Transcript PPTX - Física - UEMS - Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul

Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
Curso: Licenciatura em Física - Noturno
Disciplina: Mecânica – 1° ano
Por que utilizar vetores?
Existem grandezas físicas perfeitamente
definidas por seu tamanho e sua unidade.
Para determinar outras grandezas,
entretanto, são necessárias mais
informações, como sua direção e sentido.
Inúmeras leis da física são expressas
em termos de operações vetoriais.
deslocamento
velocidade
força
aceleração
torque
comprimento
massa
tempo
temperatura
pressão
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Disciplina: Mecânica – 1° ano
O que são vetores?
Antes de definir vetores, vamos falar sobre SEGMENTOS ORIENTADOS
Dois pontos no espaço definem:
A) Um segmento de reta, onde estão
contidos os extremos A e B, bem como
todos os pontos entre A e B;
B) Um segmento de reta orientado de
origem no ponto A e extremidade no
ponto B, indicado por AB e representado
por uma flecha de A para B;
C) Um segmento de reta orientado de
origem no ponto B e extremidade no
ponto A, indicado por BA e representado
por uma flecha de B para A.
A
A
A
B
B
B
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Disciplina: Mecânica – 1° ano
SEGMENTOS ORIENTADOS
Os segmentos orientados são caracterizados e diferenciam-se uns dos outros
por apresentarem:
Comprimento: é a sua medida em relação a uma unidade de medida pré-fixada.
u.m.
A
B
Direção e sentido: dois segmentos orientados tem a mesma direção se forem
paralelos. Os sentidos de dois segmentos orientados só podem ser comparados
se eles tiverem a mesma direção
L
N
Y
C
A
P
B
D
Direções diferentes
Não podemos comparar sentidos
X
Q
Mesma direção
Sentidos contrários
K
M
Mesma direção
Mesmo sentido
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SEGMENTOS ORIENTADOS EQUIPOLENTES
Dois segmentos orientados são eqüipolentes quando tiverem a mesma medida,
mesma direção e mesmo sentido.
A
C
Podemos escrever:
AB
B
CD
OBS: não são IGUAIS, pois os
pontos formadores de cada
segmento são diferentes.
D
Propriedades:
1) Se AB CD então AC BD
D
C
B
A
B
A
C
D
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Propriedades:
2) Se AB CD e CD EF então AB EF
B
A
C
E
AB CD
CD EF
AB EF
D
F
3) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe e é único, um ponto
D tal que AB CD
A
AB
B
C
CD
D
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VETORES: Definição
Consideremos um conjunto de n segmentos orientados eqüipolentes entre si.
B
A
= outro vetor
= 1 vetor
A este conjunto denominamos de 1 vetor, o qual será indicado por um
representante do conjunto.
Portanto, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de
todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB.
Desta forma, o vetor fica caracterizado como sendo um vetor livre.
Nomenclatura: AB
ou
v
ou
(B-A)
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VETORES
Vetores iguais
Dois vetores AB e CD são iguais se,
e somente se, AB CD
|AB|=|CD|;
AB e CD tem mesma direção;
AB e CD tem mesmo sentido.
Vetor nulo
Os segmentos nulos (extremidade coincide com a origem), por serem
eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou
vetor zero, indicado por 0 .
Vetores opostos
Dado um vetor v = AB , o vetor BA é um vetor oposto a AB, indicado por – AB ou – v .
Vetores unitários ou versores
É um vetor cujo módulo (ou comprimento) é igual a 1.
O versor de um vetor v é indicado por v , e apresenta
mesma direção e sentido de v .
v
v
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Disciplina: Mecânica – 1° ano
OPERAÇÕES ELEMENTARES COM VETORES
1) Produto de um número real por um vetor
Dado um vetor v e um número “a” qualquer, o produto a v resulta num outro
vetor p com as seguintes características :
 A direção do vetor p é a mesma do vetor v ;
 O módulo (comprimento) do vetor p é o módulo do vetor v vezes o módulo
do número real “a” ;
 O sentido do vetor p depende
do sinal do número real “a”:
Exemplos:
p = 2 v
se a > 0, p e v tem mesmo sentido
se a < 0, p e v tem sentidos contrários
r = -3 w
d = - 4,5 e
v
p
w
r
e
u.m.
d
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2) Soma de vetores
Uma das maneiras de se somar dois vetores é através do método gráfico. Cada
vetor a ser somado é transladado de maneira que o final de um coincida com o
início do próximo. O vetor resultante é obtido unindo-se o início do primeiro com o
final do último.
s =v+p
v
s
p
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Propriedades
a) v + p = p + v
(propriedade comutativa)
v
p
s
s =v+p=p+v
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Propriedades
a) s = v + p + w = v + w + p = w + p + v
(propriedade comutativa)
p
w
v
s
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Propriedades
b) s = ( v + p ) + w = v + ( p + w )
(propriedade associativa)
p
w
v
s
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2) “Subtração” de vetores
Não se define a “subtração” para vetores. Ao invés disso, realiza-se a soma do
primeiro vetor com o oposto do segundo
d = v– p = v+(–p )
–p
v
p
d
d
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2) “Subtração” de vetores
d = r – u = r+(–u )
r
d
u
u
DESVANTAGENS DO MÉTODO GRÁFICO
Qual o módulo (intensidade), direção e sentido do vetor soma?
É necessário uma construção geométrica, medida de ângulos....
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
h
A
v

v
A = v+ h

h
Podemos escrever que:
E também que:
| v |=| A | sen 
| v |=| A | cos 
| h |=| A | cos 
| h |=| A | sen 
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
A = ax + ay
B
ax = A cos 
ay = A sen 
by
A
ay

bx = B cos 
by = B sen 

bx
B = bx + by
ax
S = A +B
S = ( ax + ay ) + ( bx + by )
S = ( ax + bx ) + ( ay + by )
S = A +B
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
S = ( ax + ay ) + ( bx + by )
S = ( ax + bx ) + ( ay + by )
S
Sy
módulo
direção
sentido
by
B


bx
S = Sx + Sy
Sx = ax + bx
Sy = ay + by
Quem é o vetor S ?
A
ay
ax
Sx
Módulo:
S =  ( Sx )2 + ( Sy )2
Direção e Sentido:
 = tg – 1 (Sy / Sx)
 = tg – 1 (Sx / Sy)
Definindo os versores das
direções horizontal e vertical:
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
j
B
i
by j
Vamos determinar:
A


bx i
S = ( ax i + ay j ) + ( bx i + by j )
S = ( ax + bx ) i + (ay + by ) j
S = Sx i + Sy j
S = A +B
S = ( ax + ay ) + ( bx + by )
ay j
ax i
S
S =  ( Sx )2 + ( Sy )2

Sx
Sy
 = tg – 1 (Sy / Sx)
EXEMPLO 1: Vamos determinar
S = A +B
| A |= A = 12 cm
| B |= B = 6 cm
A
Lembrando que:
ay j
j
i
by j
B
60°
30°
bx ( -i )
ax = 12 cos(60°) = 6 cm
ay = 12 sen(60°) = 10,4 cm
ax i
bx = 6 cos(30°) = 5,2 cm
by = 6 sen(30°) = 3 cm
S = A + B = ax i + ay j + bx (-i ) + by j
S =  ( Sx )2 + ( Sy )2
S = 6 i + 10,4 j + 5,2 ( i ) + 3 j
S = 6 i + 10,4 j 5,2 i + 3 j
S = (6 5,2) i + (10,4+3) j
S = 0,8 i + 13,4 j
S

Sx
Sy
S =  (0,8)2 + (13,4)2
S = 13,42 cm
 = tg –1 ( 13,4 / 0,8 )= 86,6°
EXEMPLO 2:
Um avião percorre 209 Km em linha reta, fazendo um ângulo de 22,5° a nordeste.
A que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida?
N
| D |= D = 209 Km
Dx
D = Dx + Dy
Dy 22,5°
D
O
Dx é a distância que o avião viajou ao leste
Dy é a distância que o avião viajou ao norte
L
S
Dx = 209 sen(22,5°) = 80 Km
Dy = 209 cos(22,5°) = 193 Km
RESPOSTA:
O avião viajou 193 Km ao norte e 80 Km ao leste desde seu ponto de partida.
EXEMPLO 3:
Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 Km. A partir de então ele
passa a viajar para o norte, andando 47 Km até parar. Encontre o vetor que indica a
localização do carro
| Dx |= Dx = 32 Km
N
| Dy|= Dy = 47 Km
D = Dx + Dy
D
Dy

O
D é o vetor que indica a localização do carro
L
Dx
S
Quem é o vetor D ?
módulo
direção
sentido
D = ( Dx )2 + ( Dy )2
tg  = ( Dx / Dy )= ( 32 / 54 ) = 0,593
D = (32)2 + (47)2
 = tg –1 (0,593)= 30,7°
D = 56,9 Km
Em três dimensões
z
az k
A
k
ay j
ax i
i
j
x
Podemos dizer que: A = ax i + ay j + ay k
y