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LE SUDOKU
LE SUDOKU
Préparé et présenté par :
-> Mr. KETROUSSI Mohamed Mehdi
Section : 02
Groupe : 03
Option : ISI
Examiné par :
-> Mr. HAMDAOUI
Université USTO-MB Oran
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Le Sudoku
02/02/12
Plan De Travail :
Plan De Travail
 Introduction .
 Présentation .
 Précurseurs Du Sudoku .
 Mathématiques Du Sudoku .
 Méthodes De Résolution Utilisées .
 Classification Des Puzzles .
 Informatique Et Sudoku .
 Conclusion .
 Bibliographie .
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Le Sudoku
Introduction
Le Sudoku est un jeu en forme de grille défini en 1979
par l’Américain Howard Garns (architecte) . Le but du
jeu est de remplir la grille avec une série de chiffres
(ou de lettres ou de symboles) tous différents, qui ne
se trouvent jamais plus d’une fois sur une même
ligne, dans une même colonne ou dans une même
sous-grille. La plupart du temps, les symboles sont
des chiffres allant de 1 à 9, les sous-grilles étant alors
des carrés de 3 × 3. Quelques symboles sont déjà
disposés dans la grille, ce qui autorise une résolution
progressive du problème complet.
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Le Sudoku
Présentation
 Étymologie :
Sudoku → Sūji wa dokushin ni kagiru, signifiant « il ne
peut y avoir qu’un seul et unique chiffre » (par case et par ligne). Cette
abréviation associe les caractères Sū chiffre et Doku unique. Ce nom est
une marque déposée au Japon de l’éditeur Nikoli Corporation Ltd.
 Règles de base :
chaque ligne, colonne et région ne doit contenir
qu’une seule fois tous les chiffres de un à neuf.
Les grilles publiées ont souvent un niveau de difficulté
indicatif. L’éditeur peut aussi indiquer un temps de
résolution probable.
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Le Sudoku
 Variantes :
2×2 ou « Sudoku binaire », 4×4 contenant des régions
2×2, 5×5 contenant des régions en forme de pentamino, 6×6 contenant
des régions 2×3(WPC), 7×7 avec six régions en forme d’hexamino et une
région disjointe, 9×9 avec des régions en forme de ennéamino, 16×16
avec des régions 4×4, 25×25 avec des régions 5×5, 8×8 contenant des
régions 2×4 et 4×2, une méta-grille composée de cinq grilles 9×9 en
quinconce qui se chevauchent aux coins, des grilles à régions
rectangulaires, grille 3D(roxdoku), grille 3D en 8×8×8, ils l’ont appelé
Kuboku, le kamaji basé sur le principe des sommes de chiffres, Au Japon,
d’autres variantes sont publiées.
 Variantes alphabétiques :
Des variantes alphabétiques, qui
utilisent des lettres plutôt que des chiffres, sont aussi publiées appelées
Godoku ou Sudoku Word ou bien encore le Wordoku .
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Le Sudoku
Précurseurs du Sudoku
 le carré latin magique :
Exemple d’expérience en carré latin
magique relative à la comparaison de six éléments (par exemple six
fumures différentes, numérotées de 1 à 6).
 Emplois historiques des carrés magiques :
Un des
ancêtres du sudoku dans l'antiquité était un carré de neuf cases à remplir
par trois lettres (A, B et C) sans qu’une même lettre apparaisse deux fois
dans la même colonne, ligne ou diagonale.
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Le Sudoku
 Le problème des officiers : Problème des 36 officiers : un carré
gréco-latin d’ordre 6 est impossible à résoudre.
 Version moderne du sudoku :
Le sudoku a des ancêtres
français qui remontent à 1895. C’est en juillet 2005 que le sudoku, publié
par Sport cérébral, éditeur spécialisé dans les jeux de réflexion, arrive en
France.
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Le Sudoku
 Popularité dans les médias :Le 28 novembre 2005, la Télévision
suisse romande lance une émission télévisée quotidienne, Su/do/ku,
Depuis, de nombreux tournois ont été organisés en France et partout en
Europe .
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Le Sudoku
Mathématiques du Sudoku
• Contexte mathématique : [DEB.07] Le problème de placer
des chiffres sur une grille de n2×n2 comprenant n×n régions est prouvé NPcomplet.
• x = x’ (les deux cellules appartiennent à la même ligne) ou,
• y = y’ (les deux cellules appartiennent à la même colonne) ou,
(les deux cellules appartiennent à la même région). La grille se complète en
affectant un entier entre 1 et 9 pour chaque sommet, de façon que tous
les sommets liés par une arête ne partagent pas le même entier.
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Le Sudoku
 Nombre de grilles complètes possible :[BFF.05]
Le
nombre de grilles complètes possibles est inférieur à 9!9 qui correspond au
nombre de façons de construire les régions sans tenir compte des
contraintes sur les lignes et les colonnes.
En 2005, Bertram Felgenhauer et Frazer Jarvis ont prouvé que ce nombre
de grilles était de :
6 670 903 752 021 072 936 960≈6,67.1021
Ce nombre est égal à :
9!×722×27×27 704 267 971.
 Terminologie :
Un Sudoku correctement conçu a une et une seule
solution : la grille finale est unique, mais la résolution à partir de la grille
partielle peut toutefois prendre des chemins différents.
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Le Sudoku
 Formalisation des différentes variantes :
Une région peut
être décrite par ses dimensions : LxC où L est le nombre de lignes et C le
nombre de colonnes dans la région , Il est plus pratique de mentionner la
taille de la région plutôt que le nombre d'éléments, Des contraintes
supplémentaires permettent de mieux cibler le type de jeu.
 Définitions :
Par exemple, la notation h56 correspond au triplet de la
région 5, ligne 6. En anglais, on utilise la notation r pour row et c pour
column.
 Nombre de solutions possible :
 Énumérations des solutions
distinctes :
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Le Sudoku
symétriquement
Préservation de la symétrie : opérations suivantes transforment toujours une
grille valide en une autre grille valide :
-changer le label de chaque symbole (9!)
-permutations des bandes (3!) ,des piles (3!)
-permutations des lignes dans une bande (3!3) ,des colonnes dans une pile(3!)
-réflexion, transposition, rotation de 90° .
Identifier les solutions grâce au lemme de Burnside : Jarvis Russell a calculé
le nombre de solutions symétriquement distinctes : 5 472 730 538.
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Le Sudoku
 Bandes du Sudoku :
Le compte des bandes pour les problèmes dont « le nombre total de grilles de Sudoku
est inconnu » est donné ci-dessous. Comme dans le reste de cet article, les
dimensions correspondent à celles des régions.
Dimensions
-2×C
-3×C
-4×C
-4×4
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Nombre de bandes
(2C)! (C!)2
Auteur(s)
(obvious result)
Pettersen
(voir ci-dessous )
16! × 4!12 × 1273431960 =
c. 9.7304×1038
Vérification formelle
Oui
Oui
Pettersen
Oui
Silver
Oui
Le Sudoku
-4×5
-4×6
-4×7
-5×3
-5×4
-5×5
-5×6
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20! × 5!12 × 879491145024 =
c. 1.9078×1055
Russell
24! × 6!12 × 677542845061056
= c. 8.1589×1072
Russell
28! × 7!12 × 563690747238465024
= c. 4.6169×1091
Russell
15! × 3!20 × 324408987992064 =
c. 1.5510×1042
Silver
20! × 4!20 × 518910423730214314176
= c. 5.0751×1066
Silver
25! × 5!20 × 116503755043288
5119709241344 = c. 6.9280×1093 Pettersen/Silver
30! × 6!20 × 32617346918362171
81002772823310336 = c. 1.2127×10123 Pettersen/Silver
Le Sudoku
Oui
Oui
Oui
Oui
Oui
Non
Non
-5×7
-5×8
35! × 7!20 × 1066450998920919953
3282539525535793414144 = c. 1.2325×10154 Pettersen/Silver
40! × 8!20 × 39119289737902332276
64289425142802655028070
0096 = c. 4.1157×10186
Pettersen/Silver
L'expression pour le cas 4×C est :
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Le Sudoku
Non
Non
avec :
la somme extérieure s'applique sur tous les a,b,c tel que 0⇐a,b,c et a+b+c=2C
la somme intérieure s'applique sur tous les k12,k13,k14,k23,k24,k34 = 0 tel que
k12,k34 = a et
k13,k24 = b et
k14,k23 = c et
k12+k13+k14 = a-k12+k23+k24 = b-k13+c-k23+k34 = c-k14+b-k24+a-k34 = C
 Sudoku avec des contraintes additionnelles :
Plusieurs
types de contraintes existent sur des Sudokus avec des régions de 3x3. Les noms
n'ayant pas été standardisés, les liens externes pointent vers les définitions :
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Le Sudoku
Type
Nombre de grilles
-3doku
104015259648
-Disjoint
-Groups
201105135151764480
-Hypercube
37739520
-Magic Sudoku 5971968
-Sudoku X
55613393399531520
-NRC Sudoku 6337174388428800
Auteur(s)
Stertenbrink
Russell
Stertenbrink
Stertenbrink
Russell
Brouwer
Vérification formelle
Oui
Oui
Oui
Oui
Oui
Oui
Tous les Sudokus sont valides (unicité des nombres dans les lignes, colonnes
et régions) après l'application des opérations qui préservent les propriétés
du groupe du Sudoku. Certains Sudokus sont spéciaux dans le sens où
certaines opérations ont le même effet que le renommage des chiffres :
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Le Sudoku
Transformation
Nombre de grilles
-Transposition
10980179804160
-Quart de tour
4737761280
-Moitié de tour
56425064693760
-Permutation
des bandes
5384326348800
-Permutations des
lignes dans
les bandes
39007939461120
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Auteur(s)
Russell
Le Sudoku
Vérification formelle
Indirectement
Indirectement
Indirectement
Indirectement
Indirectement
 Nombre minimal de chiffres dans la grille :
 Sudoku classique : Le Sudoku classique avec une grille de 9x9, soit
81 cases, est pour l'instant limité par une borne inférieure de 17 valeurs
initiales( meilleur borne), ou 18 quand les positions des chiffres initiaux
peuvent être tournées de 90°.
 Sudoku avec d'autres contraintes :
Des contraintes
supplémentaires (avec des Sudoku dont les régions font 3×3) changent le
nombre de valeurs minimales nécessaires pour aboutir à une solution
unique.
 Sudoku avec des régions irrégulière :
Les Du-sum-oh
remplacent les régions de 3×3 (ou plus généralement L×C) par des régions
irrégulières avec une taille fixe.
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Le Sudoku
 Killer Sudoku : Dans le Samunamupure ou Killer Sudoku, les régions
ont non seulement des formes irrégulières mais également des tailles
différentes. Les règles d'unicité des nombres dans les lignes, régions et
colonnes s'appliquent toujours.
 Méthode de Felgenhauer/Jarvis pour l'énumération
de la grille de 9×9 : c’est la première stratégie employée pour
énumérer les solutions d'une grille de Sudoku classique (régions de 3x3
dans une grille de 9x9).
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Le Sudoku
Méthodes de résolution utilisées
par les joueurs
 Remarques préliminaires :
1) Il existe de nombreuses approches de
la résolution des Sudokus.
2) Il ne s’agit pas de donner une liste exhaustive de ces méthodes.
3) Quelles sont les méthodes de résolution admissibles par un joueur ?
4) Sudopedia (site de référence).
 Gestion des nombres candidats :
Il y a deux notations utilisées
pour les candidats : indicée et pointée.
Pour la notation indicée, les candidats sont inscrits dans une cellule, chaque
chiffre occupant ou non une place précise. Quand un candidat est impossible,
il est rayé de la liste.
• Pour la notation pointée, les joueurs inscrivent des points dans les cellules
vides. Il y a deux logiques possibles, opposées et mutuellement exclusives :
• Quand un candidat s'avère impossible, et quand un candidat s’avère possible.
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Le Sudoku
 Règles élémentaires :
 Singleton : généralement, le « singleton » correspond au cas où il n'y a
qu'une seule solution .
 Élimination directe - Singleton caché :
Identification d'un
singleton caché : il n'y a qu'une seule case possible pour un "4" dans le
bloc supérieur droit.
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Le Sudoku
 Recherche des valeurs uniques - Singleton nu :
Exemple de grille avec un « singleton nu »
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Le Sudoku
 Élimination indirecte - interactions ligne-bloc et
colonne-bloc : Le "1" dans le bloc centre droit ne peut qu'être sur la
colonne g. Le "1" du bloc inférieur droit est donc nécessairement en Gj (en
jaune).
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Le Sudoku
 Méthodes basées sur des figures (patterns) simples
prédéfinies :
 Groupes nus : Un groupe nu en colonne e : Le groupe des 2 cases Ce
et Ge de la colonne e forme une paire nue dont les candidats sont 78 ; on
peut donc éliminer les candidats 7 et le 8 des autres cases de la colonne e
(le 8 de la case Fe et les 7 et 8 des cases Ae, De et Je).
Le raisonnement est le même que le groupe soit de deux, de trois, ou de
quatre cases (et sera donné ici pour trois cases)
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Le Sudoku
 Groupes cachés :Un groupe caché 124 en colonne f : Le groupe de 3
cases Af, Gf et Jf de la colonne f forme un trio camouflé (incomplet) dont
les candidats sont 124 ; on peut donc éliminer les candidats 8 et 9 des
cases Af et Gf, et les candidats 3 et 8 de la case Jf (ce qui fait apparaître
dans le pavé Zy un solitaire camouflé 7 à la case Gd)
Le raisonnement est le même que le groupe soit de deux, de trois, ou de
quatre candidats (et sera donné ici pour trois candidats).
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Le Sudoku
 Recherche des groupes nus et cachés :
La recherche des
groupes nus et cachés peut se faire systématiquement, région par région, pour examiner
celles qui peuvent encore être réduites. Si une région a moins de quatre cases libres, elle ne
peut plus être réduite ; si un sous-groupe a moins de quatre membres, il ne peut pas luimême être réduit ; et une fois qu'une région a été réduite, il n'est plus nécessaire de
l'examiner par la suite.
 Fish ou Poissons (X-Wing, Swordfish, Jellysfish) :X-wing
sur les lignes F et J pour 8 : Les deux lignes F et J ont toutes leurs candidats 8 situés à l'une
des cases placées à l'intersection avec les colonnes a et j (configuration dite X-wing); par
rapport à ces quatre sommets on peut donc éliminer les candidats 8 des cases des lignes et
colonnes qui ne sont pas sur les sommets (donc en Ha et Dj )-
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Le Sudoku
 Symétries généralisées et tableau de résolution étendu :
Une grille de résolution étendue a été conçue, qui fait apparaître les
liens de conjugaison comme des cases (de l’espace rc, rn, cn ou bn)
à deux candidats et peut faciliter l’application de la méthode. De la
sorte, les sous-ensembles cachés, ainsi que les X-wings, Swordfish
et Jellysfish, apparaissent tous comme de simples Paires, Triplets ou
Quadruplets. Dans un cadre général pour traiter des chaînes, ces
symétries ont été utilisées pour introduire de nouvelles règles de
résolution, comme les chaînes xy cachées et ultérieurement les
chaînes nrczt. Cette méthode a été implémentée dans un solveur,
SudoRules, basé sur des techniques d’Intelligence Artificielle et
simulant un joueur humain.
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Le Sudoku
Figures plus complexes : chaînes :
 chaînes xy :
Une « chaîne xy » de longueur n a 2n candidats groupés
par 2 dans n cellules bivaluées (c’est-à-dire ayant chacune exactement
2 candidats).
• Exemple de chaîne xy de longueur 4 : {a b} - {b c} - {c d} - {d a}. Un « {... } »
symbolise le contenu d’une cellule (i.e. l’ensemble de ses candidats) et un
« - » symbolise que les cellules de chaque côté sont liées (i.e. différentes
mais sur la même ligne, la même colonne ou dans le même bloc).
 Généralisations des chaînes xy : chaînes d'ALS et
chaînes nrczt : les chaînes d’ALS (Almost Locked Sets), les plus
anciennes et de loin les plus utilisées par les joueurs sur les forums de
Sudoku.
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Le Sudoku
- les chaînes xyt, xyz et xyzt ainsi que leurs homologues « cachés » dans les
espaces rn, cn et bn, les chaînes nrczt, ou chaînes supersymétriques, qui
généralisent les précédentes en combinant toutes les cellules des espaces rc,
rn, cn et bn.
 Règles résultant de l'hypothèse d'unicité :
 Le principe du rectangle interdit : Considérons quatre cellules
formant un rectangle s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et
seulement deux blocs. Si le contenu de ces quatre cellules est :
ab ab
ab ab
alors pour toute solution du puzzle ayant les valeurs
ab
ba
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Le Sudoku
pour les cellules de ce rectangle, il existe une autre solution ayant les valeurs
ba
ab
et le puzzle ne peut donc avoir une solution unique.
La configuration initiale s’appelle rectangle interdit. À partir de là, on peut
définir plusieurs règles visant à empêcher que cette situation se produise.
Ces règles ne sont valables que sous l’hypothèse d’unicité.
 Exemples de règle reposant sur l'exploitation du
rectangle interdit :
Règle UR1 : dans la configuration (où les quatre cellules forment un rectangle
s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et seulement deux blocs
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Le Sudoku
ab ab
ab abc
éliminer a et b de la dernière cellule.
Règle UR2-H : dans la configuration (où les quatre cellules forment un
rectangle s’étalant sur deux lignes, deux colonnes et seulement deux
blocs) :
ab abc
ab abc
où les deux cellules de droite sont dans le même bloc, éliminer c de toute
autre cellule liée aux deux cellules de droite.
Il existe de nombreuses variantes de ces règles.
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Le Sudoku
Classification des puzzles
 Préambule sur les puzzles minimaux et les
statistiques de classification des puzzles : Quand on veut
faire des statistiques sur la classification des puzzles,il faut toujours se
réfèrer aux puzzle minimaux(point vue théorique) .
 SER (Sudoku Explainer Rating) :
Le SER (Sudoku Explainer
Rating) est de loin la classification la plus utilisée.
 Classification NRCZT :
Cette classification, est basée sur la
longueur maximale de la chaîne nrczt nécessaire pour résoudre un
puzzle. Contrairement au SER, un seul type de règle (les chaînes
nrczt de diverses longueurs) est ici utilisé et cette classification,
purement logique, indépendante de l’hypothèse d’unicité et
indépendante de toute implémentation, est compatible avec toutes
les symétries du jeu.
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Le Sudoku
Informatique et Sudoku
 Solutions logicielles :
Il existe de nombreux programmes
librement disponibles sur le web, basés sur l’implémentation de règles
utilisées par les joueurs : Sudocue, Sudoku Explainer, Sudoku Susser,
Sudoktor, Sadman, le solveur de gsf. Le programme SudoRules, non public,
est basé sur des techniques d’Intelligence Artificielle.
 Construction de grilles :
Il est possible de construire des
grilles avec de multiples solutions ou sans solution, mais celles-ci ne
sont pas considérées comme d’authentiques sudoku. Comme pour
les autres jeux logiques, une solution unique est requise. Une
grande attention est donc nécessaire lors de la construction d’une
grille, puisqu’un seul chiffre mal placé risque de rendre la résolution
de celle-ci impossible.
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Le Sudoku
Conclusion
Comme dans tous les domaines où des notations affectées
ont été introduites ( Mathématiques, Chimie, Musique,
Échecs...) une notation des méthodes de résolution des
grilles de Sudoku est intéressante car par exemple elle
permet une reconnaissance des grilles c'est-à-dire, in fine,
leur classification, de même que la notation introduite aux
Échecs a permis une classification des débuts de parties.
En effet une grille de Sudoku étant donnée elle peut en
générer plusieurs autres par l'une quelconque des
symétries ou des rotations qui échangent un carré en luimême, ou par une permutation quelconque de ses chiffres.
Comme le nombre de permutations des dix chiffres de 0 à 9
s'élève à 3628800 on voit le grand nombre de grilles en fait
identiques, qu'on peut engendrer à partir d'un seule.
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Le Sudoku
Bibliographie
[NAJ.06] : Narendra Jussien, Précis de Sudoku, Hermès Lavoisier, 2006, 188 pages.
[DEB.07] :Denis Berthier, The Hidden Logic of Sudoku, Lulu Publishers ; 1re édition, mai 2007,
384 pages deuxième édition, novembre 2007, 416 pages.
[DEB.11] :Denis Berthier, Constraint Resolution Theories, Lulu Publishers, Octobre 2011,
308 pages.
[TSS.05] : « Le tsunami du sudoku », Pour la Science, no 338, décembre 2005, p. 144.
[DEB.08] : Denis Berthier, From Constraints to Resolution Rules, Part I: Conceptual Framework,
International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering
(CISSE 08), December 5-13, 2008; re-publié comme chapitre du livre Advanced Techniques in
Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010.
[DEB.08] : Denis Berthier, From Constraints to Resolution Rules, Part II: chains, braids, confluence
and T&E, International Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and
Engineering (CISSE 08), December 5-13, 2008; re-publié comme chapitre du livre Advanced
Techniques in Computing Sciences and Software Engineering, Springer, 2010.
[DEB.09] : Denis Berthier, Unbiased Statistics of a CSP - A Controlled-Bias Generator, International
Joint Conferences on Computer, Information, Systems Sciences and Engineering (CISSE 09),
December 4-12, 2009; re-publié comme chapitre du livre Innovations in Computing Sciences
and Software Engineering, Springer, 2010.
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