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設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げ
ここでは以下の事項を説明する。
１．外力としてのSFDとBMDおよびそれらの関係
２．梁の曲げ応力
（外力により発生する内力）
３．梁のたわみの求め方
（静定はりー曲率、微分方程式）
４．力のかかり方による問題の解法の違い
（集中荷重、集中モーメント、切断法）
５．力の釣り合いの他に、たわみの条件を必要とする
解法（不静定問題）
1
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
１．梁の剪断力と曲げモーメント
力のかかり方
X 方向に伸びた長い棒状の構造物を梁とい
い、これに横方向の荷重が作用するとき、
曲げ問題という。
Q
M
A
A'
A
dA P
A'
z dA Pa
力の釣り合い
外力 P は A-A’ 面にはたらく剪断力 τ
の合計力 Q と釣り合う。
モーメントの釣り合い
O点においてはモーメント Pa と A-A’ 面に
おける引っ張り圧縮応力（これを曲げ応
力）による曲げモーメント M と釣り合う。
2
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力とモーメントの符号の定義
0
(-)
Q
z(+)
(+)
M
面の法線が正（負）のほうを向いた面に
正（負）の方向を向いた剪断力が働くと正の剪
断力と定義する。
その反対だと負。
Q
(+)
(+)
M
x(+)
モーメントの場合正（負）の方向を向いた面に
梁の中心をｚの正の方向に凸にするモーメント
を正のモーメントと定義する。
その反対だと負。
3
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）
左の図のような片持ち梁にＰが作用
すると、ｘの位置に置いて切り出した
仮想面には一定の剪断力Ｐが働き、
その符号は正。
また同様にこのＰによりｘの位置で
はモーメントＰ(ｌ-x)が働き、その符号は
負である。
これをグラフに描いたものが
ＳＦＤとＢＭＤである。
これはｄｘと言う微小な部分を切り出
して考えてもよい。
4
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－等分布荷重の場合
Q ( x ) q (l x )
M ( x)
lx
0dM
lx
0
qd
q (l x )
2
2
5
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持
左図の様な集中荷重が作用する回転自由
な両端支持の場合を考える。
Ａ，Ｂに反力ＲＡ、ＲＢがはたらく。
力の釣り合い
モーメントの釣り合い
釣り合い式より
RA
b
P,
l
RB
a
P RA RB
aR A bR B
P
l
Ｃで分割して左と右に片持ち梁があると考えると考えやすい。すると
b
R
A
P
(0 x a )
l
Q ( x)
a
RB P
(a x l )
l
剪断力分布
6
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持
b
xR
A
Px
(0 x a )
l
M ( x)
a
(l x ) R B P (l x )
(a x l )
l
M
max
M
(x a)
ab
P
l
となり、絵で描くと
7
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中モーメント両端支持
図のようにＣ点に集中モーメントが働く場合の
ＳＦＤとＢＭＤを求める。
力の釣り合い
RA RB 0
Ｃ点でのモーメントの釣り合い
aR A M bR B 0
この2式より
RA
M
ab
M
l
,
RB
M
l
この反力が働くのでｘでのモーメントは
M
xR
A
x
(0 x a )
l
M ( x)
M
xR A M
(x l)
(a x l )
l
8
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
以上をまとめて、図に描くと左の
ようになる。
9
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
演習1
図の様な一様な荷重が作用する両端支
持梁のＳＦＤとＢＭＤを求めよ。
略解
RA RB
ql
2
よって、Ｘにおける剪断力は
Q ( x ) q (l x ) R B
ql
qx
2
曲げモーメントも同様に考え
M ( x ) R B (l x ) q (l x )
(l x )
2
qx ( l x )
2
10
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
はりの曲げ応力
条件：
はりの断面は梁が曲がっても平面。
θ
b
R
M A
B
h
中立面
A'
中立軸
ひずみは中立軸に関し対称。
（ひずみは z に関し一次的
＝直線変化、よって応力も）
B'
σx(z)
z
微小な距離 AA’ も BB’ もモーメントが働かないときは同一の長さ。
今、モーメント M が作用。 曲がってその小さなθの範囲での半径
は Rと考える。
中立面上の AA’ は伸び縮みせず。外は伸び内側は縮む。
ひずみは；
応力は；
(z)
( R z ) R
( z ) E
R
E
z
R
z
R
11
設計基礎コース
b
もう一度学ぶ材料力学の基礎
z
（１）
R
そこの面積は dA よって、中立軸周りのモーメントは
h
中立軸
z
E
( z ) E
中立軸から z 離れたところの応力は
E
dM z ( z ) dA
（２）
2
z dA
R
よって断面全体で合計したモーメントが外部モーメン
トと釣り合う
dA=bdz
M
h/2
dM
h / 2
E
R
h/2
h / 2
z dA
2
E
I
R
（３）
（１）、（３）式より
(z)
z
M
よって
I
(z)
M
z,
(z)
I
M
z
EI
ここで積分で表された I のことを断面２次モーメント、EI を曲げ剛性と呼ぶ。
I は断面の形状から決まり、Eは材料のヤング率である。
長方形断面の断面２次モーメント：I は
I
h/2
h / 2
z bdz
2
bh
3
12
12
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
重要事項の取りまとめ
M
EI
z
(z)
M
R
R
I
z
I
bh
3
（長方形断面の場合）
12
さらに、最大の応力が発生するのは、ｚが最大つまり、はりの上下面。
それぞれまでの最大値を ｈ１、ｈ２ とすると
( h 1)
M
h1
I
M
Z1
ここで、I/h1 を Z1 とする。 Z1 を形状係数と呼ぶ。
今、断面が長方形なら、h1=h/2 より
Z1 Z 2
I
(h / 2)
bh
2
6
材料から見ると歪は梁の上面か下面で最大となり、応力も最大となるので
max
M
Z1
となり、強度だけチェックするときは形状係数がわ
かっていればよい。
13
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
断面２次モーメント
b
z
h
中立軸
中立軸からの距離の２次モーメントを
断面全体で積分したもののこと。
（ねじり中心点からの距離の２次モーメント
（断面極２次モーメント）と区別必要）
I
dA=bdz
h/2
2
h / 2
z dA
左のような円形断面の断面２次モーメントは
C
D
θ
z
dz
y
dA
y
y
D
cos ,
z
2
dA 2 ydz
D
sin ,
2
D
dz
D
cos d
2
2
cos d
2
2
z
14
設計基礎コース
I
z dA
2
A
D
4
32
D
4
32
D
/2
4
32
/2
2
sin
2
D
4
2
cos d
2
2
4 sin cos d
2
2
sin 2 d
2
/2
/2
D
/2
/2
/2
もう一度学ぶ材料力学の基礎
/2
1 cos 4
d
2
/2
4
D
1
sin
4
64
4
/ 2
D
4
円形断面の断面２次モーメント
64
15
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
断面２次モーメントの平行軸の定理
中立軸 y’ から e 離れた y 軸を中立軸として曲げるとき
断面２次モーメントは
I
( e z ) dA
2
A
e
2
( e 2 ez z ) dA
2
2
A
dA 2 e zdA
A
A
2
z dA
A
図心（重心）は中立軸 y’ 上にあるので第２項はゼロ。
第１項の積分は単に面積、第３項は Iy’ 。
I I ' e A
2
の関係がある。
同じ量（断面積が同じ）の材料を使っても曲げる中立軸から遠くに材料を集
めると、元の固さより、e 2 A 分だけ固くなることを意味する。
16
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
たわみ＝＞（１）曲率とは
M
EI
1
書き換えると
M
R
R
である。
EI
実は、この １／R は曲率と呼ばれていて
1
0
x
dθ
R
ds
z
dx
dθ dz
θ
R
d
Rd
図より
d
ds
１ｍ進んだ時の向きの変化量：曲率
( ds ) ( dx ) ( dz )
2
2
2
dx
dz
1
dx
dx
1
ds
2
cos
ds
1 ( z )
1 ( z )
2
2
dz / dx tan
17
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
d dz
d (tan ) d
1
d
z
2
dx dx
d
dx
cos dx
1
さてここで
R
1
R
d
Rd
d
よって
d
z cos
2
dx
なので
ds
d dx
z cos
1
2
dx ds
1 z
1
2
2
z
1 z
3
2
1
z
2
材力のたわみの問題の場合
梁の傾き z’<<1 となるように座標を通常とる
ので、
とみなせる。
R
18
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
たわみ＝＞（２）たわみを求める式は
以上の議論より、たわみを求めるには
1
R ( x)
2
d z( x)
dx
2
M ( x)
EI
2
,
d z( x)
dx
2
M ( x)
EI
なる方程式を解くことに帰着する。
１）BMDより、ｘの位置におけるモーメントがｘの関数として求まる。
２）曲げ剛性 EI を設計で決める。
E は材料により決まるヤング率という剛性。
I は梁の断面形状により決まる剛性。
３）上の微分方程式を解き変形曲線を求め、境界値を用い、たわみ曲線を決定
することとなる。
19
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げたわみの求め方１（単純片持ち梁）
左のような片持ち梁を考える。
M ( x ) P (l x )
2
d z
これを曲げの方程式に代入
dx
z ( x )
P
( lx
x
EI
z( x)
P
EI
2
P (l x )
EI
2
C 1)
2
(
l
x
2
2
1
x C 1x C 2)
3
6
境界条件は x=0 で z’=z=0. より C1=C2=0.
よって、たわみを表す関数は
z( x)
P
( 3 lx x )
2
3
6 EI
20
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げたわみの求め方２（等分布荷重両端単純支持）
(l x )
M q (l x )
2
q
ql
(l x )
2
( x lx )
2
2
z
M ( x)
q ( x lx )
2
EI
2 EI
q ((1 / 3 ) x (1 / 2 ) lx C 1)
3
z
2
2 EI
q ( x 2 lx C 1 x C 2 )
4
z
3
24 EI
境界条件は x=0 , x=l で z=0.
C 2 0,
よって、
z
3
q ( x 2 lx l x )
4
たわみ曲線は
C1 l
3
3
24 EI
21
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げたわみの求め方３（切断法）
（集中荷重や集中モーメント、部分荷重等ある位置でBMDが別の形になる場合）
C で右と左のBMDが別の式となる。そこで別に
考え、境界条件で左右を結合する。
RA, RB は求められている。よって
M A( x )
Pb
x,
(0 x a )
y,
(0 y b )
l
M B( y)
x
y
Pa
l
よって、たわみの方程式は
z A
Pb
x
EIl
z B
Pa
y
EIl
22
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
これらの２式をそれぞれ積分して
zA
Pb
( x C 1x C 2)
3
6 EIl
zB
Pa
( y C 3 y C 4)
3
x=0, y=0 でたわみゼロより C2=C4=0
6 EIl
さらに、 x=a, y=b で zA=zB の条件と傾き角が等しい条件、 z’A=-z’B より、
a C1 b C 3
2
2
b ( 3 a C 1) a ( 3 b C 3 )
2
2
ただし、向きの違いにより＋－逆にして
いる。
この連立方程式を解くと
C 1 ( a 2 ab )
2
C 3 ( 2 ab b )
2
23
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
よって、たわみの曲線を表す式は
Pb
zA
( x ( a 2 ab ) x )
3
2
6 EIl
Pa
zB
( y ( 2 ab b ) y )
3
2
6 EIl
最終的に、y=l-x と置き換え x で統一して説明する式とし、
z( x)
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x x a (a 2b ) ,
2
(0 x a )
(l x ) (l x ) b ( 2 a b ) ,
2
(a x l )
24
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
切断法の演習：集中モーメントの場合
左図に示したような集中モーメン
トがC点に作用する場合の
梁のたわみを求めよ。
25
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
不静定はりのたわみ
静定問題とは、
垂直力とモーメントのつり合いより、BMDが求められ、
たわみの微分方程式が直接求められ、
たわみ分布が求められる。
不静定問題とは
力とモーメントのつり合いだけでは決まらない外力があり、
それらを未知のまま問題を解き、
最後に傾き角などの、幾何条件（境界条件）を含めて、
決まってない定数を決めてやるという方法を取らざるを得な
い問題のこと。
26
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
不静定はりのたわみの例１
a
MA
A
RA
l
P
C
b
B
RB
x
左の問題を解く。
力のつり合いより
P=RA+RB
モーメントのつり合いより
MA=-Pa+RBl
力とモーメントのつり合いからでは反力とモーメントが３個あり決められない。
よってこのまま変数として置いておいたまま、たわみの微分方程式を解く。
たわみ角、たわみ量が、求まったのち、Aでのたわみ角、たわみ量ゼロ
Cでのたわみ量、たわみ角はともに分割した左右で同一、Bでのたわみ量ゼロと
いう５条件を加わえ、積分定数４個と上記の反力とモーメントの合計７個を決定
し、問題を解く。
変形条件を入れないと解けない問題を不静定問題という。
説明ではわかりづらいので、この問題を解いてみる。
27
設計基礎コース
a
MA
l
P
A点から x を、B点から y 座標を取りC点での
切断法を考える。
梁の垂直方向つり合い
b
C
A
B
x
P RA RB
RB
RA
x
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁のモーメントのつり合い（A点回り）
y
M A Pa R B l
RA
よって、 RA, RB を MA で表すと、
Pb M A
,
RB
l
z
C点より左のたわみの微分方程式は
1
Pa M A
l
( R Ax M A)
EI
たわみは
at
x o,
z
1
( R Ax 3 M Ax C 1 x C 2)
3
2
6 EI
z z 0
より
1 Pb M A 3
2
z
x 3 M Ax
6 EI
l
28
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
C点より右のたわみの微分方程式は、B点から y 軸を取り
z
RB
EI
y
EIl
1 Pa M A 3
z
y C3y C 4
6 EI
l
たわみは
at
y
Pa M A
y o,
z0
より
z
1 Pa M A 3
y
C
3
y
6 EI
l
左右のはりそれぞれで、 x=a, y=b でたわみは等しいので
( Pb M A ) a 3 M A a l ( Pa M A ) b D 1bl
3
2
3
（１）
29
設計基礎コース
また、同様に
x o,
at
Pb M A
z 0
3a 6 M Aa
2
もう一度学ぶ材料力学の基礎
より
Pa M A
l
3b C 3
2
（２）
l
（１）、（２）式を連立させると
MA
Pab
2l
2
2
( a 2 b ),
C3
3 Pa b
2l
よってたわみは次の式で与えられる。
z( x)
12 EIl
z( y)
2
3
( 3 a
4 ab 2 b ) x 3 al ( a 2 b ) x
2
3
( 2 a
3 ab ) y 3 abl y ,
Pb
Pa
12 EIl
2
3
3
2
2
,
(0 x a )
(0 y b )
30
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
これらの２式を y を (l-x) で置き換え z を x 軸で統一して表現すると、
Pb
12 EIl
z( x)
Pa
12 EIl
2
3
( 3 a
4 ab 2 b ) x 3 al ( a 2 b ) x
2
3
( 2 a
3 ab )( l x ) 3 abl ( l x ) ,
2
3
3
2
2
,
(0 x a )
(a x l )
という答えにたどり着く。
31
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
不静定はりのたわみの例２（重ね合わせの原理）
材料力学の問題は応力とひずみ、荷重と変形の関係が比例します。
つまり線形問題で、二つの力が作用するとき影響を分離・重ね合わせできます。
l
q
M0
x
B
A
R0
=
R0
M0
（１）の条件のたわみは スライド ２１ で
l
（１）
q
x
B
A
（２）
左上図の梁のたわみは、した二つの計算の
合計である。
境界条件は二つのたわみの式の合計で与え
られた式が x=0 で傾かず、かつたわまないと
考えたものである。
R0
A
4
z1
3
3
24 EI
R0
+
l
M0
q ( x 2 lx l x )
M0
x
B
32
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
（２）に関しては梁全体が M0 の同一モーメント。よって
たわみの微分方程式は
l
M0
A
M0
x
z
B
M
0
EI
M
z2
0
( x C 1x C 2)
2
2 EI
z2
境界条件は x=0, l で z=0 である。よって
M
0
( x lx )
2
2 EI
重ね合わせのたわみは
z z1 z 2
q
24 EI
( x 2 lx l x )
4
3
3
M
0
x (l x )
2 EI
重ね合わせたたわみの境界条件は（１）、（２）ともにたわみはすでにゼロであ
るが、 x=0 で z’=0 が必要である。
33
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
よって、
q
z ( 0 )
( 4 x 6 lx l )
3
2
24 EI
ql
M
0
x
EI
3
24 EI
3
M 0l
2 EI
M 0l
2 EI
0
これより
M
0
ql
2
12
結果として、たわみ曲線は
z( x)
q
( x 2 lx l x )
4
3
2
2
24 EI
たわみ曲線の形状の力を借りないと力やモーメントが決められない問題が
不静定問題である。
34