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Leis de Newton

Prof. Climério Soares

Um pouco de história

a O movimento e suas causas foram estudadas desde Grécia antiga, a cerca de mais de 2000 anos.

Aristóteles (384 – 322 a.C.) afirmava que para manter um corpo em movimento era necessário a ação de uma força atuando continuamente sobre uma corpo.

As ideias de Aristóteles permaneceram por um longo período até que forma contestadas pelo italiano Galileu Galilei (1564 -1642) no século XVII.

Galileu foi o responsável pela

Revolução Científica

que modificou as ideias de Aristóteles introduziu a experimentação como procedimento para comprovar uma ideia.

Para argumentar contra a ideia de corpo Aristóteles de que um só se manteria em movimento se existisse uma força agindo continuamente, Galileu utilizou uma

experiência do pensamento

: Experimento do plano inclinado de Galileu Se uma bola rola descendo uma rampa (plano inclinado), sua velocidade aumenta à medida que ela desce.

Galileu observou que, na segunda rampa, a bola atingia uma altura ligeiramente menor primeira rampa. Atribuiu essa pequena à que tinha na diferença na altura ao atrito existente entre a bola e o piso de madeira. Ao diminuir a inclinação da segunda rampa, observou que a bola continuava atingindo praticamente a mesma altura inicial, percorrendo uma distância maior. Imaginou o que aconteceria se pudesse eliminar todo o atrito do sistema, e torna a segunda rampa, pouco inclinada e, num caso extremo, torná-la horizontal.

Assim, concluiu que bola continuaria rolando com velocidade constate, indefinidamente (para sempre), sem que nenhuma força fosse necessária para manter esse estado de movimento.

O inglês Isaac Newton (1642 -1727), estendeu o trabalho de Galileu e formulou as três leis fundamentais do movimento, publicadas, em 1686, no seu livro

Princípios Matemáticos da Filosofia Natural.

parte da As Leis de Newton Mecânica Clássica denominada do movimento dos corpos levando em são estudadas na

Dinâmica

(estudo consideração suas causas).

Conceitos fundamentais: força e massa

O que é força?

Na linguagem do quotidiano, exercer uma força sobre qualquer corpo nos lembra puxar ou empurrar. As forças podem ser classificadas como sendo de contato, quando puxamos ou empurramos algum corpo; ou de interação à distância, como ocorre entre dois ímãs, por exemplo.

Segundo Newton, ou seja, força é a “ação” que produz

variação de velocidade.

Uma

aceleração

característica importante da força é que ela é , uma grandeza vetorial.

Força resultante

(



F R

)

Em diversas situações, um corpo pode estar sujeito à ação de várias forças. Nesse caso, representamos essas forças por apenas uma, denominada força resultante.

A força resultante vetorial das é obtida a partir da soma várias forças que atuam no corpo.



F R

 

1  

2  

3  

4 

.....

 

F N

Força resultante e o equilíbrio .

Quando a resultante das forças que atuam em um corpo é nula, dizemos que o corpo 

F R

está em equilíbrio.

 0

Equilíbrio

Estático

Dinâmico

REPOUSO

M

R

U

No Sistema Internacional (SI), a unidade de medida de é o

newton

cujo símbolo é

e cuja força definição será dada ais adiante.

Observação: conforme as regras do SI, quando o nome de uma unidade de medida é escrita por extenso, deve-se usar letras

minúsculas,

de um nome mesmo que essa unidade seja derivada próprio, como é o caso de

newton

; nesse caso, apenas o símbolo é escrito com letra maiúscula (N).

Massa : é a grandeza física que mede a quantidade de matéria contida em um corpo. As unidades de massa mais utilizadas são o quilograma (kg), o grama (g) e a tonelada (t), onde: 1 t = 1000 kg = 10³ kg

1ª Lei de Newton (Lei da Inércia)

Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja obrigado a mudar esse estado por forças aplicadas sobre ele Um outro enunciado da 1 ª Lei de Newton baseado na força resultante é o seguinte: Se a resultante das corpo for nula ( ou seja, o corpo

F R

  0 ) forças que atuam em um , sua velocidade não pode mudar, não pode sofrer uma aceleração.

O que é inércia?

corpos Segundo Newton, inércia é uma propriedade que os têm de oferecer resistência à qualquer mudança em seu estado de movimento.

Por isso que 1 ª Lei de Newton é também conhecida como Lei da Inércia.

A massa de um corpo pode também ser definida como a medida da inércia de um corpo, visto que quanto maior for a massa do corpo, mais difícil será alterar seu estado de movimento.

Por exemplo: é mais fácil frear um carro do que um caminhão, justamente porque o carro tem menos massa que um caminhão.

Referencial Inercial

Como vimos nas unidades anteriores, o movimento de um corpo depende de um referencial. Um

referencial inercial

é aquele onde vale a Lei da Inércia. Neste referencial, um corpo só pode variar a sua velocidade pela ação de uma força resultante não-nula.

Quando um ônibus freia, os passageiros, em repouso em uma relação ao ônibus, são lançados para frente sem a ação de força. Isso mostra que o ônibus não é um referencial inercial, pois há variação de velocidade sem ação de uma força.

Os referenciais inerciais relação às

estrelas fixas

não estão acelerados em . Os referenciais acelerados em relação a Terra não são referenciais inerciais. A própria Terra não é um referencial inercial, por conta de seu movimento de rotação.

Porém em movimentos de curta duração, a Terra é considerada praticamente inercial.

Ilustrações evidenciando a 1ª Lei de Newton

 Ao puxar bruscamente, a cartolina moeda copo.

acelera cai dentro e a do  Quando o cavalo freia subitamente, o cavaleiro é projetado.

Segurança no Trânsito

Se o carro estiver em equilíbrio (estático ou dinâmico), você também estará. Ao sofrer a colisão uma força atua sobre o carro mudando a velocidade dele e não a sua (inicialmente). Assim, seu corpo continua seu movimento para frente. O cinto de segurança impede que você seja lançado contra o pára-brisa. No segundo momento do choque, seu corpo vota para trás; e o encosto previne fraturas na sua coluna vertebral.

2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)

A primeira lei de Newton informa como se comporta um corpo livre de representa uma forças ou em equilíbrio. Já a segunda lei relação entre a força aplicada sobre o corpo e a aceleração que ele adquire:

a resultante das forças que agem sobre um corpo é diretamente proporcional a aceleração que ele adquire, sendo a constante de proporcionalidade a massa do corpo

Matematicamente: 

F R



 

a R

A partir dessa expressão que fica definida a unidade de força no SI: 1N é a força necessária para acelerar uma massa de 1 kg com uma aceleração de 1 m/s², ou seja: 1 N = 1 Kg ∙ 1 m/s²

2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)

Uma outra unidade de Newton é o

dina

força obtida a partir da 2ª Lei de (dyn), definida como a força necessária para acelerar um corpo de 1 g de massa produzida uma aceleração de 1 cm/s²

. Fica como exercício mostrar que

: 1 dyn = 10 -5 N.

Analise qualitativa da 2 ª Lei .

F

à aceleração resultante); 

F



R R

  

a m

(A (A força resultante é diretamente proporcional força resultante é diretamente proporcional à massa do corpo);

2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)



a

 1

m

F

 2 e 4 N, respectivamente.

Desprezando-se as forças dissipativas, a aceleração do corpo em m/s² é:

F

 1 a) 12 b) 10 c) 8

F

 2 d) 6

F R

2 

1 2 

2 2 

F R

2  3 2  4 2 

F R

 25 

F R

 5



F R a





F R m





5 0 , 5





10

m s

2 e) 4

Exemplo 3: (UEFS) Uma força constante de módulo 10 N atua sobre um corpo de massa

que parte do repouso e atinge uma velocidade de módulo 10 m/s, no intervalo de tempo de 4 s. Desprezando-se as forças dissipativas, a massa do corpo, em kg, é: a) 3,0 b) 4,0 c) 5,0 d) 10 e) 11,0 Para encontrar o valor de foi informado o valor da

usando a 2 ª Lei de Newton, já força. Precisamos encontrar o valor da aceleração. Usando a definição da aceleração, temos:

 



 10  0 4 

 2 , 5

temos:

m



F a



2 Usando, agora a 2 ª Lei , 10 2 , 5 

m

 4

kg

Exemplo 4: (UFPE) Um objeto de 2,0 kg descreve uma trajetória retilínea, que obedece à equação horária s =7,0 t² + 3,0 t + 5,0, na qual

é medido em metros e

em segundos. O sobre o objeto módulo da força resultante que está atuando é, em N: a) 10 b) 17 c) 19 d) 28 e) 35 A partir da análise da equação horária que foi dada no problema, temos que o módulo da aceleração é

= 14 m/s².

Agora podemos usar a equação da 2ª Lei:



 2  14 

 28

3ª Lei de Newton (Lei da Ação e Reação)

Sempre que um corpo exerce uma este força (ação) sobre outro, também exercerá uma força (reação) sobre o primeiro.

Em toda interação sempre existe um par de forças chamadas de

ação

reação

Assim, a 3 ª Lei de Newton afirma que

toda ação corresponde uma se um corpo A aplicar um força sobre um corpo B, então o corpo B aplicará sobre A uma força de mesmo módulo, mesma direção, mas de sentido contrário

. Em outras palavras,

a reação igual (em intensidade e direção) e oposta (em sentido)

, ou seja: 

F

  

F

3ª Lei de Newton (Lei da Ação e Reação)

Observação: Um par de ação e reação nunca se anulam pois atuam em corpos diferentes.

Ilustrações da 3ª Lei .

Algumas Forças Especiais Força Peso

É a força de atração gravitacional produzida pela Terra (ou por qualquer outro planeta) exercida sobre corpos próximos à sua superfície.

Todos os corpos abandonados próximos à superfície terrestre caem com a mesma aceleração (desprezando-se

aceleração da

gravidade

aproximadamente 9,8 resistência do ar) denominada ( m/s². Sendo

)

cujo módulo é a massa do corpo, teremos pela 2 ª Lei: 



 

Força Peso

O peso é um vetor que tem direção vertical apontando no sentido do centro da Terra.

Força Peso

Observação: não confunda

peso

com

massa

! A depender de onde for medido, o módulo do peso muda porque a aceleração da gravidade muda de um ponto para outro da superfície terrestre, enquanto o valor da massa do corpo permanece o mesmo, qualquer que seja o lugar onde for medido.

Como o peso é uma força, sua unidade de medida é o newton (N). Outra unidade de medida é o quilograma força (kgf), equivalente a força que a Terra atrai um corpo de 1 kg. Temos que 1 N = 9,8kgf. (

Fica como exercício mostra essa igualdade

). Assim, se você subir sobre uma balança de farmácia, a leitura lhe indicará seu peso. Se você pudesse realizar a mesma medida na Lua, veria que o valor seria diferente, pois lá g ≈ 1,6 m/s².

Força Normal

 (

) Quando um apoiado sobre uma corpo está superfície, ele exerce uma força sobre a superfície. De acordo com a 3ª Lei de Newton, a exerce uma força sobre o corpo. Tal força é chamada de normal (em matemática, um vetor perpendicular a uma superfície também superfície é denominado vetor normal). Sempre que um corpo estiver apoiado sobre uma superfície horizontal, seu peso irá comprimir a caso, a normal superfície e, neste será igual ao peso do corpo.

Força de Tração

(

 ) Quando uma corda (ou um fio, cabo ou outro objeto do mesmo tipo) é presa a um corpo e esticada, aplica uma força orientada ao longo da corda. Esta força é chamada de A tração porque a corda está sendo tracionada (puxada).

tensão da corda é o módulo

da força exercida sobre o corpo.

Força de Tração

Uma corda desprezível, em comparação com a massa corpo ao qual está presa, e é frequentemente considerada de massa

inextensível

(que não estica). Nesse caso, a função da corda é ligar os dois corpos (figura

). Ela puxa os dois corpos com forças de mesmo módulo, mesmo que os dois corpos e a cordas estejam acelerados e mesmo que a corda passe por uma

polia de massa desprezível e de atrito desprezível

(figura

Força de Atrito

( 

F

) É uma força que surge sempre que duas superfícies estão em contato e há uma tendência de movimento entre elas. Esta é uma força que sempre se opõe ao movimento dos corpos.

Cada vez que um corpo desliza sobre o outro, cada um exerce uma força paralela à superfície de contato entre eles.

Como observado na figura anterior, a força de atrito é sempre contrária ao movimento relativo das superfícies que estão em contato. Um exemplo disso é quando andamos.

Devido ao atrito, nosso para trás 

F at

. Pela Terceira Lei de Newton, o empurrando nosso mas de sentido contrário pé empurra o chão com uma força 

F at

(para frente).

chão reage

Nenhuma superfície é perfeitamente lisa. A figura abaixo mostra uma superfície bastante lisa observada através de um microscópio potente (microscópio de varredura). As irregularidades da matéria.

são consequência da estrutura

Força de atrito estático e cinético

Considere a seguinte experiência: a figura abaixo mostra um bloco em repouso sobre uma superfície horizontal seca (sem lubrificante). Podemos observar que o loco permanece em repouso até que a força de atrito atinge um valor limite (ou máximo). Assim, até a 

iminência do movimento

temos a

força de atrito estático

(

F at

)

Quando o bloco mostra que a começa a se movimentar, a experiência força de atrito entre ele e a superfície decresce.

Para manter o bloco em movimento uniforme, temos que aplicar uma força menor que a força de atrito estático máximo.

A força de atrito entre duas superfícies em movimento relativo é chamada de

força de atrito cinético ou dinâmico

( 

F at C

) .

Experiências mostraram que a força de atrito é proporcional a da força normal. Assim, para calcular o módulo força de atrito usamos a seguinte expressão: 

F at

   

onde a letra grega coeficientes de atrito: “mi” (µ) é uma grandeza adimensional chamada de

coeficiente de atrito

, que dificuldade de deslizamento entre os corpos.

representa a Há dois tipos de  Coeficiente de atrito estático (µ E ), utilizado quando o corpo ainda estiver em repouso.

 Coeficiente de atrito quando o corpo cinético ou dinâmico (µ C ), utilizado já está em movimento.

Na figura abaixo são mostrados alguns valores de coeficiente de atrito estático e cinético entre duas superfícies em contato :

Gráfico da força de atrito versus força aplicada

Observações:  a força de atrito depende das superfícies que estão em contato;  a força de atrito é independente da área de contato entre as superfícies.

Força Elástica (Lei de Hooke)

Sempre que um corpo recebe ação de uma força, ele sofre uma

deformação

. Em alguns casos, essa deformação é bem visível como quando se aperta uma bola de borracha ou se puxa uma mola. Quando a corpo pode voltar a sua força pára de atuar, o situação original, ou não. A força que atua no sentido de devolver o corpo para sua situação original é chamada de O cientista

força restauradora

inglês Robert Hooke (1635 – 1703) verificou experimentalmente que a intensidade da força aplicada à uma mola é diretamente proporcional à sua deformação. Matematicamente: 

F el

 

 

onde

     0 

Na indicar que A constante

F el

e 

têm sentidos opostos (o módulo da força elástica é calculado por

F el





é conhecida como constante elástica da mola (unidade no SI: N/m) e está relacionada às suas características: quanto maior o valor

, mais “dura” e resistente será a mola.

Uma mola é chamada de “ideal” quando submetida a uma deformação (distensão ou compressão) ela retorna à sua forma original obedecendo assim a Lei de Hooke.

Na prática, uma “mola real” obedece a Lei de Hooke até um determinado valor de deformação que chamamos de limite elástico. A partir desse valor, a deformação da mola torna-se permanente.

A figura abaixo mostra o obedece a Lei de Hooke.

gráfico de uma mola que

Medição de força.

usada As propriedades para equipamento medir a elásticas de uma mola pode ser intensidade de uma força. O construído com esse fim é chamado de

dinamômetro

(do grego:

dynamis, força; métron, medida).

Aplicações da Lei de Newton

A) Corpos se movendo em conjunto.

Exemplo 5:

3 kg e m C Três blocos A, B e C de massas m A = 6 kg estão apoiados em uma superfície horizontal sem atrito. A

 = 1 kg, m B = constante

= 5 N, é aplicada ao primeiro bloco A.

Determine: a) a aceleração adquirida pelo conjunto; b) a intensidade da força que A exerce em B; e a intensidade da força que B exerce em C.

Solução:

Para aplicarmos a 2 ª Lei de Newton , precisamos analisar todas as forças que estão agindo em cada bloco. Para isso Em cada bloco o peso

e a força normal não há movimento na vertical.



se anulam, pois a) Para determinarmos a aceleração adquirida pelo conjunto, consideramos a sistema de corpos como um único bloco, porque eles se movem juntos, como mostra a figura abaixo.

Assim usando a 2 ª Lei de Newton, temos:





 (

m A



m B



m C

)

 5  10



a

 0 , 5

m s

2 b) Para determinarmos a interação entre os corpos devemos estabelecer o diagrama de corpo livre na movimento. Na figura abaixo, a força

direção do é a força de contato entre os blocos No caso, a

 1 (força que cada bloco exerce sobre o outro).

é a força que A exerce em B e vice-versa e

 2 é força que B exerce em C e vice-versa (pela 3ª Lei de Newton).

Utilizando a 2 ª Lei de Newton, vamos encontrar primeiro o módulo da força que B exerce em C:

2 

m C a

1  3  3  0 , 5 

f

1  3  1 , 5 

1  4 , 5

Exemplo 5:

m B = 4 kg Dois corpos A e B de massas iguais m A = 2 kg e estão apoiados numa superfície horizontal perfeitamente lisa. O fio que liga A e B massa desprezível e inextensível. A força horizontal 

tem intensidade a 12 N, constante. Determine: a aceleração do sistema e a intensidade da força de tração do fio.

Solução:

Como no exemplo anterior, as forças normal e peso se anulam em cada bloco; por isso  só vamos considerar as fio entre A e B e a figura a seguir força

que está puxando o conjunto. Na é mostrado o diagrama de corpo livre.

Como os blocos estão se movendo juntos e o fio é inextensível, podemos usar a 2ª Lei de Newton para determinar a aceleração considerando a massa total do conjunto:

 

m A



m B





12



6



 2

m s

Agora, para encontrar o módulo da tração no fio, podemos usar tanto a resultante no bloco A quanto a resultante no bloco B.

Então, usando a equação fundamental da dinâmica aplicada ao corpo B, temos:



m A a



 2  2 

 4

B) Roldana ou polia

Uma roldana, ou polia, mudar a é um instrumento utilizado para direção de uma força aplicada a uma fio, cabo ou corda. Quando a massa da roldana poder ser considerada desprezível e não oferecer nenhuma resistência ao movimento da corda que passa por ela, diz-se que a roldana é ideal. Sendo a corda ideal, as intensidades das forças aplicadas nos seus extremos são iguais.

Exemplo 6:

Os corpos A e B da figura têm massas respectivamente iguais a m A apoio = 6 kg e m B = 2 kg. O plano de é perfeitamente liso e o fio é ideal. Não há trito entre o fio e a polia, considerada sem Determine a inércia. Adote g = 10 m/s².

aceleração do conjunto a tração do fio.

Para resolver o problema, precisamos fazer o diagrama de corpo livre para observar a ação das forças em cada corpo.

Solução:

Em A,a força normal e o peso se anulam, pois não há movimento na vertical. Logo, pela 2 ª Lei, temos:

 O peso



P

A B a



 6

(I). Agora vamos analisar as aceleração é a mesma de A, pois o fio não estica.

tem o meso sentido da forças aceleração e a tração se opõe à aceleração. Assim, pela 2ª Lei de Newton, temos:





 podemos encontrar a



m a

(II).

Substituindo a

R B B

equação (I) na equação (II), e sabendo que P = m B ∙ g, aceleração do conjunto:

m B g

 6



m B a

 2  10  6

 2

 8

 20 

 2 , 5

² Para encontrar o valor da tração no fio, basta usar ou a equação (I) ou a equação (II). Então vamos usar a (I) por ser a mais simples:

 6



 15

Obs.: você poderia ter encontrado a aceleração do conjunto usando:

P

 

m



m



a



m

g

 8

a

 6  10  8

a



a

 2 , 5

m

s

Exemplo 7:

No arranjo experimental da figura, os corpos A, B e C 2 kg e m C fios têm, respectivamente, massas iguais a m A = 3 kg. A = 5kg, m B = aceleração da gravidade é 10 m/s². Os são inextensíveis de inércia desprezível; não há atrito entre os fios e as polias; o plano horizontal é perfeitamente liso. Determine: a) a aceleração do sistema de corpos; b) as trações nos fios.

Solução:

O peso de B é anulado pela reação normal do apoio; porém os pesos de A e C isso, o sistema são forças externas ativas. P A é acelerado para direita.

> P C . Por Vamos analisar cada corpo separadamente. No caso, há duas trações, pois temos dois fios: Aplicando a corpo, temos: Equação Fundamental da Dinâmica a cada

P



T

1 

m



T

1 

T

2  2

a

(II)

2 

P C



m C a



2  30  3

(III) Resolvendo o sistema de equações, vem:  50  

T T

1 2   

T T

2 1 30    5 3

a a

50  30   5  + 2  3 

 20  10



 2

m s

tem o

P A



P C



m T a



m A g



m C g



m T a

 50  30  10



 2

m s

Exemplo 8:

No arranjo experimental da figura, os corpos A e B têm, respectivamente, massas iguais a m A kg. Os fios e a polia = 2kg, m B = 6 têm massas desprezíveis. Não há atrit entre o fio e a polia. Adote g = 10 m/s². Determine: a) a b) as aceleração do conjunto; trações dos fios.

Solução:

a) Esse arranjo conhecido como experimental é máquina de Atwood (1745 – 1807) físico inglês que com um arranjo deste tipo estudou a queda dos corpos. O corpo A desce enquanto o corpo B sobe, visto que o peso de A é maior que o de B.

Na figura abaixo em cada corpo.

estão representadas as forças que agem A partir da 2 ªLei, podemos escrever: Corpo B:

T



P



m

a



T



m

g



m

a



T

 20  2

a

(I) Corpo A:

P A





m A a



m A g





m A a

 60 

 6

(II) Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), vem:



60   20

60  20  2



 10  20 

 30

A tração T’ no fio que liga o eixo da polia ao teto pode ser obtida observando que a polia te peso desprezível e o eixo está em equilíbrio. Assim, a resultante das forças deve ser nula

F R

 0 

' 





'  2



T

'  60

N

B.1) Associação de polias

Na figura A, a força caso da figura B, (A) (B)

T

tem o mesmo valor do peso 

P

. No há duas polias, a de cima é fixa (seu eixo é fixo) e a de baixo Como o corpo é móvel (seu eixo pode subir e descer).

está preso na polia de baixo, ela recebe uma

força igual a 2

T

 .

constante deve-se ter para elevar o corpo Para que ela suba com velocidade

T



P

2 . Assim, o esforço necessário é apenas a metade do peso dele.

Exemplo 9:

Determine a no fio para manter em força que o homem deve exercer equilíbrio estático o corpo suspenso de 120 N. Os fios são considerados inextensíveis e de massas As polias desprezíveis; entre os fios e as polias não há atrito.

são ideais, isto é, seu peso é desprezível.

Solução:

Para que haja figura abaixo equilíbrio, a resultante das forças deve ser nula. No corpo suspenso



, pois não há aceleração. Na é mostrada a distribuição das trações: Então, o homem equilibra o peso de 120 N exercendo uma força de intensidade bem menor: 15 N.

C) Plano inclinado

Como o nome sugere, o plano inclinado é um plano com um ângulo de inclinação em relação à direção horizontal. Como foi visto anteriormente, quando um corpo uma está apoiado em superfície horizontal, o módulo do peso é igual ao da normal. Por outro lado, no plano inclinado, o peso é “parcialmente distribuído” devido a inclinação. Abaixo é mostrado o diagrama de corpo livre das forças:

Observe que, devido à inclinação, o peso foi decomposto em duas componentes: uma na direção do plano e outra perpendicular ao plano.

A componente na perpendicular ao plano direção y,

P y



é 

. Temos que

. Como 

P

e a não há movimento na

P



Psen

 

mgsen



P y



cos  

cos  Logo, pela 2 ª Lei de Newton:

P x



ma x



a x



gsen





P y



ma y





cos 

Exemplo 10:

um Um engradado de massa 50 kg é puxado por operário, para dentro de um caminhão, através de uma rampa de inclinação 30°. Se a força que operário puxa o engradado faz um ângulo de 20° com a rampa e ele sobe com velocidade constante, calcule o valor da força com que o engradado é puxado e a reação normal. Considere a superfície totalmente lisa e g = 9,8 m/s².

Solução:

O primeiro passo é decompor as duas forças (peso e a que puxa o corpo), para depois utilizarmos a 2 ª Lei de Newton, supondo o eixo 0x. A força peso é decomposto em duas componentes:

P



mgsen

30  

P y

 245

N

cos 30   424

A força que puxa o engradado tem componentes:

F F

F

(

máx

.)  

N

 

P

 cos 

Estando o corpo em equilíbrio, o módulo da força de atrito deve ser igual ao da componente do peso na direção de 0y:

F

(



Exemplo 11:

Sobre um plano inclinado de apoia-se uma caixa de pequenas ângulo θ variável, dimensões, conforme sugere o esquema a seguir.

Sabendo-se que o coeficiente de atrito e o plano de apoio vale 1,0, qual o estático entre a caixa máximo valor de θ para que a caixa ainda

Solução:

Sabe-se que temos que tg permaneça em repouso?





tg

 . Como foi informado que θ = 1. Então θ = 45°.





1

Exemplo 12:

O bloco A de massa igual a 3,0 kg está apoiado num plano inclinado que forma um ângulo θ em relação a horizontal. O bloco A está na iminência de escorregar para baixo. Determine, nessas do bloco B. O coeficiente de atrito condições, o peso estático entre o bloco A e o plano 10 é μ e = 0,50. (Dados: sen θ = 0,60; cos θ = 0,80; g = m/s²). Considere o fio a polia ideais.

Solução: Na figura abaixo corpo.

é mostrado o esquema das forças em cada Observe que a força de atrito que o plano exerce sobre o bloco A, está apontando para cima, pois o bloco A está na iminência de escorregar para baixo. Visto que os blocos estão em equilíbrio, podemos escrever:

Portanto: 

P

 

P

 bloco B: bloco A:

T T

  

F

  

P B F at

 

P x

Como bloco A está a iminência de escorregar, temos: 

F

 



N

 



P

y P x P y

 

Psen



cos   

P x P y

  3 , 0 3 , 0  10  10   0 , 60 0 , 80  

P x P y

  18

Exemplo 13:

Um bloco é lançado sobre um plano horizontal com velocidade de 30 m/s e percorre 90 m até parar.

Considere g = 10 m/s² e calcule o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e plano.

Solução: Usando a equação de Torricelli, determinamos a aceleração escalar do bloco:

v

2 

v

0 2  2  

s

 0 2  30 2  2   90     5 , 0

m s

Como o peso e a normal se anulam, Como Logo,

F at

 

D N

e 

 

(



F R



m g

 .

F at

concluímos que a força

)

F R

Pela 2 ª Lei de Newton, 

F at



F R

 





Então:

 





 



Sendo

   5 , 0

m s

2 , vem: 5  

 10  

 0 , 50

Exemplo 14:

(FEI-SP) O bloco da figura de massa m = 4,0 kg, desloca-se sob a ação de uma força horizontal constante de intensidade

. A mola ideal, ligada ao bloco, tem comprimento natural (isto é, sem deformação) l 0 = 14,0 cm e constante elástica k = 160 N/m.

Desprezando-se as forças de atrito e sabendo que as velocidades escalares do bloco em

são, respectivamente, iguais a 4,0 m/s e 6,0 m/s, qual é, em centímetros, o comprimento da mola durante o movimento?

Solução: O movimento do bloco MUV.

Torricelli, temos: Então, usando a equação de

v

2 

v

2  2

a



s

 ( 6 , 0 ) 2  ( 4 , 0 ) 2  2

a

10 

a

 1 , 0

m s

2 Da 2 ª Lei de Newton e a Lei de Hooke, vem:







    0  

 160    0 , 14   4 , 0  1 , 0    0 , 165

ou   16 , 5

Exemplo 15:

O gráfico abaixo como varia a intensidade da força de tração aplicada a uma mola em função da deformação estabelecida: Determine: a) a constante elástica da mola (em N/m); b) a intensidade da 5,0 cm.

força de tração para a deformação de

Solução: a) Temos que ∆x = 20 cm = 0,20 m.

Sabe-se que



  100 0 , 20 

k

 500

N m

b) ∆x = 5,0 cm = 0,05 m.



 

 500  0 , 05 

F

 25