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Approche semi-classique
de l’information quantique
Benoit ROUBERT
L’information quantique
Mécanique quantique
1900-1930
Planck, Bohr,
Schrödinger, Pauli, …
Théorie de l’information
1940
Shannon, Turing
Unité de base : Qubit
Système quantique présentant
deux niveaux distincts
- Electron : spin U/D
- Atome avec deux niveaux d’ énergie: fondamental/excité
- Photon : polarisé horizontalement/verticalement
Bit
Bit VS Qubit
Théorie de l’information quantique
1980
Feynman, Benett, Benioff, Deutsch
Qubit
Accélérations potentiellement exponentielles
Pour de nombreux problèmes : meilleurs efficacité algorithmes quantiques
•
•
•
Factorisation d’un nombre (Shor)
Problème du sous-groupe caché (Simon)
Résolution de systèmes d’équations linéaires (Loyd)
Quelle est la nature des ressources physiques
qui permettent cette accélération ?
Intrication
Interférence
Problématique de la thèse
Etudier deux problèmes d’intérêt pour l’information quantique
- Clonage d’un qubit et le rôle joué par l’interférence
- Amplification de spin
Situations semi-classiques
- Cloneurs sans interférence : se situent entre les cloneurs parfaitement quantiques/cloneurs classiques
- Amplification de spin dans des chaînes de grand nombre de spin
Lien entre les deux problèmes
Dans les deux cas on s’intéresse à reproduire l’information d’un qubit initial
(sur un seul, ou sur une très grande quantité de qubits).
Nature probabiliste Avant d’effectuer une mesure, le système n’existe dans aucun
d’un état quantique état classique en particulier (interprétation de Copenhague)
Définition du clonage
Classique : copie de l’état classique (~ photocopie)
Quantique : copie de l’état quantique (matrice densité)
Théorème de non-clonage
1982 : Wootters – Zurek
Impossible de cloner parfaitement :
: Matrice densité totale d’un système à 2 qubits
Matrices densités réduites :
Sphère de Bloch
Fidélité simple
: Vecteur initial
Fidélité moyenne
Cloneurs universels / symétriques / optimaux
Cloneur universel :
Cloneur symétrique :
Cloneur optimal :
fidélités maximales autorisées
Cloneurs classiques / quantiques
Classiques : Ne propagent que les termes diagonaux des matrices densités
Quantiques : Propagent les termes diagonaux et les cohérences des matrices densités
Fidélités moyennes maximales pour
des cloneurs symétriques universels
Pour les cloneurs classiques :
Pour les cloneurs quantiques :
[1] : M. Horodecki, P. Horodecki, and R. Horodecki. : Phys. Rev. A, 60, 1888 (1999)
[2] : V. Buzek and M. Hillery. : Phys. Rev. A, 54, 1844 (1996)
[1]
[2]
Définition
• A et B peuvent être échangés
• Même forme
Cloneur symétrique et universel
Matrices densités réduites
Fidélités
Valeur maximale pour un clonage quantique
symétrique et universel
Propagateur d’une matrice densité
Traduit le passage
Propriétés attendues d’une mesure d’interférence
-
Qu’elle mesure le degré de cohérence de la propagation
Qu’elle mesure l’équipartition de la propagation
Qu’elle dépende de la base dans laquelle l’on se place
Mesure d’interférence
[I] : D.Braun, B.Georgeot – Quantitative measure of interference
Phys. Rev. A 73, 022314, (2006)
[I]
Opération de Reshuffling
Lien matrice dynamique – Propagateur :
• Hermitienne :
Propriétés de
• Bloc – positive :
• Conserve la normalisation de
:
Fidélités moyennes
: Fonctions linéaires des éléments
Interférence
Forme générale d’une matrice
dynamique d’interférence nulle
Définition
•
•
Pas accès aux cohérences
Seuls les termes diagonaux des matrices densités (probabilités) sont reliés entre eux
Fidélités moyennes d’un clonage classique
Bloc-positivité de
Conditions de normalisation
Données
: Matrice hermitienne, bloc-positive : grand nombre d’éléments indépendants
,
: Fonctions linéaires des éléments matriciels
Problème
Trouver
qui optimise
pour un
donné
pour un
donné
Problème d’optimisation convexe
Condition supplémentaire :
Problème de programmation semi-définie
Qui assure qu’un extremum local est également global
positive
Domaine convexe grisé : Ensemble convexe de cloneurs sans interférence
possédant une matrice dynamique positive
Frontière noire : Fidélités moyennes minimales et maximales
pour un cloneur sans interférence
Domaine gris foncé : Cloneurs meilleurs que les cloneurs classiques
Point rouge : Cloneur symétrique optimal
B.Roubert, D.Braun –Phys. Rev. A, 78, 042311 (2008)
Role of interference in quantum cloning
Matrice dynamique pour le
cloneur symétrique optimal
Problème de programmation semi-définie
Trouve extrema globaux
N’assure pas leur unicité
Propriétés de
•
10 valeurs propres non nulles
•
Ses V.P. forment une matrice réelle orthogonale
dans la base computationnelle
Sous-espace
des v.p.
non nulles
Forme de
dans la base
des vecteurs propres de
Sous-espace
des v.p.
nulles
: Matrice dynamique optimale perturbée
Problème : Trouver
•
•
,
restent identiques
Conditions normalisation conservées
•
•
reste positive
• Possible de construire à
tout un continuum de cloneurs quantiques
- asymétriques universels clonant mieux que classiquement
- optimaux symétriques universels
• L’interférence n’est pas une ressource indispensable pour cloner mieux
que classiquement
• Cloneurs sans interférence étudiés : cas semi-classiques
Problèmes importants
pour les systèmes à 1 spin
• Détection
• Mesure de son état
• Transfert spatial
DETECTION
IRM
MFRM
MESURE
• Limite de résolution : 1 µm
• Plus petits éléments de volume :
- 1012 (spins nucléaires)
- 107 (spins électroniques)
• Un point quantique
• Un électron dans deux états possibles
• Un réservoir de potentiel électrochimique
• Capable de détecter un spin unique
• Force très faible : 10-18 newton
• Si électron dans état ES peut par effet tunnel
sortir du point quantique
[I]
• Mesure de l’état de charge du point quantique :
Absence/présence de l’électron
[I] : Rugar et al. - Single spin detection by magnetic resonance force microscopy - Nature, (2004)
Principe de l’expérience [I]
Problème
Alice souhaite transférer son spin à Bob
Protocole • Chaîne de Heisenberg (J cts) initialisée dans l’état down
•
•
Laisse évoluer le système librement suffisamment longtemps
A un moment t Bob mesure l'état de son spin (intriqué avec la chaîne)
Conditions de transfert parfait [II]
N
[I] : S.Bose - Quantum Communication through an Unmodulated Spin Chain - Phys. Rev. Lett. 91,20 (2003)
[II] : M.Christandl et al. - Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks - Phys. Rev. Lett. 92, 18 (2004)
Amplification de spin
• Philosophie
• Effets de bords
• Caractère semi-classique
Problème : Détection et mesure de l’ état d’un spin unique = véritable chalenge
Solution : Amplifier l’état du spin + Mesurer l’état macroscopique correspondant
Exemple pour une chaîne linéaire de N spins
Etat GHZ
Objet de mesure
Méthode :
Amplificateur
Systèmes à effet de domino quantique
Résonance
Résonance
Résonance
Modèle de Lee-Khitrin [I]
Chaîne de
spins
: temps adimensionné
: amplitude du champs irradiant
[1] : Lee, Khitrin : Stimulated wave of polarization in a 1D dimensional Ising chain : Phys. Rev. A., 71, 062338 (2005)
Concernant le transfert de spin : Beaucoup d’études sur les effets géométrie/topologie
• Chaînes ouvertes/fermées
• Chaînes traversées ou non par des flux magnétiques
• Structures étoiles 1D/3D
Concernant l’amplification de spin : Pas d’études sur l’importance des effets de bords
•
La plupart du temps : s'évanouissent dans la limite thermodynamique
•
Chaînes de spins : présence/absence d’un simple couplage
Comportements macroscopiques très différents
Effets de bords importants
Approche semi-classique : Justifiée en raison du grand nombre de spins
• On ne conserve que les chemins classiques qui contribuent de façon
privilégiée aux dynamiques observées
Modèle physique :
Chaîne d’ Ising 1D + Interactions entre plus proches voisins uniquement
Irradiée à résonnance par un champs faible transverse monochromatique
: Différence d’énergie entre le niveau fondamental et excité d’un spin isolé
: Amplitude du champs irradiant
: Constante de couplage entre plus proches voisins
Hamiltonien séculaire
Dynamique
Hamiltonien
Pour avoir des tailles de bases identiques
:
:
spins
spins
Dynamique
Dynamique induite par
dans la base des
Dynamique induite par
dans la base des
Etats
spins down consécutifs dont le dernier en position
:
Etats
Etats
,
: Etats miroirs
/
Polarisations individuelles
Polarisations totales moyennes
Pour une même taille de base
Dispersion d’un modèle de liaisons fortes 1D
Pour une même taille de chaîne
Seule différence notable :
dégénérescence des v.p. pour
Hamiltonien
Dynamique
Hamiltonien
Dynamique
Représentation matricielle
Représentation matricielle
(dans la base de la dynamique)
(dans la base de la dynamique)
On reconnaît
l’hamiltonien
d’un modèle de
liaisons fortes
pour une
chaîne 1D
ouverte
Valeurs propres – Vecteurs propres
On reconnait
un modèle de
liaisons fortes
pour une
chaîne 1D
fermée
Valeurs propres – Vecteurs propres
A partir v.p. /V.P. analytiques : expression analytique des propagateurs
Propagateur en terme de fonctions de Bessel
Approximation du propagateur : temps faibles
:
Approximation semi-classique
de la fonction de Bessel
: phase accumulée le long des chemins classiques
Au voisinage du point tournant
•
•
Approximation WKB s’effondre
Fonction de Airy
Comportement linéaire de la polarisation totale
/
Hamiltonien
Dynamique
Hamiltonien
Dynamique
Représentation matricielle
Représentation matricielle
(dans la base de la dynamique)
(dans la base de la dynamique)
Valeurs propres –vecteurs propres :
Obtenus par diagonalisation numérique
Polarisations individuelles
Polarisations totales moyennes
/
/
Polarisations totales moyennes
Fidélités totales de polarisation
Dispersion suivant un modèle
de liaisons fortes 1D
• Pentes finies en bornes de spectre
• Fortes dégénérescence au centre du spectre
Différences macroscopiques de comportement entre les différents systèmes
• Polarisations totales moyennes
• Fidélités totales de polarisation
Différences entre
/
et
/
• Dimension des bases
• Relation de dispersion des spectres
Différences entre
et
:
et
• Présence ou non de couplages supplémentaires donne accès aux
bases des états miroirs
Chaînes de spins = systèmes
• Qui proposent une solution au problème détection/mesure spin unique
• Qui présentent des effets de bords très importants
• Pour lesquels on peut réaliser une approximation semi-classique
Deux cas semi-classiques :
• Clonage sans interférence [I]
• Amplification de spin dans les chaînes de spins [II]
Poursuites intéressantes : • Peut-on cloner de façon optimale sans interférence
pour des cloneurs à M qubits ?
• Que se passe-t-il si l’on inclut dans l ’étude de l’interférence
le cloneur lui-même ?
• Peut-on exploiter les résultats obtenus dans l’amplification
pour des mesures de précisions ?
[I] : B.Roubert, D.Braun – PRA 78, 042311 (2008)
Role of interference in quantum cloning
[II] : B.Roubert, P.Braun, D.Braun - PRA 82, 022302 (2010)
Large effects of boundaries on spin amplification in spin chains