Transcript 09_korrelation

Korrelation
Gliederung
• Kovarianz
• Die Produkt-Moment-Korrelation
– Berechnung
– SPSS
– Voraussetzungen
• Mittelwerte von Korrelationen berechnen
• Unterschiede von Korrelationen testen
• Optimale Stichproben
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1
Korrelation
Gliederung
• Korrelationen bei nicht intervallskalierten Variablen
(1) Spearman‘s Rangkorrelation
(2) Kendalls τ
(3) Punktbiseriale Korrelation
(4) Biseriale Korrelation
(5) Biseriale Rangkorrelation
(6) Punkttetrachorische Korrelation
(7) Tetrachorische Korrelation
(8) Polychorische Korrelation
(9) Yules Y
(10) ν-Koeffizient
(11) Der Kontingenzkoeffizient CC
(12) Cramérs Index
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2
Kovarianz und Korrelation
• Kovarianz und Korrelation sind Maße für den (linearen)
Zusammenhang zwischen zwei Variablen.
• Eine positive Korrelation (bzw. Kovarianz) ist dann gegeben, wenn
ein hoher Wert auf einer Variable häufig mit einen hohen Wert
auf der anderen Variable einhergeht (z.B. Optimismus und
Risikobereitschaft).
• Eine negative Korrelation (bzw. Kovarianz) ist dann gegeben,
wenn ein hoher Wert auf einer Variable häufig mit einen
niedrigen Wert auf der anderen Variable einhergeht (z.B.
Optimismus und Ängstlichkeit).
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3
Kovarianz und Korrelation
• Grafisch kann man Zusammenhänge zwischen zwei Variablen in
einem Scatterplot darstellen.
negativer Zusammenhang
positiver Zusammenhang
50
4.5
4.0
40
3.5
3.0
30
2.5
20
2.0
1.5
ABITUR
10
0
60
OPT
09_korrelation
80
100
120
140
160
180
1.0
.5
80
90
100
110
120
130
140
IQ
4
Kovarianz
• Die Kovarianz (= „gemeinsame Varianz“) wird zur Herleitung der
Korrelation benötigt.
• Die Kovarianz wird ähnlich wie die Varianz berechnet:


N
covxy
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i 1
( xi  x )  ( yi  y )
N
5
Kovarianz
• Beispiel
i1 ( xi  x )  ( yi  y)
N
covxy 
N
Vp
Opt
Risiko
1
40
120
2
20
100
3
10
90
4
35
130
5
25
105
26
109
(40  26)  (120 109)  ...  (25  26)  (105 109)
5
14 11 (6)  (9)  (16)  (19)  9  21 (1)  (4)

5
154 54  304 189 4

5
705

5
 141
covO , R 
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6
Kovarianz


N
( xi  x )  ( yi  y )
• Immer, wenn eine Person auf beiden
covxy
N
Variablen über dem Durchschnitt oder
auf beiden Variablen unter dem Durchschnitt liegt, vergrößert
sich der Wert für die Kovarianz, sonst verkleinert er sich.
i 1
• Interpretation: Die Kovarianz ist ein unstandardisiertes Maß
– d.h. sie hängt von der Skalierung der beteiligten Variablen ab
– Daher können Kovarianzen nicht direkt interpretiert oder verglichen
werden.
• Aus diesem Grund wird die Kovarianz standardisiert.
• Die standardisierte Kovarianz ist der Korrelationskoeffizient.
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7
Produkt-Moment-Korrelation
• Der am häufigsten Verwendete Korrelationskoeffizient ist die
Produkt-Moment-Korrelation (Pearson-Koeffizient)
• Berechnung:
rxy 
covxy
sx  s y


N
i 1
( xi  x )  ( yi  y )
N  sx  s y
• Die Korrelation entspricht der Kovarianz der z-transformierten
Variablen
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8
Produkt-Moment-Korrelation
Interpretation des Korrelationskoeffizienten
• Der Korrelationskoeffizient (r) hat einen möglichen Wertebereich
von +1 bis -1.
• Es gilt:
–
r=1
– 1>r > 0
–
r≈0
– -1<r < 0
–
r =-1
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 Perfekter positiver Zusammenhang
 Positiver Zusammenhang
 kein Zusammenhang
 Negativer Zusammenhang
 Perfekter Negativer Zusammenhang
9
Produkt-Moment-Korrelation
• Korrelationen zeigen nur einen statistischen Zusammenhang dar.
Sie dürfen nicht als Beweis für Kausalität verwendet werden.
• Zusammenhänge können bedeuten, dass…
– … sich „A“ auf „B“ auswirkt.
– … sich „B“ auf „A“ auswirkt.
– … „A“ und „B“ beide von einem dritten Merkmal „C“ beeinflusst werden
• Beispiel: Es soll die Wirksamkeit von Nachhilfestunden untersucht
werden. Dabei zeigt sich eine Korrelation von r = -.20 zwischen
der Anzahl der genommenen Nachhilfestunden und der
Schulleistung.
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Determinationskoeffizient
• Der Determinationskoeffizient (r²) ist die quadrierte Korrelation
• Er beschreibt den relativen Anteil der gemeinsamen Varianz von
zwei Merkmalen.
• Der Determinationskoeffizient hat einen Wertebereich
von 0 bis 1.
rxy  .20  rxy2  .04
Varianz von X
Varianz von Y
rxy  .40  rxy2  .16
rxy  .60  rxy2  .36
Gemeinsame
Varianz
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rxy  .80  rxy2  .64
rxy  1.0  rxy2  1.0
11
Produkt-Moment-Korrelation
• Beispiel
Vp
Opt
Risiko
1
40
120
2
20
100
sO  10.68
3
10
90
s R  14.28
4
35
130
5
25
105
26
109
covO , R  141
ro , R
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141

10.6814.28
141

152.50
 0.92
12
Signifikanztest
Statistische Signifikanz des Korrelationskoeffizienten
• Auch bei Korrelationskoeffizienten muss ein Signifikanztest
durchgeführt werden
• Es werden dabei folgende Hypothesen geprüft
– Ungerichtet:
• H0: ρ = 0
• H1: ρ ≠ 0
(“rho” = Null)
– Gerichtet:
• H0: ρ ≤ 0 (bzw.: ρ ≥ 0)
• H1: ρ > 0 (bzw.: ρ < 0)
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Signifikanztest
• Auch der Korrelationskoeffizient kann mit einem t-Test auf
Signifikanz getestet werden.
• Dabei wird der empirische t-Wert wie folgt berechnet:
t  N  2 
r N 2
1 r 2
• Wie immer gilt: Wenn temp > tkrit wird die H0 verworfen
• tkrit wird unter Berücksichtigung der Freiheitsgrade, des AlphaNiveaus und der Art der Testung aus der Tabelle abgelesen.
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14
Signifikanztest
Für das Beispiel ergibt sich:
t 3 
.92 5  2
1  .922
.921.73 1.59


 4.07
.39
.15
• Der kritischer t-Wert bei df=3, α=.05 und 2-seitiger Testung
beträgt:
tkrit = 3.18.
• Die H0 wird also verworfen. Es besteht demnach ein bedeutsamer
Zusammenhang zwischen den beiden untersuchten Variablen.
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15
SPSS
Datensatz:
• Für eine Korrelation werden
immer für jede Vp gültige
Werte für beide Variablen
benötigt.
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16
SPSS
Menu Befehl:
• Analysieren
• Korrelation
• Bivariat
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SPSS
Menu Befehl:
• Beide Variablen
auswählen
• Pearson (für die ProduktMoment-Korrelation)
• Ein oder Zweiseitig?
• OK
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SPSS
SPSS Syntax:
correlation opt with risiko.
• Allgemein: correlation VAR1 with VAR2.
• Oder: correlation VAR1,VAR2, VAR3, … .
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19
SPSS
SPSS Ausgabe:
Korrelationen
Risiko
Opt
Korrelation nach Pearson
,925
Signifikanz (2-seitig)
N
,025
5
• r = .93
• p < .05
• Also: signifikanter Zusammenhang
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20
SPSS
freiburg
freiburg
r
p
1,000
freiburg_2
N
r
p
stat
N
r
p
stat_2
N
r
p
psycho
N
r
p
psycho_2
N
r
p
98
,447
,000
60
,217
,032
98
-,038
,776
60
,207
,041
98
,138
,292
60
N
09_korrelation
freiburg_2
,447
,000
60
1,000
79
,282
,029
60
,240
,033
79
,127
,334
60
,231
,040
79
stat
stat_2
,217
,032
98
,282
,029
60
1,000
98
,706
,000
60
,185
,069
98
,269
,037
60
-,038
,776
60
,240
,033
79
,706
,000
60
1,000
79
,100
,448
60
,263
,019
79
psycho
,207
,041
98
,127
,334
60
,185
,069
98
,100
,448
60
1,000
98
,606
,000
60
psycho_2
,138
,292
60
,231
,040
79
,269
,037
60
,263
,019
79
,606
,000
60
1,000
79
21
Voraussetzungen der Produkt-Moment Korellation
Voraussetzungen der Produkt-Moment-Korrelation:
(1) Intervallskalenniveau der Variablen
(2) Normalverteilung der Variablen
(3) Homoskedastizität:
– Normalverteilung von y für alle Probanden, die den gleichen x-Wert
haben.
– Die Homoskedastizität ist in der Praxis kaum zu überprüfen!)
• Zusätzliche Einschränkung: Es können nur lineare
Zusammenhänge gezeigt werden!
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22
Mittelwerte von Korrelationen
• Korrelationen sind nicht intervallskaliert. Daher ist es nicht
erlaubt, direkt einen Mittelwert zu bilden!
• Vorgehen:
(1) Berechnung von Fischers
Z-Transformation für die
einzelnen Korrelationen
1 1 r 
Z   ln

2  1 r 
( N  3)  Z

Z
 ( N  3)
k
(2) Berechnung des (gewichteten)
Mittelwertes der Z-Werte
i 1
k
i 1
i
i
i
i
(3) Rücktransformation des arithmetischen Mittels (Tabelle in
Leonhart, S. 466)
09_korrelation
23
Mittelwerte von Korrelationen
• Beispiel: In zwei Untersuchungen wurde der
Zusammenhang zwischen der Studienmotivation und der Examensnote bestimmt.
• Fischers Z:
1  1.25 
Z1   ln
  0.26
2  0.75 
1  1.62 
Z 2   ln
  0.73
2  0.38 
• Mittelwert:
Z
r2  .62 N 2  20
57  0.26  17  0.73
 0.37
57  17
• Rücktransformierung (nach Tabelle):
09_korrelation
r1  .25 N1  60
r  .35
24
Unterschiede von Korrelationen
• Fragestellung: Ist der Unterschied zwischen zwei Korrelationen
statistisch bedeutsam?
• Vorgehen:
(1) Berechnung von Fischers Z-Transformation für beide Korrelationen.
(2) Berechnung eines empirischen z-Werts
z
Z1  Z 2
 Z Z
1
2
mit  Z1  Z 2 
1
1

n1  3 n2  3
(3) Bestimmung eines kritischen z-Wert (aus der Tabelle für die Standardnormalverteilung).
(4) Wenn zemp > zkrit, liegt ein signifikanter Unterschied zwischen r1 und r2 vor.
09_korrelation
25
Unterschiede von Korrelationen
• Beispiel: Es soll geprüft werden, ob sich die
beiden Korrelationen von Folie 24 signifikant
unterscheiden.
r1  .25 Z1  0.26
r2  .62 Z 2  0.73
• Berechnung:
1 1

 0.28
1
2
57 17
0.73  0.26
zemp 
 1.68
0.28
z krit  p  .975  1.96
 Z Z 
• Interpretation: Die H0 kann nicht verworfen werden. Der
Unterschied zwischen r1 und r2 ist nicht statistisch bedeutsam.
09_korrelation
26
Optimale Stichprobenumfänge
• Wie beim t-Test gilt auch bei der Korrelation: Je kleiner ein Effekt
(d.h. ein Zusammenhang), desto mehr Probanden werden
benötigt, um ihn nachzuweisen!
• Die optimale Stichprobengröße kann mit G*Power bestimmt
werden.
• Folgende Formel erlaubt eine Schätzung der optimalen
Stichprobengröße:
N optimal

z

2


z

Z
1 ß

2
Z2
(Z: Fischers Z)
09_korrelation
27
Optimale Stichprobenumfänge
Fazit: Um eine Korrelation von
r = .30 mit einer Power von .90
zeigen zur können, benötigt man
eine Stichprobe von N=109.
09_korrelation
28
Optimale Stichprobenumfänge
Fazit: Um eine Korrelation von
r = .50 mit einer Power von .80
(1-seitig) zeigen zur können,
benötigt man eine Stichprobe
von N=21.
09_korrelation
29
Korrelationen ohne Intervallskalenniveau
• Wenn zur Überprüfung einer Zusammenhangshypothese keine
intervallskalierten Daten zur Verfügung stehen, kann die ProduktMoment-Korrelation nicht verwendet werden.
• Es gibt jedoch eine ganze Reihe weiterer Maße für die
Korrelation, die in diesem Fall eingesetzt werden können.
• Dabei muss das Skalenniveau beider Variablen berück-sichtigt
werden.
• Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über den Einsatz der
unterschiedlichen Koeffizienten.
09_korrelation
30
Nominalskaliert
Intervallskalliert
Intervallskalliert
• Produkt-
MomentKorrelation
Ordinalskaliert
• Spearmans
Rangkorrelation
• Kendals
τ
• polychorische
dichotom
künstlich
• punktbiseriale
Korrelation
polytom
natürlich
• η-Koeffizient
• punktbiseriale
Korrelation
• biseriale
Korrelation*
Korrelation*
Ordinalskaliert
• Spearmans
Rangkorrelation
• Kendals
τ
• polychorische
• biseriale
Rangkorrelation
• biseriale
• Cramérs
Index
• Cramérs
Index
• Cramérs
Index
• Cramérs
Index
Rangkorrelation
• polychorische
Korrelation*
Korrelation*
Nominalskaliert
(künstlich dichotom)
• Punkttetrachorische
Korrelation
(φ-Koeffizient)
• Tetrachorische
• Punkttetrachorische
Korrelation
(φ-Koeffizient)
• ν-Koeffizient*
Korrelation*
Nominalskaliert
(natürlich dichotom)
• Punkttetrachorische
Korrelation
(φ-Koeffizient)
• Yules
Nominalskaliert
(polytom)
*Berechnung von latenten Zusammenhängen
Y
• Contingenz
koeffizient CC
Nach Leonhart (2004), S. 204
Spearmans Rangkorrelation
Spearmans Rangkorrelation wird eingesetzt, wenn…
• … zwei Variablen (x, y) als ordinalskaliert sind.
• … eine intervallskalierte und eine ordinalskalierte Variable
vorliegen.
• … intervallskalierte Variablen vorliegen aber die
Normalverteilungsannahme verletzt ist.
Vorsicht:
– Wenn Rangplätze mehrfach besetzt sind („Rangbindung“), sollte
Spearmans Rangkorrelation nicht verwendet werden.
– In diesem Fall empfiehlt sich die Verwendung von
Kendalls τ.
09_korrelation
32
Spearmans Rangkorrelation
• Alle Variablen werden vor der Berechnung in eine Rangreihe
(Rang 1 bis N) transformiert.
• Beispiel:
– 3.40; 27.40; 7.80; 15.00; 27.10
–  1, 5, 2, 3, 4
• Berechnung:
rxy  1 
• Signifikanztest:
09_korrelation
6  i 1 d i2
N

mit d i  xi  yi

N  N 1
t  N  2 
2
r
1  r /N  2
2
33
Spearmans Rangkorrelation
Beispiel: Vergleich der Ergebnisse aus zwei Angsttests:
Vp
Test 1
Test 2
Rang 1
Rang 2
d
d²
1
20
53
5
6
1
1
2
16
39
4
2
-2
4
3
38
67
8
8
0
0
4
30
52
7
5
-2
4
5
27
60
6
7
1
1
6
12
42
2
3
1
1
7
11
47
1
4
3
9
8
14
34
3
1
-2
4
24
09_korrelation
34
Spearmans Rangkorrelation
Berechnung des Koeffizienten:
rxy  1 
6  24
144
 1
 1  0.29  .71
8  63
504
Signifikanztest:
t 6 
.71
1  .71 / 6
2

.71
.08

.71
 2.45
.29
Für df=6 und α=.05 bei einseitiger Testung ergibt sich:
tkrit  1.94
Die Korrelation ist statistisch signifikant!
09_korrelation
35
Spearmans Rangkorrelation
• Spearmans Rangkorrelation in SPSS
– Gleicher Befehl wie für „Pearson“, aber „Spearman“ anwählen
09_korrelation
36
Spearmans Rangkorrelation
• SPSS Ausgabe
Korrelationen
Test1
Korrelationskoeffizient
Test1
Sig. (2-seitig)
1,000
.
Test2
,714*
,047
N
Spearman-Rho
Test2
8
8
Korrelationskoeffizient
,714*
1,000
Sig. (2-seitig)
,047 .
N
8
8
*. Die Korrelation ist auf dem 0,05 Niveau signifikant (zweiseitig).
09_korrelation
37
Kendalls τ
• Kendalls τ („tau“) ist ebenfalls ein Koeffizient für ordinalskalierte
Variablen.
• Kendalls τ ist unempfindlich gegenüber Ausreißern (es dürfen
leere Ränge verwendet werden; die Bildung einer Rangreihe ist
nicht notwendig!)
• Kendalls τ wird verwendet, wenn Ränge mehrfach besetzt sind
(„Rangbindungen“).
• Hinweis: Kendalls τ fällt in der Regel kleiner aus als Spearmans
Koeffizient. Daher sollte letzterer bevorzugt werden, wenn die
Voraussetzungen erfüllt sind.
09_korrelation
38
Kendalls τ
Berechnung, wenn Rangbindungen vorliegen:
PI

N  N  1 / 2  T  N  N  1 / 2  W 
T  i 1 ti  ti  1 / 2
k
W   j 1 w j  w j  1 / 2
m
• Mit…
–
–
–
–
–
P: Anzahl der Proversionen über alle Personen
I: Anzahl der Inversionen über alle Personen
N: Stichprobenumfang
k, m: Anzahl der Kategorien der Variablen X und Y
ti, wj: Anzahl der Probanden auf Rang i oder j
09_korrelation
39
Kendalls τ
•
Y
25
26
11
13
28
1
2
37
2
I=3
1
1
2
3
1
2
1
5
P=2
I=3
1
•
1
P=6
1
17
26
36
1
16
19
32
1
14
x
27
Proversionen: Anzahl der Vpn
„rechts unterhalb“ eines Werts.
Inversionen: Anzahl der Vpn
„links-unterhalb“ eines Werts.
1
2
1
1
1
1
1
2
N=12
Über alle Vpn ergibt sich:
P = 44
I =7
09_korrelation
40
Kendalls τ
T  i 1 ti  ti  1 / 2  11
k
W   j 1 w j  w j  1 / 2  6
m

44  7
12 11/ 2  11 12 11/ 2  6
37
37


 .64
55 60 57.45
• Signifikanzprüfung nach Tabelle (Leonhart, 2004, S. 465):
• Bei N = 12 ist ein Zusammenhang ab P – I > 26 statistisch
bedeutsam.
09_korrelation
41
Kendalls τ
• Kendalls τ in SPSS:
– Gleicher Befehl wie für „Pearson“, aber „Kendalls τ“ anwählen
Korrelationen
Kendall-Tau-b
x
Korrelationskoeffizient
Sig. (2-seitig)
N
y
x
1,000
Korrelationskoeffizient
Sig. (2-seitig)
N
.
,007
12
12
,644**
1,000
,007 .
12
**. Die Korrelation ist auf dem 0,01 Niveau signifikant (zweiseitig).
09_korrelation
y
,644**
12
42
Punktbiseriale Korrelation
Verwendung der Punktbiserialen Korrelation
• Es soll ein Zusammenhang zwischen einer intervallskalierten und
einer natürlich dichotomen nominalskalierten Variable bestimmt
werden.
• Oder: Es soll ein Zusammenhang zwischen einer
intervallskalierten Variable einerseits und einer (aus einer
ursprünglich normalverteilten intervallskalierten Variable)
künstlich dichotomisierten Variable bestimmt werden.
• Die punktbiseriale Korrelation sollte nicht für latente Variablen
verwendet werden!
09_korrelation
43
Punktbiseriale Korrelation
Berechnung der Punktbiserialen Korrelation
rx , y
y2  y1 n1 n2


 ,
s ges
N N
y1 , y2 : Mittelwerte innerhalbder Gruppen
s ges : Streuungder Gesam tstichprobe
n1 , n2 : Größe der Teilstichproben
N : Größe der Gesam tstichprobe
09_korrelation
44
Punktbiseriale Korrelation
Beispiel: Ängstlichkeit von Männern und Frauen
yw  47.84; nw  58
rx , y
ym  37.65; nm  20
47.84  37.65 58 20



19.82
78 78
 0.51 0.19
s ges  19.82
 0.51 0.44
 .22
Signifikanztest
t 76 
.22
1  .22 / 76
2

.22
.01

.22
 2.00
.11
tkrit = 1.99  Der Zusammenhang ist statistisch bedeutsam!
09_korrelation
45
Biseriale Korrelation
Verwendung der Biserialen Korrelation:
• Ein latentes, intervallskaliertes Konstrukt wird über eine
dichotome, manifeste Variable erfasst. (z.B. „Haben Sie gute
Statistikkenntnisse: ja/nein?“).
• Eine intervallskalierten Variable wird künstlich dichotomisiert.
(z.B. Alter größer oder kleiner 18 Jahre).
09_korrelation
46
Biseriale Korrelation
Berechnung der Biserialen Korrelation
rx , y
y2  y1 n1 n2 1

  
s ges N N 
y1 , y2 : Mittelwerte innerhalbder Gruppen
s ges : Streuungder Gesam tstichprobe
n1 , n2 : Größe der Teilstichproben
N : Größe der Gesam tstichprobe
 : Ordinateder Norm alverteilung an
dem Punkt des dichotom enSplits
09_korrelation
47
Biseriale Korrelation
Bestimmung von δ:
(1) Bestimmung des Anteil der Probanden in Gruppe 1:
– z.B. p(Gr.=1) = .40
(2) Bestimmung der Ordinate („y-Achse“) der Normalverteilung für
p aus einer Tabelle zur Standardnormalverteilung.
– z.B. Ordinate(p =.40) = 0.386
09_korrelation
48
Biseriale Korrelation
Beispiel: Nutzungsdauer des Internets (Minuten pro Tag) von
Jugendlichen und Erwachsenen.
y j  42; n j  40
ye  25; ne  60
s ges  30
rx , y
25  42 40 60 1




30 100 100 0.39
 0.57  0.40  0.60  2.56
 .35
09_korrelation
49
Biseriale Rangkorrelation
Verwendung der Biserialen Rangkorrelation:
• Der Zusammenhang zwischen einer ordinalskalierten Variable
und einer dichotomen Variable soll bestimmt werden.
Berechnung:


N
1
N 3  N  3n1n2 N  i 1 d i2
rx , y  12
1
n1n2 N ( N 3  N )
12
n1 , n2 : Größe der T eilstichproben
N : Größe der Gesamtstichprobe
d i : Differenzder Ränge
09_korrelation
50
Biseriale Rangkorrelation
Korrektur bei Rangbindungen:

rx , y

N
1 3
N  N  3n1n2 N  C  i 1 di2
 12
1
n1n2 N ( N 3  N  C )
12

C  i 1 ti3  ti
b

– b: Anzahl der vorhandenen Rangplätze.
– ti: Anzahl der Probanden auf Rangplatz i.
09_korrelation
51
Biseriale Rangkorrelation
• Beispiel: Es soll der Zusammenhang des Geschlechts mit einem
vierstufigen Rating zum Optimismus bestimmt werden.
vp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
4
4
2
1
3
3
3
2
1
2
09_korrelation
y
1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
VP
4
9
10
3
8
7
6
5
2
1
x
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
y R(x) R(y)
d
d²
1 1.5 3.0 1.5 2.25
1 1.5 3.0 1.5 2.25
1 4.0 3.0 -1.0 1.00
1 4.0 3.0 -1.0 1.00
2 4.0 8.5 4.5 20.25
2 7.0 8.5 1.5 2.25
1 7.0 3.0 -4.0 16.00
2 7.0 8.5 -1.5 2.25
2 9.5 8.5 -1.0 1.00
1 9.5 3.0 -6.5 42.25
R(x),
R(y): Mittlerer Rang
d:
Differenz der
mittleren Ränge
52
Biseriale Rangkorrelation
Summe der quadrierten Rangdifferenzen
d
 90.50
2
i
Korrekturkoeffizient:

C  i 1 t  ti
b

3
i
 

 
 
 2 2  3 3  3 3  2 2
 6  24  24  6
 60
09_korrelation
3
3
3
3

53
Biseriale Rangkorrelation
Berechnung der Korrelation:

rx , y

1
103  10  3  6  4 10  60  137.25
 12
1
3  6  4 10  (103  10  60)
12
1
1110  90.50
 12
1
720 930
12
2

236.22
 .01
09_korrelation
54
Punkttetrachorische Korrelation
Verwendung der Punkttetrachorischen Korrelation
• Der Zusammenhang von 2 dichotomen Variablen soll bestimmt
werden.
• Alternativen:
– Die punkttetrachorische Korrelation sollte nicht bei ungleichen
Randsummen verwendet werden (Alternative: Yules Y).
– Wenn eine intervallskalierte latente Variable zugrunde liegt, sollte der νKoeffizient verwendet werden.
– Liegen zwei normalverteilte latente Variablen zugrunde, sollte die
tetrachorische Korrelation verwendet werden.
– Bei polytomen Variablen wird Cramérs Index verwendet.
09_korrelation
55
Punkttetrachorische Korrelation
Berechnung der Punkttetrachorischen Korrelation
n11  n22  n12  n21
r
n1.  n2.  n.1  n.2
• Beispiel: Zusammenhang von Geschlecht und Besitz eines Autos
Geschlecht
Auto
Frau
Mann
nein
12
10
22
ja
8
20
28
20
30
50
09_korrelation
12  20  8 10
r
20  30  22  28
160

 .26
607
56
Tetrachorische Korrelation
Verwendung der Tetrachorischen Korrelation
• Der Zusammenhang von zwei künstlich dichotomisierten
Variablen, die auf intervallskalierten latenten Variablen beruhen,
soll bestimmt werden.
Berechnung (Näherungsformel):




r  cos
n

n
11
22
1

n12  n21

09_korrelation







57
Polychorische Korrelation
Verwendung der Polychorischen Korrelation
• Der Zusammenhang von zwei ordinalskalierten Merkmalen,
denen latente intervallskalierte Merkmale zugrunde liegen soll
berechnet werden.
Die Berechnung wird hier nicht dargestellt, da sie relativ komplex ist
(siehe Leonhart, 2004, S.221).
09_korrelation
58
Yules Y
Verwendung von Yules Y
• Der Zusammenhang von zwei natürlich dichotomen Variablen soll
bestimmt werden.
• Yules Y darf auch verwendet werden, wenn sich die
Randsummen stark unterscheiden.
Berechnung:
n11  n22
OddsRatio : OR 
n12  n21
OR  1
YulesY : Y 
OR  1
09_korrelation
59
Yules Y
Beispiel: Zusammenhang von Geschlecht und Besitz eines Autos
Geschlecht
Auto
Frau
Mann
nein
12
10
22
ja
8
20
28
20
30
50
09_korrelation
12  20
OddsRatio : OR 
3
8 10
3 1
YulesY : Y 
 0.27
3 1
60
ν-Koeffizient
Verwendung des ν-Koeffizient
• Der Zusammenhang von einem natürlich dichotomen und einer
künstlich dichotomisierten Variable, der ein latentes Konstrukt
zugrunde liegt, soll berechnet werden.
Berechnung:
n11  n22
OddsRatio : OR 
n12  n21
ln(OR)

2.89
1
p.1  p.2
09_korrelation
p.1:
p.2:
relative Häufigkeit der Stufe 1
des natürlich-dichotomen
Merkmals
relative Häufigkeit der Stufe 2
des natürlich-dichotomen
Merkmals
61
Kontingenzkoeffizient CC
Verwendung des Kontingenzkoeffizient CC
• Der Zusammenhang zwischen zwei polytomen nominalskalierten
Variablen soll berechnet werden.
• CC sollte nicht bei ungleichen Randsummen verwendet werden.
• Da CC nicht wie ein Korrelationskoeffizient skaliert ist (r<1), wird
immer die Verwendung von Cramérs C empfohlen.
Beispiel: Die Auftretenshäufigkeit psychiatrischer Diagnosen soll
zwischen Verschiedenen EU-Staaten verglichen werden.
09_korrelation
62
Cramérs Index
Verwendung von Cramérs Index
• Der Zusammenhang zwischen zwei polytomen nominalskalierten
Variablen soll berechnet werden.
Beispiel:
• Die Auftretenshäufigkeit psychiatrischer Diagnosen soll zwischen
Verschiedenen EU-Staaten verglichen werden.
Berechnung:
2
CI 
N  L  1
k
l
  
2
i 1 j 1
09_korrelation
N : Stichprobengröße
f
k , l : Anzahl der Zeilen und Spalten
 f e(i , j ) 
2
b (i , j )
f e (i , j )
L : Minim umvon k und l
f b (i , j ) : beobachtete Häufigkeitin Zelle (i, j )
f e (i , j ) : erwartete Häufigkeitin Zelle (i, j )
63
Cramérs Index
Beobachtete Häufigkeiten
Land
Diagnose
Deutschl.
Frankr.
Engl.
Summe
rel. Häuf.
Depression
12
15
10
37
.41
Angst
12
10
12
34
.38
Schizophrenie
6
5
8
19
.21
Summe
30
30
30
90
90
Erwartete Häufigkeiten
f x, y 
Land
nx  n y
N
Diagnose
Deutschl.
Frankr.
Engl.
Summe
rel. Häuf.
Depression
12.33
12.33
12.33
37
.41
Angst
11.33
11.33
11.33
34
.38
Schizophrenie
6.33
6.33
6.33
19
.21
Summe
30
30
30
90
90
09_korrelation
64
Cramérs Index
f
b (i , j )  f e(i , j ) 
2
f e (i , j )
Diagnose
Deutschl.
Frankr.
Engl.
Σ
Depression
0.01
0.58
0.44
1.03
Angst
0.04
0.16
0.04
0.24
Schizophrenie
0.02
0.28
0.44
0.74
Σ
0.07
1.01
0.92
2.00
k
l
 2  
i 1 j 1
f
b (i , j )  f e(i , j ) 
2
f e(i , j )
 2.00
2
CI 
 .11
90  2
09_korrelation
65
Zusammenfassung
• Kovarianz und Korrelation sind Maße für den (linearen)
Zusammenhang zwischen zwei Variablen.
• Positive bzw. negative Zusammenhänge erkennt man durch
„ansteigende“ bzw. „abfallende“ Formen einer Punktewolke in
einem Streudiagramm.
• Die Kovarianz ist ein unstandardisiertes Maß; sie kann beliebige
Werte annehmen.
• Die Korrelation ist ein standardisiertes Maß; sie nimmt Werte
zwischen -1 und +1 an.
• Die Produkt-Moment-Korrelation kann mit einem t-Test auf
Signifikanz überprüft werden.
09_korrelation
66
Zusammenfassung
• Voraussetzungen für die Berechnung der Produkt-MomentKorrelation sind (a) Intervallskalenniveau, (b) Normalverteilung
und (c) Homoskedastizität.
• Der Determinationskoeffizient gibt den Anteil der gemeinsamen
Varianz an.
• Mit Hilfe von Fischers Z-Transformation ist es möglich,
Mittelwerte von Korrelationen zu berechnen und Unterschiede
von Korrelationen auf Signifikanz zu prüfen.
• Um schwache Zusammenhänge nachweisen zu können, sind sehr
große Stichproben notwendig (G*Power).
09_korrelation
67
Zusammenfassung
• Für nicht-intervallskalierte Variablen gibt es eine Reihe
alternativer Korrelationskoeffizienten, die unterschiedliche
Voraussetzungen haben.
• Besonders wichtig sind dabei Spearmans Rangkorrelation und
Kendalls τ
09_korrelation
68