Transcript スライド

数理情報科学特別講義（慶應・院・数理）
July 26, 2012
対数優/劣モジュラ分布からのサンプリング
主定理
分配束上のreversible Hasse walk が 単調な更新関数 を持つ
 定常分布が対数優モジュラ
来嶋秀治
九州大学 大学院システム情報科学研究院 情報学部門
主定理
分配束上の reversible Hasse walk が 単調な更新関数を持つ
 定常分布が対数優モジュラ
-5: 対数優/劣モジュラ分布
例1. グラフの森
例2. Tutte多項式
例1. グラフ中の森
i.e., 閉路を含まない部分グラフ
問題
INPUT:グラフ G = (V,E),
OUTPUT: 森 F  E u.a.r.
未解決
多項式時間(近似)アルゴリズムの存在
例1. グラフ中の森
i.e., 閉路を含まない部分グラフ
問題
INPUT:グラフ G = (V,E),
OUTPUT: 森 F  E u.a.r.
森
未解決
多項式時間(近似)アルゴリズムの存在
例1. グラフ中の森
i.e., 閉路を含まない部分グラフ
問題
INPUT:グラフ G = (V,E),
OUTPUT: 森 F  E u.a.r.
森でない
未解決
多項式時間(近似)アルゴリズムの存在
例1. グラフ中の森
i.e., 閉路を含まない部分グラフ
問題
INPUT:グラフ G = (V,E),
OUTPUT: 森 F  E u.a.r.
“近似”分布 (+棄却)
森でない
状態空間 : {0,1}E
確率分布 :
where r(A) := (V,A)の最大森の枝数
i.e., r(A): graphic Matroidのランク
known as 劣モジュラ => F : 対数劣モジュラ
N: 正規化定数, i.e.,
例1. グラフ中の森
i.e., 閉路を含まない部分グラフ
問題
INPUT:グラフ G = (V,E),
OUTPUT: 森 F  E u.a.r.
“近似”分布 (+棄却)
森でない
状態空間 : {0,1}E
確率分布 :
where r(A) := (V,A)の最大森の枝数
i.e., r(A): graphic Matroidのランク
known as 劣モジュラ => F : 対数劣モジュラ
N: 正規化定数, i.e.,
8
対数優/劣モジュラ分布
標本空間: {0,1}E
確率分布: (x)  eh(x)
h: 2E -> R
対数優/劣モジュラ分布
 h: 優モジュラ / 劣モジュラ
優モジュラ:
h(x) + h(y)  h(xy) + h(xy)
劣モジュラ:
h(x) + h(y)  h(xy) + h(xy)
組合せ サンプリング/数え上げ
標本空間: {0,1}E
確率分布: (x)  eh(x)
h: 2E -> R
known fact
対数優/劣モジュラ分布
多項式時間乱択近似数え上げ
 h: 優モジュラ / 劣モジュラ
= 多項式時間ランダム生成
優モジュラ:
例
• Tutte polynomial
h(x) + h(y)  h(xy) + h(xy)
 全張木 (u.a.r.)
劣モジュラ:
 森 (u.a.r.)
h(x) + h(y)  h(xy) + h(xy)
 連結部分グラフ (u.a.r.)
 q状態Pottsモデル
• Isingモデル (Gibbs dist.)
• posetのイデアル (u.a.r.)
• 2部グラフの完全マッチング(u.a.r.)
9
10
対数優/劣モジュラ分布
標本空間: {0,1}E
確率分布: (x)  eh(x)
h: 2E -> R
known fact
対数優/劣モジュラ分布
多項式時間乱択近似数え上げ
 h: 優モジュラ / 劣モジュラ
= 多項式時間ランダム生成
優モジュラ:
例
• Tutte polynomial
h(x) + h(y)  h(xy) + h(xy)
 全張木 (u.a.r.)
劣モジュラ:
 森 (u.a.r.)
h(x) + h(y)  h(xy) + h(xy)
 連結部分グラフ (u.a.r.)
 q状態Pottsモデル
• Isingモデル (Gibbs dist.)
• posetのイデアル (u.a.r.)
• 2部グラフの完全マッチング(u.a.r.)
例2. Tutte polynomial cf. [Welsh 94]
11
y
Tutte平面(変数:x,y)
12
3状態Potts
(1,2)
(1,1)
(2,1)
(x-1)(y-1) =1
森 (独立集合)
全張木 (基)
x
例1. Tutte polynomial cf. [Welsh 94]
状態空間 : {0,1}E
確率分布 :
x > 1 かつ y > 1の時
 (x-1)(y-1)  1  T は対数優モジュラ分布
 (x-1)(y-1)  1  T は対数劣モジュラ分布
優モジュラ: h(x) + h(y)  h(xy) + h(xy)
劣モジュラ: h(x) + h(y)  h(xy) + h(xy)
13
-3: 主定理
主定理
分配束上のreversible Hasse walk が 単調な更新関数 を持つ
 定常分布が対数優モジュラ
Hasse walk
束の特徴
 優/劣モジュラ性が自然に定義される
 最大元，最小元を持つ
状態空間: 分配束
定義: Hasse walk
Hasse図上のランダムウォーク
i.e., P(x,y) > 0  x > y or x < y
定義: reversible
f(x) P(x, y) = f(y) P(y, x)
定理
reversible    f
Ex. f=1   は一様分布
x,y
Hasse 図
(x,y)  E  x < y
15
16
本研究の成果
主定理
分配束上のreversible Hasse walk が 単調な更新関数 を持つ
 定常分布が対数優モジュラ
Remark
標本空間: 分配束 D ( 2E)
確率分布: (x)  eh(x)
where h: D -> R, 優モジュラ
(i.e., h(x) + h(y)  h(xy) + h(xy))
Hasse 図
-1: まとめ
主定理
分配束上のreversible Hasse walk が 単調な更新関数 を持つ
 定常分布が対数優モジュラ
18
Remarks
命題 [K ‘09+]
対数劣モジュラ分布に対しても，reversible Hasse walk は，
coalescenceを効率的に確認できる．
 anti-monotone CFTP [Häggström & Nelander ‘98]
例
• Tutte polynomial
 全張木 (u.a.r.)
 森 (u.a.r.)
 連結部分グラフ (u.a.r.)
 q状態Pottsモデル
• Isingモデル (Gibbs dist.)
• posetのイデアル (u.a.r.)
• 2部グラフの完全マッチング(u.a.r.)
対数優モジュラ分布
対数劣モジュラ分布
Tutte 平面
y
New!
19
3状態Potts
[K ‘09+]
(1,2)
(1,1)
(2,1)
New!
(x-1)(y-1) =1
森 (独立集合)
全張木 (基)
x
Remarks
Hasse walk に限定しなければ
Remark 2. [K ‘09+]
対数優モジュラ分布でなくても，単調CFTPの設計例が存在
離散化Dirichlet分布 [Matsui, K 06]
(おそらく現在唯一の実用的な例)
20
Remarks
Remark 3. [K ‘09+]
一般の対数劣モジュラ分布に対して，
RP  NPの下，多項式時間サンプリング法は存在しない．
Sketch of proof
SIMPLE MAX CUTからの帰着
INPUT: グラフ G=(V,E)
MAX.: c(X) := #{{u,v}E | [uX] かつ [vX] }
分布
に対する多項式時間サンプリング法が存在 (2n)
=> 3/4以上の確率でMAX CUTを得る．
21
22
今後の課題
• 多項式時間アルゴリズムの存在性
Remark 3.
 Tutte多項式
 グラフ中の森

一般には
多項式時間アルゴリズムは
存在しない [K 09+]
マトロイド基
 半順序集合のイデアル (=分配束上の一様分布)
 ブール束上の対数優モジュラ分布
 ブール束上の対数劣モジュラ分布
• (Hasse walk でない)一般のreversible Markov chainが
単調な更新関数をもつための特徴づけ
0: The end