractometer, showing powder
sample, incident and diffracted
beams. (b) The diffraction pattern
obtained from a sample of gold
powder.
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning
Figure 3.46 Photograph of a transmission
electron microscope (TEM) used for analysis
of the microstructure of materials. (Courtesy
of JEOL USA, Inc.)
Figure 3.47 A TEM micrograph of an aluminum alloy (Al-7055)
sample. The diffraction pattern at the right shows large bright spots
that represent diffraction from the main aluminum matrix grains.
The smaller spots originate from the nano-scale crystals of another
compound that is present in the aluminum alloy. (Courtesy of Dr.
JÖrg M.K. Wiezorek, University of Pittsburgh.)
Tarea
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing /
Thomson Learning
1)
Determine los índices de Miller para las direcciones en la celda unitaria cúbica de la
Fig.
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing /
Thomson Learning
2)
Determine los índices para los planos en la celda unitaria cúbica de la figura.
ESTRUCTURAS AMORFAS
• Altas velocidades de
enfriamiento.
crystalline
region
amorphous
region
• Bajos números de
coordinación.
61