Transcript slides

Tom de Greef
Het Tijdperk van Complexiteit
College 7
http://www.tue-tm.org/complexity/
Drie Thema’s
Netwerken
Micro-macro
Onvoorspelbaarheid
Netwerken
Netwerktopologie
Netwerkmaten
Knopen
k=2
Kanten
k=3
P (1)  1 / 4
k=2
k=1 P ( 2 )  2 / 4
P (3)  1 / 4
Random
Graad (k) van een knoop is het aantal
kanten een knoop heeft
Gradenverdeling P(k) is de kans dat een
willekeurig gekozen knoop een graad k
heeft
Schaalvrij
Dynamica op Complexe Netwerken
Diffusie van innovatie
Verspreiding van geruchten
Financiële transacties
Verspreiding van ziekes
430 B.C.
Pest Athene
25% populatie
13001700
Pest
~75-200 miljoen doden
18161923
Cholera (7 uitbraken)
~38 miljoen doden
19181920
Spaanse griep
20-100 miljoen doden
2003
S.A.R.S.
775 doden
2009
H1N1 Mexicaanse
griep
18000 doden
tijd
Dynamica op Netwerken (II)
Epidemie verspreiding
Hoe kunnen we de verspreiding van een
besmettelijke ziekte modelleren?
Wat is de invloed van het type netwerk?
 Wat is de beste tactiek voor vaccinatie?
Compartiment Model
• Infectiesnelheid alleen afhankelijk van de
relatieve populatie.
• Interacties tussen de populaties
volkomen willekeurig.
• Infectie instantaan
S
= vatbare populatie
I
= geïnfecteerde populatie
R
Kermack and McKendrick 1927
= immune populatie
SI Model
S
b
I
tijd
S (t) = aantal vatbare personen op tijdstip t
I (t) = aantal geïnfecteerde personen op tijdstip t
b= aantal contacten per tijdseenheid per persoon (transmissieconstante)
N = totaal aantal personen (N = S + I)
SI Model Differentiaalvergelijking
S
b
I
I besmettelijke personen: bI contacten per tijdseenheid
Kans dat contact met een vatbaar persoon is: S/N
Totaal aantal besmettingen per tijdseenheid: bI S/N
dS
 b I
dt
S
N
ds
i =I/N
  b is
i+s=1
s =S/N
dI
dt
 bI
S
N
di
dt
di
dt
 b is
 b (1  i ) i
dt
s  1 i
SI Model Oplossingen
di
 b (1  i ) i
 Fractie geïnfecteerde individuen op tijdstip t = 0 (i0)
 Waarde b
dt
s  1 i
1 beta=0.3
I0=0.1
Fractie Populatie
Fractie Populatie
1
0.8
0.6
0.4
Geïnfecteerd
Vatbaar
beta=1
I0=0.1
0.6
Geïnfecteerd
Vatbaar
0.4
0.2
0.2
0
0
0.8
10
20
Tijd
Matlabscript: SI.m
30
40
0
0
10
20
Tijd
30
40
SIR model
S
b
I
g
R
time
S (t) = aantal vatbare personen op tijdstip t
I (t) = aantal geïnfecteerde personen op tijdstip t
R (t) = aantal immune personen op tijdstip t
b= aantal contacten per tijdseenheid per persoon (transmissieconstante)
g= aantal genezingen per tijdseenheid per persoon (herstelconstante)
N = totaal aantal personen (N = S + I + R)
SIR Model Differentiaalvergelijking (I)
b
S
I
g
R
I besmettelijke personen: bI contacten per tijdseenheid
Kans dat contact met een vatbaar persoon is: S/N
Totaal aantal besmettingen per tijdseenheid: bI S/N
dS
 b I
dt
S
N
Toename immune personen per tijdseenheid: gI
dR
dt
gI
dI
dt
 bI
S
N
gI
SIR Model Differentiaalvergelijking (II)
dS
 b I
dt
dI
S
N
 bI
dt
S
N
gI
ds
i =I/N
dt
s =S/N
di
r =R/N
dt
dr
dR
gI
  b si
 b si  g i
gi
dt
dt
S (t) = aantal vatbare personen op tijdstip t
I (t) = aantal geïnfecteerde personen op
tijdstip t
R (t) = aantal immune personen op tijdstip t
s (t) = fractie vatbare personen op tijdstip t
i (t) = fractie geïnfecteerde personen op
tijdstip t
r (t) = fractie immune personen op tijdstip t
SIR model Oplossingen (I)
b
S
ds
  b si ,
dt
I
di
g
 b si  g i,
dt
R
dr
gi
dt
 Fractie geïnfecteerde personen op tijdstip t = 0 (i0)
 Fractie vatbare personen op tijdstip t = 0 (s0)
 Fractie immune personen op tijdstip t = 0 = 1  s 0  i0
 Waardes b en g
Basis reproductie getal:
R0 
b s0
g

b
g
het gemiddeld aantal secundaire infecties
door 1 geïnfecteerd persoon in een
populatie die compleet bestaat uit vatbare
personen.
SIR model Oplossingen (II)
b
S
g
I
R
gamma=2 beta=1 R0=0.5
beta=1 gamma=1 R0=1
1
0.8
Geïnfecteerd
Vatbaar
Immuun
Fractie Populatie
Fractie Populatie
1
0.6
0.4
0.6
Geïnfecteerd
Vatbaar
Immuun
0.4
0.2
0.2
0
0
0.8
10
20
30
40
50
60
70
0
0
Tijd
s0 = 0.99, i0 = 0.01
Matlab: sir.m
10
20
30
40
Tijd
50
60
70
SIR model Oplossingen (III)
b
S
g
I
beta=1
1
1
0.8
0.8
Fractie Populatie
Fractie Populatie
beta=1 gamma=0.5 R0=2
Geïnfecteerd
Vatbaar
Immuun
0.6
0.4
0.2
0
0
R
gamma=0.1 R0=10
Geïnfecteerd
Vatbaar
Immuun
0.6
0.4
0.2
10
20
30
40
Tijd
s0 = 0.99, i0 = 0.01
50
60
70
0
0
10
20
30
40
Tijd
50
60
70
Epidemische grenswaarde
Als R0 < 1
Aantal geïnfecteerde personen
daalt onmiddellijk
Als R0 > 1
Aantal geïnfecteerde personen
stijgt: epidemie
Vaccinatie
di
 b si  g i
epidemie als
dt
di
0
fractie s omlaag!
dt
Geïnfecteerd
Vatbaar
Gevaccineerd
(immuun)
Uitbreidingen
w
mN
S
b (t)
m
g
I
R
m
Geboortes en sterfte:
m
m
Immune populatie wordt weer vatbaar:
Infectie is seizoensafhankelijk: b
Dynamica wordt chaotisch
(t)
w
Van Compartiment naar Netwerk
Compartiment
Netwerk
Vatbaar
Geïnfecteerd
Immuun
SIR op een Netwerk
b
b,g
A
t=t1
17 knopen
b
1 geïnfecteerde knoop
7 buren
g
t=t2
Kans dat een buur van een geïnfecteerde knoop ook
geïnfecteerd raakt
Kans dat een geïnfecteerde knoop immuun wordt
Voorbeeld in Matlab
Tijdstip t = 0
1 geïnfecteerd
File: SIR_network.m
Parameters: beta = 1
gamma = 0.1
type= “Lattice”
Vatbaar
Geïnfecteerd
Voorbeeld in Matlab (II)
Tijdstip t = 4
4 geïnfecteerden
Vatbaar
Geïnfecteerd
Voorbeeld in Matlab (II)
Tijdstip t = 200
Epidemie voorbij
Vatbaar
Geïnfecteerd
Immuun
Invloed Netwerk op Verspreiding
P (k ) ~ k
Random

P(k)
P(k)
Schaalvrij

k
k
SIR Dynamica op een Netwerk
Random netwerk:
Schaalvrij netwerk (  = 3)
Matlab: Random_SIR.m & Randomnet.m
Matlab: BA_SIR.m & Banet.m
Gemiddelde graad: 4
beta = 1
gamma = 0.5
N = 1000
1 knoop geïnfecteerd
Gemiddelde graad: 4
beta = 1
gamma = 0.5
N = 1000
1 knoop geïnfecteerd
Epidemische grenswaarde
b  0.01 tot 0.7
g = 0.3
Vaccinatie op een Netwerk
Vaccineer een kritische fractie (fc) knopen
zodat alleen geïsoleerde clusters van vatbare personen overblijven.
Waar mogelijk zonder kennis van het netwerk.
Kleine (lokale) clusters
van vatbare personen
Grote cluster vatbare
personen
f=0
fc
f=1
Vatbaar
Immuun
Geïnfecteerd
Vaccinatie Strategieën op een Schaalvrij
Netwerk
Willekeurig
Geen kennis
netwerktopologie
Hoge fractie knopen
(fc > 0.8) moeten
gevaccineerd worden
Gericht
kennis
netwerktopologie
Lage fractie knopen
(fc > 0.2) moeten
gevaccineerd worden
Buur
Geen kennis
netwerktopologie
Lage fractie knopen
(fc > 0.3) moeten
gevaccineerd worden
Pauze
Na de pauze: opgaves maken