Transcript Definizione
Presentazione di Chan Yi & Festa Andrea
β’ Data una funzione y=f(x) di dominio D
π ππ‘π‘ππππ ππππ di R sia x0 β D e sia βx tale che
x0+βx β D si definisce fβ(x0) ( la derivata
prima nel punto x0 e si scrive:
lim
βπ₯β0
π(π₯0 + βπ₯ β π(π₯0)
βπ₯
Il rapporto tra lβincremento della funzione e lβincremento corrispondente è detto
rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto ππ e allβincremento
βπ.
Si ottiene che la derivata di una funzione π π₯ in
un punto π₯0 è il limite, se esiste, del rapporto
incrementale, al tendere a zero dellβincremento
dato dalla variabile indipendente.
β’ Si può inoltre trovare
solamente la derivata
sinistra e derivata
destra.
In simboli si avrà:
lim
π(π₯0 + βπ₯ β π(π₯0)
= π_β²(π₯0)
βπ₯
lim
π(π₯0 + βπ₯ β π(π₯0)
= π + β²(π₯0)
βπ₯
βπ₯β0β
βπ₯β0+
N.B. :
Si noti che una funzione è derivabile in π₯0 se e solo se le due derivate,
sinistra e destra, esistono finite e uguali tra loro.
Supponiamo che f(x) sia derivabile nel punto π₯0 , cioè che in π₯0
esista finita la derivata.
Se facciamo tendere il valore di h a zero ( nel nostro caso βπ₯)
ovvero con valori di h sempre più piccoli, il punto Q si avvicinerà
sempre più a P e la posizione della retta secante PQ tenderà ad
avvicinarsi sempre più a quella della retta t tangente al grafico
y=f(x) nel punto P come mostrato nella figura sotto.
Si ha così che, se f(x) è derivabile in π₯0 , la derivata della funzione
in x0 è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di
f(x) nel suo punto dβascissa x0.
Nel caso particolare in cui la derivata in x0
è nulla, cioè πβ(π₯0) = 0, la retta tangente
al grafico della funzione nel punto
π (π₯0; π(π₯0)) risulta parallela allβasse x.
Definizione:
si dice punto stazionario per la funzione f(x)
un punto x0 in cui la derivata
della funzione è nulla x=x0 punto stazionario
per π¦ = π(π₯) β π β² π₯0 = 0
N.B. :
Si dice punto a tangtente orizzontale, se la derivata della funzione π π₯
è uguale a 0 nel punto π(π₯0; π(π₯0))
1- Se la funzione non è
derivabile in x0 perché la sua
derivata in π₯0 è +β o ββ,
allora la tangente al grafico
nel punto esiste ed è parallela
allβasse y perché non è
definito il coefficiente
2-Se la funzione ha π₯0 un punto interno
angolare uguale a β.
allβintervallo in cui è definita, si avrà un
punto di flesso a tangente verticale.
3- Se la funzione, non derivabile in π₯0 ,
per la quale la derivata destra è +β la
derivata sinistra è ββ, la tangente
esiste ed è parallela allβasse y e avrà
quindi un equazione π₯ = π₯0 . Di
conseguenza nel punto (π₯0; π(π₯0)) è un
punto di cuspide.
4-Se la funzione, non derivabile
in π₯0 , perché ammette derivata
sinistra e derivata destra finite
diverse tra loro, si avrà una
semiretta, tangente a sinistra, di
coefficiente angolare πβ_(π₯0 ) e
una semiretta, tangente a
destra, di coefficiente angolare
πβ + (π₯0 ). Di conseguenza nel
punto (π₯0 ; π(π₯0)) è un punto
angoloso.
Curiosità: Il punto di
cuspide è considerato un caso
particolare di punto angoloso.
Se una funzione è derivabile
in un intervallo I, il suo
grafico è dotato, in ogni
punto di I, di retta
tangente non parallela
allβasse y: è quindi intuitivo
che la funzione risulti
continua.
Definizione:
Se una funzione y=f(x) è derivabile in un punto
x0, cioè ammette derivata finita in x0, allora
la funzione è continua in x0
Sia π¦ = π(π₯) = π₯, dove c è una costante
Bisogna fare il rapporto incrementale relativo a un
generico valore della variabile x è zero
In formule:
βπ¦ π π₯ + βπ₯ β π(π₯) π β π
0
=
=
=
=0
βπ₯
βπ₯
βπ₯
βπ₯
Si ha quindi y = c
yβ=0
La derivata di una costante è zero.
Derivata della variabile indipendente:
π¦ = π₯ β π¦β² = 1
Derivata di π¦ = π₯ π con π β π0
π¦ = π₯ π β π¦ β² = ππ₯ π₯β1
Derivata di y=βπ₯
π¦= π₯ β π¦ β² =
Derivata di y=βπ₯
3
π¦= π₯ β
π¦β²
=
1
2 π₯
1
3
Derivata di π¦ = π π₯
3 π₯2
π¦ = π π₯ β π¦ β² = π π₯ log π
Derivata di π¦ = β― π₯
π¦ = ππ₯ β π¦β² = π π₯
π¦β²
1
1
= πππ ππ =
π₯
π₯ β log π
Derivata di π¦ = log(π₯)
π¦ = πππ ππ₯ β
Derivata di π¦ = π ππ(π₯)
π¦ = π ππ π₯ β π¦ β² = cos π₯
π¦ = cos π₯ β π¦ β² = β sin π₯
Derivata di π¦ = cos(π₯)
Definizione:
La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla
somma delle derivate delle funzioni stesse.
π¦ = π π₯ + π π₯ β π¦ β² = π β² π₯ + πβ² π₯
Per dimostrare che è veramente così bisogna fare il rapporto
incrementale della funzione da derivare, relativo
A un punto generico x del suo insieme di definizione.
N.B.:
Abbiamo evitato di fare la dimostrazione per la mancanza di
tempo e per il suo procedimento lungo.
Definizione:
La derivata della differenza
di due funzioni derivabili è
uguale alla differenza delle
derivate delle funzioni
stesse.
π¦ = π π₯ β π π₯ β π¦ β² = π β² π₯ β πβ² π₯
Per la sua dimostrazione è
analoga a quella vista con la
somma.
N.B.
La derivata della somma/differenza algebrica
di più funzioni derivabili è la somma/differenza
algebrica delle derivate delle singole funzioni.
π¦ = π π₯ ± π π₯ ± β(π₯) β π¦ β² = π β² π₯ ± πβ² π₯ ± β(π₯)
Definizione:
La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della
derivata della prima funzione per la seconda, aumentato del prodotto
della prima funzioni per la derivata dalla seconda.
π¦ = π π₯ β π π₯ β π¦ β² = π β² π₯ β π π₯ + π π₯ β πβ² π₯
Per la dimostrazione bisognerà anchβessa fare il rapporto
incrementale relativo a un generico punto x del suo insieme di
definizione e a un generico incremento βπ₯
π¦ = π π₯ β π β π¦β² = π β² π₯ β π
N.B:
La derivata del prodotto di una costante
per una funzione è uguale al prodotto
della costante per la derivata della
funzione
La derivata del prodotto di più di due funzioni
derivabili è uguale alla somma dei prodotti della
derivata di ciascuna funzione per tutte le altre
non derivate.
π¦ = π π₯ β π π₯ β β π₯ β π¦ β² == π β² π₯ β π π₯ β β π₯ + π π₯ β πβ² π₯ β β π₯ + π π₯ β π π₯ β ββ²(π₯)
Definizione:
La derivata del quoziente di
due funzioni derivabili ( con la
funzione divisore
diversa da zero nei punti nei
quali si calcola la derivata), è
uguale a una frazione che ha
per
denominatore il quadrato
della funzione divisore e per
numeratore il prodotto tra la
derivata
del dividendo e il divisore
diminuito del prodotto del
dividendo per la derivata del
divisore.
β² π₯ β π π₯ β π π₯ β πβ²(π₯)
π(π₯)
π
π¦=
β π¦β² =
π(π₯)
[π π₯ ]2
1
πβ²(π₯)
β²
π¦=
βπ¦ =β
π(π₯)
[π π₯ ]2
Somma:
π¦ = π₯ 3 + π₯ + 7 β π¦ β² = 3π₯ 2 + 1 + 0 = 3π₯ 2
Differenza:
π
π¦ = sin(π₯) β cos( π₯) β cos( ) β π¦ β² = cos( π₯) β βsin( π₯) β 0 = cos( π₯) + sin(π₯)
8
Prodotto:
π¦ = π₯ β log π₯ β π¦ β² = 1 β log π₯ + π₯ β
1
π₯
Quoziente:
2
2
2π₯ β 1
2
π₯
+
1
β
2π₯
β
1
β
2π₯
β2π₯
+ 2π₯ + 2
β²
π¦= 2
βπ¦ =
=
π₯ +1
(π₯ 2 + 1)2
(π₯ 2 +1)2
Risoluzione esercizi esempio: DERIVE
Grafico esercizi esempio: GEOGEBRA 4
Studio di funzione completo: DERIVE