Transcript 03a.Mencari Akar Persamaan

Mencari Akar Persamaan
Yenni Astuti, S.T., M.Eng.
Outline
• Metode Bagi Dua (Bisection)
• Metode Regula Falsi
Akar Persamaan
• Akar persamaan merupakan nilai suatu
fungsi ketika fungsi tersebut bernilai nol.
• Akar persamaan menjadi solusi /
penyelesaian suatu fungsi.
• Fungsi yang digunakan biasanya
merupakan fungsi non-linier.
Mencari Akar pada Fungsi Non-Linier
1. f(x) harus kontinyu, jika tidak, metode dapat
gagal.
2. Penggunaan algoritma menghasilkan solusi
pendekatan.
3. Karena solusi berupa pendekatan, toleransi
kesalahan harus disebutkan.
Metode Numeris Akar Persamaan
• Metode Tertutup
• Memerlukan interval.
• Metode Terbuka
• Tidak memerlukan interval
Metode Terbuka
• Metode Bagi Dua (Bisection)
• Metode Regula Falsi
Metode Bagi Dua (Bisection)
•
Salah satu metode pencarian akar termudah.
•
Memerlukan interval awal, yang memuat fungsi
bernilai nol (teorema nilai tengah).
•
Setiap interval yang terbentuk akan selalu
dibagi dua sampai ditemukan nilai akar
persamaannya.
Teorema Nilai Tengah
Suatu fungsi f(x) diambil pada
interval [a, b].
• Jika fungsi tersebut kontinyu,
serta f(a) dan f(b) memiliki
tanda berlawanan,
• Maka sekurang-kurangnya
terdapat satu nilai x yang
menyebabkan fungsi bernilai
nol, sepanjang interval a dan
b.
f(a)
a
b
f(b)
Dalam Interval a,b
Fungsi
memiliki 4
nilai fungsi
nol
a
b
Jika f(a) dan f(b) memiliki tanda yang sama, fungsi
dapat memiliki beberapa nilai x, atau tidak sama
sekali, yang menyebabkan fungsi bernilai nol
sepanjang interval [a, b].
Dalam Interval a,b
Fungsi tidak
memiliki nilai
fungsi nol
yang nyata
a
b
• Metode bagi dua tidak dapat digunakan pada
fungsi semacam ini.
Langkah Metode Bagi Dua
Syarat:
• Fungsi harus kontinyu:
f(a)  f(b) < 0
f(a)
c b
a
Langkah:
• Temukan titik tengah dari interval a dan b
• Hitung f(c)
• Jika f(a) f(c) < 0 maka interval menjadi [a, c]
f(a) f(c) > 0 maka interval menjadi [c, b]
f(b)
Metode Regula Falsi
• Hampir sama dengan prinsip metode bagi dua
(dalam hal pemilihan interval baru)
• Metode regula falsi menggantikan titik tengah
pada metode bagi dua dengan p, yang dapat
diperoleh dengan rumus:
p  a 
f (a)
f b   f  a 
(b  a )
Kok pakai p segala?
f(a)
p
b
a
f(b)
Langkah Regula Falsi
y
Syarat:
• Fungsi harus kontinyu
f(a)  f(b) < 0
b,f(b)
p,0
o
Langkah:
a,f(a)
• Hitung nilai p
• Jika f(a) f(p) < 0 maka interval menjadi [a, p]
f(a) f(p) > 0 maka interval menjadi [p, b]
x
f (x)  x  3x  4  0
4
 x l , x u   0 , 3 
Konvergensi
lebih rendah dari
metode bagi dua
Mari mencoba . . .
Cari akar persamaan dari
f(x)=(x-2)4-3
dalam interval [2, 4]