Transcript Procesamiento de imágenes

Computación Gráfica
Procesamiento de
imágenes
Aliasing, Muestreo,
Convolución y Filtrado
Semestre 201321
CRN
Septiembre 2012 – Febrero 2013
Ciro Durán
Ingeniero en Computación
[email protected]
http://www.ciroduran.com
@chiguire
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Jaggies y Aliasing
• Los “jaggies” son un nombre
informal para los artefactos
producto de la representación
pobre de una geometria a partir de
una grilla 2D de pixeles
– Los jaggies son una manifestación
del error de muestreo y pérdida de
información (aliasing)
• El efecto de los jaggies puede ser
reducido por antialiasing, el cual
suaviza los pixeles alrededor de los
jaggies
– Tonos de gris en vez de
transiciones fuertes de blanco a
negro
– Disminuye la respuesta del SVH a
transiciones fuertes (bandas de
Mach)
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Representando líneas: muestreo
de puntos, pixel singular
• Algoritmo del punto medio: en cada
columna, escoger el pixel con el centro
más cercano a la línea
– Una forma de muestreo de puntos: muestrear
la línea en cada uno de los valores X entero
– Escoger un solo pixel para representar la
intensidad de la línea, completamente
encendido o apagado
• Doblando la resolución en x y y sólo sirve
de paliativo, ¡cuesta 4 veces más memoria,
ancho de banda y tiempo de scan
conversion!
• Nota: esto funciona para pendientes entre 1 y 1. Habría que usar filas en vez de
columnas para el otro caso, o habrían
huecos dentro de la línea.
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Aproximación de línea
usando muestreo de
puntos
Aproximando la misma
línea al doble de
resolución
Representando líneas: muestreo
de área
• Representar la línea como un rectángulo de ancho de una
unidad, usa múltiples píxeles solapando el rectángulo
(pensemos por ahora los píxeles como cuadrados)
• En vez de completamente encendido o apagado, calcular
cada intensidad del pixel proporcional al área cubierta por el
rectángulo.
• Una forma de muestreo de área no ponderado:
– Sólo los píxeles cubiertos por la primitiva pueden contribuir
– La distancia del centro del píxel a la línea no importa
• Típicamente tienen más de un pixel por columna
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
“Filtro de caja” representa el
muestreo de área no ponderado
•
La función de ponderación 𝑾 𝑥, 𝑦 da un
peso para el área incremental 𝑑𝐴
centrado en (𝑥, 𝑦)
– El volumen de una función de filtro necesita
ser 1 para preservar el brillo general, tal que
W=1 sobre su área unitaria, y 0 en el resto.
•
•
•
El filtro de caja es constante sobre toda
el área y tiene un solo pixel de ancho
aquí, pero podría variar en ancho
Para cada pixel intersectando la línea, la
intesidad contribuida por cada subárea
de la intersección 𝑑𝐴 es 𝑾 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
Luego, la intensidad total del pixel (entre
0 y 1)integrada sobre el área de
sobreposición es:
𝑾 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
•
𝐴
La integral es el volumen sobre el área
de sobreposición (en esta figura, una
cuña rectangular)
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
𝑾
“Filtro de cono” para muestreo de
área ponderado
• Muestreo de área, pero la
sobreposición entre el filtro y la
primitva es ponderada tal que las
sub-áreas de dA más cercanas al
centro del pixel cuenten más
• El cono tiene:
–
–
–
–
Caída lineal
Simetría circular
Ancho de 2 (llamado soporte)
Volukmen de 1 (esto hacer que
los pixeles completamente
cubiertos tengan valor 1)
• La intensidad del pixel es el
“subvolumen” dentro del cono
sobre la línea (ver imagen)
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Muestro de área ponderado
(continuación)
Soporte circular
del filtro de 2
unidades
Centro del pixel
(+)
Primitivea
Área
diferencial
dA1
Área
diferencial
dA2
Área de
superposición
entre soporte y
primitiva
W
W(𝑥, 𝑦) es el peso, el cual es
multiplicado con 𝑑𝐴 en (𝑥, 𝑦); normalizar
W para hacer que el volumen del cono
sea = 1
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Otra mirada al muestreo de puntos
A
C
D
B
Problemas del muestro de puntos. Muestras son señaladas como puntos negros.
Objetos A y C son muestreados, pero objetos correspondientes B y D no.
• Este algorimo simplista de scan conversion
sólo pregunta si un punto matemático está
dentro de la primitiva o no
– Malo para el detalle subpixel el cual es muy
común en rendering de alta calidad, ¡donde
pueden haber muchos más micro-polígonos que
píxeles!
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Otra mirada al muestreo de área
no ponderado (filtro de caja)
• Filtro de caja
– Soporte: 1 pixel
– Establece que la intensidad proporiconal al
área de superposición
– Crea “parpadeo” en pixeles adyacentes
(b)
Muestreo de área no ponderado. (a) Todas las subáreas del pixel son
ponderadas igualmente. (b) Cambios en intensidades computadas a
medida que el objeto se mueve entre pixeles.
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Otra mirada al muestreo de área
ponderado (filtro de pirámide)
• Filtro de pirámide
– Soporte: 1 pixel
– Aproxima un cono circular para enfatizar el
área de sobreposición cercano al centro del
pixel.
(b)
Muestro de área ponderado. (a) sub-áreas del pixel son ponderadas
diferentemente como función de la distancia al centro del pixel. (b)
Cambios en intensidades computadas a medida que el objeto se mueve
entre pixeles.
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Otra mirada al muestro de área
ponderado (Filtro de cono)
• Filtro de cono
– Soporte: 2 pixeles
– Más suavidad en cambios de intensidad
Muestreo de área ponderado con superposición. (a) Función tipica de
ponderado. (b) Cambios en intensidades computadas a medida que el
objeto se mueve entre pixeles.
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Pseudocódigo y resultados
for each pixel p:
place filter centered over p
for each pixel q under filter:
weight = filter value over q
p.intensity += weight * q.intensity
Aliased
Anti-aliased
Demostración de crawlies
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Ejemplo de anti-aliasing
Acercamiento del original, render
con alias
Antialiasing Techniques:
Filtro de blur – promedio ponderado
de pixeles vecinos
Supersampling – muestrear
múltiples puntos dentro de un pixel
determinado y promediar resultado
Tablero de ajedrez con
supersampling
Supersampling y blurring
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Muestreo de imágenes
• La conversión por escaneo (Scan converting) es la
digitalización (muestreo) de una serie de functions de
intensidad contínua, una por línea de scan.
• Usaremos líneas de escaneo (scan lines) singulares
por simplicidad, pero todo sigue aplicando de igual
manera a las imágenes.
Scan line de una escena sintética Scan line de una escena natural
(imagen cortesia de George Wolberg, Columbia University)
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
El flujo de trabajo de
muestreo/reconstrucción/despliegu
e
Señal contínua original:
𝑢: ℝ → ℝ
Señal muestreada:
𝑆: ℤ → ℝ: 𝑛 ⟼ 𝑢 𝑛
Señal reconstruida:
𝑆: ℝ → ℝ
(depende de los muchos métodos
de reconstrucción)
Un método (interpolación lineal):
𝑆 𝑥 = 𝑛+1−𝑥 ∙𝑆 𝑛 + 𝑥−𝑛 ∙𝑆 𝑛+1 , 𝑛 = 𝑥
(imagen cortesia de George Wolberg, Columbia University)
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Sístesis de ondas de Fourier
•
•
Una señal puede ser
aproximada sumando
ondas en forma de
seno (y coseno) con
diferentes frecuencias,
fases y amplitudes.
Una señal tiene 2
representaciones.
Estamos
familiarizados con el
dominio espacial,
pero cada señal
también existe en el
dominio de
frecuencia.
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
La aproximación
de un scan line de
una imagen
mejora con más
sinusoides.
•
Frecuencia espectral de una
señal
Las sinusoides se caracterizan por su
amplitud y frecuencia.
• La frecuencia de una sinusoide es el
número de ciclos por segundo para
audio, o el número de ciclos por longitud
de unidad (ej., distancias entre pixeles)
para imágenes.
• Se puede caracterizar cualquier forma de
onda enumerando la amplitud y
frecuencia de todas las
sinusoidescomponentes (Transformada
de Fourier)
• Esto puede ser graficado como un
“espectro de frecuencias”, también
conocido como espectro de poder,
(generalmente ignoramos las frecuencias
negativas, pero son necesarias para ser
correctos matemáticamente)
Para ver los dominios espaciales y
frecuenciales de señales simples:
Signal Domain
http://www.cs.brown.edu/exploratories/freeSoftware/reposito
ry/edu/brown/cs/exploratories/applets/fft1DApp/1d_fast_fouri
er_transform_guide.html
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Frequency Domain
Muestreo: el Límite Nyquist
• Para capturar todas las frecuencias de una señal, debemos
muestrear a una velocidad que sea más alta que 2 veces la
frecuencia más alta de la señal (el límite Nyquist)
• Aquí hay una sinusoide aproximada:
• La sinusoide muestreada a una velocidad aceptable (4 veces la
frecuencia más alta):
• Onda reconstruida basada en estas muestras:
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Aliasing: conoce a vuestro enemigo
•
•
El aliasing ocurre cuando muestreamos una señal a menos del doble de la
frecuencia máxima.
He aquí nuevamente nuestra onda sinusoidal análoga:
•
Aquí está la onda muestreada a una velocidad muy baja:
•
Aquí esta la onda reconstruida basada en esas muestras:
•
¡La reconstrucción ni siquiera se le acerca!
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Aliasing en la vida real
• ¿Has visto alguna vez como giran los cauchos de
un carro en una película? ¿Has notado que
algunas veces parecieran que ruedan hacia atrás?
• Esto es porque la velocidad del video es más baja
que el doble de la frecuencia en que las ruedas
giran. Esto es aliasing temporal.
• Esto se ve mucho en películas
porque el efecto es impactante.
Se conoce como el efecto
stage-coach.
• Porsche Dyno Test
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Muestreando al límite Nyquist
•
•
Muestrear en el límite Nyquist puede
también ser problemático
He aquí nuevamente nuestra perfecta
sinusoidal análoga:
•
He aquí la sinusoidal muestreada en el
límite Nyquist. En esta ocasión funciona
bien:
•
Aquí esta la onda sinusoidal muestreada
en el límite Nyquist, con los puntos de
muestra movidos. Ahora no tenemos
señal:
•
http://www.cs.brown.edu/exploratories/freeSoftware/repository/edu
/brown/cs/exploratories/applets/nyquist/nyquist_limit_guide.html
Para un applet dedicado a ilustrar el límite
Nyquist:
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
El enemigo es reconocido
•
El aliasing se muestra en los últimos diagramas de las láminas previas –
señales que son muestreadas a una velocidad muy baja pueden reconstruir
las frecuencias altas como frecuencias bajas.
•
Estas frecuencias bajas son “aliases” de las frecuencias altas.
•
Los datos de la baja velocidad de muestreo no pueden representar
adecuadamente los componentes de alta frecuencia, así que los representó
incorrectamente, como frecuencias bajas.
•
Así que, simplemente muestreamos encima del límite de Nyquist, verdad?
•
Lamentablemente, no siempre podemos hacer esto
•
¿Qué tal esto?
•
Intentemos la síntesis de Fourier
Número de ondas sinusoidales:
5
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
25
125
Frecuencias infinitas
• Las ondas cuadradas tienen frecuencias infinitas en los
saltos, ¿cómo muestreamos eso correctamente?
• No se puede. Así de simple. ∞ ⋅ 2 = ∞, y no podemos
muestrear a una velocidad infinita.
– Desafortunadamente, las frecuencias infinita son la normal en
los gráficos de computadora sintetizados – transiciones
discretas entre pixeles adyacentes.
• Así que hacemos la operación inversa. En vez de aumentar la
frecuencia de muestreo para calzar con la de la señal:
– Prefiltramos sacando las frecuencias altas que no podamos
mostrar.
– La señal ahora garantiza que consiste solamente de frecuencias
que podemos representar y reconstruir con precisión razonable.
– Esta no es la misma señal que entró, pero es mejor que una
versión con alias.
– Reconstruir la señal aproximada prefiltrada sacará un mejor
resultado que reconstruyendo, con aliases corruptoras, la señal
original.
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Frecuencias infinitas
• Mientras más frecuencias altas prefiltremos, más
baja será la frecuencia de muestreo necesaria
pero menor será el parecido de la señal filtrada
con la original.
• Nota: el prefiltrado suele abreviarse como filtrado,
pero el prefijo “pre” nos ayuda a recordar que el
post-filtrado (es decir, otra etapa del filtrado
despues de la computación o transformación de la
imagen) también se aplica. Si se hace en las
muestras reconstruidas de la señal original, ¡será
difuminada en los aliases presentes en la
reconstrucción corrupta!
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Aliasing de escalado, o “¿por qué
tenemos que pre-filtrar?”
Imagen original
Imagen con puntos de
muestra marcados
Imagen escalada
usando los puntos de
muestra
Esto no se ve para nada bien. No hay tiras y
ahora la imagen tiene un promedio más
oscuro.
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Aliasing de escalado II, o “Cerca,
pero no hay premio”
Imagen original
Imagen prefiltrada con
muestras marcadas
Mejor, pero no es perfecto
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Imagen prefiltrada
escalada
Aliasing de escalado III, o “¿por
qué está mal?”
• La imagen escalada con prefiltrado se veia un poco
mejor, pero aún no podíamos ver las tiras
• El filtrado hizo que la imagen escalada tuviese el
mismo brillo relativo, pero no tiras.
• El filtro eliminó las “frecuencias altas” de la imagen
– Las discontinuades que eran tiras
• Dado el número de puntos para representar la imagen
una vez escalada, no habían suficientes puntos para
representar las frecuencias altas
• Nunca podremos ser capaces de representar
frecuencias más latas que ½ de nuestra velocidad de
muestreo. No podemos tener algo mejor que esta
representación difuminada.
– Recuerda el límite de Nyquist
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Filtros de paso bajo
(dominio espacial)
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Filtro de paso bajo ideal
(dominio de frecuencias)
• Multiplicar por la función de
caja en el dominio de
frecuencias
• Las frecuencias bajo la caja se
mantienen, y las frecuencias
altas se cortan
• Corresponde a la convolución
con la función sinc (seno
cardinal) en el dominio espacial
• 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑥 =
sen(𝜋𝑥)
𝜋𝑥
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Convolución
•
Convolver la señal 𝑓(𝑥) con la función de filtro
𝑔(𝑥):
+∞
ℎ 𝑥 =𝑓 𝑥 ∗𝑔 𝑥 =
•
𝑓 𝜏 𝑔 𝑥 − 𝜏 𝑑𝜏
−∞
En cada punto 𝑥, ℎ(𝑥) es la integral del producto
de 𝑓 y 𝑔, excepto que 𝑔 es volteada y trasladada
tal que su origen es en 𝑥
– En la práctica, 𝑓 o 𝑔 es a menudo una función par
(simétrica sobre el eje y) y no necesitamos voltearla
•
•
Si 𝑔(𝑥) tiene un soporte finito,hace un promedio
ponderado centrado en 𝑥
𝑓 𝑥 (señal azul) convuelta por 𝑔 𝑥 (filtro rojo)
para obtener resultado ℎ 𝑥 (señal negra)
– 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 son funciones de caja
– Cada punto en la señal negra es el resultado de una
integral, representada por el área bajo el producto de
𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 (área amarilla)
http://www.cs.brown.edu/exploratories/free
Software/repository/edu/brown/cs/explorat
ories/applets/convolution/convolution_guid
e.html
Nota: en la señal filtrada ℎ(𝑥), las
discontinuidades de 𝑓(𝑥) son suavizadas y la
base se amplía.
Imagen tomada de http://es.wikipedia.org/wiki/Convoluci%C3%B3n
•
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Ejemplo simple de convolución
La convolución se parece mucho a la multiplicación
1111
𝑓 𝑥 ∗𝑓 𝑥
×1111
1111
1111
1111
+1111
1234321
*
Prueba el applet:
http://www.cs.brown.edu/exploratories/freeSoftware/repository/edu/brown/cs/exploratories/applets/twoBoxConvolution/two_box_c
onvolution_guide.html
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Ejemplo animado de
convolución
Imagen tomada de http://es.wikipedia.org/wiki/Convoluci%C3%B3n
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Ejemplo animado de
convolución
Imagen tomada de http://es.wikipedia.org/wiki/Convoluci%C3%B3n
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Propiedades de la convolución
• Conmutativa
𝑓∗𝑔 =𝑔∗𝑓
• Asociativa
𝑓∗ 𝑔∗ℎ = 𝑓∗𝑔 ∗ℎ
• Distributiva
𝑓∗ 𝑔+ℎ = 𝑓∗𝑔 + 𝑓∗ℎ
• Identidad
𝑓∗𝛿 =𝑓
• 𝛿 es la función delta Dirac
– 0 en todos lados excepto 𝛿 0 = ∞
– Área bajo 𝛿 es 1
𝛿 𝑥 𝑑𝑥 = 1
– Se puede pensar como el límite a medida que un
Gausiano se estrecha
Imagen tomada de http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function)
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Filtros de paso bajo: convolviendo
con sinc
• En teoría, sinc tiene
extensión infinita, no
importa las contribuciones
pequeñas y partes
Señal original
negativas, pero pesa las
contribuciones más
fuertemente en el centro.
Filtro sinc
• En la práctica, sinc se
aproxima decentemente
con una distribución
gaussiana normal, o
incluso un triángulo, con Operación del filtro en el origen, mostrado como punto neg
extensiones finitas y pesos
igual o mayores que cero.
Señal filtrada
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
¿Qué hace el
filtrado/convolución?
•
•
Selecciona puntos para muestrear, ej., centro de pixeles
Desliza el filtro sobre cada punto de muestra sucesivo y computa integral de la
convlución en ese punto (el área bajo la curva)
–
–
•
•
El promedio ponderadoes el valor del pixel para la imagen filtrada
Nuestras ilustraciones son 2D, pero para pixeles uno debería pensar en sin como un
mapa de ponderación trimidensional.
–
•
Este es el promedio ponderado del pixel actual y sus vecinos
Los filtros gráficos más útiles son simétricos sobre su origen y caen rápidamente desde el
centro)
Desde luego, no hacemos el cálculo de la integral como tal, sino que simplemente
computamos los valores discretos de la función filtro y hacemos una multiplicación discreta y
la sumamos al aproximado.
El término “filtro” se usa estrictamente en el sentido de
procesamiento de señales (el término se pueden emplear
para transformaciones arbitrarias de una imagen, como en
Photoshop)
Sinc en 3D
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Resumen de filtrado
•
•
•
•
El filtrado no es más que el promedio ponderado alrededor de un punto de
muestra en una imagen.
Una función sinc en el dominio espacial se puede representar como una
función caja en el dominio de frecuencias.
Una función caja en el dominio espacial se puede representar como una
función sinc en el dominio de frecuencias.
La multiplicación de la distribución de las frecuencias con la función caja en
el dominio de frecuencias provee un filtro exacto de paso bajo (filtrando
todas las frecuencia altas más allá de la especificada)
– Por lo tanto, el filtro óptimo de paso bajo es sinc en el dominio espacial
– A la inversa, convolviendo con un filtro caja en el dominio espacial corresponde con la
multiplicación con sinc en el dominio de frecuencias, el cual atenúa las frecuencias
altas pero no perfectamente, e introduce artefactos por los segmentos negativos
•
La multiplicación de 𝐹(𝑥) y 𝐺(𝑥) en el dominio de frecuencia corresponde a
la convolución de sus duales, 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), en el dominio espacial, y
viceversa.
𝐹 𝑥 𝐺 𝑥 ⇔𝑓 𝑥 ∗𝑔 𝑥
𝐹 𝑥 ∗𝐺 𝑥 ⇔𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
Resumen de filtrado
• Para obtener un filtrado de paso bajo (es decir, filtrar
frecuencias altas), solemos convolver con función triángulo
en dominio espacial para aproximar al ideal sinc.
• Propiedades de la función triángulo:
– Fácil de calcular, a diferencia de sinc, el cual tiene soporte
infinito (o incluso una aproximación Gaussiana a sinc)
– Su dual, sinc2, es una aproximación aceptable a la función caja
aunque tiene extensión infinita
– Causará una representación imprecisa de todas las frecuencias
y por lo tanto ocurre un grado de corrupción/aliasing.
– No es tan malo como usar una caja como filtro con sinc como su
dual en la frecuencia de dominio
• En otras palabras, el muestreo de área con promedio ponderado de
cualquier tipo, asumiendo que tenga un parecido con la forma de
un cono, es mejor que un muestreo de área sin ponderar con un
filtro de caja; que a su vez es mejor que un muestreo de punto.
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán
El pipeline de filtrado
• Para filtrar, hemos hecho un pipeline de tres pasos:
– Construir una función contínua 𝑓 𝑥 (ej., rectángulos representando
línea, polígonos)
• Las primitivas geométricas llevan a frecuencias infinitas en los bordes
– Función de filtro de paso bajo para generar 𝑓 𝑥
• Idealmente, en el dominio de frecuencias: multiplica dual de 𝑓 𝑥 con la caja en
el dominio de frecuencia
• Igualmente, en dominio espacial: convolver 𝑓 𝑥 con 𝑠𝑖𝑛𝑐 (es decir., evaluar
intgra en un número infinito de puntos)
– Muestrear función contínua prefiltrada 𝑓 𝑥 para generar función
discreta 𝑓 𝑘
• Como programadores, nos ahorramos trabajo:
– Construir una función contínua
– Simultáneamente muestrar y filtrar para generar imagen muestreada
𝑓 𝑘
• Equivalente de generar una nueva función, y luego evaluarla en los puntos de
muestra (es decir, pixeles)
– Necesitamos también reconstruir la señal de la imagen
filtrada/muestreada
Universidad Católica Andrés Bello » Computación Gráfica » Ciro Durán