MATEMATICA AVANZATA

Calcolo combinatorio

Una trattazione elementare esposta in modo essenziale e funzionale.

Prof.ssa Anastasia Vitsas

Diapositiva sommario

     

Disposizioni semplici Disposizioni con Ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con oggetti identici Combinazioni Semplici Combinazioni con Ripetizione

Calcolo combinatorio

Premessa Calcolo Combinatorio

  Consideriamo un insieme di n oggetti: G={a 1 ,a 2 ,a 3 ,…a diversi; ecc. .

n } con n  , di natura qualunque ma perfettamente distinguibili l’uno dall’altro in base a qualche caratteristica, ad esempio palline di diverso colore; lettere dell’alfabeto; numeri Il “calcolo combinatorio” ha per scopo la costruzione e la misurazione del n° di raggruppamenti che, secondo un’assegnata definizione, si possono formare con una prefissata quantità degli n oggetti di G.

Disposizioni semplici

Sia A= { a,b,c,d}.

Tutte le sigle di due elementi che si possono formare con gli elementi di A sono: 2 di 4 elementi) aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc dd 4X4=16 sigle di due elementi (disposizioni di classe

Calcolo

Fissiamo un numero k≤ n, si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti che si ottengono prendendo k oggetti di G n in modo che valgano le seguenti proprietà:  in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizioni;  due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro oppure gli oggetti di un raggruppamento sono gli stessi dell’altro raggruppamento ma è diverso l’ordine con cui essi sono disposti. I predetti raggruppamenti si dicono

disposizioni semplici

di n oggetti distinti di classe k o presi a k a k. Tale numero si indica con il simbolo D n,k e si dimostra che D n,k =n  (n-1)  (n-2)  ...

 (n-k+1)= (

n n

!



k

)!

Ad esempio si ha: D 7,4 =7  6  5  4=840 D 9,3 =9  8  7=504

Osservazioni sulle Disposizioni Semplici

In generale D n,k è uguale al prodotto di k numeri naturali, consecutivi, decrescenti a partire da n. Consideriamo per fissare le idee, l’insieme G 4 ={1,2,3,4},  costruiamo le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=1 a k=1; si hanno i  raggruppamenti seguenti: 1 2 3 4 e pertanto D 4,1 = 4 costruiamo le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=2 a k=2; si hanno i raggruppamenti seguenti:

1 1 1

2 3 4

2 2 2

1 3 4

3 3 3

1 2 4

4 4 4

1 2 3 sicché resta verificato che D 4 , 2 = 12.  per costruire le disposizioni semplici degli n=4 oggetti a k=3 a k=3 occorre aggregare ai precedenti raggruppamenti via via uno degli altri due oggetti che ancora non vi figurano:, tenendo conto delle regole di composizione dei raggruppamenti per le disposizioni semplici si ha:

1 2 1 2

3 4

2 1 2 1

3 4

3 1 3 1

2 4 D 4,3 =4  3  2=24 generalizzando si comprende la validità della formula per il calcolo delle disposizioni semplici.

Disposizioni semplici

Esempio Quanti numeri di 5 cifre, non ripetute, si possono formare con le 10 cifre del sistema di numerazione decimale?

Soluzione: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 9XD’(9,4)=9.(9.8.7.6)=27.216

Disposizioni semplici

Esempio Nel consiglio di amministrazione di una società formata da 10 membri si deve procedere alla elezione di 1 presidente, di 1 vicepresidente e di 1 segretario. In quanti modi è possibile la scelta?

Soluzione: D’(10,3)=10.9.8=720

Calcolo

Fissiamo un numero k, senza alcuna limitazione superiore; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di G n , in modo che valgano le seguenti proprietà:  in ciascun raggruppamento figurano k oggetti, potendovi uno stesso oggetto figurare, ripetuto, sino ad un massimo di k volte;  due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro, oppure gli oggetti sono diversamente ordinati oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte. I predetti raggruppamenti si dicono disposizioni con ripetizione degli n oggetti di G n , a k a k ( o di classe k). Il n° delle predette disposizioni con ripetizione degli n oggetti di G n , a k a k si indica con D

’ n,k =n k

Osservazioni sulle Disposizioni con Ripetizione

Per fissare le idee consideriamo l’insieme G 4 ={1,2,3,4}   le disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti a k=1 a k=1 sono: pertanto di G 4 1 2 3 4 le disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti a k=2 a k=2 si ottengono dalle (1) aggregando via via ciascuno degli oggetti , anche se già contenuti nel raggruppamento; esse sono: 1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 4 2 1 3 2 3 3 3 4 3 1 4 2 4 3 4 4 4 (1) D ’ 4,1 =4 Possiamo osservare che per ogni disposizione con ripetizione di classe uno se ne ottengono n=4 di classe 2 e pertanto D ’ 4,1 =4 2 =16

Esempio Calcolare: in quanti modi si possono presentare le facce di due dadi e quante sono le coppie formate da due numeri dispari, A={1,2,3,4,5,6} D(6,2)=6 2 =36 B= {1,3,5} D(3,2)= 3 2 =9 in quanti modi si possono presentare le facce di tre dadi e quante sono le terne formate da tre numeri dispari.

A={1,2,3,4,5,6} D(6,3)=6 3 =216 B= {1,3,5} D(3,3)= 3 3 =27

Esempio Una colonna della schedina del Totocalcio è una disposizione di classe 13 estratta da S={1,x,2}.

Quindi D(3,13)=3^13 .

Poichè gli elementi 1,X,2 si possono presentare anche ripetuti bisogna trovare il numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi a 13 a 13: Esempio Si devono disporre r palline in n scatole distinte in tutti i modi possibili.

Per ognuna delle r palline può essere scelta una qualunque delle n scatole disponibili, e quindi il numero di tutte le possibili distribuzioni delle palline nelle scatole coincide con il numero delle disposizioni di classe r di n elementi, cioè è uguale a n r .

Calcolo

1. Quante parole anche prive di significato, si possono costruire con 3 lettere dell’alfabeto, tutte diverse tra loro?

[disp. Semplici n=21, k=3 R.7980] 2. In quanti modi diversi 7 persone si possono sedere su 5 poltrone allineate di un cinema? [D(7,5)] 3. Quanti numeri di tre cifre, anche uguali tra loro, si possono costruire con i primi cinque numeri naturali? [D’(5,3)] 4. Quante colonne d diverse si possono compilare nel gioco del totocalcio? [D’(3,13)]

Calcolo

Le permutazioni semplici degli oggetti di G n sono le disposizioni semplici dei predetti n oggetti a k=n a k=n. Si deduce che due qualsiasi permutazioni semplici differiscono solo per

l’ordine

con cui sono disposti gli n oggetti distinti in esse contenuti. Il loro n° è D n , n ma si preferisce usare il simbolo P n Evidentemente si ha: P n =n  (n-1)  (n-2)  (n 3)  …  3  2  1=

n! “enne fattoriale

”. Ad esempio, costruiamo e contiamo tutti gli anagrammi, anche privi di significato, che si possono formare con la parola “APE”. APE PAE EAP AEP PEA EPA, sono sei, difatti P 3 =3!=3  21=6

Calcolo combinatorio

Permutazioni con oggetti identici

Ci proponiamo di anagrammare una parola contenente alcune lettere uguali; se prendiamo in esame la parola “ALA”, notiamo che i suoi possibili anagrammi distinti sono: ALA LAA AAL cioè soltanto tre e non sei come accade se le lettere sono tutte diverse. In generale, volendo permutare n oggetti in cui ve ne siano  identici tra loro, si ottiene un numero di permutazioni dato da:

P n

(  ) 

P n

 !



n

!

 !

Nell’esempio precedente avevamo n=3 ed  =2 sicché gli anagrammi distinti  risultavano:

P

( 3 2 )  3 !

2 !

 3  2 2  1 1  3

Calcolo

Esempio: il numero di anagrammi distinti che si possono costruire con la parola “MATEMATICA” è dato da:

P

( 3 10 , 2 , 2 )  10 !

3 !

 2 !

 2 !

 15120 poiché il n° di lettere da permutare è n=10 tra le quali la lettera “A” figura 3 volte, la lettera “M” 2 volte come la lettera “T”.  Esercizio 1: Un negoziante deve eseguire 5 consegne di merce acquistata da clienti abitanti ciascuno in 5 zone diverse della città. determinare il n° di modi differenti di eseguire le consegne. [R. 160]  Esercizio 2: Quanti numeri naturali diversi di 6 cifre si possono formare con le cifre del numero 775551. [R. 60]

Calcolo

Fissiamo un numero k ≤ n; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti che si ottengono prendendo k oggetti di G n in modo che valgano le seguenti proprietà:  in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizioni;  due raggruppamenti sono distinti se e solo se uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro. Segue, pertanto, che due raggruppamenti che differiscono solo per l’ordine con cui in essi sono disposti gli oggetti sono da ritenersi identici. I predetti raggruppamenti si dicono “Combinazioni semplici” degli n oggetti di G n di classe k od a k a k. Il numero delle predette combinazioni semplici di n oggetti distinti di classe k si indica con il simbolo di

C n,k

Si dimostra che :

C n

,

k



D k

!

n

,

k

Questa formula è giustificata dal fatto che da ogni combinazione semplice si possono ottenere, permutando in tutti i modi possibili i k oggetti che la compongono, k! disposizioni semplici.

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 1/3

Consideriamo ad esempio l’insieme G 4 ={1,2,3,4,5}  le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=1 sono: 1 2 3 4  le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=2 si ottengono dalle precedenti aggregaziondo, via via, solo quegli elementi che, in G 4 seguono l’oggetto già presente nel raggruppamento, ossia:

1

2

2

3

3

4

1 1

3 4

2

4  le combinazioni semplici degli n=4 oggetti di classe k=3 si ottengono da quelle di classe 2 aggregando, via via, solo quegli elementi che in G 4 , seguono l’oggetto che figura più a destra del raggruppamento, ossia:

1 2 1 2 1 3

3 4

2 3

4 4

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 2/3 Nota: il numero C n,k si india anche con

 

n k

 

che si legge “n su k”, denominato “coefficiente binomiale” di ordine n e di classe k. E’ abbastanza facile, posto per definizione



n

 0    1

, dimostrare la validità delle seguenti formule:

C n

,

k



k

!

 (

n n

!



k

)!

;

 

n k

    

n n



k

 

;

 

n k

  1 1     

k n

 1     

n k

 

Può essere utile ricordare la “formula del binomio di Newton”:

(

a



b

)

n



k n

  0  

n k

  

a n



k



b k

Osservazioni sulle Combinazioni Semplici 3/3

Sussistono le seguenti proprietà: 1.



n

 0    1 2.

 

n n

   1 3.

4.

5.

 

n

1   

n

 

n n

 1   

n

 

n k

    

n n



k

  6.

7.

 

n k

  

n

 (

n

 1 )  (

n



k

 1 ) ,

k k

!

 0

n

1     

k n

   1   

n k

  , 

n

  , 

k

  1 ,  ,

n



Calcolo

Fissiamo un numero k, senza alcuna limitazione superiore; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di G n , in modo che valgano le seguenti proprietà:  in ciascun raggruppamento figurano k oggetti di G n , potendovi uno stesso elemento figurare ripetuto fino ad un massimo di k volte;  due raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro oppure gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte. I predetti raggruppamenti si dicono “combinazioni con ripetizione degli n oggetti di G n , a k a k” o di classe k. Il loro numero si indica con il simbolo C’ n,k . Si dimostra che:

C

'

n

,

k

   

n



k k

 1   

Calcolo combinatorio

Applicazioni - 3

Esercizio 1: Un barman dispone di 30 liquori diversi. Quanti coktails diversi potrà preparare utilizzando, ogni volta, 3 dei predetti liquori? [R. 4060] Esercizio 2: Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del gioco del lotto? [R. 117480] Esercizio 3:Quante sono le diagonali di un poligono convesso di n lati? [R. le diagonali di un poligono sono i segmenti che uniscono due vertici non consecutivi. Il numero totale dei segmenti definiti dagli n vertici del poligono è:

C n

, 2 

n

 (

n

2 !

 1 ) , ma in questo numero è compreso anche il numero dei lati, pertanto va sottratto n. Esercizio 4: In un campionato di pallavolo le squadre che si devono incontrare in 10 campi sono 15. Quanto dura il campionato? [R. 21 giorni]

Libro di Testo : M.Trovato

Probabilità –Statistica-Ricerca operativa ESERCIZI PAG:274 Dal n° 1 al n° 29