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中西教学理念的碰撞与融合
--培养主动精神、创新意识和和应用能力
西交利物浦大学数理中心
韩云瑞

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24th May 2012
不同的大学，独特的理念
西交利物浦大学
西安交通大学与利物浦大学“强强联合”的中外
合作大学.
 2006年创建，座落于苏州工业园区独墅湖畔.
 高考统招，一本线以上录取.
 拥有中华人民共和国学位授予权，
毕业生同时获得
西交利物浦大学和英国利物浦大学双文凭.

独特的育人理念和目标
• 培养 “世界公民”，参与“国际竞争”.
• 扎实和整合性的知识体系，积极的探索和创新精神，
互动合作的行为方式，主动的态度和坚实的执行力
• 精通英语，诚信为人，富有创造性，具有强烈的个
性和良好的团队精神
• 集学术知识、职业知识和职业道德伦理为一体的国
际化高级管理和技术人才.
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• 大学最重要的是要转变学生：世界观、视野、
行为方式、学习方式等.
• 西浦把学生看成年轻的成人，学生必须以成人
的身份出现，他们应该有独立的责任、独立的
决策，学校提供必要的指导或服务.
• 学生自治、学校 引导和服务的学生工作体系，
不设班主任和辅导员.
• 大量的学生社团组织各种活动，形成了丰富多
彩的校园文化.
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数理中心的任务和教师队伍
• 教师队伍：
国内来自重点大学一批有丰富教学阅历老教授，
由马知恩教授于2007年召集在西交利物浦大学.
一批具有国外背景的年轻博士陆续加盟.
• 任务：
一年级的数学基础课：微积分、线性代数和数理
统计等.
正常教学任务之外，还有数学建模活动的辅导，
指导学生个性化发展.
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具有丰富教学阅历的资深教授,
在西交利物浦大学体验了中西教学理念的碰撞.
在数学基础课程的教学实践中，
逐渐融合中西不同的教学理念，
进行了若干有意义的探索，
初步形成了具有一定特色的教学模式.
不能说是成功，但是取得了较好的效果.
这里的探索未必有普遍意义，
但可能对具有某些参考价值.
融合中西教学理念，
构建以激发学生主动学习为导向
培养应用能力为重点的教学模式
西交利物浦大学以国际视野和包容精神
为教师提供了观察和比较与融合中西理念的机遇，
中国教师特有的使命感和责任心
能够融合不同优势，创造性地构建新的教学模式.
• 激发学生主动学习精神为导向、
• 提高自主学习能力和应用、创新能力为主要目标 .
• 帮助学生释放潜能、实现个性化发展.
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中西文化和教学理念的差异
教学理念的差异深深植根于文化差异之中。
中西教学理念差异，
更为确切的应当说是中西文化的差异.
来到西交利物浦大学的老教师
都有较高的数学素养和丰富的教学阅历，
本来以为对于新的教学工作可以驾轻就熟.
但是中西文化和教学理念的差别
使中国的教授的数学教学遇到许多挑战.
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1. 数学基础课程教学的功能定位
•国内：数学被看作素质教育
数学基础课程受到充分重视，
数学教学有相对独立的教学目标,
主要是培养数学方面的基础能力，
要考虑学生的未来甚至一生的能力需要.
•西交利物浦：
数学教学主要为学生顺利升入二年级做准备.
如何考虑将来的学习能力和专业调整的需要，
但是英方并不认同这样的理念.
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• 西交利物浦设立一年级教育委员会：
对一年级各个课程的功能、教学方法和目标
进行整合.
• 协调文化教育、基础课、英语教育、校园活
• 帮学生树立成人和责任意识，
• 改变价值观、态度、行为方式和学习方式等
• 掌握有利于终生学习的知识、经验、技术和资
源网络.
• 数学基础课教学要为这个整体目标服务.
国内：大一课程各有自己独立的教学目标，
西浦：统筹各门课程，为一个目标服务.
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2. 教师与课堂的地位明显的区别
中国传统的教学模式：
• 教师和课堂为中心
• 课堂基本解决问题
• 课堂上单纯用讲解方式传授知识，
• 学生对于课堂、对于教师依赖性较强，
更多地关心考什么，不考什么.
应试学习的心态比较普遍.
英国人称之为“passive learning”(被动学习)
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英国人推崇他们的英语课程的教学模式：
在教师指导下，学生做策划、写论文，做讲演.
学生是这个舞台的主角.
他们认为这种学习方式为“Active learning”
（主动学习）.
某些外籍教师的课堂教学,学生听懂部分或轮廓
课后需要花大量时间，查阅资料、研究问题.
有些外籍教师在可堂上教的很少，但是要留下一
堆参考资料的目录，让学生课后自己学习.
他们认为这种学习方式也是“Active learning”
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• 中国的教学理念强调教师的主导作用，
注重教师的教学效果.
• 西方的教学理念则强调学生自身在学习过程的
责任心和自主精神,不能依赖教师和课堂.
• 中国的教师敬业奉献、主动履行教书育人责任.
在课堂之外，督促和帮助学生学习.
但是英国人并并不鼓励这些做法.
他们认为这种教学方式是“Passive learning” .
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3. 育人理念和教学目标对于教师的挑战
面对数学基础课程的定位和教学要求的变化
中国教授们那些驾轻就熟的教学经验不再通用，
我在清华大学可以有能力主讲几门课程，
但是来到西交利物浦大学之后教学工作却捉襟见肘.
为了帮助学生培养应用能力和创新精神，
教师需要更宽广的视野和知识，必须继续学习.
为了帮助学生实现三个转变：
从孩子到年轻的成年人，从被动学习到主动学习，
从盲目到兴趣导向，
教师需要文化底蕴，在课堂之外与学生互动.
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4.中英课程教学的模式与方法的区别
•笼养式与放养式：
国内：教师为中心，学生对教师的过度依赖性
西方：教师作用弱化，校方管理松散，
学生需要自主自立。
•课堂教学的“收敛型”和“发散型”
收敛型：内容完整，逻辑严密，重点和归纳。
重视学生理解掌握，课后不需花很多时间自学。
发散性：不追求完整、系统。
课堂知识要么偏多、要么空泛，
但是教师会留下许多作业和学习资料。
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5. 对于教师教学效果考核与评价
中国大学教学非常重视教师的态度和效果，
重视学生对于教师的评价，
对于教师教学有考核、评价和激励机制.
例如在清华大学，
每学期都要向学生分发问卷，
学校根据学生对任课教师的教学在全校排队.
问卷中内容包括：重点是否突出，是否有启发性，
是否有学习方法的指导，是否培养创新能力等.
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但是在西交利物浦大学没有这种观念和机制，
对于教师教学考核评价机制的缺失，
不利于教师积极性的发挥和教学质量的提高，
数理中心教师的奉献和进取精神，
完全是出自中国教师特有的使命感和责任心.
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6. 教学重视结果和重视过程.
•国内：
课程的学习成绩主要看期末考试.
这是产生应试学习的原因之一.
•西交利物浦大学教学更加重视学习过程.
学生的学习态度和实际收获，
更多地体现在学习过程之中.
课程是一个体系共同完成的：
讲课、辅导、学生预习、小组活动和个人导师.
课程的成绩由几个部分共同组成.
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7. 学生在教学过程中的角色
西交利物浦大学认为，
大学最重要的是要转变学生，
包括行为方式、学习方式等。
中国的学生勤奋，有比较好的基础，
大学要把这些良好的基础和勤奋等放大。
在西浦必须以一个独立的、有责任的、成人的方式
开始真正的大学生活.
数学基础课程的教学不能仅限于数学能力的培养，
还要着眼于转变学生的学习方式.
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• 课堂教学中学生的主动参与精神：
清华大学数学系讲学的法国数学家
曾经对于中国和法国的学生作如下对照：
• 法国学生课堂上比较活跃，愿意与教师交流
中国学生课堂上比较沉闷，回避与教师交流.
• 法国学生希望教师在课堂上讲得多，他们会在课
后通过自学掌握课堂内容.
中国学生习惯于课堂全部听懂，不希望教师讲得多.
在西交利物浦大学面临同样的问题.
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• 教师适应学生，还是学生适应教师.
中国教学传统是教师要适应教学对象，
教师要适当调整教学要求和教学策略，
学生评价是考核教师的主要依据.
但是在西交利物浦大学，
学生必须调整心态、转变学习方式，主动适应
不同教学风格的教师.
西浦主要是外籍教师，教学风格多种多样，
有些教师甚至英语不够纯正，
学生必须要适应不同的教师，
在不断适应中提高自己的学习能力.
融合中西教学理念
构建以激发学生主动学习为导向
培养创新意识和应用能力
中西教学理念各有所长，
中国教师借助西浦这个平台，
融合不同理念，构建有特色的教学模式.
• 以激发学生主动学习精神为导向、
• 以提高自主学习能力和创新、应用能力为主要
目标。
• 弱化应试学习倾向，释放学生潜能.
• 为优秀学生提供个性化发展空间.
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1.以激发主动学习为导向，
调整课堂教学方法和要求
• 不必太在乎课堂教学知识量多一些和少一些，
不追求将每个细节讲解透彻，鼓励学生自主学习.
告诉学生：
1.正在学习的数学知识：
从何处来？有什么用？怎样应用？
2.为了理解或掌握相关知识
课后学什么？到哪里去学？怎样学？
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为了落实学生的主动学习，
教师要为学生准备和推荐学习资料
和其他获取知识的途径
1.导读：简明的介绍，适合于课前预习，也适合
于能力较差的学生达到最低要求.
2.讲稿：预习或者复习的资料，课上可以参考.
3.教材和相关参考书.
4.问题和 Teamwork.
5.网上相关的学习资源.
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为了培养学生的主动精神，必须鼓励、甚至迫使
学生转变学习观念和学习方式.
• 不要期望课堂完全解决问题，
如果你学得轻松，说明你的收获太少.
• 教师如果大量时间讲解学生容易看明白的事情
就会失去教师的价值.
• 留下值得思考的问题，
留下一些需要进一步自主学习知识，
才是成功的课堂教学.
• 推动学生形成自主学习的习惯和能力，
才能进一步适应二年级以后的学习环境.
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为了推动学生主动学习，
必须重视学生对于教学过程的积极参与.
如果只用期末考试考核学生的成绩，
一部分学生就只关心如何通过考试，
以混过及格线为唯一目标.
不能达到转变学习方式的目的.
为了实现学生转变、学生真正得到收获，
参照利物浦做法：
将教学要求分解成若干具体环节.
强化学生参与程度，减少缺课现象.
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发挥学生社团的作用
--学生自治、生动活泼的学生社团是西交利物浦大
学独具特色的校园文化；
-Math Club(数学社)
-由学生自己组织、自我管理和运行的社团，
-组织数学建模竞赛、考前复习，编写学习资料，
-在推动学生主动学习方面起着教师不能取代的作用.
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2. 强化个性化的学习指导，
使部分优秀学生获得适合于自己的发展空间.
西交利物浦大学一年级的数学基础课，
课时相对较少，校方和学生关注程度较低.
对于培养学生能力来说，既是挑战，又是机会.
• 学生减轻应试压力，释放潜能，实现个性化发展.
• 在一个宽松与包容教学环境中，
优秀学生可以获得适合于自己的个性发展空间，
教师可以发挥特长，进行有特色的教学.
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教师对于部分优秀学生进行个性化指导，
使他们找到适合于自己的发展空间.
根据学生的个人职业规划、专业兴趣和能力，
在学习的不同阶段，有不同的具体指导.
•第一学期指导重点：
1.帮助学生转变学习方式，从被动到主动.
2.寻找自己兴趣、需求和能力的定位.
3.第一学期建议学生掌握微积分与线性代数学基础.
4.不提倡细抠教材和重复大量做常规习题.
而是用探索性问题初步培养研究和应用意识.
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• 第二学期个性化指导:
扩展知识，开拓视野，自主学习和应用能力.
• 数学建模辅导、校内竞赛和美国数学建模大赛
开拓视野，学会应用.
• 指导部分优秀学生课外系统自学概率统计等.
• 指导学生从各种渠道、特别是互联网上获取知识
的能力.
• 应用数学方法讲座，引导学生自主学习和研究.
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如何实现个性化发展？
• “数学建模”辅导和参赛.
西交利物浦大学数学建模活动有三个特点：
1. 学生积极性高，广泛普及.
学生在建模活动中得到自主学习、释放潜能
的机会.
主动性和积极性远超过正常的课内学习.
2. 学生社团自己组织和主导
教师是配角，教师是“被邀请”参与辅导.
• 学校大力支持，“不选拔”，“不排除”.
每个自愿参加的学生都会得到参与锻炼的机会.
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3. 不追求获奖数，重在学生能力的锻炼和提高，
为培养主动学习、创新和应用能力提供有效平台.
XJTLU二年级学生参加MCM情况：
参赛队
一等奖
二等奖
2008
4
0
1
2009
2010
2011
2012
11
17
51
92
4
5
9
4
1
9
14
21
参加美国数学建模大赛的基本上都是二年级学生
他们数学学得不多，缺少专业知识.
能取得较好成绩，
主要原因是他们平时积累的自主学习能力.
数学建模活动的成功体现了中西教学理念的融合.
分析成功的原因：
•西方理念贡献：
给学生以发展空间和决策权.
学生自治，自己组织，自主学习.
•中国理念的贡献：
对创新精神和应用能力的重视，
中国教师的奉献精神.
外籍教师对于我们的额外贡献曾经不以为然，
中国教授们的奉献精神使得数学建模成为学校品牌
终于得到英方的认可.
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教师的个性化指导使得一批优秀学生从中受益，
他们运用数学的能力和主动精神，
使得他们有能力参与教师的研究课题，
并取得研究成果.
最近就有两个二年级的学生，
Optics & Laser Technology：
A Review of Recent Progress in Lasers on Silicon
Proceedings of the international Multiconference of Engineers and
Computer Scientists .
When to Refinance Mortgage Loans in a
Stochastic Interest Rate Environment
http://news.xjtlu.edu.cn/cn/recent-news-zh/2559-2012-0521-04-47-26.html
3. 落实应用意识和能力的培养.
• 精简教学内容，举办《应用数学方法》讲座.
只告诉学生将来数学多么有用是不够的，
通过现代科学和技术中典型的数学应用实例，
让学生早一些看到
正在学习的数学多么有用，多么有趣.
视野狭窄，不了解应用价值，
是学习不够主动的重要原因之一.
开设《应用数学方法》讲座的的收效：
开拓视野，鼓励自主学习.
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落实应用意识和能力的培养.
“老话题，新视角”
• 国内微积分教材中的应用部分，
内容老化刻板，不能很好地反映应用价值，
不能激发学习兴趣.
线性代数课程也有类似的问题.
应当删减那些没有实际意义的勉强的所谓应用，
补充现代科学技术、能够引起学生关注的应用实例.
从主要关注逻辑推理和技巧
转向主要关注基本思想和应用.
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“老话题，新视角”
二元函数偏导数概念：
二元函数 “一次只改变一个变量的”研究策略.
在研究二元函数和多元函数时，采用“一次只改
变一个变量”而其他变量不变，将多元函数变成一
元函数, 这种方法可以使我们对于因变量与各个
自变量的关系一目了然，对于了解多元函数的性质
有很好的效果. 在这个方面，美国教材经常运用
表格、图形和等值线表示二元函数，使得对于二元
函数的认识更加直观.
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横线：不同的资本总投入下，劳动力总量对于总
产出的影响
纵线：劳动力总量不变的情况下资本总投入对于
总产出的影响.
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二元函数微分概念：
 f  f (x0   x, y0   y )  f (x0 , y0 ) .
想用一个非常简单的表达式近似计算函数增量
 f  f x ( x 0 , y 0 )  x  f y ( x 0 , y 0 )  y
能不能取得很好的近似精度？
很好的精度是什么含义？
在什么条件下能够取得这样的精度？
中国教材着重数学概念的抽象和严密，
美国教材更重视数学概念的直观化、数值化，
以及应用背景.
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“老话题，新视角3”
•数学结论赋予更贴近应用的新解释：
条件极值部分传统讲法只不过是
掌握一个形式化的公式辅助函数.
 min f ( x, y, z )
.

s.t. g ( x, y, z )  C
L( x, y, z,  )  f ( x, y, z)   [ g ( x, y, z)  C ]
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dM

dC
“老话题，新视角2”
•数学结论赋予更贴近应用的新解释：
曲线凸凹性新解：
环保局将某工厂告上法庭，说工厂的污染日益加剧，
并以图作证
工厂出庭应诉，所自己排放增加的速度在逐渐减少，
并向法庭出示了第二张图.
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美国微积分教材一般不突出抽象与严密，
而是用大量图形和数值计算解释概念
中国教材着重关心各式各样的证明和计算技巧。
美国教材更重视数学概念的直观化、数值化，
更加重视那些有价值的应用。
可以设想，
国内大学生为了考试
不得不背诵可微性、可偏导性和连续性的逻辑关系
以及某个函数的泰勒公式时，
美国的学生可能
正在运用这些方法计算或者研究一个实际问题.
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4. 训练环节的变化
国内数学习题的缺点：
•偏重于纯数学的技巧和推理，
•仅有的少量应用题，而且不带量纲，.
•给定数据，学生只需要机械地代入现成公式，
结果是事先安排好的。
•被动地接受恰到好处的条件，对于毫无悬念的结
论进行验证.
因此训练环节缺乏开放性和挑战性，
学生不参与问题设计.
不利于培养应用能力.
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• 减少常规的计算题和证明题，
降低纯数学技巧的难度.
避免对于数学概念纯粹形式化的考察方式，
• 参照美国微积分教材，适当改变训练和考察侧
重点，贴近应用.
• 注重对于思想、直觉思维和数值敏感度的训练.
• 课外作业由单一概念、计算和证明的传统模式
向开放式研究性问题、应用案例
和 teamwork 综合训练转变.
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5. 对于不同水平学生实行区别对待
由于职业规划、发展方向以及能力的多样化，
不可能使所有学生都对学习数学有兴趣，
不能期望所有学生都能刻苦学习数学.
就整体而言，
我们做不到数学学习的“要兴趣导”，
也不可能使所有学生都做到“主动学习”.
同一个数学班上的学生
接受能力和主动精神度有相当大的差异，
教学应当制定合理的策略.
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1. 重点指导优秀学生实现个性化发展.
2. 鼓励、帮助、迫使一部分学生又被动变得的
主动起来.
3. 对基础较差和学习发生困难的学生给予关照.
• 教学过程中适时地辅导.
• 提供更基本的要求和简易的学习资料.
• 容忍部分学生仅完成最低要求，通过考试，
使他们在另外的领域实现更好的发展.
• 少数学生补考或重修.
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坚持教学基本要求，不照顾懒人.
讲的多一些、深一些，少数学生因困难而缺课.
讲的少一些，浅一些，优秀学生会失去兴趣.
通过分析我们看到：
那些跟不上的学生，主要原因是主动精神较差.
所以数学教学不能一味迁就他们而降低标准.
要坚持教学要求，迫使他们主动学习.
对于部分学生来说，
数学是创造活动的基础能力，
对于另一学生来说，一刀切的数学高要求，
可能妨碍他们的个性发展.
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6. 中国教师能落实主动学习的培养
重视学生的主动学精神(Active learning)
是西方的教学理念，值得我们吸取.
但是在这个方面，中国教师会做的比西方好.
•在西方教学中，学生主动学习有时是被迫的.
因为课堂听不懂，或者课堂空泛
不得不课后自主学习，教师常缺少具体指导.
•中国教师可以把知识讲得很明白，
学生有能力通过主动学习学到更多知识.
•英方理念较为空泛，对学生缺乏具体指导.
•中国教师的敬业精神能给学生更具体的指导.
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西方的理念：认为学生是年轻的成年人，
他们应该有独立的责任、独立的决策.
是否主动学习是他们自己的事情.
教师不关心讲课以外的事情.
他们把教学师当作职业.
数理中心中国的教授们把教学视为事业，
把学生当作孩子，
为国家尽力，为家长分忧.
我们需要转变理念，
但是要坚持中国教师特有的使命感和责任心.
融合中西理念，可以比西方做得更好！
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培养创新能力培养落到实处：
--构建平台，形成氛围
平台1：良好的课堂教学效果：
• 把基本概念和原理讲明白，使得学生有能力、
有信心自主学习和探索.
• 学生可以不能全部理解，但应知道问题在哪里.
• 学生知道课后如何继续学习.
课堂教学不拘泥于完整、：
• 把基本概念和原理讲明白，
• 不可能使学生完全理解，但是学生应知道问题
在哪里.
• 学生知道如何继续学习.
平台2：训练环节：
保留适当的基本练习题，
大幅度削减计算技巧和逻辑推演体型.
补充一些
• 带有研究性和开放性的问题，
• 需要理论分析与数值模拟结合才能探索的问题，
目的是初步学会研究问题的方法，
也能提高学生的主动性.
常规练习题的缺点：
1. 机械地将数据代入公式计算结果；
2. 恰到好处的条件和必然成立的结论.
难以激发学习兴趣、不能培养创新能力.
例：条件极值与罚函数
min(max) f ( x, y, z )

s.t g ( x, y, z )  0
min Fn ( x, y)  f ( x, y)  ng 2 ( x, y)
把一个机械地根据固定程序计算问题，
转变成一个需要创新思维、数值模拟
和理论分析的研究问题.
两个光源照度最大点位置与距离之间的关系的研究：
一元函数微分学理论分析与数值模拟相结合的问题 .
A、B和C三个炼油厂，各生产三种产品：
燃料油、柴油和汽油.在一桶原油中，
A厂生产16加仑燃料油，8加仑柴油和4加仑汽油.
B厂生产8加仑燃料油，20加仑柴油和10加仑汽油.
C厂生产8加仑燃料油，8加仑柴油和20加仑汽油.
现在总共需要9600加仑燃料油，12800加仑柴油，
16000加仑汽油.每个炼油厂应当投放多少桶原油？
三个炼油厂的加工能力排成矩阵：
16 8 8 


A   8 20 8 
 4 10 20
其中第1，2，3列分别是炼油厂A,B,C的生产能力.
 x1   9600 
A  x2   12800 
 x3  16000 
问题研究：
1. 已知市场需求的情况下，如何调配各炼油厂
的原油供应？
2.
调配方案对于市场需求的变化的灵敏度研
究：
如果需求量有小的改变.
例如燃料油需求量增加1加仑.
那么对于原油的分配方案有多大影响？
3.
如果某个炼油厂停工 ，能否满足市场对于
三种产品的需求？最小二乘法的引入，推动自
主学习和研究.
4.如果现在只有两个炼油厂，第三个炼油厂待
建，为了能满足任意的市场需求，应当怎样设
计第三个炼油厂的生产能力？
5.如果在三个炼油厂之外重复建更多的炼油厂,
将会带来什么问题？
这样一个非常简单且贴近实际的问题，
几乎能够涵盖方程组求解的全部理论，
学生会在探索和求解问题中掌握方程组和矩阵
的有关理论，而且培养联系实际实际问题的意
识.
平台3：数学建模的研究平台：
• 从用确定知识点解答现成的题目过渡到
自己设计问题、自主学习数学知识、自己选取数
学方法求解答案未知 的问题.
• 从运用单一知识点进行推理和计算过渡到
整合不同的知识，综合运用多个知识点和多种方
法求解问题.
• 从简单手工进行推理和带公式计算过渡到
利用数学学软件进行数值模拟和数据处理.
• 从从单方向的给出问题答案过渡到
对于答案进行检验和评价.
平台4：参加教师科研课题的研究平台：
学生通过参加教师主持的研究课题，
有些学生在国际学术刊物上发表的文章
就是在参与教师科研课题中的成果.
例如生物系孙涛老师带领一批四年级学生
与中国科学院苏州纳米研究所合作研究值模拟.
在和中科院苏州纳米研究所的合作研究中，
中科院纳米所的研究人员认为
部分西浦学生的态度、动手能力和研究水平
甚至超过了他们的博士研究生的水平.
关键是西浦学生运用数学建模的意识
和计算机数值模拟的能力.
营造氛围：
学生社团---数学社主导，学生广泛参加，
教师有力的指导
校方的支持.
数学建模活动成绩斐然，广泛普及.
已经成为与数学课程平行的学习研究数学的渠道,
发挥了课堂和教科书起不到的作用.
大学生的创新
是一种学习方式、学习态度和思维方式.
不同的学生的创新有不同的内涵、不同的层次 ,
但是对于各层次的学校和学生都需要
培养创新意识和创新能力.
只不过内涵和水平可以不同.
当前数学基础课教学中的哪些问题可能制约创新能
力培养？
1.一刀切的教学要求和应试的学习方式.
给学生留下的独立思考和个性发展空间不够.
2. 微积分和线性代数等数学基础课内容太多、太深，
应用实例陈旧.理论体系完整漂亮，但是实用价值值
得研究.
陈怀琛教授几次对我说：你们大讲特讲的线性方程
组无穷多解的情形和解的结构没有实用价值，实际
问题中的线性方程组大多是无解方程组.
3. 训练方式和习题类型需要改变.
如何把数学讲明白
一、把复杂问题讲简单
二、把枯燥内容讲生动
三、把数学思想讲平易
四、可行的教学目标，合理的教学策略
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教育 教育数学和数学教育是不同的两个概念.
数学 数学教育的任务是“使教育适合于数学”
教育数学的任务是“使数学适合于教育”.
1．对于已有数学知识在体系结构的
简约性和知识传播的有效性上进行再创造，
以最简洁明了、易于接受的逻辑体系向学生
提供最值的传授的数学知识.
2．优化数学知识的表述方式，使得教材更加科学、
更加平易，更加符合教育规律．
从数学本身化解教学难点，
而不是通过教学法化解难点．
教学研究首先是对于教学素材的数学研究.
数学从研究成果到教科书，
是对于数学的第二次创造.
教师传播数学知识需要对于数学做再一次创造.
使用己的语言，不照本宣科.
师其意，不师其辞，辞必己出.（韩愈）
教师对于教学素材的理解水平和创造性表达方法
对于教学效果起着重要的作用.
理解越透彻，呈现就越简单.
文化底蕴越深厚、积累越丰富，表达就越生动.
怎样把复杂问题讲简单
概念引入简单、平易. 尽量与已有知识衔接.
•
避免过度形式化，不追求非必要的抽象性，
复杂问题讲清思路，
•
课堂教学尽量避免冗长推导和苦战细节.
用典型实例分析代替演绎推理证明
•
多用图形和数值方式说话
•
透彻研究，寻找更简单、更科学的表述方式.
•
例：二元函数微分概念
难点1：对于抽象化和形式化的追求损害了概念的
可观测性与可触及性.(如果…,使得…)
难点2：高阶无穷小的说法不容易理解.
难点3：可微性与偏导数先独立引出，再寻找关系，
使得体系繁琐.
事实上，以应用为目的的读者不需要如此抽象.
过于注重抽象和追求形式化，
将数学思想和数学方法只是停留在抽象的形式上.
增加了难度，也无益于培养应用能力.
典型实例分析代替演绎推理证明
证明定理不是为了确信定理，
而是洞察概念之间的联系，学习解决问题的方法.
例如线性代数中定理:
非齐次线性代数方程组有解的充分必要条件
是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩.
证明抽象、冗长,学生往往不知教师所云何物.
只需用五个未知数和六个方程的方程组，
就可以将其中的条件和结论的内在联系
讲得很直观、很清楚.
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典型实例分析方法的好处：
可观测，
可信度.
直接学会使用
罗素关于纯数学的定义：
数学可以定义为这样一门科学：
数学家不知道自己说的是什么，
也不知道自己说的是否正确.
数学家不知道自己说的是什么，
是因为纯数学与客观世界无关；
数学家不知道自己说的是否正确，
是因为作为一个数学家，
他们从不费心去证实数学定理是否与物质世界相符.
Engene P. Wigner (魏格纳):
1959年美国现代数学大会报告：
有人曾认为：
什么是数学？
哲学就是滥用术语，
而术语就是为了被滥用而编造出来的．
我说（Wigner said）：
数学就是精巧地操作概念和规则的科学，
概念和规则就是为了被操作而创造出来的.
纯数学的这些特点，或多或少地表现在教材中.
这是数学难学且学了不会用的原因之一.
数学教材中或多或少地保留了纯数学的这些印记.
美国教材相对弱化，中国教材比较明显.
对于两者的长处进行比较是必要的.
这里有几个要点：
• 对于许多学生，学习数学的目的在于应用.
• 为了有效地使用，数学必须先把自己说明白.
这就需要某种合理抽象适当的逻辑体系.
如果缺失起码的抽象和逻辑体系，数学知识的陈
述会变得凌乱无序和效率低下，不利于学习和不
能有效地应用.
• 逻辑体系应当尽可能简约，概念要平易.
• 以应用为主的学生，适当降低抽象程度和减
少逻辑推理并不妨碍创新能力的培养.
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制定有效的教学策略.
讲究课堂教学策略和方法是中国教学理念的优点.
在西方教师的教学中，
学生常常因为课堂压力大而被迫主动学习.
中国大学教师则通过良好的课堂教学效果
鼓励、指导学生更加有效地自主学习.
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1.
•
•
2.
引导学生树立正确心态
对于课堂有准备、有预期.
摆脱对于课堂和教师的完全依赖.
数学概念和定理：
先具体后抽象，先使用再证明.
3. 随时让学生知道所云何物.
4. 不悱不发，不愤不启.
5. 问题：先基本后提高：
复杂问题是由简单问题复合而成的，
有些人在复杂问题面前束手无策，
归根结底是没有把基本问题弄清楚.
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启示
1.大学教育理念的差别是中西文化的差别的反映.
大学是社会的缩影.
在西交利物浦大学，
席酉民校长倡导的是一种超越中西的理念.
2.培养学生的主动学习精神和自主学习能力，
是数 学教学中能力培养目标成败的关键因素.
“Active Learning or Passive Learning”
是英国教育理念中一个非常核心的关注点.
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3. 大学的教学理念，中国和西方各自有自己的长处.
如果有宽松的教学环境，
中国教师能够更好地融合中西不同教学理念，
落实学生的能力培养.
因为中国的教师更加有使命感和责任心.
应当继续提倡和坚持中国教师的敬业精神.
教师不仅是职业，也是事业，需要尽力.
4. 教师指导学生发展，需要知识和视野的广度.
为人师者教师应当具有较高的人文素质.
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谢谢！
对美国微积分教材的再认识
─《美国微积分精粹选编摘评》编写体会
研究背景：
根据大学数学教学研究与发展中心于2009年确定的
首批研究课题中的第四课题，西交利物浦大学数理
中心分工研究北美微积分教材，并以编写出版
《美国微积分教学精粹选编摘评》为最终目标.
利用这个机会，项目组成员分工仔细阅读、
深入研究了十余本近年来出版的
在美国有较大影响的微积分教材，
借这个机会对于美国微积分教材获得新的认识.
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1. 概貌
• 直观感觉：
美国微积分教材像华丽丰满大厦，
图文并茂，内容翔实、视野较宽.
中国微积分教材像简易建筑，相对单薄枯燥，
基本上是课堂讲稿的扩展。
• 这种差异有其深刻的原因
例如教材立意和教学功能定位
例如编著者的背景和水平
例如对于微积分知识的理解和教学目标等。
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2. 由教材折射出来的微积分课程定位的区别
• 国内微积分课程往往围绕知识点展开，
“知识立意”。
结构重视纯数学方面的系统化、严格化和形式化，
重视纯分析的数学方法和技巧。
这种特点反映了微积分课程的定位：
数学基础课程，承担数学基本能力培养，
比较强调抽象思维能力逻辑思维能力。
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美国微积分教材
• “能力立意”：
─把微积分当做观察事物的观点和解决问题的方法，
在讲授知识时着眼于应用能力的发展.
─用几何和数值方法为辅助手段表述概念和原理，
─通过大量例题和应用题解释数学原理及其应用。
─抽象化的、形式化的理论叙述比较分散
─例题和习题、特别是应用题很丰富翔实。
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3. 概念和原理的陈述方式
• 国内教材概念的表述追求严密、抽象和一般性，
刻意避免可能的任何微小的逻辑纰漏。
• 美国微积分教材比较平易直观，
不追过度求形式化和抽象化，
多用数值计算和图形解释数学原理，
用数值方法、图形方法进行辅助分析和验证。
较少逻辑推理，比较少见纯数学解题技巧。
这里列举两个例子。
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例 1 ：复 合 函 数 f  g ( x )  f ( g ( x ) ) 的 表 述 .
在 这 个 概 念 中 有 些 国 内 教 材 要 求 R (g )  D ( f ) .
这个条件大概源自映射概念的表述.
但 是 在 函 数 y 
s in x 中 就 会 遇 到 麻 烦 .
这会导致一个令人烦恼、但意义不大的一个问题：
在不同的表达式中，
正弦函数sinx 必须有不同的定义域！
美国《Thomas’Calculus》和《Calculus》
（DaleVarberg, Edwin J.Purcell and Steven
E.Rigdon ）对于复合函数概念的陈述非常简单。
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如果仔细阅读他们的表述方式，
我们将复合函数这个概念做这样的陈述：
将 函 数 u  g ( x) 代 入 函 数 y  f ( x) 中 的 自 变 量 位 置 ,
得 到 函 数 y  f ( g ( x )) .
这 个 以 x 为 自 变 量 、以 y 为 因 变 量 的 函 数 ，
就 是 由 u  g ( x) 和 y  f ( x) 构 成 的 复 合 函 数 .
复 合 函 数 y  f ( g ( x )) 的 定 义 域 就 是 那 些 使 得
f ( g ( x )) 有 意 义 的 那 些 x 构 成 的 集 合 .
这样的表述方式或许不够抽象、不够严密，
但是美国微积分教材不追求在纯粹的严格与抽象，
另外，毕竟复合函数不是微积分的核心概念。
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例2：二元函数微分.国内教材喜欢这样的陈述：
假 定 存 在 线 性 函 数 ax  by ，
使 得 当 （  x ） （  y ）  0 时
2
2
f ( x0   x, y 0   y )  f ( x0 , y 0 )  (a x  b y )
(x)  (y )
2
2
 0
则 称 f (x, y) 在 (x0, y0) 可 微 .
观点：足够的抽象和形式化
才能揭示微分这个概念的实质.
接下来的事情就是关于可微性、可偏导性与连续性
的完全形式化的讨论，并且喜欢用这些关系考查学
生的理解水平。
美国微积分教材的编著者与我们有不同的理解，
他们对于微分这个概念表述做了实质性的简化：
假 设 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 存 在 偏 导 数 f x 和 f y .
当  x  0 ，  y  0 时 ，如 果
f ( x 0   x , y 0   y )  f ( x 0 , y 0 )  ( f x x  f y  y )
(x)  (y )
2
2
 0
则 称 f (x, y) 在 点 (x0, y0) 可 微 .
用完全等价、相对简单、具有可观测性的方式
陈述了微分概念。
将微分与偏导数的关系直接说明，
避免了多余的、完全形式化的讨论.
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什么是数学概念的可观测性？
数学概念的可观测性：
1. 能够以可靠程序验证概念是否成立
(例如极限的直观概念不可观测，
严格定义可以观测 ─语言就是可靠程
序)
2. 概念很明白本身含义是什么.
例如二元函数微分就是 fxΔx+fyΔy
3. 概念容易产生计算方法，
4. 概念容易使用.
(例如定积分、二元微分和第二型积分等)
4. 数学思想和数学方法如何体现
国内微积分教材比较重视所谓数学思想，
例如
• 极限方法
• 函数的局部线性化，
• 用简单的函数近似表示复杂函数的思想.
但是对于这些数学重要思想的重视
基本上停留在抽象和形式化的叙述层次，
很少在应用于有价值的应用问题中去.
因此实际上学生不容易体会这些思想的价值和应用.
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•美国微积分教材中也包含了上面这些数学思想，
虽然在形式上不够抽象，
但是这些思想和方法常常体现在
分析解决实际问题的过程中.
给人的印象是，
虽然没有在形式上强调多么重要，
但是学生通过一些有意义的例子，
可以体验并且学会这些方法.
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例3:定积分概念
n
lim
max{  x i }  0

i 1
f ( i )  x i
国内教材在形式上给出这个概念之后，
几乎立即转到牛顿-莱布尼茨公式，
由此展开一系列的证明和计算技巧.
定积分概念仅仅在形式上存在，
给人的印象是：
教材必须把概念叙述得完全严谨，
但是学生是否理解并不重要.
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美国微积分教材则有不同的处理方式。
他们花相当的篇幅，用近似计算问题
解释积分的背景和定义中的极限的含义.
实际上，对于定积分中的这个极限过程，
积分近似计算是理解概念最好的途径。
中国教材着重关心各式各样的证明和计算技巧。
美国教材更重视数学概念的直观化、数值化，
更加重视那些有价值的应用。
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例如，
关于函数的局部线性化以及泰勒公式等方法，
美国微积分教材一般不突出抽象与严密，
而是用大量图形和数值计算解释概念
并且配有丰富的例题和习题.
可以设想，
国内大学生为了考试
不得不背诵可微性、可偏导性和连续性的逻辑关系
以及某个函数的泰勒公式时，
美国的学生可能
正在运用这些方法计算或者研究一个实际问题.
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5. 例题和习题设置，解题思路和方法
• 国内微积分教材，
例题和习题偏重于纯粹数学的推理和技巧.
一些考研题目被越来越多地加进教材，
有兴趣、有应用价值的题目很少.
只有少量的应用题带有量纲，
这种状况很不利于学生的应用能力的培养.
• 美国教材有大量应用题，许多问题是带量纲的，
这有利于培养学生的应用能力.
美国微积分某些教材也有一些较难的题目，
但多数不是纯数学技巧的题目。
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Dale Varberg等三人合著的微积分
前言中的一段话：
“我们的教材的目标是
将焦点集中在环绕在词汇和图形中的少数基本思想.
在解题过程中，
如果需要发展数学和解题技巧的话，
不应当掩盖对微积分的理解 .”
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还有一个问题值得一提，
美国教材在解题过程中，注重直觉思维的发展，
以及所谓“数值敏感性”（Number sense）.
什么是对于数值敏感性？
“学生在解题过程中可能会产生数值上的错误，
但是对于数值更加敏感的学生
能够发现荒唐的错误，并且重新做出解答.
为了激励学生发展这个重要能力，
我们特别强调估算过程，提示学生如何进行心算，
如何通过心算得出大致正确的数值答案.”
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为了说明直觉思维能力的运用，下面看一下美国微
积分教材对于一个简单应用问题的求解方法（Dale
Varberg等三人合著的《Calculus》,P168）.
例：圆锥内接正圆柱体的最大体积问题.
中国教材习惯处理方式：
构造目标函数，
b 3
V  br   r
a
2
然后求函数极值,得出答案.
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美国教材首先用直觉思维对问题作出初步判断：
（克莱因：直觉思维能力是浓缩的经验 ）
在解决问题之前， 我们凭直觉可以想象到，
当圆柱的半径接近圆锥的半径时，
圆柱的高会非常小，因而内接圆柱的体积接近于零.
还可以想象，圆柱的高增加时，
其体积会随之增加.
但是当圆柱的高接近圆锥的高时，
其体积又会随之减少.
因此圆柱的体积
应当在其高等于某个值时具有最大值.
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另一方面，圆柱体积公式为 V 
hr
2
由公式看出，比较大的 r 对于体积有更大的贡献，
因此可以想象，当圆柱体积达到最大时，
半径 r 的值应当比 h 大.
2b
1
答 案 ：r 
,h a.
3
3
这种预估能够帮助我们发现可能的计算错误，
最终得出符合实际的正确结论.
最后得出的结果和预先的直觉是相符合的，
因此有经验的直觉的可信程度是高的．
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关于习题配置，
美国微积分教材中的复习题和预习题，
也值得我们借鉴.
Dale Varberg等三人合著的《Calculus》的
前言中有这样一段话：
In the last few decades, students have
developed some bad habits. They prefer not to
read the textbook. They want to find the
appropriate worked-out example so it can be
matched to their homework problem.
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因此，
该书中每节练习题的开始都有一部分填空题，
这些简单的填空题可以考查
学生对于基本术语的掌握、对于定理的理解，
以及在最简单的情形中对于概念的使用能力.
在每一章的结尾和下一章开始之间，
还配置了复习题和预习题，
其中有很多问题迫使学生
在开始新的一章之前认真复习已经学过的话题.
另外的复习题和预习题
则要求学生运用学过的知识
为没有学过的一章做一个必要的铺垫.
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结束语
中美国两国微积分教材的差异
绝对不仅限于内容深一点或者浅一点，
也不仅在于应用题多一些或者少一些.
两者在课程定位、概念和原理的理解和表述，
以及对于学生的训练侧重和例题习题的风格方面，
都有明显的差异.
中美微积分教材的差异有深刻的背景.
原因之一是
中国的微积分教材的编者一般是微积分的教师，
而美国微积分的编著者有许多应用数学家，
甚至有研究学习心理的专家.
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编者的视野和水平的区别，
对于微积分内容、方法的理解不同，
以及对于微积分教学目标的不同理解，
都是造成中美微积分教材巨大差异的原因.
也许很难用简单的方式评价两者孰优孰劣，
也许美国微积分教材
不完全适用于中国大学微积分课程的教学，
但是在许多方面，
美国微积分教材值得我们借鉴，
值得我们思考.
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在美国有这样一个故事：
一位学生在下课之后快步绕到教授的面前
把他拦下来，说了一大堆借口，
希望与教授约个时间，给他解答不明白的几个问题。
教授拿出他的记事本，翻了又翻 看了又看，
然后对学生说：
“我在两个半月之后有点空闲，
也就是3月24日清晨6点15分。”
学生听罢倒吸一口冷气，对教授说：
“我与助教预约的恰好也是这个时间！”
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