Transcript סוגי מוצרים 2. בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי 3. בניית המודל 4. תהליך הפתרון

‫יעילות הקצאות בכלכלות עם מוצרים‬
‫ציבוריים‬
‫פרויקט מסכם לתואר בוגר במדעים (‪)B.Sc‬‬
‫במתמטיקה שימושית‬
‫מאת‪ :‬איתן ליפשיץ‬
‫מנחה‪ :‬דר' חובב פרץ‬
‫נושאי הפרויקט‬
‫רקע ‪ -‬סוגי מוצרים‬
‫‪.1‬‬
‫‪‬‬
‫סיווג של מוצר פרטי ומוצר ציבורי‪.‬‬
‫בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי‬
‫‪.2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מקור הבעיה‪.‬‬
‫בעיית הטרמפיסט‪.‬‬
‫בניית המודל‬
‫‪.3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מודל של כלכלה עם מוצר ציבורי טהור‪.‬‬
‫המודל המתמטי‪.‬‬
‫הנחות המודל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫נושאי הפרויקט‬
‫תהליך הפתרון‬
‫‪.4‬‬
‫‪‬‬
‫תכונות רצויות מהפתרון‬
‫פתרונות קיימים – שיווי משקל נאש‪.‬‬
‫פתרונות קיימים – שיווי משקל לינדהל‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון הבעיה ‪ -‬שיווי משקל סחר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.5‬‬
‫עבודה לעתיד‬
‫‪3‬‬
‫רקע – סוגי מוצרים‬
‫‪4‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫סיווג של מוצר פרטי ומוצר ציבורי‪.‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ ‬מוצר ציבורי טהור‬
‫חוסר יריבות ‪ -‬כאשר צריכה של מוצר אינה מונעת את אפשרות הצריכה של אותו‬
‫מוצר ע"י צרכנים אחרים‪ .‬לדוגמא שידורי לווין‪.‬‬
‫חוסר בעלות ‪ -‬מצב בו לא ניתן למנוע מחלק מהצרכנים לצרוך את המוצר‪ .‬לדוגמא גן‬
‫ציבורי‪.‬‬
‫מוצר ציבורי מקיים את אחד משני התנאים הנ"ל ומוצר ציבורי טהור מקיים את‬
‫שניהם יחד‪ .‬לדוגמא‪ :‬כבישים שאינם כבישי אגרה‪ ,‬שידורי רדיו‪ ,‬תאורת רחוב‪.‬‬
‫‪ ‬מוצר פרטי‬
‫מוצר שאינו מקיים אף אחת מהתכונות הנ"ל‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫בעיות בכלכלה עם מוצר‬
‫ציבורי‬
‫‪6‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫מקור הבעיה‬
‫התכונה העיקרית של מוצר ציבורי היא שכמות המוצר המסופקת‬
‫קבועה לכל הצרכנים‪ .‬מכיוון שכל צרכן נהנה באופן שונה מהמוצר‬
‫הציבורי‪ ,‬נוצרת בעיה כאשר צריך להחליט איך לחלק את המחיר‪.‬‬
‫פתרונות מיידיים‪:‬‬
‫‪ .1‬חלוקת התשלום שווה בשווה בין כלל הצרכנים‪.‬‬
‫הבעיה‪ :‬לצרכנים עם תועלת גבוהה מהעלות יש אינטרס לדווח על‬
‫תועלת גבוהה יותר כדי להגדיל את הכמות ו‪/‬או האיכות של‬
‫המוצר הציבורי‪.‬‬
‫‪ .2‬כל צרכן ישלם על המוצר הציבורי לפי התועלת שלו‪.‬‬
‫הבעיה‪ :‬לצרכנים יהיה כדאי להציג תועלת נמוכה יותר‬
‫מהמציאות כדי שישלמו פחות‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫בעיית הטרמפיסט‬
‫‪ ‬מהי בעיית הטרמפיסט?‬
‫הטרמפיסט (‪ )Free rider‬הוא המקרה הקיצוני‪ ,‬כאשר צרכן אינו תורם‬
‫כלל למוצר הציבורי‪ ,‬למרות שיש לו תועלת ממוצר זה‪.‬‬
‫‪ ‬פגיעת הטרמפיסטים בכלכלה‬
‫ישנן ‪ 2‬אפשרויות‪:‬‬
‫‪ .1‬שאר הצרכנים צריכים לשלם יותר‪ ,‬מאחר והם מכסים את חלקם‬
‫של הטרמפיסטים‪.‬‬
‫‪ .2‬יתכן מצב שבו המוצר הציבורי ייוצר בכמות‪/‬איכות קטנה יותר‬
‫ובמקרים קיצוניים אף לא ייוצר כלל‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫בניית המודל‬
‫‪9‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫מודל של כלכלה עם מוצר ציבורי טהור‬
‫‪ ‬תיאור המודל‬
‫‪‬המוצרים‪ :‬קיימים שני מוצרים‪ ,‬מוצר אחד פרטי ) ‪ (x‬והשני מוצר‬
‫ציבורי ) ‪ ,(Y‬הנצרך בכמות שווה ע"י כלל הצרכנים‪.‬‬
‫‪‬קבוצת הצרכנים‪ :‬מספר סופי וניתן ע"י }‪. N  {1,2,...,n‬‬
‫‪‬מענק התחלתי‪ :‬כל צרכן ‪ i  N‬מקבל סכום התחלתי של ‪ i‬מהמוצר‬
‫הפרטי ו‪ 0 -‬מהמוצר הציבורי‪ ,‬כאשר ‪.W  1  ... n‬‬
‫‪‬יחס העדפה‪ :‬לכל צרכן ‪ i  N‬יחס העדפה ‪  i‬המוגדר מעל סט‬
‫הצריכה ‪. R2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫מודל של כלכלה עם מוצר ציבורי טהור‬
‫‪ ‬מושגים והגדרות‪:‬‬
‫‪ ‬פונקציית תועלת‪ :‬נסמן סל צריכה ) ‪ s  ( x, Y‬ונסמן ב ‪ ‬את יחס‬
‫ההעדפה‪ .‬הפונקציה ) ‪ u ( x, Y‬תייצג את יחס ההעדפה של הצרכן‬
‫כאשר ‪. u(s1 )  u(s2 ) s1 s2‬‬
‫‪u Y‬‬
‫‪MRS ‬‬
‫‪ :MRS ‬שיעור התחלופה השולי‪ .‬מוגדר ע"י‬
‫‪u x‬‬
‫כלומר‪ ,‬איך הצרכן מעריך יחידת מוצר ציבורי במחיר מוצר פרטי‪.‬‬
‫‪ :RPT ‬מחיר המוצר הציבורי‪ ,‬כאשר הוא נקוב ביחידות מוצר פרטי‪.‬‬
‫‪ ‬יעילות פארטו‪ :‬מצב שבו לא ניתן לשפר את מצב אחד הצרכנים‬
‫מבלי לפגוע בצרכן אחר‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫המודל המתמטי‬
‫‪ ‬סימונים‪:‬‬
‫‪ ‬פונקציית התועלת של צרכן ‪ i  N‬ניתנת ע"י ) ‪.ui ( xi , Y‬‬
‫‪ ‬צריכת המוצר הפרטי ע"י ‪ n -‬הצרכנים תסומן ע"י ) ‪.X  ( x1,...,xn‬‬
‫‪ ‬תרומת צרכן ‪ i -‬למוצר הציבורי תסומן ע"י ‪ yi‬ומתקיים ‪i  xi  yi‬‬
‫וכן מתקיים ‪.Y  iN yi‬‬
‫‪ ‬הקצאה אפשרית בשוק עם מוצר ציבורי‪:‬‬
‫וקטור בגודל )‪ (n  1‬של ערכים אי שליליים ‪ ( x1,...,xn ;Y )  Rn1‬המקיים‬
‫‪ .1‬לכל ‪xi  i , i  N‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ Y  i‬‬
‫‪iN‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪iN‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫הנחות המודל‬
‫‪ ‬ההעדפות במודל הינן נורמליות‪ ,‬עקומות האדישות קמורות חזק‬
‫לראשית‪.‬‬
‫מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪i  N‬‬
‫‪ .2‬לכל‬
‫‪i N‬‬
‫‪MRSi‬‬
‫‪0‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪MRS i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪ ‬פונקציית הייצור בעלת תשואה קבועה לגודל‪ ,‬כלומר ‪RPT  const‬‬
‫‪RPT  1‬‬
‫אנו נניח כי‬
‫‪ ‬יחס ההעדפה רציף וקמור חזק עבור שני המוצרים‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫תהליך הפתרון‬
‫‪14‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫תכונות רצויות מהפתרון‬
‫‪ ‬תכונה טריוויאלית‬
‫הפתרון הרצוי הוא כזה שייתן הקצאה שתחלק את התשלומים עבור המוצר‬
‫הציבורי בצורה כזאת שכמה שיותר צרכנים ירצו לשלם וכן שתתן תועלת כמה‬
‫שיותר גבוהה לכל צרכן‪ .‬וכך נוכל להימנע מבעיית הטרמפיסט‪.‬‬
‫‪ ‬מושג הליבה בכלכלה עם מוצר ציבורי טהור‬
‫תהי ‪ ( x1,...,xn ;Y )  R2‬הקצאה אפשרית‪ .‬קואליציה לא ריקה ‪ K  N‬תקרא‬
‫קואליציה חוסמת אם קיים וקטור בגודל )‪xi'  Y '  i , ((xi' )iK , Y ' ) , (| K | 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪iK‬‬
‫‪iK‬‬
‫'‬
‫כך ש‪ xi  i .1 :‬לכל ‪. i  K‬‬
‫‪ ( xi' , Y ' ) i ( xi , Y ) .2‬לכל ‪.i  K‬‬
‫הליבה היא אוסף ההקצאות האפשריות שאין קואליציה שיכולה לחסום אותן‪.‬‬
‫מכאן נרצה שהפתרון יניב הקצאה השייכת לליבה‪ ,‬מה שיוביל ליעילות פארטו‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫פתרונות קיימים – ש"מ נאש‬
‫‪ ‬הגדרה‬
‫שיווי משקל נאש‪ :‬מאופיין במשחק לא שיתופי‪ .‬כל צרכן ממקסם את‬
‫התועלת שלו ע"י בחירת אסטרטגיה של חלוקת ‪ i‬ע"י ) ‪.( xi , yi‬‬
‫ש"מ נאש הוא וקטור של ‪ n‬אסטרטגיות ) *‪ s*  (s1* ,..,sn‬כך ש‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫לכל ‪si*  ( xi* , yi* )  Si  {si  ( xi , yi )  R2 : xi  yi  i } , i  N‬‬
‫‪.2‬‬
‫*‪. Y *  iN yi‬‬
‫‪ .3‬לכל צרכן ‪ i  N‬ולכל ‪ si  ( xi , yi )  Si‬מתקיים ) ‪. ui ( xi* , Y * )  ui ( xi , Y *  yi*  yi‬‬
‫‪ ‬מתנאי (‪ )3‬נקבל כי האסטרטגיה ) *‪ ( xi* , yi‬היא ש"מ נאש אם היא מביאה למקסימום‬
‫תועלת‪.‬‬
‫‪ ‬תחת תנאים אלו ותנאי המודל‪ ,‬ש"מ נאש קיים ויחיד (הוכחות מלאות ניתן למצוא‬
‫בחוברת הפרויקט)‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫פתרונות קיימים – ש"מ נאש‬
‫‪ ‬בעייתיות נאש‬
‫הקצאת נאש אינה פארטו אופטימלית ולכן אינה יעילה‪ .‬דבר זה בעייתי מכיוון שקיימת הקצאה‬
‫אחרת שעדיפה על נאש ומכאן שהמשק אינו מנוצל בצורה מלאה‪.‬‬
‫‪ ‬מציאת ש"מ נאש‬
‫כל צרכן פותר את בעיית המקסימום הבאה‪:‬‬
‫כאשר ‪iN yi  Y‬‬
‫) ‪max ui ( xi , Y‬‬
‫‪s.t xi  yi  i‬‬
‫נבנה את הלגרנז'יאן‪L( xi , Y ,  )  L( xi , y1   yn )  ui ( xi , y1   yn )   ( xi  yi  i ) :‬‬
‫מהמשוואות הנגזרות מהלגרנז'יאן נקבל‬
‫תנאי לאופטימום‬
‫‪ui yi‬‬
‫‪ MRSi  1‬‬
‫‪ui xi‬‬
‫וכן את משוואת התקציב ‪. xi  yi  i‬‬
‫מכן שאנו מחפשים עקומת אדישות (‪)MRS‬‬
‫גבוהה ביותר שעל קו התקציב‪ ,‬כלומר נקודת השקה‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫פתרונות קיימים – ש"מ נאש‬
‫‪ ‬דוגמא‬
‫נתונה כלכלה עם שני צרכנים )‪(n  2‬‬
‫עם הנתונים הבאים‪:‬‬
‫המשוואות שנקבל‪:‬‬
‫‪u2 ( x2 , Y )  x22Y , 2  3‬‬
‫‪, y1  y2  Y‬‬
‫‪u1 ( x1, Y )  x1Y 2 , 1  3 ,‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2Y‬‬
‫‪x2  y2  3‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2 x1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪x1  y1  3‬‬
‫לאחר פתרון מערכת המשוואות נקבל את האסטרטגיות‪s2*  (1,2) , s1*  (3,0) :‬‬
‫לכן הקצאת נאש תהיה‪ ( x1* , x2* , Y * )  (1,3,2) :‬והתועלות‪. u2*  18 , u1*  4 :‬‬
‫כעת נעביר ‪ 1 4‬יחידת מוצר מכל צרכן לטובת המוצר הציבורי‪ .‬נקבל את‬
‫ההקצאה‪ ( x1, x2 , Y )  (0.75,2.75,2.5) :‬והתועלות‪. u2  18.9 , u1  4.68 :‬‬
‫‪ ‬קבלנו כי *‪ u1  u1‬וגם *‪ u2  u2‬כלומר‪ ,‬קבלנו שיפור פארטו ומכאן שהקצאת‬
‫נאש אינה יעילה‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫פתרונות קיימים – ש"מ לינדהל‬
‫‪ ‬הגדרה‬
‫ש"מ לינדהל הוא וקטור בגודל )‪ (2n  1‬של כמויות ומחירים אי שליליים‬
‫) ‪ ( x1,...,xn ;Y ; p1,..., pn‬כך ש‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫לכל ‪ xi  i , i  N‬וגם ‪xi  Y  W  iN i‬‬
‫‪‬‬
‫‪iN‬‬
‫‪ . xi  piY  i‬כלומר ההקצאה אפשרית‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪, i  N‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ i  N‬מתקיים ) ‪ , ui ( xi , Y )  ui ( xi , Y‬לכל ‪. xi  piY  i , ( xi , Y )  R2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪pi  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪iN‬‬
‫‪.‬‬
‫כאשר מתקיים ) ‪MRSi ( xiY )  1  pi  MRSi ( xi , Y‬‬
‫‪19‬‬
‫‪‬‬
‫‪iN‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫פתרונות קיימים – ש"מ לינדהל‬
‫‪ ‬תכונות הקצאת ש"מ לינדהל‬
‫‪ ‬לכל צרכן ‪ i  N‬מתקיים‪. 0  xi  xi*  i , 0  Y *  Y  W :‬‬
‫‪ ‬לכל צרכן‪ ,‬כמות המוצר הפרטי והמוצר הציבורי שהוא צורך חיוביים ממש‪.‬‬
‫‪ ‬הוכחות לתכונות הנ"ל ולמשפטי קיום ויחידות ניתן למצוא בחוברת הפרויקט‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מציאת ש"מ לינדהל‬
‫בעיית המקסימום של כל צרכן‪:‬‬
‫) ‪max ui ( xi , Y‬‬
‫‪s.t xi  piY  i‬‬
‫הלגרנז'יאן‪:‬‬
‫) ‪L( xi , Y ,  )  ui ( xi , Y )   ( xi  piY  i‬‬
‫מהמשוואות הנגזרות מהלגרנז'יאן נקבל תנאי לאופטימום‪:‬‬
‫‪ ui Y  pi‬עם קו התקציב ‪ xi  piY  i‬ובנוסף מתקיים ‪pi  1‬‬
‫‪ui xi‬‬
‫‪20‬‬
‫‪‬‬
‫‪iN‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫פתרונות קיימים – ש"מ לינדהל‬
‫‪ ‬דוגמא‬
‫‪u1 ( x1, Y )  x1Y 2 , 1  3‬‬
‫נשתמש עם אותם נתונים מש"מ נאש‪:‬‬
‫‪u2 ( x2 , Y )  x22Y , 2  3‬‬
‫המשוואות שנקבל‪:‬‬
‫‪p1  p2  1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ p2‬‬
‫‪2Y‬‬
‫‪x2  p2Y  3‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2 x1‬‬
‫‪ p1‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪x1  p1Y  3‬‬
‫מפתרון מערכת המשוואות נקבל את הקצאת לינדהל‪( x1,...,xn ;Y ; p1,..., pn )  (1,2;3; , ) :‬‬
‫‪3 3‬‬
‫*‬
‫*‬
‫נחשב תועלות‪ u1  9 :‬ו ‪ . u2  12 -‬תזכורת‪ :‬בש"מ נאש קבלנו‪.u2  18, u1  4 :‬‬
‫קבלנו כי *‪. u2  u2* u1  u1‬‬
‫עבור צרכן ‪ 1‬קבלנו תועלת גדולה יותר‪ ,‬אך לצרכן ‪ 2‬תועלת נמוכה יותר ולכן יעדיף את‬
‫הקצאת נאש‪ .‬מכאן נקבל שבעייתיות לינדהל היא בכך שההקצאה אינה שולטת פארטו על‬
‫הקצאת נאש‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫פתרון הבעיה – ש"מ סחר‬
‫הקצאת‬
‫ש"מ‬
‫סחר‬
‫הקצאת‬
‫ש" מ‬
‫לינדהל‬
‫הקצאת‬
‫ש"מ‬
‫נאש‬
‫‪ ‬תיאור הפתרון באופן כללי‬
‫תהליך ההגעה להקצאת ש"מ סחר (או לינדהל מעל נאש) משתמש בעקרונות של‬
‫הקצאת ש"מ לינדהל‪ ,‬אך משתמש גם בהקצאת נאש בתור נקודת מוצא‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫על מנת להגיע להקצאת סחר יש תחילה להגיע לש"מ נאש (דבר שהצרכנים עושים‬
‫באופן עצמאי)‪ ,‬ועל הקצאה זו לבנות את לינדהל כפי שראינו מקודם‪.‬‬
‫תהליך זה בה לידי ביטוי בעיקר במשוואת התקציב ומשתמשים בעובדה שש"מ‬
‫נאש נמצא בקבוצת התקציב‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫שיווי משקל סחר‬
‫‪ ‬הגדרה‬
‫ש"מ סחר הוא וקטור בגודל )‪ (2n  1‬של כמויות ומחירים אי שליליים‪.‬‬
‫) ‪ ( x1 ,...,xn ; Y ; p1 ,..., pn‬כך ש‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫לכל ‪ xi  i , i  N‬ו ‪xi  Y  W  iN i -‬‬
‫‪.2‬‬
‫לכל ‪ xi  piY  xi*  piY * , i  N‬כאשר ) * ‪ ( x1* ,...,xn* ;Y‬הוא הקצאת ש"מ נאש‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫לכל ‪ ui ( xi , Y )  ui ( xi , Y ) , i  N‬לכל ‪. xi  piY  xi*  piY * , ( xi , Y )  R2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪pi  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪iN‬‬
‫כאשר מתקיים‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪iN‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪ pi  MRSi ( xi , Y‬‬
‫‪23‬‬
‫‪MRS i ( xiY )  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪iN‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫שיווי משקל סחר‬
‫‪ ‬תכונות ש"מ סחר‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫*‬
‫לכל צרכן ‪ i  N‬מתקיים ‪. 0  xi  xi  i  0  Y *  Y  W‬‬
‫הקצאת ש"מ סחר שולטת פארטו על הקצאת ש"מ נאש‪.‬‬
‫הקצאת ש"מ סחר שייכת לליבה בכלכלה עם מוצר ציבורי‪.‬‬
‫‪ ‬הוכחות לסעיפים ‪ 1‬ו – ‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫נניח בשלילה ש ‪ , Y *  Y  0 -‬אז קיים צרכן ‪ j  N‬עבורו ‪ . x*j  x j‬עבור אותו צרכן‬
‫מתקיים ‪ . MRSj ( x*j , Y * )  1‬מהנחת הנורמליות נקבל כי‪:‬‬
‫‪ . 1  MRS j ( x*j , Y * )  MRS j ( x j , Y )  p j‬בסתירה לתנאי ‪pi  1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪‬‬
‫‪iN‬‬
‫‪ .‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫מסעיף ‪ 3‬בהגדרת ש"מ סחר נובע בפרט כי ) * ‪ , ui ( xi , Y )  ui ( xi* , Y‬מאחר ו‪ ,Y  Y -‬שתי‬
‫האסטרטגיות הן שונות‪ ,‬לכן בהנחת קמירות חזקה של יחס העדפה נקבל אי שוויון חזק‪.‬‬
‫כלומר‪ . ui ( xi , Y )  ui ( xi* , Y * ) ,‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫*‬
‫‪24‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫שיווי משקל סחר‬
‫‪ ‬כמו שתי ההוכחות שניתנו בשקף הקודם‪ ,‬גם ההוכחה לסעיף ‪ 3‬מבוססת בין השאר‬
‫על הנחת הנורמליות ועל הנחת הקמירות החזקה של יחס ההעדפה‪ .‬יש לציין‬
‫שהנחות אילו הן חלק בלתי נפרד ממודל של כלכלה עם מוצר ציבורי והן גם הבסיס‬
‫לקיום ויחידות שיוויי המשקל השונים‪.‬‬
‫‪ ‬מציאת שיווי משקל סחר‬
‫תהליך מציאת ש"מ סחר זהה לתהליך מציאת ש"מ לינדהל‪ ,‬פרט למשוואת קו‬
‫התקציב * ‪. xi  piY  xi*  piY‬‬
‫יש לציין שפתרון מערכת המשוואות שמקבלים הוא די מסובך‪ ,‬לכן ניתן להשתמש‬
‫במשוואה ‪ iN xi  Y  iN wi‬שהוא אחד התנאים לש"מ סחר‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ .1‬רקע‪ -‬סוגי מוצרים ‪ .2‬בעיות בכלכלה עם מוצר ציבורי ‪ .3‬בניית המודל ‪ .4‬תהליך הפתרון‬
‫שיווי משקל סחר‬
‫‪ ‬דוגמא‬
‫נשתמש שוב באותם נתונים מש"מ נאש‪u1 ( x1, Y )  x1Y 2 , u2 ( x2 , Y )  x22Y , 1, 2  3 :‬‬
‫בנוסף נתון‪. ( x1* , x2* , Y * )  (1,3,2) :‬‬
‫נקבל את המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪2 x1‬‬
‫‪x1  p1Y  1  2 p1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪x2  p2Y  3  2 p2‬‬
‫‪p1  p2  1‬‬
‫ובנוסף מתקיים‪:‬‬
‫‪x1  x2  Y  6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ p2‬‬
‫‪2Y‬‬
‫לאחר פתרון מערכת המשוואות נקבל הקצאה‪( x1, x2 ;Y ; p1, p2 )  (2 3, 8 3; 8 3;0.5,0.5) :‬‬
‫‪u1 (2 3, 8 3)  2 3  8 3  4.74‬‬
‫נחשב את התועלת לכל צרכן‪, u2 (8 3, 8 3)  8 32  8 3  18.96 :‬‬
‫קבלנו כי ‪ u1  4.74  u1*  4‬וגם ‪. u2  18.96  u2*  18‬‬
‫כלומר קבלנו הקצאה השולטת פארטו על הקצאת ש"מ נאש‪ .‬יחד עם העובדה שההקצאה‬
‫שייכת לליבה (לכן יעילה)‪ ,‬קבלנו את ההקצאה הרצויה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪26‬‬
‫עבודה לעתיד‬
‫‪ ‬ניתוח כלכלה עם מספר סופי של מוצרים ציבוריים ומספר‬
‫סופי של מוצרים פרטיים‪.‬‬
‫‪ ‬עבודה עם פונקציית ייצור שאינה קבועה‪.‬‬
‫‪ ‬ניתוח כלכלה עם מוצר ציבורי ומרחב מידה מעורב‪ ,‬בו‬
‫מבדילים בין צרכנים קטנים וגדולים של המוצר הציבורי‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫תודה רבה!‬
‫‪28‬‬
‫נספחים‬
‫‪ ‬דוגמא ‪2‬‬
‫‪, 1  12‬‬
‫‪u2 ( x2 , Y )  0.6Y  x2 , 2  5‬‬
‫‪u1 ( x1 , Y )  0.8Y  x1‬‬
‫נקבל‪MRS2  0.8 , MRS1  0.6 :‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬התועלת השולית מהמוצר הציבורי קבוע ונמוכה מהתועלת השולית‬
‫של המוצר הפרטי‪ ,‬ולכן שני הצרכנים יעדיפו את המוצר הפרטי‪.‬‬
‫נקבל את ההקצאה )‪ ( x1* , x2* , Y )  (12,5,0‬וכן ‪. u2*  5 , u1*  12‬‬
‫הקצאה זו כמובן אינה יעילה וניתן לשפר פארטו למשל ע"י ההקצאה‬
‫)‪. ( x1* , x2* , Y )  (0,0,17‬‬
‫‪29‬‬
‫נספחים‬
‫‪ ‬דוגמא ‪3‬‬
‫‪, i  3 , i  1,2‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪. MRSi ( xi , Y )  Y‬‬
‫‪xi‬‬
‫במקרה זה הנחת הנורמליות אינה מתקיימת‬
‫הפונקציה קעורה חזק לראשית‪.‬‬
‫כלומר מהצורה הנראית בסרטוט‪.‬‬
‫כל אחד מהצרכנים יבחר באסטרטגיה הנמצאת על‬
‫אחד הקצוות‪ ,‬מה שיוביל לשני ש"מ נאש שונים‪:‬‬
‫)‪( x1* , y1* )  (3,0) , ( x2* , y2* )  (3,0‬‬
‫‪.1‬‬
‫)‪( x1* , y1* )  (0,3) , ( x2* , y2* )  (0,3‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ ‬מכאן שיחידות נאש לא מתקיימת‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ui ( xi , Y )  xi2  Y 2‬‬