Transcript Функціональні відношення

Спеціальні класи
бінарних відношень
Функціональні
відношення
1
Функціональні відношення
FAB - функціональне відношення
(x,y1),(x,y2)F  y1=y2
Для будь-якого xA
існує не більше одного yB,
що (x,y)F
y однозначно визначається по F та x
y=F(x)
2
Функціональні відношення і функції
FAB - функціональне відношення
F для довільного x однозначно
визначає y, такий що (x,y)F
x
 y
F
Цей y позначається F(x)
Оскільки це робиться для довільного xA,
можна записати
A
 B, або F : A  B
F
Залежність між y та x, яка визначається
функціональним відношенням F
називається функцією (відображенням) F
3
Функціональні відношення і функції
• Функціональне відношення для довільної
пари xA, yB визначає,
чи належить ця пара даному відношенню
(так, true),
чи не належить (ні, false).
• Функція
по xA
визначає (обчислює) yB
4
Області відправлення та прибуття
F :A  B
Область відправлення
Може не співпадати
з областю визначення
Область прибуття
Може не співпадати
з областю значень
5
Образи та прообрази
Нехай F  A  B - функ.відношення
F : A  B A  B
( x, y)  F  y  F ( x)
F
образ x
прообраз y
6
Образи та прообрази
Нехай FAB - функціональне відношення
Образом множини CA
будемо називати множину
всіх образів елементів множини C
F(C)={yB|cC F(c)=y}
Прообразом множини DB
будемо називати множину
всіх прообразів елементів множини D
F-1(D)={xA|dD F(x)=d}
7
Приклади образів та прообразів
f : ;  ;
x
2
f ([1;1])  [0;1], f ((1;1))  [0;1)
1
f ({1})  {1;1},
1
f ({1})  
8
Обернена функція
FAB - функціональне відношення
(F:A→B – функція)
Якщо обернене відношення F-1BA
також є функціональним відношенням, то
це відношення визначає деяку функцію,
яку
будемо називати оберненою до F
функцією і позначати F-1:B → A
9
Обернена функція
yx x3 y
3
y  10  x  lg y
x
y = x2
y = sin x
}
не мають
обернених
10
Лема про добуток функціональних відношень
Добуток функціональних відношень
є функціональним відношенням,
Якщо FAB та GBC – функц. відношення,
то F◦GAC – також функц. відношення
F:A→B, G:B→C »»» F◦G:A→C
11
Доведення леми
FAB, GBC, F◦GAC
(x,z)F◦GyB (x,y)F, (y,z)G
(x,z1),(x,z2)F◦G
y1 (x,y1)F, (y1,z1)G; y2 (x,y2)F, (y2,z2)G
(x,y1)F, (x,y2)F; (y1,z1)G, (y2,z2)G 
 в силу функціональності F
y1=y2, (y1,z1)G, (y2,z2)G 
(y1,z1)G, (y1,z2)G 
z1=z2 в силу функціональності G
12
Добуток функціональних відношень і
суперпозиція функцій
FAB, GBC, F◦GAC – функц. відношення,
F:A→B, G:B→C, F◦G:A→C
F:xA→yB, G:yB→zC, F◦G:xA→zC
y=F(x), z=G(y)
z=G(F(x))
F◦G:A→C »»» z=G(F(x))
Функцію, що відповідає добутку функціональних
відношень F◦G, будемо називати суперпозицією
відповідних функцій z=G(F(x))
13
Класифікація відображень
F:AB
Ін’єкція
«відображення в»
Сюр’єкція
«відображення на»
Бієкція
«взаємно однозначне
відображення»
F ( a)  F ( a' )  a  a'
F ( A)  B
δF=A та
ін’єкція і сюр’єкція одночасно
14
Співвідношення для відображень
f: XY, A,BX, C,DY
1
Обернена функція f : Y  X існує
1. f ( A  B)  f ( A)  f ( B)
2. f ( A  B)  f ( A)  f ( B)
1
1
1
1
1
1
3. f (C  D)  f (C )  f ( D)
4. f (C  D)  f (C )  f ( D)
1
1
5. f (C )  f (C ) 6. A  B  f ( A)  f ( B)
15
Доведення 1
y  f ( A  B)  y  f ( x), x  A  B 
y  f ( x), x  A, x  B 
 y  f ( A), y  f ( B) 
y  f ( A)  f ( B)
16
Чи можна обернути доведення 1
y  f ( A  B)  y  f ( x), x  A  B 
y  f ( x), x  A, x  B 
не можна
 y  f ( A), y  f ( B) 
y  f ( A)  f ( B)
17
Приклад до п.1
x : D  D, A  (0;1), B  ( 1;0)
2
A  B  , f ( A  B )  
f ( A)  (0;1), f ( B )  (0;1)
f ( A)  f ( B )  (0;1)
  f ( A  B )  f ( A)  f ( B )  (0;1)
18
Доведення 3
1
x  f (C  D)  y  f ( x), y  C  D 
1
y  f ( x), y  C  x  f (C) 
1
y  f ( x), y  D  x  f (D) 
1
1
x  f (C)  f (D)
1
1
x  f (C)  f (D)
19
Доведення 3
1
1
x  f (C)  f ( D) 
1
x  f (C)  y  f ( x), y  C 
1
x  f ( D)  y  f ( x), y  D 
1
y  f ( x), y  C  D  x  f (C  D)
1
y  f ( x), y  C  D  x  f (C  D)
20
Доведення 5
1
x  f (C)  y  f ( x), y  C
x  f (C )  y  f ( x ), y  C 
1
 y  y, y  C , y  C  y  
1
1
x  f (C )  x  f (C )
21
Доведення 5
1
1
x  f (C)  x  f (C)  y  f ( x), y  C
1
x  f (C ), y  f ( x), y  C 
 y  C, y  C  y  
1
x  f (C )
22
Доведення 6
AB  f(A)  f(B)
y∊f(A) ⇒ y=f(x), x∊A ⇒
⇒ y=f(x), x∊B ⇒ y∊f(B)
23
Зауваження до твердження 1
Якщо f – ін'єкція, то
f(A∩B)=f(A) ∩ f(B)
f(A∩B)f(A) ∩ f(B) – вже доведено
Доведемо, що <пр.част.>⊂<лів.част.>
y∊f(A) ∩ f(B) ⇒y=f(x1),x1∊A, y=f(x2),x2∊B⇒
в силу ін'єктивності x1=x2⇒
y=f(x1),x1∊A, x1∊B⇒ y=f(x1),x1∊A∩B⇒ y∊f(A∩B)
24
Якщо f ін'єкція, то
f(A\B)=f(A) \ f(B)
y∊ f(A\B)⇒
y=f(x), y=f(x),x∊A, x∉B⇒
а) y∊f(B), x∉B, ⇒ x∉B, y=f(x), y=f(x’),x’∊B⇒
в силу ін'єктивності ⇒x=x’ ⇒ x∉B, x∊B⇒
неможливо
б) y∉f(B), y=f(x), x∊A, ⇒ y∊f(A), y∉f(B) ⇒
y∊f(A) \ f(B)
25
Якщо f ін'єкція, то
f(A\B)=f(A) \ f(B)
y∊ f(A)\f(B)⇒
⇒ y∊ f(A), y∉f(B) ⇒ y=f(x),x∊A, y∉f(B)
а) x∊B, y=f(x),x∊A, y∉f(B) ⇒y∊f(B), y∉f(B) ⇒
неможливо
б) x∉B, y=f(x),x∊A, ⇒ y=f(x),x∊A\B⇒ yf(A\B)
26