Transcript Методы и способы решения задач

Методы и способы
решения задач на
смеси, растворы и
сплавы
Цель:
создание условия для выработки алгоритма
решения задач на смеси и сплавы, нахождение
различных способов решения одной задачи.
Задачи:
обобщить способы и методы решения задач на данную
тематику;
• развивать
умения
применять
ранее
изученные
нестандартные методы для решения данного типа задач;
• воспитание уверенности в себе, активности, умения
работать
в
коллективе,
стремление
достигать
поставленной цели.
•
Актуализация темы

Анализ
результатов
ЕГЭ
с
момента
его
существования
говорит о том, что решаемость
задания, содержащего текстовую
задачу составляет около 30%.

В школьной программе почти не
рассматриваются
задачи
на
смеси,
сплавы
и
растворы,
решение которых связано с
понятиями
«концентрация»,
«процентное
содержание»,
поэтому мы решили такого типа
задачи рассмотреть на занятиях
математического кружка в 8
классе.
Если
запастись
терпением
и
проявить старание,
то
посеянные
семена – знания
непременно дадут
добрые
всходы.
Ученья
корень
горек,
да
плод
сладок.
Леонардо да Винчи
Различные задачи
I.Задачи на сплавы:
1.
Имеются сплавы золота и серебра. В
одном сплаве эти металлы находятся в
отношении 2:3, а в другом - в
отношении 3:7. Сколько нужно взять
от каждого сплава, чтобы получить 1
кг нового, в котором золото и серебро
находятся в отношении 5:11?
Способы решения такого типа задач

схематический + алгебраический
3:С=2:3
3:С=3:7
3 : С = 5 : 11
х г. – золото, у г. – серебро
2.

Имеются 2 сплава меди со свинцом.
Один сплав содержит 15% меди, а
другой 65%. Сколько нужно взять
каждого сплава, чтобы получилось 200
г сплава, содержащего 30% меди?
Первый способ решения задачи
Изобразим сплавы в виде прямоугольников
15%
М
65%
С
Хг
+
М
30%
С
(200-х)г
=
М
С
200 г
Уравнение: 0,15х+0,65(200-х)=0,3∙200

Второй способ решения задачи: - система
М
С
+
15%
х
М
г
С
=
65%
у
М
г
С
30%
200
г
Третий способ: можно решить данную задачу на
основе подсчёта масс свинца.
 Четвёртый способ: - таблица

Сплав
Масса сплава
% содержание меди
Масса меди, г
1 сплав
?г
xг
15% = 0,15
0,15 х
2 сплав
?г
(200-х) г
65% = 0,65
0,65(200-х)
30% = 0,3
0,15х+0,65(200х)=0,3∙200
3 сплав
200 г
II. Задачи на растворы
1.


Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10%
раствором и получили 600 г 15% раствора. Сколько
граммов каждого раствора надо было взять?
1 способ: - алгебраический. Обозначим х массу первого
раствора, тогда масса второго (600-х). Составим
уравнение: 30х+10(600-х)=600∙15, х=150
2 способ: - приравнивание площадей равновеликих
прямоугольников: 15х=5(600-х)
n%
S1
30%
Х=150
S1=S2
S2
10%
Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора
Хг
600 г
mг
2.
Имеется
лом
стали
двух
сортов
с
содержанием никеля 5% и 40%. Сколько
нужно взять металла каждого из этих сортов,
чтобы получить 140 т стали с содержанием
30% никеля?
n%
S1=S2

S1
30%

S2
С использованием графика: приравнивание
площадей равновеликих прямоугольников.
5%
х т
140
mт
10х=25(140-х), х=100. 140-100=40.
Ответ: 100т и 40т.
III. Задачи на смеси

Старинный
способ
решения
смешивание двух веществ.
задач
на
У некоторого человека были на продажу масла двух
сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6
гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух
масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро.
Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы
получить ведро масла ценою 7 гривен?
1.
6
3
7
10
1
Вывод: дешёвого масла нужно
взять втрое больше чем дорогого,
т.е. для получения одного ведра
ценою 7 гривен нужно взять
дорогого масла ¼ ведра, а
дешёвого масла 3/4

2.
Способ Л. Ф. Магницкого для трёх веществ.
Некто имеет чай трёх сортов – цейлонский по 5
гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и
китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно
смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6
гривен за фунт?
5
5
6
2
6
6
12
1
8
1
Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части
ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмём 8/10 фунта
чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12
гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой
8/10∙5+1/10∙8+1/10∙12=6 гривен.
IV. Задача на смеси из трёх веществ:
1.


Имеется два сплава меди, никеля и железа, причем
первый из них содержит 4% меди. Если сплавить их в
равных количествах, получится сплав, содержащий
66% железа, а если взять 3 кг первого сплава и 7 кг
второго, получится сплав, содержащий 0,4 кг меди.
Определить процентное содержание никеля во втором
сплаве, если известно, что оно в 2 раза выше, чем в
первом сплаве.
Решение:
Пусть во втором сплаве массовая доля никеля равна x, а
железа – у. Для решения задачи составим схему .
Составим и решим систему уравнений:
Во втором сплаве массовая доля
никеля равна 0,4, т.е. 40%.
Ответ: 40%.
V. Задачи на нахождение наибольших и наименьших
значений.
1.
Фирма торгует компьютерами двух типов А и В. Каждый
проданный компьютер типа А приносит ей 100 долларов
прибыли, а компьютер типа В – 300 долларов. Спрос на
компьютеры диктует следующие ограничения. Общее
число компьютеров, проданных фирмой за день не
превышает 10 штук, причем компьютеров В продаётся
менее 50% от этого числа, но не более 2-х штук, а
компьютеров А продаётся более 2-х штук. Определите
максимальную ежедневную прибыль фирмы.
Решение
 системой : х – компьютеры А, у – компьютеры В, S –
прибыль.

Графический способ
y
X=2

y=x
y=-x+10
y=2
O
x
Все отмеченные точки с целочисленными координатами являются
решением четырёх последних неравенств, но нам нужно выбрать такую,
координаты которой придают равенству S=100x+300y наибольшее
значение. Можно выбрать такую точку, подставив последовательно
координаты каждой. Точка (8;2) удовлетворяет данному условию. Итак,
наибольшая прибыль S=1400 долларов.
2.
Банк начисляет по вкладу р % за первый месяц и q % за
второй. Поместив в банк некоторую сумму, вкладчик в
конце первого месяца снял пятую часть всех имевшихся
на счёте денег, а остальные оставил на второй месяц. При
каком значении р сумма на счёте к концу второго месяца
окажется максимальной, если известно, что р+q=30?
Решение
 введение 1: пусть 1 – сумма первоначального вклада,
1+0,01р – к концу первого месяца,
0,8(1+0,01р) – остаток,
0,8(1+0,01р)(1+0,01q) – сумма к концу второго месяца.
Т.к. q=30-р, то 0,8(1+0,01р)(1,3-0,01р)
р€[0;30] максимальное значение
данный квадратный трёхчлен
принимает при р=15.
Ответ: р=15

Ожидаемые результаты
Через освоение данных приёмов и способов решения
такого типа задач предполагается:
1) развивать способность к самостоятельной
деятельности,
2) правильно и быстро выбирать нужный способ решения
и правильный ответ,
3) умение диалектически анализировать задачу
позволяет школьнику оценить содержание с разных
сторон, в разных ситуациях и найти правильный
подход к её решению.
Автор проекта






Колесникова Вера Николаевна
– учитель математики МОУ
«Кужерская средняя (полная)
общеобразовательная школа»
Год рождения - 14.09.1955.
Образование – МГПИ, 1978 г.
Педагогический стаж – 34 г.
Категория – I
Проблемная тема –
«Организация
исследовательской
деятельности школьников на
уроках математики»
(2008/2012)
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Задачи на смеси, растворы и сплавы / Библиотека
«Первое сентября». – 2009. - №31
Математика для школьников. – 2006. - №3, 2010. №13,№14
www.portfolio.1september.ru/
www.rusedu.ru/
www.21412s08.edusite.ru/
www.wiki.vladimir.i-edu.ru/
www.gimn56.tsu.ru/

«Только из союза двоих, работающих
вместе и при помощи друг друга,
рождаются великие вещи».
Антуан Де Сент-Экзюпери

«При единении и малое растет, при
раздоре и величайшее распадается».

Творческих
вам
успехов!
Саллюстий Гай Крисп