Transcript pptx

Signalbehandling og matematik
(Tidsdiskrete signaler og systemer)
Session 7.
Analyse af lineare systemer og praktiske eksempler
Ved Samuel Schmidt
[email protected]
Agenda
•
•
•
•
Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots
Ideelle filtre
Matlab
Signaler og systemer i de 3 domæner
Input
System
Output
Output
Tids domænet:
y [ n ]  x[ n ] * h[ n ]
h[ n ]
x[n ]
Fourier domænet:
X (e
j
)
H (e
j
)
Y (e
j
)  X (e
j
) H (e
j
Z-transfomation:
X (z)
H (z)
Y (z)  X (z)H (z)
3
)
IIR og FIR filter
• IIR
– Systemer med uendelige impuls respons har altid
mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler)
H (z) 
• FIR
1
1  az
1
– Systemer med endelige impuls respons har ingen
betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler)
M
General form:
Eksempel:
H ( z )  1  bz
H (z) 

bk z
k
k 0
M
1
Invers transformation:
h(n) 
b
k 0
k
x[ n  k ]
ROC af differentiel funktioner
H (z) 
• Hvis systemet er kausalt
• Hvis systemet er stabilt og
dobbelt siddet
1 
1
1
2
z
1
1  2 z 
1
3 Im
2
1
* 1 *2 Re
3 Im
2
1
* 1 *2 Re
Stabilt system
• Et stabilt system et system med en begrænset output interval
såfremt inputtet er begrænset
”Bounded input Bounded output (BIBO)”
• I tids domænet:


S 
h[ k ]  
k  
• Vi kan se om ovenforstående gælder i z-transformatione hvis

•
X (z) 
 x[ n ] z
n
z
n
1
n  
• Derfor skal enhedscirkelen ligge i ROC hvis systemet er stabilt
– Dermed skal polerne for et stabilt system ligge indenfor enhedcirkelen
Amplitude og fase respons
• Amplitude output :
Y (e
Hvor
H (e
j
j
)  H (e
j
) X (e
j
)
kaldes amplitude responsen eller ”gain”
)
• Fase output :
 Y (e
Hvor  H ( e
j
)   H (e
j
kaldes fase responsen eller fase skiftet
)
j
)   X (e
j
)
Amplitude og fase respons:
Ideelle delay system
• Ideelle delay system:
h[n]
h[ n ]   [ n  n d ]
Implus respons
1
0.5
• Frekvens respons
)e
 j n d
• Amplitude respons
H (e
j
2
3
4
5
6
7
Amplitude respons
1
0
-3
-2
-1
0
1
Radian frekvens ()
2
3
2
3
Fase respons
10
5
Radianer
• Fase respons
 H (e
1
2
) 1
j
0
n
Amplitude
H (e
j
0
)   n d
0
-5
-10
-3
-2
-1
0
1
Radian frekvens ()
Group delay
• Forskydning opgivet i samples (tid)
    
d
d
 
H e
j
• Idelle delay:
 H (e
Input
Output
=0.1
Systemets impus1
respons
1
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
n
30
Group delay:
Input
Output
Group delay
0.5
0.5
0
-1
j
0
0
5
10-0.5
-1
40
 ( )  
0
10
d
d
20
n
30
  nd  nd
40
)   n d
Ideelt gruppe delay
• I de fleste systemer vil vi gerne have konstant
gruppe delay for interessante frekvenser
• Da
    
d
d
 
H e
j
• forsager en lineær fase respons et konstant
gruppe delay.
Agenda
•
•
•
•
Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots
Ideelle filtre
Matlab
Frekvens respons af LTI systemer
Outputtet er inputtet foldet med systemets impuls respons
y [ n ]  x[ n ] * h[ n ]
Foldning svare til multiplikation i frekvens domænet
Y (e
j
H (e
)  H (e
j
)
j
Y (e
X (e
) X (e
j
j
)
)
j
)
Amplitude og fase respons
• Amplitude output :
Y (e
Hvor
H (e
j
j
)  H (e
j
) X (e
j
)
kaldes amplitude responsen eller ”gain”
)
• Fase output :
 Y (e
Hvor  H ( e
j
)   H (e
j
kaldes fase responsen eller fase skiftet
)
j
)   X (e
j
)
EKG filteret med et filter med ikke
linear fase
Frekevns respons af system
EKG
2500
1.5
|H(ej )|
2000
1
1500
0.5
0
1000
0
10
20
30
Frekvens (Hz)
40
50
0
0
H(ej )
500
-500
2
3
4
5
6
7
8
6
7
8
-50
Filteret EKG
-100
0
10
20
30
Frekvens (Hz)
40
50
1500
0
Gruppe delay (s)
2000
-0.2
1000
-0.4
500
-0.6
-0.8
0
10
20
30
Frekvens (Hz)
40
50
0
-500
2
3
4
5
tid (s)
Frekvens respons af rationelle
systemer
• Ved at substituere z=ejω
M
H (e
j
)

bk e

ak e
k 0
N
 j k
 j k
k 0
M
H (e
j
)
b 0  (1  c k e
 j k
a 0  (1  d k e
 j k
k 1
N
k 1
)
)
Amplitude respons af rationelle
systemer
Amplitude respons:
H (e
M
j
) 
b0
a0

1  ck e
 j

1 dke
 j
k 1
N
k 1
Amplitude respons:
multiplikation/division af absolutte faktorer
Fase respons af rationelle systemer
Fase respons:
 H (e
j
 b0 
)    
 a0 
 
M
 1  ck e
k 1
 j
    1  d
N
e
k
 j

k 1
Gruppe delay:
M
 ( )   
k 1
d
d

arg 1  c k e
 j
 
N
k 1
d
d

arg 1  d k e
Addering/substrahering af absolutte faktorer
 j

Amplitude respons i dB
• Amplitude respons i dB:
Y (e
20 log
10
Y (e
j
j
)  H (e
)  20 log
10
j
) X (e
H (e
j
j
)
)  20 log
10
X (e
j
• Der med kan både Amplitude og fase respons
beregne ved addering
 Y (e
j
)   H (e
j
)   X (e
j
)
)
Generaliseret lineær fase
H (e
j
)  A(e
j
)e
 j   j 
Hvor A er en reel funktion til ω
Og hvor det ekspotentielle led beskriver fasen
ved den lineære funktion  j   j 
hvor α
og β er konstanter
Eksempel på Generaliseret lineær fase
MA filter
1
h[n]
1, 0  n  3 ,
h[ n ]  
ellers
0
0.5
0
-5
0
5
n
10
Z transform
H (z)  z
0
1
z
z
2
z
3
3

z
n

n0
1 z
4
1 z
1
FT transform
H (e
j
)
1 e
 j 4
1 e
 j

sin( 4  / 2 )
sin(  / 2 )
e
 j  1 .5
Fasen –ω1.5 og gruppe delay er 1.5 sampels
Sidste led er jævnfør bevis side 73
Symmetri af impulsresponser
Sikkerhed for generel lineær fase hvis
 =3
Symmetrisk impuls respons:
h[n]
h [ 2  n ]  h [ n ]
1
0.5
0
-10
-5
0
Antisymmetrisk impuls respons:
5
n
10
15
20
10
15
20
 =3
h [ 2  n ]   h [ n ]
h[n]
1
0
-1
-10
-5
0
5
n
Eksempler på symmetriske FIR
linear fase systemer
Type I: h[n]=h[m-n] (M Even)
Type II, h[n]=h[m-n] (M odd)
Type III, h[n]=-h[m-n] (M Even)
Type IV, h[n]=-h[m-n] (M odd)
Agenda
•
•
•
•
Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots
Ideelle filtre
Matlab
Amplitude respons fra et nul punkt i zplanet (1/2)
System z-domæne:
H ( z )  1  re
System Fourier domæne
j
1
z ,
z k  re
j
,
H (e
v 3  v1  v 2
v3  e
)  1  re
H (e
j
) 
j
 re
j
 re
j
e
j
j
 e
j
 re
e
 j

 re
j
j
j
j
• Og da amplitude responsen er
e
j
j
e
• Plot poler, nul punkter og e j  som
vektore i z-planet v 1  e j v 2  re
• Fra vektor matematik ved vi:
Derfor
j
e
 v1  v 2  v 3
Nul vekt
Amplitude respons fra et nul punkt i zplanet (2/2)
b  0 .9 e
j0
j 2
b  0 .9 e
j
b  0 .9 e
Polers virkning på amplitude
responsen
Et nul punkt og ingen pol:
H (e
j
)  1  re
j
e
 j

e
j
j
 re
e
H (e
j
j
) 
v3

v3
v1
1
Ingen nul punkt og en pol
H (e
j
)
1
1  re
j
e
 j
1

e
j
 re
e
j
e
j
e
j
j
 re
j
H (e
j
) 
v1
v3

1
v3
Så derfor jo mindre v3 (pole vektor) og jo større amplitude
Fase respons fra z-plan
et nul punkt
System z-domæne:
H ( z )  1  re
System Fourier domæne
j
1
z k  re
z ,
j
H (e
,
j
)  1  re
j
)   H (e
j
)   X (e
j
)
• Derfor er
 H (e
j
)
e
j
 re
e
• Da
• Er
v3  e
 H (e
j
j
j
j
 re

 e
j
j
 re
v1  e
e
 j

j
 re
e
• Husk faser fra flere systemer skal adderes:
 Y (e
j
e
j
)   v 3   v1   3  
j
   e 
j
j
j
Fase respons fra et nul punkt i z-planet
(2/2)
b  0 .9 e
j0
j 2
b  0 .9 e
j
b  0 .9 e
Agenda
•
•
•
•
Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots
Ideelle filtre
Matlab
Ideelle filtre
Fjerner uønskede signaler
Påvirker ikke det ønskede
signal
Implusrespond for ideellet lavpas filter
h[ n ] 
sin  c  n 
n
Poler og nulpunkter
Fra lavpas til højpas filtere
H hp ( )  H lp (   )
Invers Fourier
h lp [ n ]  e
( j ) n
h lp [ n ]  (  1) h lp [ n ]
n
Differrens funktion
N
y [ n ]    (  1) a k y [ n  k ] 
k
k 1
M

k 1
(  1) b k x [ n  k ]
k
Digital resonator
• Poler tæt på enhedscirklen
Notch Filter
• Nul punkter tæt på enhedscirklen
3
Im
2
1 o
o
o 1
2
Re
All-pass filter
F.eks.
H (z) 
z
1
a*
1 z
1
Agenda
•
•
•
•
Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots
Ideelle filtre
Matlab
Test af digitalt system (A)
• Find impuls responsen af system2.m
Test af digitalt system (A)
•
•
•
•
•
Er systemet lineært?
Er det tidsinvariant?
Er det kausalt?
Er det stabilt?
Er det et IR eller FIR system?
Lineært system
Defineret ud fra superposition
T a x1 [ n ]  b x 2 [ n ]  a T x1 [ n ]  b T x 2 [ n ]
Tidsinvariante systemer
• Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit
tid (Koefficienterne er uafhængig af tid)
• Det vil sige hvis
x2[n]=x1[n-n0]
så er
y2[n]=y1[n-n0]
Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år
Ikke tidsinvariant system
20 år
45 år
70 år
Kausalitet
• Et kausalt system kun afhængig af input fra
fortid og nutid.
• y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1
Stabilitet
• Et stabilt system et system med en begrænset
output interval såfremt inputtet er begrænset
y[ n ]   ,
for all n
Givet
x[ n ]   ,
for all n
• Bounded input Bounded output (BIBO)
• Hvilket kan sikres hvis impulsresponsen kan
summers til en endelig værdi


n  
h[ n ]  
FIR systemer
• Finite impulse response (FIR)
– Endelig antal nonzero samples i
impulsresponsen
– Altid stabilt så længe værdierne i
impuls responsen er endelige
M1=1 M2=1
h[n]
1
0.5
0
-2
0
2
n
4
6
IIR systemer
• Infinite impulse response (IIR)
h [ n ]  a u [ n ],
n
n

S 

k 0
a

a 1
1
1 a
 
1
h[n]
– Uendelig antal nonzero samples i
impulsresponsen
– Kan være både stabilt og ustabilt
– Eksempel på et stabilt system
0.5
0
-2
0
2
n
4
Test af digitalt system (A)
•
•
•
•
•
Er systemet lineært? Ja
Er det tidsinvariant? Ja
Er det kausalt? Ja
Er det stabilt? Ja
Er det et IR eller FIR system? FIR
Test af digitalt system (B)
systemB.m
• System respons
0.0201  0.0402 z  0.0201 z
-1
H (z) 
1.0000 - 1.5610 z  0.6414 z
-1
-2
-2
• Bestem poler og nul punkter
• Find frekvensen responsen H(ej) analytisk
• Find frekvensen responsen H(ej) i fra impuls
responsen
Output af system
• Bestem output hvis inputtet er
x [ n ]  sin(
•
•
•
•

8
n )  sin(

50
n)
Bestem y[n] med ved hjælp af systemet
Bestem y[n] med foldning i mellem
Bestem y[n] med Fourier transform
Bestem y[n] med input output funktion
(Differentiel funktion)
y[n]  0.0201 x[n]  0.0402 x[n - 1]  0.0201 x[n - 2]  1.5610 y[n - 1] - 0.6414 y[n - 2]