Transcript 05_Szabalyozasi_Rendszerek

Automatizálási
tanszék
Szabályozási Rendszerek
2014/2015, őszi szemeszter
Előadás
Mintavételes szabályozások
Zárt mintavételes szabályozási kör alapvető elvi felépítése
Mintavételes szabályozások
Zárt mintavételes szabályozási kör alapvető részletes felépítése
x(t): FI, folytonos jel
x[k] = x(kTs): DI, diszkrét jel
Ts : mintavételezési idő
(sampling time)
k = 0, 1, 2… : mintavételezés
sorszáma
Mintavételes szabályozások
A digitális szabályozó funkciói
- A mintavételezett és digitalizált FI
kimenőjel
fogadása
és
továbbítása
a
szabályozót
megvalósító algoritmus felé.
- A szabályozási algoritmus által
minden mintavételt követően
kiszámított Dl, digitális bemenőjel
továbbítása a D/A átalakító felé.
- A
szabályozás
alapjelének
fogadása közvetlenül egy embergép kapcsolati felületről (ManMachine interface - MMI) vagy
egy kommunikációs hálózaton
keresztül.
Mintavételes szabályozások
A mintavételes rendszerek előnyei
- A digitális technológia megbízhatóbb és olcsóbb.
- A megvalósítható
rugalmasabb.
algoritmusok
körét
tekintve a digitális technológia
- A módosítások és bővítések egyszerűen kivitelezhetőek, adminisztrálhatok, a
pontosság hosszú időn keresztül garantált.
- Az alapjel megadására, a szabályozó paraméterek megváltoztatására, valamint a
működés monitorozására egyaránt egyszerű és hatékony módszerek állnak
rendelkezésre.
Mintavételes szabályozások
Szempontok a mintavételes rendszer tervezéséhez
- Két mintavétel között a zárt rendszer lényegében nyitott rendszerként
működik, így ezen periódusban a visszacsatolás előnyös tulajdonságai nem
jutnak érvényre .
- A mintavételezési időt gondosan kell megválasztani: egyrészt összhangban kell
lennie az irányítandó folyamat dinamikájával, másrészt a real-time feldolgozó
rendszer képességeivel (műveletvégző sebesség, számábrázolás pontossága) .
- A szabályozó kimenetének jelformája a tartószerv által meghatározott, nem
szabadon választott .
- A mintavételezés a tervezés számára kihívásokat jelentő járulékos tényezőket
generál (holtidő, a mintavételezés következtében megjelenő dinamika).
Mintavételezés
Shannon mintavételezési törvénye: A mintavételezést minimálisan olyan
frekvenciával kell megvalósítani, hogy a folyamatos jel legnagyobb frekvenciájú
komponenséből legalább két minta álljon rendelkezésünkre minden mintavételezési
periódusban.
A fizikai mintavételezés megvalósítása:
(konverterekkel)
analóg-digitális (A/D) átalakítókkal
- Real-time rendszer órajelével vezérelt elemek
- Periodikusan rövid időre záródó kapcsoló
- Fontos:
- Az átalakítás gyorsasága (konverziós idő)
- Zavartűrő képesség
- Digitalizált jel bitszélessége (felbontás),
általában 8-16 bit között.
Mintavételezés
Matematikai mintavételezés
f[k] = f(kTs )
f[k] származtatása: impulzus modulációval:
∞
𝑓∗ 𝑡 =
𝑓 𝑛𝑇𝑠 𝛿 𝑡 − 𝑛𝑇𝑠
𝑛=−∞
Mintavételezés
Matematikai mintavételezés – frekvenciatartománybeli vizsgálatokra
Az 𝑓 ∗ 𝑡 mintavételezett jelsorozat frekvenciaspektruma
𝐹𝑠 𝑗𝜔 =
1
𝑇𝑠
∞
𝐹 𝑗𝜔 + 𝑗𝑘𝜔𝑠
𝑘=−∞
2𝜋
𝜔𝑠 =
𝑇𝑠
Nincs torzulás, ha
𝜔𝑠 ≥ 2𝜔max
Mintavételezés
NYQUIST frekvencia
Mintavételezés
Nemlétező frekvenciájú összetevő megjelenése
Az 𝜔max sávkorláton belüli (fő tartományban) mintavételezett jel spektruma
1
𝐹𝑠 𝑗𝜔 =
𝑇𝑠
∞
𝐹 𝑗𝜔 + 𝑗𝑘𝜔𝑠
𝑘=−∞
Tartás
Tartószerv:
- Vezérelt elem
- Feladata: kódolt digitális jel fogadása, dekódolása és FI kimenőjel biztosítása két
mintavételi időpillanat között.
- A két mintavételi időpillanat közötti tartás jellegére nincsenek korlátozó előírások
Zérusrendű tartószerv: két mintavételi időpillanat között konstans értékű tartószerv
Tartás
Elsőrendű tartószerv
Tartás
Zérusrendű tartószerv (ZOH – Zero Order Holding) komponensei
Átviteli függvénye
𝑊𝐙𝐎𝐇
1 𝑒 −𝑠𝑇𝑠
1 − 𝑒 −𝑠𝑇𝑠
𝑠 = −
=
𝑠
𝑠
𝑠
Tartás
Zárt szabályozási rendszer elemei és jelei
Z-transzformáció
z-transzformáció: DI jelek , illetve jelek kapcsolatát megvalósító rendszerek
leírásának módszere.
z – a z-transzformáció komplex értékű változója
∞
ℒ 𝑓𝑘
𝑧 −𝑘 𝑓 0 = 𝑓 0 + 𝑧 −1 𝑓 0 + 𝑧 −2 𝑓 0 + ⋯
=
𝑘=0
Szokásos jelölés: 𝐹 𝑧 = ℒ 𝑓 𝑘
Inverz Z-transzformáció:
𝑓 𝑘 = ℒ −1 𝐹 𝑧
=
1
2𝜋𝑗
𝐹 𝑧 𝑧 𝑘−1 𝑑𝑧
𝑅2
𝑘 = 0, 1, 2, …
A z-transzformáció alaptulajdonságai
• Konstanssal való szorzás
𝑔 𝑘 = 𝑐 𝑓 𝑘 𝑘 = 0, 1, 2, …
∞
ℒ 𝑔𝑘
∞
𝑧 −𝑘 𝑔 𝑘 = 𝑐 𝑓 0 + 𝑧 −1 𝑐 𝑓 0 + 𝑧 −2 𝑐 𝑓 0 + ⋯ = 𝑐
=
𝑘=0
𝑘=0
• Linearitás
ℒ 𝑐1 𝑓1 𝑘 + 𝑐2 𝑓2 𝑘
• Eltolási tétel
• Időbeli késleltetésre
𝑧 −𝑘 𝑔 0 = 𝑐 𝐹(𝑧)
∞
𝑧 −𝑘 𝑐1 𝑓1 𝑘 + 𝑐2 𝑓2 𝑘
=
𝑘=0
ℒ 𝑓 𝑘−𝑛
= 𝑧 −𝑛 𝐹(𝑧)
• Időbeli siettetésre
ℒ 𝑓 𝑘+𝑛
= −𝑧𝑓[𝑛 − 1]
• Szorzás egy 𝒂𝒌 alakú tényezővel
ℒ 𝑎𝑘 𝑓 𝑘
= 𝐹(𝑎−1 𝑧)
= 𝑐1 𝐹1 (𝑧) + 𝑐2 𝐹2 (𝑧)
Elemi jelsorozatok z-transzformáltja
Elemi jelsorozatok z-transzformáltja
Inverz z-transzformáció
𝑓 𝑘 = ℒ −1 𝐹 𝑧
• Elvi megoldás:
1
= 2𝜋𝑗
𝑅2
𝐹 𝑧 𝑧 𝑘−1 𝑑𝑧
• Gyakorlati módszerek:
• Polinomiális osztás:
10𝑧
𝐹 𝑧 =
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.2)
10𝑧 : 𝑧 2 − 1.2𝑧 + 0.2 = 𝑓 0 + 𝑧 −1 𝑓 1 + 𝑧 −2 𝑓 2 + ⋯
𝑓 0 =0
𝑓 1 = 10
𝑓 2 = 12
𝑓 3 = 12.4
Inverz z-transzformáció
• Gyakorlati módszerek:
• Diszkrét idejű impulzusválasz számítása:
𝑌 𝑧 = 𝐹 𝑧 𝑈(𝑧)
• Részlettörtekre bontás:
𝐹(𝑧) 𝑐0
𝑐1
𝑐2
𝑐𝑛
= +
+
+ ⋯+
𝑧
𝑧 𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝2
𝑧 − 𝑝𝑛
𝐹(𝑧) 12.5
12.5
=
−
𝑧
𝑧 − 1 𝑧 − 0.2
Innen
𝐹(𝑧) 12.5𝑧
12.5𝑧
=
−
𝑧
𝑧 − 1 𝑧 − 0.2
Így
𝑓𝑘 =
ℒ −1
𝐹 𝑧
=
ℒ −1
12.5𝑧
12.5𝑧
−
= 12.5 1 − 0.2𝑘 ,
𝑧 − 1 𝑧 − 0.2
• Komplex pólusok kezelése
𝑘 = 0, 1, 2, …