Transcript Fuerzas internas en elementos mecánicos

ESTÁTICA Y DINÁMICA
FUERZAS INTERNAS EN ELEMENTOS MECÁNICOS
Cuando un miembro estructural o un componente de máquina ( cable, barra,
árbol, viga o columna) se encuentra sometido a un sistema de cargas exteriores
( cargas aplicadas y reacciones de apoyos), se desarrolla en el miembro un
sistema de fuerzas resistentes interiores que equilibran a las fuerzas exteriores.
Consideremos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas exteriores
equilibradas F1, F2, F3, …, Fn, como se muestra en la figura 1.
Figura 1
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Estas fuerzas tienden a aplastar el cuerpo (compresión) o a hacerlo estallar
(tensión). En uno u otro caso se generan fuerzas internas ( resistentes) en el
cuerpo que se oponen ya sea al aplastamiento o al estiramiento del mismo,
manteniendo así al cuerpo unido.
La resultante de las fuerzas interiores que se ejercen sobre un plano dado aa
interior a un cuerpo se puede determinar suponiendo que el plano divide el
cuerpo en dos partes, según se indica en la figura 1.
Como el cuerpo esta en equilibrio, también lo estará cada una de sus partes al
estar sometidas a la acción de la fuerzas interiores que se desarrollan en el
plano que divide al cuerpo en dos partes. Por lo tanto, la resultante de las
fuerzas interiores que se ejercen por el plano se puede determinar tomando la
parte izquierda o la parte derecha del cuerpo.
Figura 2
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Las intensidades de estas fuerzas internas ( fuerza por unidad de superficie)
reciben el nombre de esfuerzo.
En la figura 3 se ha representado un diagrama de cuerpo libre de la parte
izquierda del cuerpo. En ella, la distribución de fuerzas interiores sobre el
plano aa se ha sustituido por una fuerza resultante R que pasa por un punto del
plano aa y un momento resultante M.
Figura 3
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La fuerza resultante R puede descomponerse, según se indica en la figura 4a,
en una componente Rn ( fuerza normal) perpendicular al plano aa y una
componente Rt (fuerza cortante) tangente a dicho plano.
Análogamente, el momento M puede descomponerse en una componente Mn
(momento torsor) respecto a un eje normal al plano aa y una componente Mt
(momento flector) respecto a un eje tangente al plano aa, según se indica en la
figura 4b.
Figura 4
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Para determinar las fuerzas interiores en un lugar concreto de un miembro se
sugiere el proceso siguiente.
1.
Determinar las reacciones de los apoyos
Preparar un esquema del cuerpo en el que se muestren las dimensiones
importantes y todas las cargas externas ( fuerzas, momentos flectores y
otros momentos) que se ejerzan sobre el cuerpo en su posiciones exactas.
2.
Dibujar un diagrama de cuerpo libre completo
Identificar el plano de interés del cuerpo. Preparar un diagrama de cuerpo
libre para una porción del cuerpo que exponga el plano de interés. Mostrar
todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre esta parte del cuerpo y la
fuerza y momento resultante ( o sus componentes) en el plano de interés
expuesto.
Aplicar las ecuaciones de equilibrio
3.
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Notación y componentes
El primer subíndice indica el plano sobre el que actúa la fuerza y el segundo la
dirección de cada una.
Figura 5
Las componentes según el esquema de la figura 5 son:
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Fuerza axial (Pxx): realiza la acción de tirar o comprimir y se representa por la
fuerza de tracción ( tendencia al alargamiento) o compresión ( tendencia al
acortamiento). Se simboliza por P.
Figura 6
Fuerza cortante (Pxy y Pxz): realiza la acción de desplazamiento de una
porción de la sección respecto a la otra. Se simboliza por V.
Figura 7
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Momento flector (Mxy y Mxz): realiza la acción de curvar el cuerpo
flexionarlo respecto al eje X o Y. Se simboliza por My o Mz.
o
Figura 8
Momento torsor (Mxx): realiza la torsión sobre el sólido cuerpo. Se simboliza
por T o Mt.
Figura 9
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FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES EN VIGAS
Los miembros estructurales o componente de máquinas que ofrecen
resistencia a la flexión originada por las cargas aplicadas reciben el
nombre de vigas.
La mayoría de las vigas son barras prismáticas y las cargas suelen
aplicarse perpendicularmente a los ejes de esas barras.
La viga es, indudablemente, el más importante de todos los
miembros estructurales y es fundamental entender perfectamente la
teoría básica que fundamenta su diseño.
Una viga puede ser recta o curva. En la construcción de edificios, muchas vigas
se hallan en posición horizontal, anqué también se encuentran vigas verticales e
inclinadas.
Algunas vigas están cargadas puramente a flexión, mientras que otras se hallan
sometidas a cargas flectoras en combinación con cargas axiales, cortantes y
torsor.
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TIPOS DE VIGAS
Las vigas se clasifican según el tipo de carga que soportan. La vigas
pueden estar sometidas a cargas concentradas, cargas distribuidas, o
a pares ( momentos concentrados) que actúan solos o en una
combinación cualquiera.
1. Las cargas aplicadas a una porción muy pequeña de longitud de
una viga se llaman cargas concentradas.
2. La carga que se ejerce a lo largo de una longitud finita de la viga
se denomina carga distribuida. La distribución puede ser
uniforme o no uniforme.
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3.
El momento concentrado es un par creado por dos fuerzas de
igual magnitud pero de direcciones opuestas aplicadas a la viga
en una sección particular. En la figura c se muestran las dos
formas de representación del par.
Las vigas se clasifican también según el tipo de apoyo que utilizan.
1. La viga apoyada en pasadores, rodillos o superficies lisas en sus
extremos se dice que está simplemente apoyada.
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2. La viga simplemente apoyada que se prolonga más allá de sus
apoyos en uno o ambos extremos se dice que es una viga
sobresaliente.
3. La viga que está fija por uno de sus extremos y libre por el otro
se dice que es una viga en voladizo o ménsula.
4. La viga que está fija por un extremo y simplemente apoyada en
el otro se dice que es una viga soportada.
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5. La viga que tiene mas de dos apoyos simples se denomina viga
continua.
6. La viga que está o bien fija ( sin rotación) o bien logada ( rotación
limitada) se dice que está empotrada.
Las vigas también pueden clasificar en estáticamente determinadas
( isostáticas) y estáticamente indeterminadas ( hiperestática)
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En la figura se muestran ejemplos de vigas isostáticas e
hiperestática.
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La intensidad p de una caga distribuida puede expresarse como fuerza por
unidad de longitud de la viga y puede ser constante o variable, continua o
discontinua. En la figura 20 la intensidad de la carga es constante entre C y D y
variable entre A y C y entre D y B. En el punto D, la carga presenta una
discontinuidad y cambia bruscamente de valor. En el punto C, la intensidad no
es discontinua en sí, pero lo es su variación por unidad de longitud dp/dx.
Figura 20
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CARGAS DISTRIBUIDAS
Las intensidades constantes o que varíen linealmente se manejan con facilidad. En
la figura 21 se presentan los tres casos más corrientes junto con las resultantes
correspondientes.
Figura 21
En los casos a y b de la figura 21 vemos que la carga resultante R está
representada por el área de la superficie delimitada por la curva de intensidad p
(fuerza por unidad de longitud de la viga) y la longitud L a lo largo de la cual se
distribuye la carga. La recta soporte de la resultante R pasa por el centroide de esa
superficie.
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En la parte C de la figura 21, la superficie trapezoidal se ha dividido en una
superficie rectangular y una superficie triangular, para determinar por separado
las resultantes parciales R1 y R2 correspondientes. Obsérvese que la resultante
neta podría determinarse por el método de composición de centroides que se
expuso en el tema anterior, habitualmente es innecesario determinar la
resultante neta.
En un caso más general, como el de la figura 22, deberá comenzarse con un
incremento de diferencial de la fuerza dR=pdx.
Figura 22
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La carga total R será entonces la suma de esas fuerzas diferenciales, esto es:
R   pdx
Como la recta soporte de la resultante R debe pasar por el centroide de la
superficie considerada, entonces al aplicar el principio de los momentos,
obtenemos la coordenada x de ese centroide, esto es:
xCM
xpdx  xpdx



R
 pdx
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DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR
Consideremos la viga de la figura 23, que soporta una carga distribuida p (no
uniforme).
Figura 23
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C y D son dos puntos de la viga, separados por una distancia dx uno de otro.
Figura 24
Sobre la izquierda actúan, el esfuerzo cortante V y el momento flector M.
Sobre la derecha actúan, el esfuerzo cortante V+dV y el momento flector
M+dM. Al pasar de la sección C a la sección D, el incremento dV del esfuerzo
cortante, proviene de la fuerza R=pdx.
Como la viga está EN EQUILIBRIO, el elemento diferencial también deberá
estarlo y al aplicarle la ecuación de equilibrio se tiene que:
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Figura 24
De donde se tiene que:
F
y
 V  pdx  (V  dV )  0
dV   pdx o sea
dV
 p
dx
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Esta última ecuación nos indica que, en toda sección de la viga, la pendiente
del diagrama de fuerza cortante es igual a la intensidad de carga.
La carga especifica p es numéricamente, la derivada, respecto de x, del
esfuerzo cortante.
V2
x2
V1
x1
dV   pdx   dV   pdx
Esto es:
V2  V1   
x2
x1
pdx
Así pues, la variación de fuerza cortante entre las secciones en x1 y x2 es igual
al área encerrada bajo el diagrama de carga entre las dos secciones, si no hay
fuerzas concentradas en el tramo x1<x<x2.
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Aplicando la ecuación de equilibrio  M D  0 al elemento representado
en la figura 24 se tiene que:
Figura 24
 M D   M  Vdx   pdx 
De donde se tiene que:
dM
dx
  M  dM  dx  0
2
dx 

 Vdx  p
2
2
Dividiendo por dx y pasando al límite se tiene que:
dM
V
dx
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Esta ecuación nos indica que, el esfuerzo de corte es la derivada del momento
flector. Integrando la ecuación entre límites definidos, se tiene que:
dM  Vdx  
M2
M1
Esto es:
x2
dM    Vdx
x1
M 2  M1   
x2
x1
Vdx
Así pues, el cambio de momento entre las secciones en x1 y x2 es igual al área
encerrada bajo el diagrama de fuerza cortante entre dichas secciones, si no hay
pares aplicados en el tramo x1<x<x2.
Como M=f(x) si V = 0; significa que tenemos un máximo del Momento flector.
Por lo tanto:
El momento flector es máximo cuando el esfuerzo de corte es nulo, o pasa por
cero.
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SIGNOS POR DEFINICIÓN
Se basan en la deformación del material.
V(-): Actúa en sentido anti horario
V(+): Actúa en sentido horario
M(+): Comprime la parte superior de la viga
M (-) Comprime la parte inferior de la viga.
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EJEMPLO 1
Una viga está cargada y apoyada según se indica en la figura. Dibujar los
diagrama completos de fuerzas cortantes y de momento flector de viga.
Solución
Aplicando momento respecto al punto A se tiene que:
L
1
M

F
L

F
(
)

0

F

F
 A C
C
2
2
1
F

F

F

F

0

F

F
 y C A
A
2
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Luego entonces
V A  FA 
1
F
2
y
MA  0
A continuación se toma la sección aa que corte la viga en dos partes y se
dibuja el Diagrama de Fuerza de las dos partes de la viga.
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Tomando el diagrama de fuerza de la parte izquierda se tiene que:
 Fy 
M
A
1
1
F V  0  V  F
2
2
1 
 M  Vx  0  M  Vx   F  x
2 
Así la fuerza cortante para 0 ≤ x <L/2 es constante y el momento
flector varia linealmente con respecto al extremo izquierdo de la
viga.
En B hay una carga concentrada F, por lo tanto, la fuerza cortante
cambia bruscamente en el módulo de la carga y en el sentido de ésta.
Así pues,
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VB 
1
1
FF  F
2
2
En tanto que para el momento flector en B se tiene que:
MB
1
 1  1 
 M A  M   F  L   0  FL
4
 2  2 
Para la variación de fuerza cortante entre B y C, se toma la sección bb que
corte la viga en dos partes y se dibuja el Diagrama de Fuerza de la parte
izquierda de la viga.
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1
1
F  F V  0  V   F
2
2
1
1
1 
 1 
 M A  M  F  2 L   Vx  0  M  Vx  2 FL    2 F  x  2 FL
F
y

En C hay una carga concentrada FC=F/2, por lo tanto, la fuerza cortante cambia
bruscamente en el módulo de la carga y en el sentido de ésta. Así pues,
VC  VB 
1
1
1
F  F F 0
2
2
2
ESTÁTICA Y DINÁMICA
En tanto que para el momento flector en C se tiene que:
M C  M B  M 
1
1
FL  FL  0
4
4
Diagrama de fuerza cortante y momento flector.