Transcript logika-eloadas

Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
Elérehetőség:
• aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/
• [email protected]
Fogadó óra:
hétfő 10-12 2.620 szoba
Jegyzet:
Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:
A MATEMATIKAI LOGIKA
ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA
Az emberi gondolkodás vizsgálata
A logika a következtetés, a bizonyítás, és
az érvelés tudománya
A matematikai logika
• Formalizálja azt a nyelvet, amin a
matematikai állításokat megfogalmazzuk
• Szabályokat állít fel, hogy az állításokból
új állításokra következtessünk
• Állításformákat elemez
• Bizonyítási módszereket fejleszt ki
Bevezetés
A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 0. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Normálformák
• Szintaktikus megközelítés (Bizonyításelmélet, Rezolúció)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 1. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Szintaktikus megközelítés (Bizonyításelmélet, Rezolúció)
Egy axiómarendszerrel szemben azok a legfontosabb
követelések merültek fel, hogy legyen
• Ellentmondásmentes (konzisztens): levezethető-e
egy állítás és annak tagadása is
• teljes:
minden állítást vagy igazolni, vagy cáfolni
lehessen
• eldönthetőség: az elmélet bármely állításáról
eldönthető, hogy levezethető-e vagy sem
NYELV=ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
ABC:Szimbólumok tetszőleges nemüres halmaza
Pl.: V={0,1}
Szavak: Egy abc elemeiből álló véges sorozat
Pl.: 01010001
V*: V abc elemeiből alkotott szavak halmaza
Pl.: {0,1,00,01,10,11, …}
V abc feletti formális nyelv (L): V* egy tettszőleges részhalmaza
Pl.: {0,1,00,11,000,111}
Kérdés: Van-e olyan szabályrendszer, amivel L elemei megadhatóak?
Szintaxis (Nyelvtan, L nyelvé): Olyan szabályok összessége, mely megadja,
hogy melyek az L nyelv kifejezései (szavai)
Szemantika (Jelentés, L nyelvé): Megadja, hogy mi az L- beli szavak jelentése
A gondolkodás egyik közismert formája a következtetés
Definíció:
Gondolkodásforma vagy következtetésforma egy
F = {A1, A2,…,An} állításhalmaz és egy A
állításból álló (F,A) pár.
Megjegyzések:
• Az állítás adott körülmények között lehet igaz (i) vagy hamis
(h). Ezt az értéket az állítás igazságértékének nevezzük.
• Nem tartalmi, oksági szempontból ragadjuk meg a
következtetést, hanem az igazságérték megtartásának
szempontjából.
Kritérium: Mikor helyes egy következtetés
Helyes következtetésforma egy (F,A) pár, ha minden olyan
esetben, amikor az F-ben minden állítás igaz, a következmény
állítás is igaz.
Eldöntésprobléma: Egy olyan feladat,
melynek megoldása egy eldöntendő
kérdésre adott igen, nem válasz.
Döntési eljárás: Az eldöntésprobléma
megoldására kidolgozott módszer.
Kérdés: Létezik-e olyan univerzális
döntési eljárás, mely egy általában
végtelen osztály minden elemét eldönti,
azaz egy igen / nem választ képes adni a
vele kapcsolatban felmerült döntési
problémára
Tárgya
Az egyszerű állítások és a belőlük logikai műveletekkel kapott
összetett állítások vizsgálata
(könyv 19 és 28-33 oldalak).
Definíció: Egyszerű állítás
•
•
Logika fontos alapfogalma
Valamely kijelentő mondat információtartalma
Definíció: Állításjel
Az egyszerű állításhoz rendelt azonosító (Pl,: E: Esik az eső.)
Definíció : Igazságérték
Egy állítás információ tartalmat jellemezzük két értékkel: igaz, hamis
értékekkel, melyeket igazságértéknek nevezünk
• Igaz egy állítás: ha információtartalma megfelel a valóságnak,
• Hamis egy állítás: ha információtartalma nem felel meg a valóságnak
Az igazságérték meghatározásának módszerei:
•
•
megfigyelés, kísérletezés, általánosítás
az egyes tudomány területeken elért eredmények vizsgálata
Egy kosárban öt alma van. Az almákat úgy kell
elosztani öt ember között, hogy mindenki kapjon egy
almát és a kosárban is maradjon egy.
Hogyan csinálnád?
Definíció : klasszikus kétértékű logika
Olyan logika, melyben
• Az állítás információ tartalma egyértelműen
eldönthetőnek kell legyen: igaz vagy hamis
• Ellentmondás elve: az állítás nem lehet
egyszerre igaz is és hamis is
• Dichotómia, kétértékűség, harmadik kizárt
elve: nem lehet, hogy egy állítás sem nem igaz
sem nem hamis, az igazságértékek objektívek, és
az időtől függetlenek
• A következtetésnél leírt fő jellemzők érvényesek
A köznapi nyelvben használt kijelentések
általában nem állítások.
A köznapi nyelvben és a matematikában is kötőszavak
segítségével az egyszerű állításokból összetett
állításokat (ítéleteket) képezünk.
Pl.: Ha esik az eső, akkor nem megyünk kirándulni.
E: Esik az eső, K: Kirándulni megyünk
EK
Definíció: Összetett állítás
Összetett állítás egy egyszerű állításokból álló
összetett mondat, amelynek az igazságértéke csak a
benne szereplő egyszerű állítások igazságértékeitől
függ.
Ezért az összetett állítások csak olyan nyelvtani
összekötőszavakat tartalmazhatnak amelyek logikai
műveleteknek feleltethetők meg.
A leggyakrabban használt kötőszavak a következők:
Logikai művelet
Jele
Logikai összekötők
Negáció

„nem”, „nem igaz”, „hogy”
Konjunkció

„és”, „mégis”, „annak ellenére”,
„bár”
Diszjunkció

„vagy”, „de”
Implikáció

„ha, … akkor”
Ekvivalencia
(kettős
implikáció)

„akkor és csak akkor”
1
2
3
4
5
6
7



8

9
10
11
12
13 14 15 16

XY
X
Y
X
Y
i
h
X
Y
XY
XY
XY
XY
i
i
i
i
i
i
h
h
h
h
h
i
h
h
i
i
i
h
i
h
h
i
h
h
i
i
h
i
h
i
h
i
i
h
i
h
h
i
h
i
i
h
i
i
h
h
i
h
i
h
h
i
i
h
h
h
h
h
i
i
h
i
i
h
h
i
i
i
h
h
i
h
A lehetséges kétváltozós logikai műveletek közös igazságtáblája.
A táblázat tartalmazza a
• 16 db. Lehetséges műveletet
• 4.db.1-változós műveletet
• 2.db. 0-változós műveletet
Ezekből a logika tárgyalásánál a {,,,} műveleteket használjuk csak.
1
2
3
4
5
6
7



8

9
10
11
12
13 14 15 16

XY
X
Y
X
Y
i
h
X
Y
XY
XY
XY
XY
i
i
i
i
i
i
h
h
h
h
h
i
h
h
i
i
i
h
i
h
h
i
h
h
i
i
h
i
h
i
h
i
i
h
i
h
h
i
h
i
i
h
i
i
h
h
i
h
i
h
h
i
i
h
h
h
h
h
i
i
h
i
i
h
h
i
i
i
h
h
i
h
5. : kizáró vagy (X és Y közül pontosan az egyik)
6.: Sheffer vonás (X és Y közül legalább az egyik nem)
7.: Peirce vonás (sem X , sem Y)
Definíció: ítélet - vagy állítás - vagy logikai változók
Olyan változók, melyek az állítások halmazát futják be.
Az ítélet változók értékei igazság értékek.
Jelölés: X,Y,Xn...(indexezve is).
Definíció: Formalizálás
Formulának nevezzük informálisan az olyan kifejezést, amelyet
összetett állításból kapunk, úgy, hogy benne az
• Az állítást kifejező egyszerű mondatot állításjelre cseréljük
• Az összetett mondatot vele azonos értelmű összetett
mondattá alakítjuk, úgy hogy a logikai összekötőknek
megfeleljenek a nyelvi összekötők
• Állításjeleket ítélet változókra cseréljük
• A nyelvtani összekötőket pedig a megfelelő logikai műveletre
cseréljük
Példa:
‚Panni, Robi, és Sanyi készülnek a vizsgára.’
P: Panni készül a vizsgára
R: Robi készül a vizsgára
S: Sanyi készül a vizsgára
Panni készül a vizsgára és Robi készül a vizsgára és
Sanyi készül a vizsgára.
PRS
XYZ
Jelölések:
V(x) = igaz, ha x programutasítások végrehajtódnak,
hamis egyébként
F: ítéletlogikai formula, feltétel
Mit jelent:
(F  V(p))  ( F   V(p)
IF F THEN V(p)
Szerkezeti indukció elve
Olyan definíció, ahol a definiálandó fogalmat (mondat, szó,
formula,...) egy adathalmaz (ábécé) felett két lépésben
definiálunk.
• 1. (alaplépés)-ben, az adathalmaz bizonyos elemeivel
azonosítjuk a definiálandó objektumot.
• 2. (indukciós lépésben) a már definiált objektumokból és
az ábécé további elemeiből, megadott szabályok szerint
állítjuk elő az objektumokat.
Például az aritmetikai kifejezés(term) definíciója.
• 1. Egy x változó vagy egy aritmetikai konstans term.
• 2. Ha t1, t2 termek, akkor (t1+t2), és (t1t2) is termek
• 3. Az összes term az 1. és 2. szabályok véges sokszori
alkalmazásával áll elő.
Szerkezeti rekurzió elve
Pontosan egy olyan L0 –on értelmezett
függvény van, melynek
F
1. (alaplépés)-ben, értékeit rögzítjük
prímformuláin, és megmondjuk, hogy F
L0
2. (rekurziós lépésekben)
•
•
 A-n felvett értéke az A-n felvett értékéből
Illetve (A  B) értéke, az A-n és B-n felvett értékekből
hogyan származtatható
NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
Definíció: Az ítéletlogika abc-je: V0
Az ítéletlogika abc-je V0 a következő szimbólumokat
tartalmazza:
• ítélet- vagy állításváltozók (az állítások
szimbolizálására). Esetenként logikai változónak is
nevezzük ezeket a változókat.
Jelölés: X,Y,Xn...(indexezve is).
Az ítéletváltozók halmazát Vv jelöli.
• logikai összekötőjelek: , , ,  vagy a jegyzetben
még , esetleg .
• elválasztójelek: (
)
Az ítélet- vagy állítás-logika nyelve , vagy 0-ad rendű logika nyelve
Definíció: Az ítélet logika nyelve: L0
Az ítélet logika nyelve a V0 ábécé feletti legszűkebb olyan
tulajdonságú szóhalmaz, amelynek:
• V0 minden eleme egyúttal szava is.
• ha S eleme a szóhalmaznak, akkor S is eleme.
• ha S és T eleme a szóhalmaznak, akkor (ST) is eleme a
szóhalmaznak, ahol  tetszőleges binér logikai összekötőjel.
Belátható, hogy a definícióban hivatkozott szóhalmaz egyértelműen
létezik.
Nem minden szó tartozik a nyelvhez.
Az ítéletlogikában a formulákat tanulmányozzuk.
Szintaxis: A nyelvtanilag helyes mondatok szerkesztési szabályai.
Szemantika: A nyelv mondatainak értelmezése.
Definíció: L0 szintaxisa (szabályokkal definiáljuk)
(könyv. 46.old. 4.1.2.def)
1. (alaplépés) minden ítéletváltozó ítéletlogikai formula.
(prímformula)
2. (indukciós lépés)
•
•
Ha A ítéletlogikai formula, akkor A is az.
Ha A és B ítéletlogikai formulák, akkor (AB) is ítéletlogikai
formula „” a három binér művelet bármelyike.
3. Minden ítéletlogikai formula az 1, 2 szabályok véges sokszori
alkalmazásával áll elő.
TÉTEL: Lo nyelv minden eleme formula.
TÉTEL: Nem minden Vo feletti jelsorozat ítéletlogikai formula (Lo ).
Példa: Formula-e?
• ((XY)Z)
Nem
• ((XZ)Y)
Igen
Definíció: Közvetlen részformula
(könyv. 48.old. 4.1.6.def)
1. prímformulának nincs közvetlen részformulája.
2. A közvetlen részformulája, az A formula
3. Az (AB) közvetlen részformulái az A (baloldali) és a B
(jobboldali)
Például a ((ZX) Y) formula baloldali és jobboldali
részformulái a (ZX) és Y.
Definíció: Részformula
Az A formula részformuláinak halmaza a legszűkebb olyan
halmaz, melynek
1. Eleme A, és
2. Ha C formula eleme, akkor C közvetlen részformulái is
elemei.
A formulában található logikai összekötőjelek száma.
Definíció: Logikai összetettség (szerkezeti rekurzió elve alapján)
• Az X ítélet változó logikai összetettsége 0, azaz l(X) = 0
• l(A) = l(A)+1
• l(A◦B )= l(A)+l(B)+1
Például a X logikai összetettsége 1, a ZX logikai összetettsége 2.
Definíció: Logikai összekötőjel hatásköre
Azon részformulá(k) közül a legkisebb logikai összetettségű,
melye(ke)n az adott műveleteket el kell végezni (az adott művelet is
előfordul).
Definíció: Logikai műveletek prioritása ( precedenciasor )
, , , , 
Példa: Határozzuk meg az egyes logikai összekötő jelek hatáskörét a
fenti definíciók figyelembe vételével.
((AB)C)(DE)
Definíció Fő logikai összekötőjel
Az a logikai összekötőjel, melynek hatóköre maga
a formula, azaz a formula előállítása során az
utolsóként alkalmazott logikai jel.
Definíció: A fő logikai összekötőjel típusa szerint a
formula típusai:
• A
• (AB)
• (AB)
• (AB)
negációs
konjunkciós
diszjunkciós
implikációs
Definíció: literál
Ha X ítéletváltozó, akkor az X és a X formulákat
literálnak nevezzük.
Az ítéletváltozó a literál alapja. X és X azonos alapú
literálok.
Definíció: Elemi konjunkció: különböző literálok
konjunkciója. XYWZ
Definíció: Elemi diszjunkció: különböző literálok
diszjunkciója XYWZ (klóz).
Definíció: Szerkezeti fa (könyv 49. oldal)
Egy C formula szerkezeti fája olyan véges, rendezett fa, melynek:
•
•
•
•
•
csúcsai formulák
gyökere C
A-nak pontosan egy gyermeke van: A
A○B csúcsnak pontosan 2 gyermeke van: A és B
levelei prím formulák.
Példa: Rajzold fel az ABC formula szerkezeti fáját!
1.
ABC
A
BC
B
C
Definíció: Formula láncok (könyv 52-53. oldal)
• konjunkciós formulalánc
A(B(CD))
• diszjunkciós formulalánc
A(B(CD))
• kettős implikációs formulalánc
A(B(CD))
Asszociatívak,  jobbról balra zárójelezzük őket, de
nem jelentenek mást
• implikációs formulalánc
A(B(CD))
az implikáció nem asszociatív  jobbról balra
zárójelezendő
Algoritmus: Zárójel elhagyás algoritmusa (könyv 52-53. oldal)
Zárójelelhagyás célja egy formulából a legtöbb zárójel elhagyása a
formula szerkezetének megtartása mellett .
• 1. a formula külső zárójel párjának elhagyása (ha még van ilyen)
• 2. egy binér logikai összekötő hatáskörébe eső részformulák külső
zárójelei akkor hagyhatók el, ha a részformula fő logikai
összekötőjele nagyobb prioritású nála.
Részletezve:
• (A○B)
nem hagyható el a zárójel, mert a negáció a
legerősebb logikai összekötő jel
• (A○B)(C○D) ha  gyengébb, mint ○, akkor a zárójelek
elhagyhatóak
Példa: (((XY)(YZ))  (XZ)) a zárójelelhagyás után
(XY) (YZ)XZ
Hárman: Alíz, Béla és Cili beszélgettek.
Alíz azt mondja: „Béla hazudik.”
Béla azt mondja: „Cili hazudik.”
Cili azt mondja: „Alíz és Béla hazudik.”
Ki mond igazat, ki hazudik?
Hárman: Alíz, Béla és Cili beszélgettek.
Alíz azt mondja: „Béla hazudik.”
Béla azt mondja: „Cili hazudik.”
Cili azt mondja: „Alíz és Béla hazudik.”
Ki mond igazat, ki hazudik?
Megoldás:
Vizsgáljuk meg, melyik eset lehetséges: Alíz igazat mond, vagy
Alíz hazudik.
Ha Alíz igazat mond, akkor Béla hazudik, de akkor Cili igazat
mond, ami nem lehet, hiszen Cili szerint Alíz hazudik.
Ha Alíz hazudik, akkor Béla igazat mond, és Cili hazudik.
Ebben nincs ellentmondás, mert az „Alíz és Béla hazudik.”
állítás valóban hamis, hiszen Béla igazat mond.
Tehát Alíz és Cili hazudik, Béla igazat mond.
NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
Két módon:
1) Szemantika megadásának lépései:
a) Interpretáció (az ABC elemeihez rendel i / h értéket)
b) Boole értékelés (szerkezeti rekurzió elve alapján a
formulákhoz rendel i / h értéket )
• Igazságtábla (kiterjesztett, egyszerű; mohó / lusta
kiértékelés)
• Szemantikus fa
2) Szemantika megadása
Igazságértékelés függvény és fa megadása a szerkezeti
rekurzió elve alapján
•
•
•
•
•
A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).
Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni.
Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát.
Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó
igazságértékét megadtuk.
Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük:
Emlékeztető: Formula
•
•
•
minden ítéletváltozó ( Vv)  JFF
ha AJFF akkor AJFF
ha A,BJFF akkor (A○B)JFF
minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.
Egyszerű állítás
Összetett állítás
interpretáció
{i,h}
Boole-értékelés
{i,h}
Formula jelentése mindig igazságérték!
Definíció: Interpretáció
Interpretáció: I: Vv {i,h}
• I(X) jelöli az X változó értékét az I interpretációban.
Az I interpretáció tehát változókiértékelés, amit
igazságkiértékelésnek is hívnak.
• n különböző változót 2n módon lehet interpretálni.
Definíció: Formula bázisa
Ítéletváltozók halmazának egy rögzített sorrendje.
Egy formula véges sok ítéletváltozót tartalmaz és így a formula
vizsgálatához csak ezeknek az interpretációja szükséges.
Szerepeljenek egy formulában az {X,Y,Z} ítéletváltozók.
E változók egy sorrendjét bázisnak nevezzük.
Legyen most a bázis X,Y,Z.
Definíció: Boole-értékelés BI(C)
BI a formulákon értelmezett függvény.
BI(C) a C formulához hozzárendeli annak helyettesítési
értékét az adott I interpretációban.
BI(C)-definíciója szerkezeti rekurzióval:
1. A C formula ítéletváltozó
BI(C)= I(C)
2. A C formula negációs
BI(A)=  BI(A)
A C formula (AB) alakú
BI(AB)= BI(A)BI(B)
Ez „egyértelmű”, a formula igazságértéke csak a benne
szereplő ítéletváltozók interpretációjától függ.
Definíció: Egy n-változós formula igazságtáblája
egy olyan n+1 oszlopból és 2n+1 sorból álló táblázat,
ahol,
•a
fejlécben: a bázis (a formula változói rögzített
sorrendben) és a formula szerepel.
• a sorokban
•a
változók alatt az
igazságkiértékelései),
interpretációk
(a
változók
• a formula alatt a formula helyettesítési értékei találhatók.
A ((ZX) Y) formula igazságtáblája
X
i
i
i
i
h
h
h
h
•
•
•
•
Y
i
i
h
h
i
i
h
h
Z
i
h
i
h
i
h
i
h
((ZX) Y)
i
i
i
h
i
i
h
h
Egy n-változós A formula az igazságtáblájával megadott b: {i,h}n{i,h}
leképezést ír le.
(ZX) Y)
és a
(XYZ)(XYZ)(XYZ)
formulák is ugyanezt a leképezést írják le. Egy formulához egyértelműen
hozzátartozó az általa leírt leképezés, de egy leképezést leíró formula több is
létezik.
Egy A formula igazhalmaza azon I interpretációk halmaz amelyekre a
formula helyettesítési értéke igaz. (Ai)
Egy formula hamishalmaza azon I interpretációk halmaza amelyekre a
formula helyettesítési értéke hamis.(Ah)
Kiterjesztett igazságtábla
Olyan igazságtábla, mely ki vannak bővítve az egyes részformuláknak megfelelő oszlopokkal.
Példa: A(BC)
A
i
B
i
C
i
B
h
BC
i
A(BC)
i
i
i
i
h
h
h
h
i
h
h
i
i
h
h
h
i
h
i
h
i
h
h
i
i
h
h
i
i
h
i
i
i
h
i
i
h
i
i
i
i
i
i
Kiterjesztett egyszerűen
A kiterjesztett igazságtábla egy olyan egyszerűsítése, melyben csak az egyes logikai jeleknek ill.
ítélet változóknak megfelelő oszlopok vannak, és minden logikai jel alá a hatáskörébe tartozó
részformula igazság értéke kerül bejegyzésre (ahol ő a fő logikai összekötő jel).
A
i
i

i
(
h
i
Példa: A(BC)
I. MOHÓ kiértékelési mód
- mechanikusan
II. LUSTA kiértékelési mód
- egyes dolgokat felesleges kiértékelni
- ha C igaz, akkor B-t nem kell kiértékelni
- ha A hamis, akkor az implikáció mindig igaz.
B
i
h

i
i
C)
i
i
Definíció: Szemantikus fa
Egy n-változós szemantikus fa egy n-szintű bináris fa,
ahol a szintek a bázisbeli változóknak vannak
megfeleltetve.
Egy X változó szintjén a csúcsokból kiinduló
élpárokhoz X, X címkéket rendelünk:
• X jelentése X igaz
• X jelentése X hamis
Igy egy n-szintű szemantikus fa ágain az összes (2n )
lehetséges igazságkiértékelés (I interpretációigazságkiértékelés) megjelenik.
Adott bázis esetén az összes interpretáció
megadható, szemantikus fával.
Példa: Szemantikus fa
Szemantikus fa az X, Y, Z logikai változókra, mint bázisra.
X
X
Y
Y
Y
Y
Z
Z
Z
Z
Z
iii
iih
ihi
ihh
hii
Z
hih
Z
hhi
Z
hhh
NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
Két módon:
1) Szemantika megadásának lépései:
a) Interpretáció (az ABC elemeihez rendel i / h értéket)
b) Boole értékelés (szerkezeti rekurzió elve alapján a
formulákhoz rendel i / h értéket )
• Igazságtábla (kiterjesztett, egyszerű; mohó / lusta
kiértékelés)
• Szemantikus fa
2) Szemantika megadása
Igazságértékelés függvény és fa megadása a szerkezeti
rekurzió elve alapján
Egy n-változós A formula az igazságtáblájával
megadott b: {i,h}n{i,h} leképezést ír le.
• Egy formula igazhalmaza/hamishalmaza előállítható
rekurzív módon is.
• Ennek
eszköze a formulákon értelmezett A
igazságértékelés függvény (= i vagy h), amely a
különböző formulák esetén az igazságtábla felírása
nélkül megadja a formula közvetlen részformuláin
keresztül az A interpretációia vonatkozó Ai és a
Ah
feltételeket,
amelyeket
teljesítő
interpretációkban a formula értéke i vagy h lesz.
A szabályok grafikus ábrázolása
 (A) i  (AB) i
Ah
Ai
Bi
 (AB) i
 (AB) i
Ai Bi
Ah
Bi
•
•
Ai: AAi
Ah: AAh
a)
(A)i
b) (A)h
a) (AB)i
Ah
Ai
Ai
b) (AB)h
Bi
a) (AB)i
a) (AB)i
Ai
Bi
Ah
Bh
•
Ah
b) (AB)h
Ah
Bi
Bh
b) (AB)h
Ai
Bh
Ai / Ah megadása a gyakorlatban az igazságértékelés fával történik.
Az igazságérétkelés fát a szerkezeti fa segítségével állítjuk elő:
• gyökér: a formula maga és i/h halmaz keresése
• gyerekek: a formula közvetlen részformulái a fenti formában.