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SEMINARIO PROBLEMAS
(1 DICIEMBRE 2014)
Antonio J. Barbero
Dpto. Física Aplicada
Facultad de Farmacia UCLM
1
1.- Un tono puro de 432.9 Hz se propaga en el aire a 340 m/s. La amplitud de la onda de presión
en un punto situado a 2 m de la fuente es de 184 mPa. Se pide:
(a) La ecuación de onda y representar en el punto indicado la presión como función del tiempo.
(b) Calcular la intensidad de la onda y el nivel de intensidad en dicho punto.
Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2; densidad del aire 1.27 kg.m-3.
Cálculo de  y k
  2 f  2  432.9  865.8 rad/s  2720rad/s
v

k
 k

v

2720
 8 m -1
340
p  pm cos(kx  t )  184cos(8 x  2720t ) mPa
Representación gráfica en x = 2 m
Valor rms de
la presión
p  184cos(16  2720t ) mPa
prms 
pm 184

 130 mPa
2
2
200
2
prms
I
 ·c
150
100
50
130·10 
I
3 2
1.27·340
 3.91·105 W/m2
I
3,91·105
LI  10log  10log
 75.9  76 dB
I0
1012
0
-50
-100
-150
-200
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
t s 
2
2.- Un diapasón montado sobre una caja de resonancia se golpea con un martillete
emitiendo una onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s y alcanza un
receptor. Considerando que la onda que alcanza el receptor es una onda plana, se
pide:
a) Si la sobrepresión máxima producida por la onda sonora en el receptor es igual
a p0 = 210-4 Pa, escribir la ecuación de la onda viajera, explicando la elección que
se haga para la fase inicial, y calcular su longitud de onda.
b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación
1 p02
indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el
Ayuda I 
2v
receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I?
c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.
d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB
mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?
Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento:  = 1.22 kg/m3
a) Onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s. Sobrepresión máxima en el receptor p0 = 210-4 Pa.

 2 f
612
2
2
v
k 
 2
 3.6 m -1


 0.555 m
k
v
v
340
k
3.6
  2 f  2  612  1224 rad/s
px, t   p0 coskx   t   
Suponemos que se propaga de izquierda a derecha
p0,0  p0 cos   p0
 0
Elegimos como punto inicial el momento
4


p
x
,
t

2

10
cos3.6 x 1224 t 
en que la presión pasa por un máximo
Longitud de onda

2
2

 0.555 m
k
3.6
( p en Pa)
3
(2.- Continuación)
b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación
1 p02
indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el
Ayuda I 
2v
receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I?
c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.
d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB
mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?
Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento:  = 1.22 kg/m3
1 p02 1 2 104 
I
 
 4.82 1011 W/m2
2  v 2 1.22 340
2
b) Nivel de intensidad que percibe el receptor
Densidad del aire:  = 1.22 kg/m3
Justificación de las unidades S.I.
I   Potencia
Área

watios
m2
 4.821011 
  10log 4.821011  120  17 dB
c) Nivel de intensidad LI  10 log10 
12
 10



d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB
mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?
I
 I 
 I 
log10  12   3.7
 10 3.7
LI  LI  20  17  20  10log10  12 
12
10
 10 
 10 
I   103.7 1012  5 109 W/m2
4
3.- El nivel de intensidad de la sirena de un barco, percibido por un marinero en la cubierta a 10
metros de distancia de la misma, es de 70 dB.
Determinar (a) el nivel de intensidad a 1 km de distancia; (b) la distancia a la cual la sirena dejará
de ser audible; (c) la presión rms de la onda sonora a la distancia a la que la sirena deja de ser
audible. Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2; densidad del aire 1.20 kg.m-3;
velocidad del sonido 338 m/s.
A 10 m de distancia (punto 1)
LI 1  10 log
A 1 km de distancia (punto 2)
La intensidad de las ondas
sonoras
es
inversamente
proporcional al cuadrado de la
distancia a la fuente (suponemos
propagación isótropa)
I1
 70 dB
I0
LI 2  10 log
2
prms
I
 ·c
I 2 r12
10 2
10 2
 2  3 2  6  10  4
10  10
I1 r2
 prms 0 
Intensidad de la
onda en cubierta
I

I
I 
LI 2  LI 1  10  log 2  log 1   10 log 2  LI 2  70
I1
I0
I0 

I2
I0
La distancia r0 a la que la sirena deja de ser
audible es aquella a la intensidad de la onda se
hace igual al límite de percepción I0 = 10-12 W·m-2
Relación entre la
intensidad y la
presión rms de la
onda sonora
I1  1012 ·107  105 W·m-2
I1 r02

I 0 r12
LI 2  70  10log104  70  40  30 dB
r0  r1
I1
105
 10
 31600m
I0
1012
 ·c·I 0  1.29·344·1012  2·105 Pa
Umbral de
presión = 20 Pa
5
4.- Una fuente sonora isótropa produce un nivel de intensidad de 65 dB a 1 m de distancia. Las
condiciones ambientales son densidad del aire 1.27 kg.m-3 y velocidad del sonido 340 m/s.
Calcular (a) la potencia emitida por la fuente; (b) el valor máximo de la presión de la onda sonora
a 2 m de la fuente ¿Cuál es el valor rms correspondiente?. Umbral de percepción de intensidad I0
= 10-12 W·m-2.
LI 1  10 log
I1
 65 dB
I0
log
I1
 6.5
I0
I1  1012 ·106.5  105.5 W·m-2  3.16·106 W·m-2
La intensidad a 1 m de la fuente es la
potencia emitida repartida sobre la
superficie de una esfera de radio r1 = 1m.
W
I1 
4 r12
Intensidad a 1 m de la fuente
W  I1·4 r12
W  4 ·3.16 ·106 W  4·105 W
Para determinar la presión de la onda sonora calculamos la intensidad a r2 = 2 m de la fuente.
La intensidad de las ondas
sonoras es inversamente
proporcional al cuadrado
de la distancia a la fuente
Relación entre la
intensidad y la
presión máxima
de la onda sonora
2
r12
105.5
5.5 1

 7.91·107 W·m-2
I 2  I1 2  10
2
2
4
r2
I 2 r12

I1 r22
pm2
I
2  ·c
En una función senoidal la relación
entre valor máximo y valor rms es
 pm 2 
prms 
2·c·I 2  2·1.27·340·7.91·107  2.61·102 Pa
pm 2.61·102 Pa

 1.85·102 Pa
2
2
6
5.- Un altavoz de forma semiesférica se ajusta para un nivel de intensidad de 40 dB a 10 m de
distancia. (a) ¿Cuál es la intensidad en W·m-2 a esa distancia? (b) ¿Cuál es el nivel de intensidad
a 2.5 m de distancia? (c) Suponiendo que el altavoz semiesférico es una fuente isótropa de
sonido, ¿cuál es su potencia? (d) ¿Cuál es la presión rms a 20 m de distancia?
Densidad del aire 1.29 kg.m-3; velocidad del sonido 344 m/s. Umbral de percepción de intensidad
I0 = 10-12 W·m-2.
LI 1  10 log
A r1 = 10 m de distancia (punto 1)
I1
 40 dB
I0
Intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia a la fuente, por tanto para r2 = 2.5 m la intensidad es
2
r12
8 10

10
 1.6·107 W·m-2
I 2  I1 2
2
2.5
r2
3
I1  1012 ·104  108 W·m-2
I 2 r12

I1 r22
I2
1.6·107
LI 2  10log  10log
 52 dB
I0
1012
La potencia emitida por el altavoz se distribuye uniformemente sobre una superficie
semiesférica. Por lo tanto, tomando el dato de I1 y r1 tenemos que
I1 
r3
1
2
r1
r2
W
2 r12
W  I1·2 r12
W  108 ·2 ·102  6.28·106 W
Para calcular la presión rms a 20 m hallamos primero la intensidad de la onda
2
I 3 r12
r12
8 10
 2
I 3  I1 2  10
 2.5·107 W·m-2
2
I1 r3
20
r3
2
I  prms
/·c
prms  I ··c  2.5·107 ·1.29·344  1.05·102 Pa
7
6.- La ecuación del segundo armónico de una onda estacionaria en una cuerda de 10 m de longitud sometida a
una tensión de 50 N está dada por
yx, t   8 sin0.2 x sin20 t 
x en m, y en cm, t en s
a) Determinar la frecuencia y velocidad de propagación de las ondas viajeras cuya interferencia produce la
onda estacionaria en esta cuerda y calcular la densidad lineal de masa.
b) Escribir la ecuación de onda del término fundamental. Hallar la máxima velocidad de vibración de un punto
de la cuerda en este modo, suponiendo que la amplitud máxima es igual que la del segundo armónico.
y (cm)
c) Determinar las posiciones de los nodos del cuarto armónico.
10
k2  0.2 m-1
2
2
2 

 10 m
k2 0.2
a) Parámetros de la onda
. estacionaria
v
2
k2

20
 100 m/s
0.2
2  20 rad s-1

20
f2  2 
 10 Hz
2
2
v
T

4  41  40 rad s

2L
4 
5m
4
y4 x, t   8 sin 0.4 x   sin 40 t 
x en m, y en cm, t en s
4
2
0
T
50
 4  5 10 3 kg/m
2
v
10
f n  n  f1
1 
1 
2
2
2L
 20 m
1
y1 x, t   8 sin0.1 x sin10 t  x en m, y en cm,t en s
-1
6
-2
b) Las frecuencias de todos los armónicos son
. múltiplos enteros del término fundamental

2L
Longitud de onda: L  n n
n 
2
n
c) Ecuación 4º armónico
8
-4
-6
-8
x (m)
-10
 10 rad  s
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k1  2 / 1  2 / 20  0.1 m-1
vmax  y1 x, t max  80 cm/s
2
2
k4 

 0.4 m-1
4
5
y (cm)
10
8
6
4
2
Hay un nodo para cada valor x que verifica
sin 0.4 x   0
x1  0 x2  2.5 x3  5 x4  7.5 x5  10 (m)
0
-2
-4
-6
8
-8
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x (m)
9
10
7.- Determinar la imagen de un objeto de 5 mm de altura situado a 2.5 cm de una lente convergente
de focal 15 cm. ¿Qué tipo de imagen es y cuál es su tamaño?
1 1 1
 
s s f 
1 1 1 1
1
 12.5
   

s f  s 15 2.5 37.5
s  3 cm
L
y  5 cm
y
F
F
y
s
s
Los rayos divergen
después de refractarse en
la lente: eso implica que
la imagen se forma en el
lugar de donde viene la
luz por prolongación de
los rayos refractados, es
decir, se forma una
imagen virtual (véase
que el signo para s’ es
negativo).
f
5 mm
5 cm
m
s
3

 1.2
s
2,5
m
y
 y  m y  1.2  5  6 cm
y
Imagen virtual (formada por la concurrencia de prolongaciones de rayos refractados), derecha
(el aumento lateral m es positivo) y de mayor tamaño que el objeto (m>1).
9
8.- SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + DIVERGENTE)
A 19 cm a la derecha de la lente del problema anterior se sitúa una lente divergente de focal 12 cm. Determinar
la imagen formada por el conjunto de las dos lentes del mismo objeto al que se refiere el enunciado anterior.
¿Qué tipo de imagen es y cuál es su tamaño?
1 1 1
 
s1 s1 f1
1 1 1 1
1
 12.5
   

s1 f1 s1 15 2.5 37.5
s1  3 cm
L1
L2
y1  5 cm
1 1
1
 
s2 s2
f 2
d  19 cm
y
F1
F2
y
s1
s1
s 2
s2  s1  d  22 cm
F1
f 2  12 cm
Rayo auxiliar
f1
f 2
5 mm
5 cm
Imagen virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto
m1  
s1
3

 1.2
s1
2,5
1
1 1
1
1  34
  


s2
f 2 s2  12 22 264
m1 
y1
 y1  m1 y1  1.2  5  6 cm
y1
s2  7.76 cm
m2 
m2  
s2
 7.76

 0.35
s2
22
y2
 y2  m2 y2  0.35 6 102.1 cm
y2
9.- MICROSCOPIO (CONVERGENTE + CONVERGENTE)
El objetivo y el ocular de un microscopio son lentes convergentes de focales 20 mm y 50 mm,
respectivamente. El tubo del microscopio tiene 150 mm de longitud.
(a) ¿A qué distancia del objetivo debe colocarse la muestra a examinar? Hágase un esquema
gráfico con la marcha de los rayos. (b) ¿Cuál es el aumento angular de este microscopio?
(a) El microscopio enfoca cuando la imagen del objetivo se forma en un punto muy próximo al
foco del ocular.
f1  20 mm
Objetivo
Ocular f 2  50 mm
A determinar
d  150 mm
s1
s1
10 mm
Muestra
F1
F1
F2
F2
f1
10 mm
L1
1 1 1
 
s1 s1 f1
s1  d  f 2  150  50  100 mm
f 2  f 2
(b) Aumento angular:M 
f 2
Imagen del objeto formada por el
objetivo, que es ampliada por el ocular
1 1 1
1
1
4
  


s1 f1 s1 20 100 100
 s1·0.25  0.1·0.25

 25
f1 f 2
0.02·0.05
L2
s1 
100
 25 mm
4
(Compruébese
en el gráfico)
Los detalles se ven 25 veces mayores que a simple
11 vista
10.- SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + CONVERGENTE)
Un pequeño objeto de 0.4 mm de altura se observa utilizando un sistema formado por
dos lentes convergentes. La primera lente es de focal 5 mm, y el objeto se sitúa 7 mm a
su izquierda. La segunda lente es de focal 8 mm, y ésta se sitúa 22 mm a la derecha de la
primera lente.
Utilícese papel milimetrado para resolver gráficamente el problema de la formación
de la imagen de este objeto y a partir de la representación gráfica construida contéstese a
las siguientes preguntas:
1º) Dónde se forma la imagen y cuál es su tamaño.
2º) ¿Qué tipo de imagen es y qué orientación tiene?
3º) Estímese a partir de la construcción gráfica el aumento angular de este sistema.
Véase esquema gráfico en página siguiente
y
tg   s1
1
tg   
y
tg    2
s2
tg     
s2  10.3 mm
y2  2.27 mm
Imagen virtual e invertida.
  y2 s1 2.27 7
  

 3.86
 s2 y1 10.3 0.4
12
10.- SISTEMA ÓPTICO (CONVERGENTE + CONVERGENTE)
L1
f 2  8 mm
L2
f1  5 mm
y
tg   s1
1
y
tg    2
s2
s2  10.3 mm
y1  0.4 mm

F1

F1
F2
F2
tg   
s1  7 mm
y2  2.27 mm
tg     
  y2 s1 2.27 7
  y1 
  3.86

 s2
10.3 0.4
1 mm
10 mm
Imagen virtual e invertida.
13
11.- SISTEMA ÓPTICO (DIVERGENTE + CONVERGENTE)
Un sistema óptico está formado por dos lentes delgadas, la primera de ellas L1 es divergente de
focal f’1 = -30 cm; la segunda L2 es convergente de focal f’2 = +20 cm y se encuentra situada a
45 cm a su derecha. Un objeto de 5 mm de altura se sitúa 25 cm a la izquierda de la lente
divergente (véase figura). Se pide:
a) Usando la ecuación de las lentes de Gauss, determinar dónde se formará la imagen del
objeto y cuál será su orientación y su tamaño.
b) Usando papel milimetrado, hágase la reconstrucción geométrica de la marcha de los rayos
y obténgase gráficamente la posición de la imagen.
Orientación de la imagen: invertida
s1
y1  5 mm
m1  
s1
 13.6

 0.55
s1
25
Para la lente L1
25 cm
f1  30 cm
s1  25 cm
L2
L1
d  45 cm
1 1 1
 
s1 s1 f1
s 2
y2  1.45 mm
m2  
s2
30.4

 0.52
s2
58.6
1 1 1
1
1
25  30
55
  



s1 f1 s1  30 25  30 25
750
s1  13.6 cm
Esta imagen virtual de la lente divergente L1 actúa como objeto para la lente convergente L2.
f 2  20 cm
s2  s1  d  58.6 cm
Tamaño de la imagen:
1 1
1
 
s2 s2
f 2
1
1 1
1
1
58.6  20 38.6
  



s2
f 2 s2 20 58.6 20 58.6 1173
y2
 m1  m2  0.55  0.52  0.29
y1
y2  0.29 y1  0.29 5  1.45 mm
s2  30.4 cm
14
3,0
Plano focal L2
2,5
Plano focal L1
11.- SISTEMA ÓPTICO (DIVERGENTE + CONVERGENTE)
F1
F2
2,0
1,5
 1.5 mm
1,0
5 mm
0,5
 30 cm
10 cm
L1
L2
0,0
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12