Transcript Відношення еквівалентності

Спеціальні класи
бінарних відношень
Відношення
еквівалентності
1
Вовочка
Наталочка
Петрусь
2
Коло, трикутник, квадрат
3
Властивості відношень
RA×A
1.Рефлексивність
x  A  xR x
2.Іррефлексивність
x  A  xR x
3.Симетричність
xR y  yR x
4
Властивості відношень
RA×A
4. Антисиметричність
xRy  yRx  x  y
5.Транзитивність
xR y , yR z  xR z
6.Порівняльність
x , y  A  xRy  yRx
5
Теорема про властивості
Властивості бінарних відношень 16 еквівалентні наступним
включенням та рівностям:
RA×A
1. I A  R
4. R  R
1
 IA
2 . R  I A   5 .R  R  R
3. R  R
1
6. R  R
1
 A
2
6
Доведення п.5
R – транзитивне  R2R
( a , b )  R  aR Rb   c aRc , cRb 
2
за т ранзит ивніст ю  aRb  ( a , b )  R
7
Доведення п.5
R2R  R-транзитивне
aRb , bRc  aR Rc  ( a , c )  R R 
 ( a , c )  R  aRc
8
Відношення еквівалентності
Відношенням еквівалентності на
множині A будемо називати
рефлексивне, симетричне та транзитивне
бінарне відношення на множині A.
1. Рефлексивне
xAxRx
2. Симетричне
xRy  yRx
3. Транзитивне
xRy, yRz  xRz
9
Приклади відношеннь
еквівалентності
Паралельність прямих
Однакова остача при діленні на 2
Бути родичами
xRy  x  y mod 5
2  7,
7  32 ,
2  32
10
Класи еквівалентності.
Класом еквівалентності елемента x по відношенню
еквівалентності RAA будемо називати множину
[x]R елементів y A, що знаходяться у відношенні
еквівалентності R з x (включаючи сам x)
[x]R={yA|(x,y)R}
Фактор-множиною множини A по відношенню
еквівалентності R, будемо називати множину всіх
класів еквівалентності множини A по відношенню
еквівалентності R.
A/R={xA|[x]R}
11
Приклади класів еквівалентності
Еквівалентність
Класи
Паралельність прямих
Однакова остача
при діленні на 2
Напрямок
{парні},{непарні}
Бути родичами
Сім’я, рід
{1,6,..},{2,7,..},
{3,8,..},{4,9,..},
{5,10,..}
x  y mod 5
12
Канонічна сюр’єкція
R A×A, R – відношення еквівалентності
φR: A A/R при якому xA  [x]R
  A / R
R
[x]R  A/R φR-1([x]R)
φR-1([x]R) = x, оскільки x  [x]R
13
Розбиття
 A 
- розбиття A
1.     A   A   
2 . U A  A
14
Теорема про зв’язок еквівалентності
та розбиття
Довільне відношення еквівалентності R на
множині А породжує розбиття А на класи
еквівалентності.
І навпаки кожне розбиття {Aα} множини A задає
на множині А відношення еквівалентності R,
таке що
xRy    x , y  A

15
еквівалентність=>розбиття
1. [ a ] R  [ b ] R    c  [ a ], c  [ b ] 
 aR c , bR c  сим ет рич н іст ь  aR c , cR b 
т ран зит ивн іст ь  aR b
Доведемо, що в цьому разі [a]=[b]
w  [ a ]  aR w , aR b  сим ет ричніст ь  bR a , aR w 
т ранзит ивніст ь  bR w  w  [ b ]
В зворотному напрямку аналогічно
2. A 
[d ]
a  A  aRa  a  [ a ]  a 
[d ]
16
розбиття=>еквівалентність
xRy    x , y  A 
1. реф лексивніст ь a  A  a 

A  a  A 0  aRa
2. сим ет річніст ь aR b  a , b  A 0  b , a  A 0  bR a
3. т ранзит ивніст ь aR b , bR c  a , b  A 1 , b , c  A 2 
 b  A 1  A 2   1   2 
 a , b , c  A 1  aR c
17
Відображення та еквівалентності
F: AB
F : x,yA , x F y  F(x) = F(y)
Теорема.
Для довільного F: A  B
F є відношенням еквівалентності
18
Доведення теореми
1.Рефлексивність
x  A  x F x
F(x)=F(x)
2.Симетричність
F(x)=F(y)

F(y)=F(x)
x F y  y F x
3.Транзитивність
F(x)
=
F(y),
F(y)
=
F(z)

x F y , y F z 
 F(x) = F(z)
 x F z
19