Transcript קובץ עזר
אינדוקציה מתמטית הילה גלז סוגי תרגילים זהויות "מתחלק ב" אי -שוויון סדרות רקורסיביות יישום ההוכחה הילה גלז הוכח באמצעות אינדוקציה כי לכל nטבעי קיים: 𝑛 1 − 3 + 5 − 7 + ⋯ + (−1)𝑛+1 2𝑛 − 1 = (−1)𝑛+1 ? )𝟏 − 𝟑 + 𝟓 … (−𝟏)𝒌+𝟏 (𝟐𝒌 − 𝟏) + (−1)𝑘+1+1 (2(𝑘 + 1) − 1) (−1)𝑘+1+1 (𝑘 + 1 = ? )(−𝟏)𝒌+𝟏𝒌 + (−1)𝑘+2 (2(𝑘 + 1) − 1) (−1)𝑘+2 (𝑘 + 1 = הילה גלז n=1 ,n=k , , .n=k+1 n ! הילה גלז )1 + 2 + 3 + 4 … 2𝑛 = 𝑛(2𝑛 + 1 בדיקה עבור :n=1 הנחת האינדוקציה -הטענה נכונה עבור :n=k )1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(2𝑘 + 1 צ"ל: )+ 1 )1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 2𝑘 + 𝟐𝒌 + 𝟏 + 𝟐𝒌 + 𝟐 = (𝑘 + 1)(2(𝑘 + 1 הילה גלז n=1 ,n=k , , .n=k+1 n ! הילה גלז http://www.g-math.co.il/kvachim/algebra/induk/indukt-zugi-izugimat1/index.html הילה גלז נוציא -25גורם משותף. 39מתחלק ב...13- ) 𝑘25(23𝑘 + 5 = 13 𝑘39 ∙ 23 + 13 𝒌𝟓 𝟐𝟑𝑲 + 𝟑𝟏 𝑘25∙23𝑘 +39∙23𝑘 +25∙5 13 64=25+39 64פעמים... = 𝑘64∙23𝑘 +25∙5 13 = 𝑘26 ∙23𝑘 +52 ∙5 13 סיכום: בדקנו את נכונות הטענה עבור .n=1 על סמך הנחת הנכונות של הטענה עבור k( n=kאי-זוגי) הוכחנו כי הטענה נכונה עבור .n=k+2 לכן ,לפי אקסיומת האינדוקציה ,הטענה נכונה עבור כל nטבעי אי-זוגי. הילה גלז הוכח באינדוקציה שלכל nטבעי אי זוגי מתחלק בלי שארית an+bnבa+b - 𝑘𝑏 𝑎2 −𝑏2 𝑎𝑘 +𝑏2 𝑎𝑘 +𝑏2 𝑏𝑎+ = 𝑘𝑏 𝑎2 +𝑏2 −𝑏2 𝑎𝑘 +𝑏2 𝑏𝑎+ = 𝑘𝑏 𝑎2𝑎𝑘 + 𝑏2 𝑏𝑎+ סיכום: בדקנו את נכונות הטענה עבור .n=1 על סמך הנחת נכונות הטענה עבור k( n=kאי-זוגי) ,הוכחנו כי הטענה נכונה עבור .n=k+2 לכן ,לפי אקסיומת האינדוקציה ,הטענה נכונה עבור כל nטבעי אי-זוגי. הילה גלז מצא את ה n-הקטן ביותר ,שהחל ממנו אי-השוויון נכון לכל המספרים הטבעיים הגדולים ממנו ,והוכח באינדוקציה את אי-השוויון החל מה n-הנ"ל: 𝟑)𝟏 (𝒏 + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 < 𝒏 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯+ 𝟑 ?(𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 + ⋯ + 𝒌𝟐 + + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘 2 + (𝒌+𝟐)𝟑 2 (1 𝟑 < + 2𝑛 + 1 𝑛2 + (𝑘+1)3 3 < 𝟑)𝟐(𝒌+ 𝟑 < k+1)2 k+1)2 הילה גלז הוכח באינדוקציה שלכל nטבעי ,אם: ,an+1=an+2n+1 ,a1=2 אזי an=n2+1 בדיקה... מה תהיה הנחת האינדוקציה? מה צ"ל? הילה גלז הוכח באינדוקציה שהחל מ n -מסוים ,מתקיים אי -השוויון: 𝑎1 = 9 𝑛𝑎 5 + = 𝑎𝑛+1 2 אזי ∶ 5 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 6 הילה גלז הוכח באמצעות האינדוקציה המורחבת ,שלכל nטבעי ,אם: 𝑎1 = 4 𝑎2 = 5 𝑛𝑎 𝑎𝑛+2 = 2𝑎𝑛+1 − אזי𝑎𝑛 = 𝑛 + 3 : אקסיומת האינדוקציה המורחבת :אם הטענה נכונה עבור ,n=1,2,…,m ומההנחה שהיא נכונה עבור n= k, k+1, … ,k+m-1נובע ,שהיא נכונה עבור ,n= k+m אז הטענה נכונה עבור כל nטבעי. הילה גלז א .הוכח באינדוקציה כי לכל nטבעי קיים: 2 2 2 𝑛 + + ⋯ + = 2⋅3 3∙4 𝑛+1 𝑛+2 𝑛+2 2 2 ב .מצא את הסכום+ 72 + ⋯ + 870 : 2 2 + 42 56 הילה גלז http://g-math.co.il/kvachim/algebra/induk/induct-eivar-1-mishtanemat1/index.html http://www.g-math.co.il/kvachim/algebra/induk/indukt-zugi-izugimat1/index.html http://g-math.co.il/kvachim/algebra/induk/indukt-ishivionmat2/index.html http://g-math.co.il/kvachim/algebra/induk/indukt-hiluk%20mat2/index.html http://g-math.co.il/kvachim/algebra/induk/induct-eivar-1mishtane-mat2/index.html http://g-math.co.il/kvachim/algebra/induk/indukt-ishivion-evar-1mishtane-mat2/indukt-ishivion-evar-1-mishtane-mat2.swf הילה גלז