Transcript הגמא של אופציה - WordPress.com

‫נוסחת ה – ‪ Black & Scholes‬והיווניות‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫נוסחת ה – ‪B & S‬‬
‫היווניות‬
‫לגדר עם יווניות‬
‫‪.1‬נוסחת ה – ‪Black & Scholes‬‬
‫‪ ‬מדידת הסיכון‪ ,‬הנה הכרחית על מנת לאמוד בכמה שיותר מדויק‬
‫את מחירם של נכסים פיננסים בכלל ואופציות בפרט‪.‬‬
‫‪ ‬נוסחת ה – )‪ Black and Scholes (1973‬הנה נוסחה לתמחור‬
‫אופציות אשר כוללת באופן אקספליציטי את הסיכון של נכס‬
‫הבסיס הבא לידי ביטוי בתנודתיות המחיר‪.‬‬
‫‪ ‬נוסחת ה‪ B&S -‬הנה למעשה הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית‬
‫החלקית (‪ )PDE‬הבאה‪:‬‬
‫‪V 1 2 2  2V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪  S‬‬
‫‪ rS‬‬
‫‪ rV  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t 2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪.1‬נוסחת ה – ‪Black & Scholes‬‬
‫‪V 1 2 2  2V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪  S‬‬
‫‪ rS‬‬
‫‪ rV  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t 2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ ‬כאשר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ – V‬מחיר החוזה (אופציה)‬
‫‪‬‬
‫‪ – σ‬סטיית תקן (סיכון)‬
‫‪ – S‬מחיר נכס הבסיס‬
‫‪ – r‬ריבית חסרת סיכון‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.1‬נוסחת ה – ‪Black & Scholes‬‬
‫‪ ‬תזכורת‪ :‬הנוסחה הזאת נגזרת (בשלב ראשון) מיישום ‪Ito lemma‬‬
‫על המשוואה הסטוכסטית המתארת את הדינמיקה של מחיר נכס‬
‫הבסיס‪ .‬בשלב השני‪ ,‬מייצרת תיק "אדיש לסיכון"‪.‬‬
‫משוואת ה – ‪SDE‬‬
‫מחיר החוזה‬
‫‪dS  Sdt  Sdz‬‬
‫) ‪V (t , S‬‬
‫‪ V‬‬
‫‪V 1 2 2  2V ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪dt  Sdz‬‬
‫‪dV   S ‬‬
‫‪  S‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪t 2‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ S‬‬
Ito’s lemma
dx  dt  dz
f ( x, t )
f(x,t) ‫ על‬Taylor ‫ניישם את הרחבת‬
f
f
1 2 f 2 1 2 f 2 2 f
df  dx  dt 
dx 
dt 
(dx)(dt)
2
2
x
t
2 x
2

t 
x

x 

 

0
f
f
1 2 f 2
df  dx  dt 
dx
2
x
t
2 x
0
dx2  dt  dz
2
  2 dt   2 dz2  2dtdz
  2 dt
dz
2
 dt

‫‪.1‬נוסחת ה – ‪Black & Scholes‬‬
‫‪ ‬החלק הראנדומלי "מנוטרל" ע"י יצירה של התיק הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫מכירה של החוזה (אופציה)‬
‫רכישה של ‪ δ‬יח' נכס בסיס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫התיק אדיש לסיכון‪ ,‬כלומר התשואה על התיק שווה להשקעה בנכס חסר‬
‫סיכון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪  V  S‬‬
‫‪d  dV  dS‬‬
‫‪d  rdt‬‬
‫‪ dV  dS  r  V  S dt‬‬
Black & Scholes – ‫נוסחת ה‬.1
:‫ נמשיך‬
dV  dS  r V  S dt
 V
V 1 2 2

S 
  S
t 2
 S
 V
V 1 2 2

S 
  S
t 2
 S

V
dt 
Sdz  dS  r V  S dt
S

 2V 
V

dt

Sdz  Sdt  Sdz  r V  S dt
2 
S 
S
 2V
S 2
 V

V 1 2 2  2V
 V



S 
  S


S
dt




Sdz  r V  S dt
2

t 2
S
S

 S


 0 
 V 1 2 2  2V 
V

dt  rVdt 
  S
rSdt
2 
S 
S
 t 2
V
S
‫אדישות לסיכון (בנינו תי חסר‬
)‫סיכון‬
‫‪.1‬נוסחת ה – ‪Black & Scholes‬‬
‫‪ ‬בשורה התחתונה אנחנו מקבלים את ה‪PDE -‬‬
‫‪V 1 2 2  2V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪  S‬‬
‫‪ rS‬‬
‫‪ rV  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t 2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪V (t ,0)  0‬‬
‫‪ ‬התנאים לפתרון‪:‬‬
‫‪V (T , S )  S  K ‬‬
‫‪V (t , S )  S , S  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬נקודה חשובה‪ :‬במקרה של ‪ ,B&S‬קיים פתרון אנאליטי למשוואה‬
‫מעל‪ .‬אולם‪ ,‬תחת הנחות מסובכות יותר‪ ,‬יש צורך לפתור את‬
‫משוואת ה‪ PDE-‬ע"י שיטות נומריות‪.‬‬
‫‪.1‬נוסחת ה – ‪Black & Scholes‬‬
‫‪ ‬נסכם‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הפתרון של ה – ‪ PDE‬הנו נוסחת ה ‪.B&S -‬‬
‫) ‪V (t , S )  SN (d1 )  e  r (T t ) KN (d 2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪S ‬‬
‫) ‪ln    r   2 (T  t‬‬
‫‪K‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪d1    ‬‬
‫‪, d 2  d1   T  t‬‬
‫‪ T t‬‬
‫עבור ‪V (t , S )  S  N (d1 )  1  e  r (T t ) KN ( d 2 ) Put‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נוסחת ה – ‪ B&S‬מבוססת על ההנחה של "אדישות לסיכון" (‪.)Risk Neutrality‬‬
‫מבחינה הסתברותית‪" ,‬אדישות לסיכון" משפיעה על מיקומה של ההתפלגות מחיר‬
‫נכס הבסיס בזמן ‪ .T‬אולם‪ ,‬אינה משפיעה על הסיכון המגולם בהתפלגות זו!‬
‫משוואת ה – ‪ PDE‬מגלמת למעשה את כל הגורמים המשפיעים על מחיר של‬
‫אופציה‪.‬‬
‫‪ .2‬היווניות‬
‫‪ ‬משוואת ה – ‪ PDE‬מגלמת למעשה את כמעט כל הגורמים‬
‫המשפיעים על מחיר של אופציה‪.‬‬
‫‪ ‬נגדיר‪:‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ 2V‬‬
‫‪‬‬
‫‪, ‬‬
‫‪,  2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ ‬נכתוב את משוואת ה – ‪PDE‬‬
‫‪1 2 2‬‬
‫‪   S   rS  rV  0‬‬
‫‪2‬‬
‫איזה עוד גורם חסר?‬
‫‪ .2‬היווניות‬
‫‪ ‬נוסחת ה – ‪ B&S‬מאפשרת לנו לחשב את האותיות היווניות‪.‬‬
‫למעשה‪:‬‬
‫‪V SN ' (d1 )‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ rKe  r N (d 2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ N (d1‬‬
‫‪S‬‬
‫) ‪ 2V N ' (d1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬לבית ‪ :‬לחשב את היווניות עבור ‪Put‬‬
‫‪1  2 x2‬‬
‫‪N ' ( x) ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬היווניות‬
‫‪ ‬הגורם אחד שלא נכלל (אך לא פחות חשוב) הוא התנודתיות של נכס‬
‫הבסיס‪ .‬שכן ה – ‪ B&S‬תלוי ישירות במתנודתיות זו‪ .‬ולכן נגדיר את‬
‫היווניה הבאה‪:‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ SN ' d1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬גורם נוסף הוא הריבית‪:‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ Ke  r N d 2 ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬לסיכום‪ ,‬האותיות היווניות מאפיינות את הגורמים המשפיעים על‬
‫מחירם של אופציות‪ .‬קרי‪ :‬זמן‪ ,‬מחיר נכס הבסיס‪ ,‬תנודתיות וריבית‬
‫חסרת סיכון‪.‬‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬דלתא‬
‫‪ ‬הדלתא של אופציה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אומדת את רגישות מחיר האופציה לשינויים במחיר נכס הבסיס‪.‬‬
‫אומדת כמה יחידות של נכס בסיס עלי להחזיק על מנת לגדר את המכירה של‬
‫אופציה‪.‬‬
‫אומדת את ההסתברות שהאופציה תפקע בתוך הכסף‪.‬‬
‫עבור ‪ Call‬הדלתא הנה בין ‪ 0‬ל‪ .1-‬עבור ‪ Put‬הדלתא הנה בין ‪ 0‬ל ‪.-1 -‬‬
‫‪ ‬הערך של אופציה לא משתנה יותר מהר משווי נכס הבסיס‪.‬‬
‫‪ ‬עבור ‪ ,call‬שווי האופציה עולה או יורד בהתאמה למחיר נכס הבסיס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪ ,Call‬הדלתא קרובה ל ‪ 0.5 -‬לאופציות שבכסף (‪ 1 ,)ATM‬לתוך הכסף‬
‫(‪ ,)ITM‬ו‪ 0-‬לאופ' שמחוץ לכסף (‪.)OTM‬‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬דלתא‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬דלתא‬
‫‪ ‬פוזיציית דלתא ניטרלית (‪)Delta Neutrality‬‬
‫‪ ,Delta Neutrality (DN) ‬משמעה שהדלתא הכוללת של תיק עם אופציות ונכס‬
‫הבסיס‪ ,‬שווה לאפס‪.‬‬
‫‪ ‬הדלתא חשובה למוסדיים אשר מנהלים תיקי אופציות עם מגוון רחב של‬
‫אסטרטגיות‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪ ‬אסטרטגיה‪:‬‬
‫‪ ‬רכישה של ‪ Call‬בשער מימוש ‪K1‬‬
‫‪ ‬רכישה של ‪ Put‬בשער מימוש ‪.K2‬‬
‫‪K2<K1 ‬‬
‫‪ ‬נתונים‪:‬‬
‫‪ ‬מחיר נכס הבסיס‪$44 :‬‬
‫‪15%=σ ‬‬
‫‪6%= r ‬‬
‫‪ K1=50$ ‬ו‪K2=40$-‬‬
‫‪K1‬‬
‫‪K2‬‬
‫ דלתא‬- ‫ לגדר עם יווניות‬.3
)Delta Neutrality( ‫ פוזיציית דלתא ניטרלית‬
0.152 
 44  
0.5
ln    0.06 
2 
 50  
d1 
 0.87
0.15 0.5
  N (d1 )  N  0.87  0.19
0.152 
 44  
0.5
ln    0.06 
2 
 40  
d1 
 1.23
0.15 0.5
  N (d1 )  1  N  1.23  1  0.11
:‫דוגמא‬
:call ‫ נחשב את הדלתא עבור‬
:Put ‫ עבור‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬דלתא‬
‫‪ ‬פוזיציית דלתא ניטרלית (‪)Delta Neutrality‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪ ‬היחס בין הדלתאות‪-0.11/0.19=-0.58 :‬‬
‫‪ ‬כלומר‪ ,‬הפוזיציה הנה ‪ DN‬אם עבור כל ‪ 100‬אופציות ‪ Put‬נכתבים (נמכרים) כ‪58 -‬‬
‫כתבי אופציות ‪.Call‬‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬דלתא‬
‫‪ ‬פוזיציית דלתא ניטרלית (‪)Delta Neutrality‬‬
‫‪‬‬
‫אסטרטגיות ‪ DN‬הנן‪:‬‬
‫‪ ‬אדישות לכיוון התנודה של נכס הבסיס‪.‬‬
‫‪ ‬תלויות בנודתיות הכוללת של מחיר נכס הבסיס‪.‬‬
‫‪ ‬כדי להשאר ‪ DN‬יש צורך לעדכן את הרכב התיק‪.‬‬
‫איך מודדים את תכיפות עדכון התיק?‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬גמא‬
‫‪ ‬הגמא של אופציה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הנגזרת השניה של מחיר האופציה ביחס למחיר נכס הבסיס‪.‬‬
‫הנגזרת הראשונה של הדלתא ביחס למחיר נכס הבסיס‪.‬‬
‫הגמא נקראת גם "הקמירות" ( ‪ )curvature‬של אופציה‪.‬‬
‫גמא מודד את התכיפות בא תיק האופציות מתעדכן על מנת לשמר על פוזיציית‬
‫‪.DN‬‬
‫עבור ‪ K‬נתון‪ ,‬הגמא של ‪ = Put‬לגמא של ‪.Call‬‬
‫‪d12‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ 2V N ' (d1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S  S 2‬‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬גמא‬
‫‪ ‬הגמא של אופציה‬
‫‪‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪ ‬אסטרטגיה‪:‬‬
‫‪ ‬למכור כ‪ 10-‬אלף אופ' ‪call‬‬
‫‪ ‬נתונים‪:‬‬
‫‪ ‬מחיר של מניה עומד על ‪.50$‬‬
‫‪ ‬סטיית התקן = ‪38%‬‬
‫‪ ‬ריבית חסרת סיכון = ‪5%‬‬
‫‪ ‬מחיר של ‪ call‬ל – ‪ 5‬שבועות עד הפקיעה הנו ‪$2.47‬‬
‫‪ ‬הדלתא של האופציה הנה ‪.0.5625‬‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬גמא‬
‫‪ ‬הגמא של אופציה‬
‫‪‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪ ‬כדי להיות ‪ ,DN‬מוכר האופ' קונה ‪ 5625=0.5626*10000‬מניות‪.‬‬
‫‪ ‬אחרי שבוע (לאחר שנותרו ‪ 4‬שבועות)‪ ,‬מחיר המניה עלה ב‪ 50-‬סנטים‪ ,‬והדלתא‬
‫עלתה ב ‪.0.0103 -‬‬
‫‪ ‬כלומר‪ ,‬צריך לרכוש כ‪ 103-‬מניות על מנת להשאר ‪.DN‬‬
‫‪Gamma‬‬
‫‪Delta‬‬
‫‪S‬‬
‫‪T‬‬
‫מצתבר‬
‫‪S*Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪0.5625‬‬
‫‪50‬‬
‫‪5‬‬
‫‪281,250‬‬
‫‪281,250‬‬
‫‪5,625‬‬
‫‪0.5728‬‬
‫‪50.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪286,722‬‬
‫‪5,201.5‬‬
‫‪103‬‬
‫‪0.0103‬‬
‫‪51.25‬‬
‫‪3‬‬
‫‪319,439‬‬
‫‪32,441.25‬‬
‫‪633‬‬
‫‪0.0633‬‬
‫‪0.6361‬‬
‫‪2‬‬
‫‪316,074‬‬
‫‪-3,672‬‬
‫‪-72‬‬
‫‪-0.0072‬‬
‫‪0.6289‬‬
‫‪51‬‬
‫‪411,421‬‬
‫‪95,042.75‬‬
‫‪1,819‬‬
‫‪0.1819‬‬
‫‪0.8108‬‬
‫‪52.25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪513,985‬‬
‫‪102,168‬‬
‫‪1,892‬‬
‫‪0.1892‬‬
‫‪1‬‬
‫‪54‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬גמא‬
‫‪ ‬הגמא של אופציה‬
‫‪‬‬
‫ככלל‪:‬‬
‫‪ ‬אם הדלתא של אופציה שווה ל – ‪ x%‬והגמה שווה ל – ‪ .y%‬אז עבור ‪ $1‬עליה במחיר‬
‫נכס הבסיס‪ ,‬הדלתא תגדל ב – ‪ .y%‬כלומר הדלתא המעודכנת הנה (‪.)x%+y%‬‬
‫‪ ‬ככל שהאופציה מתקרבת לפקיעה הגמא נהיית גבוהה יותר עבור אופציות ‪ATM‬‬
‫ונמוכה יותר עבור אופציות שהנן ‪ ITM‬ו‪.OTM-‬‬
‫‪ ‬ככל שהתנודתיות של נכס הבסיס נמוכה יותר‪ ,‬הגמא נהיית גבוהה יותר עבור‬
‫אופציות ‪ ATM‬ונמוכה יותר עבור אופציות שהנן ‪ ITM‬ו‪.OTM-‬‬
‫ גמא‬- ‫ לגדר עם יווניות‬.3
http://www.theoptionsguide.com/gamma.aspx
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬תטא‬
‫‪ ‬התטא של אופציה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הנגזרת הראשונה של מחיר האופציה ביחס לזמן‪.‬‬
‫מודדת את השחיקה לאורך זמן של מחיר האופציה‪.‬‬
‫לאופציות ‪ call‬התטא הנה שלילית‪ .‬עבור אופ' ‪ ,Put‬התטא שלילית למעט עבור‬
‫אופציות שהנן עמוק בתוך הכסף‪.‬‬
‫ממשוואת ה – ‪ , put call parity‬הערך של אופציית ‪ call‬מורכב מ – ‪ 3‬חלקים‪:‬‬
‫‪ ‬ערך פנימי (‪)S-K‬‬
‫‪ ‬ערך הריבית (‪)K-Ke-rT‬‬
‫‪ ‬ערך ביטוח )‪P(K‬‬
‫‪ rT‬‬
‫‪C(K )  S‬‬
‫‪‬‬
‫‪K‬‬
‫‪‬‬
‫‪K‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ke‬‬
‫) ‪P( K‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Intinsic‬‬
‫‪Interest‬‬
‫‪‬‬
‫‪Insurance‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Time Value‬‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬וגה‬
‫‪ ‬הוגה של אופציה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוגה של אופציה הנה הנגזרת של מחיר האופציה ביחס לסטיית התקן‪.‬‬
‫הוגה חיובית עבור אופציות בלונג (‪ Call‬ו – ‪.)Put‬‬
‫ככל שהתנודתיות של נכס הבסיס גבוהה יותר‪ ,‬מחיר נכס הבסיס גבוה יותר‪.‬‬
‫למשל‪ :‬אופציה עם וגה של ‪ 0.3‬תעלה בערכה ב‪ 0.3%-‬עבור כל עליה של ‪1%‬‬
‫בתנודתיות של נכס הבסיס‪.‬‬
‫‪ .3‬לגדר עם יווניות ‪ -‬רו‬
‫‪ ‬הנגזרת הראשונה של מחיר האופציה ביחס לריבית‪.‬‬
‫‪ ‬אינה משמעותית עבור רוב האופציות למעט אופציות בעלות‬
‫לטווח לפידיון ארוך במיוחד‪.‬‬