Работу выполнили : Павлова Наталья – 8 класс Пасхина Алена – 10 класс Руководитель Ермолова О. А. учитель математики МБОУ СОШ п. Известковый 2013

    Сбор материала.

Анализ и систематизация собранной информации.

Обоснования и суждения.

Вывод.

      Актуальность Проблема Цель Объект Предмет Гипотеза

Изучить: -происхождение и развитие письменной нумерации; -цифры разных народов; - непозиционные и позиционные системы счисления; -показать какое значение имеет в современном мире десятичная, двоичная и системы счисления.

Задача: научится переводить число из одной системы Проблема- как возникла десятичная система счисления?

Проблема- как возникла десятичная система счисления?

   1. Что такое системы счисления?

2. О происхождении и развитии письменной нумерации 3. Вавилонская нумерация 4. Египетская иероглифическая нумерация      7. Китайские иероглифические цифры.

8. Позиционные системы счисления.

9. Почему мы считаем именно десятками, то есть как возникла десятичная система счисления?

10. Двоичная система счисления.

11. Позиционная запись числа.

12. Необыкновенная девочка.

13. Перевод числа из недесятичной системы счисления в десятичную и наоборот.

14. Сложение и умножение двоичных чисел.

15. Актуальность двоичной и восьмеричной систем счисления.

16. Вывод  5. Римская система счисления.

6. Славянская алфавитная нумерация. 17. Литература

Кто хочет ограничится настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет

…

Лейбниц

Необыкновенная девочка.

В портфеле по сто книг носила – И десять загорелых рук Когда, пыля десятком ног, И десять темно- синих глаз За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий Прочитав это стихотворение, я задумалась. Что же означают эти выражения 1100 лет, 101класс, десяток ног, десяток темно – синих глаз? И выдвинула свою гипотезу – Числа записаны в

другом измерении.

Но станет всем совсем обычно Когда поймете наш рассказ.

А. Стариков.

  Понятие «число» является ключевым для математики. С числами связано еще одно важное понятие – система счисления.

Система счисления – это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

 Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на и  Рассмотрим эти системы счисления, которые существовали раньше.

Люди научились считать давно. В последствии появились потребности в записи чисел. Количество предметов изображалось нанесением черточек, засечек на какой-нибудь твердой поверхности, узлами на веревках. Археологами найдены такие записи при раскопках. Они относятся к 10 – 11 тысячелетию до н.э. Но с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало неудобно пользоваться черточками. Стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Каждое число, как и каждое слово, обозначалось особым знаком, иероглифом.

 Народ населявший Древний Вавилон, писали не на папирусе, который в их стране не рос, а на глине. Путем нажима клиновидной палочки на глиняные плитки наносились знаки, имевшие вид клиньев. Вот почему такое письмо называ ется клинописью. Плитки сушились на знойном солнце и приобретали прочность.

Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась из двух значков: вертикального клина, обозначавшего единицу, и углового знака, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Остатки этой шестидесятеричной системы мы находим в единицах измерения времени: 1час – 60 минут, 1минута – 60 секунд.

В Древнем Египте около 4000 лет назад имелись другие значки и иероглифы для обозначения чисел.

Единица изображена колом, десяток десяток- как бы парой рук, сотня свернутым пальмовым листом, тысяча – цветком лотоса, символом обилия, сто тысяч – лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила. 35736 Какое число изображено на рисунке?

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тыс. лет назад в Древнем Риме.

I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000

28=XXVIII = 10+10+5+1+1+1(три десятка, пяток, три единицы).Для записи чисел применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак , поставленный слева от большего, вычитается из него. 9=IX, 11=XI, 99=XCI.

Система исчисления, которую ввели римляне, была распространена по всей Европе вплоть до XVI века. До сих пор римские цифры используют в часах и в нумерации (века, тома, главы книги), но такая система цифр была слишком сложной

Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки –славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались алфавитной славянской нумерацией. Над буквами – числами ставился особый знак , названный титло . На Руси вплоть до XVIII века использовалась эта система славянских букв.

Обозначение больших чисел: тысяща колода

𝟏𝟎 𝟑

тьма легеон

𝟏𝟎 𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟐

леодр

𝟏𝟎 𝟐𝟒

ворон колода

𝟏𝟎 𝟒𝟖 𝟏𝟎 𝟒𝟗

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие римскую. Они назывались ясачные. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.

В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. При этом китайские иероглифические цифры были по записи еще сложнее египетских. Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4000 лет тому назад. Записывали числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими.  число 5871

          «Цифры майя – позиционная запись, основанная на

двадцатеричной

системе счисления. Цифры мая составлялись из трех знаков: нуля («знак ракушки»), единицы (точки пятерки (горизонтальная черта). Например, 19 писалось как четыре точки в горизонтальном ряду над тремя горизонтальными линиями».

••••

 Теоретически имеют бесконечное количество цифр;  Арифметические действия над числами в них очень сложны;  Например, умножить: XXXII и XXIV ;  Поэтому преимущественное применение получили позиционные системы счисления.

  Как мы ранее говорили различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Известно множество способов записи чисел.

 Наиболее удобными для записи чисел являются позиционные системы, так как в них: 1) небольшое количество цифр применяется для записи чисел; 2) удобно производить арифметические операции.

   В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Позиция цифры в числе называется

разрядом.

Каждая позиционная системы счисления имеет определенный алфавит цифр и

основание

Система счисления цифр

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная

Основание Алфавит 10 2 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1 8 0,1,2,3,4,5,6,7 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А(10), В(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

    Система счета, которую мы используем сегодня, была изобретена в Индии V –VIIв.в. - десятичная позиционная система. Арабские купцы распространили ее по всей Европе к 900 т. д. годуИзвестно, что счет у нас ведется десятками: десять единиц образуют один десяток, десять десятков – одну сотню и Такой способ счета, группами в десять, которым пользуемся мы, называется десятичной системой счисления или десятичной нумерацией. Число десять называется основанием десятичной системы счисления.

Но почему мы считаем именно десятками, то есть как возникла десятичная система счисления?

Подобно тому как учатся считать по пальцам дети, так и и народы, люди на первых ступенях развития общества считали с помощью десяти пальцев рук. Поныне говорят: «Перечесть по пальцам…» Отсюда десятичная система счисления.

В современном мире кроме десятичной системы счисления особое место занимают еще три позиционные системы счисления - двоичная и восьмеричная и шестнадцатеричная. Особенно многочисленны применения двоичной системы, использующей всего две цифры – 0 и 1. Она оказалась наиболее удобной при конструировании электронных вычислительных машин и устройств кодирования. Дело в том , что наиболее надежные и миниатюрные элементы, запоминающие и перерабатывающие информацию, имеют два устойчивых состояния которым соответствуют цифры 0 и 1.



3765

10

= 3 ∙10

3

+ 7 ∙10

2

+ 6 ∙10 + 5,



326

7

= 3 ∙7

2

16710, + 2 ∙7 + 6 = 3·49 + 14 + 6 =



1101

2

= 1 = 1310, ∙2

3

+1 ∙2

2

+0 ∙2 + 1= 8 + 4 + 0 + 1



5748

8

38010.

= 5·

8 2

+ 7·

8 1

+4 = 5·

8 2

+ 7·8 + 4 =

Она ловила каждый звук Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, И десять загорелых рук В портфеле по сто книг носила – Все это, правда, а не бред. Своими десятью ушами, Портфель и поводок держали И десять темно – синих глаз Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий Но станет всем совсем обычно Когда поймете наш рассказ.

А. Стариков

А сейчас давайте подумаем, что это за необыкновенная девочка?

1100 лет, 101класс, 100 книг, 10 ног.

1100 2 = 1∙2 101 2 = 1∙2 2 3 + 1∙2 + 0∙2 1 2 + 0∙2 + 1∙2 0 1 + 0∙2 0 =5.

= 8 +4 +0 + 0 =12, 100 2 = 1∙2 2 + 0∙2 1 + 0∙2 0 = 4, 10 2 =1∙2 1 + 0∙2 0 = 2.

Это была обыкновенная девочка, ей было 12лет, ходила в 5 класс, в портфеле по 4 книги носила. 1100, 101, 100 10 числа записаны в двоичной системе.



Если число записано в десятичной системе счисления, а его надо перевести например в пятеричную, то делят это число на 5 с остатком. Потом делят на 5 с остатком неполное частное и. т.д. и делят неполные частные до тех пор, пока не получится неполное частное, равное нулю. Выписывая подряд остатки, начиная с последнего и кончая первым получаем искомую пятеричную запись нашего числа.

Запишем число 239 10 счисления.

Имеем 239 5 Ост. 4 47 5

в пятеричной системе

Решение. Ост. 2 9 5 Ост. 4 1 5 Ост. 1 0 Значит 23910 10 = 1424 5 . Для получения искомого числа мы последовательно записываем в строку, взяв снизу вверх все полученные при делении остатки.

38 2 12 2 0 1 9 2 0 6 2 1 9 2 0 3 2 1 4 2 1 1 2 0 2 2 1 0 0 1 2

1 0

Ответ: 38 10 = 100110 2, 12 10 = 1100 2 .

Сейчас вы убедитесь в том, что двоичная арифметика очень проста. Таблицу умножения десятичных чисел многие ученики заучивают долго и с большим трудом. Но вот если бы в школе изучали не десятичную, а двоичную арифметику. Проблем бы не было ни у кого и все ученики были бы отличниками. Приведем эти таблицы для двоичной и троичной систем счисления:

+ 0 1 * 0 1 0 1

0 1 1 10

0 1

0 0 0 11

+ 0 1 0

0 1

1

1 2

2

2 10

* 0 1 0

0 0

1

0 1

2

0 2

2

2 10 11

2

0 2 11

В настоящее время десятичная система стала общепринятой во всем мире. Великий ученый Д. И. Менделеев сказал: «Число, выраженное десятичным знаком, прочтет и немец и русский, и араб, и янки одинаково».

В современном мире особое место занимают еще три позиционные системы счисления – двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Особенно многочисленны применения двоичной системы, использующей всего две цифры – 0 и 1. Она оказалась наиболее удобной при конструировании ЭВМ и устройств кодирования. ЭВМ выполняют арифметические расчеты в двоичной системе. Тому есть две причины: - простота устройств хранения двоичных цифр (0 и1); - простота двоичной арифметики.

Гораздо проще сконструировать процессор, который работает в двоичной системе счисления.

 Компьютер работает в двоичной системе счисления.

С вступлением общества в век компьютерных технологий появилась возможность более эффективной обработки и хранения информации и ее представления. Это позволило эффективно хранить и обрабатывать большие потоки информации.

Всем кто имеет дело с ЭВМ, известна единица количества информации (памяти ЭВМ) – бит ( от латинских слов binary digit – двоичная цифра). Восемь бит составляют более крупную единицу – байт. Память ЭВМ измеряют обычно в килобайтах (1 килобайт – 2 10 байт) и мегабайтах (1 мегабайт – 2 20 байт).

   - исследовали историю и развитие систем счисления, - исследовали практический материал, - рассмотрели область применения и выявили актуальность темы.

Нами решены задачи:  -как возникла десятичная система счисления,  - перевод числа из одной системы счисления в другую,  - арифметические действия в двоичной системе счисления.

1.Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А.

2. История математики в школе. Г. И. Глейзер 3. Материал для внеклассной работы по математике. Ф.М. Шустеф.

4. Алгебра 8 класс Н. Я. Виленкин.

5. Информатика (базовый курс) 7 – 9класс И. Семакин.

6. Интернет.