Transcript Derivadas Parciales

DERIVADAS PARCIALES
Gráficas
DERIVADAS PARCIALES
Curvas de Nivel
DERIVADAS PARCIALES
[X Y] = meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
Z = 4*X.^2+Y.^2;
[c,h] = contour(Z); clabel(c,h), colorbar
DERIVADAS PARCIALES
Funciones de tres o más variables
Una función lineal de n variables se puede escribir como:
En vista de la correspondencia uno a uno entre puntos (x1,x2,…,xn) en Rn y sus vectores de
posición <x1,x2,…,xn> en Vn se tienen tres formas de ver una función en Rn:
• Como una función de n variables reales x1,x2,…,xn.
• Como una función de una sola variable puntual (x1,x2,…,xn) .
• Como una función de una variable vectorial única x= <x1,x2,…,xn>.
DERIVADAS PARCIALES
LÍMITES
Para funciones de dos o más variables ver el límite de una función no es tan fácil,
ya que se puede hacer que (x,y) tienda a (a,b) desde un número infinito de
direcciones siempre que (x,y) permanezca dentro el dominio de f.
Si f(x,y)→L1 cuando (x,y) →(a,b) a lo largo de una trayectoria C1 y Si f(x,y)→L2
cuando (x,y) →(a,b) en la trayectoria C2, donde L1 ≠ L2, entonces no existe
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
Veamos el comportamiento numérico de las siguientes funciones:
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D contiene, entre otros,
puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces, el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende
a (a,b) es L, lo que se escribe
si para todo número ε > 0 hay un número correspondiente δ > 0 tal que
Si
y
Otras nomenclaturas son:
entonces
DERIVADAS PARCIALES
Resolviendo el ejemplo 4: Demos ε > 0 y busquemos una δ tal que
si
→
→
Pero x2 ≤ x2+y2 ya que y2 ≥ 0, así que x2/(x2+y2) ≤ 1, y por lo tanto
Si escogemos δ=ε/3 y hacemos que
Y por la definición de límite, tenemos
, entonces
DERIVADAS PARCIALES
CONTINUIDAD
Definición: Una función f de dos variables es continua en (a,b) si
Decimos que f es continua en D si f es continua en cada punto (a,b) en D.
Usando algunas propiedades de los límites en una variable, se puede ver que la
suma, diferencia, producto y cociente de funciones continuas son continuas en
su dominio. En particular las siguientes ecuaciones son verdaderas y útiles:
Ejemplos: polinomios
funciones racionales
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
Interpretación Geométrica de Derivadas Parciales
Gráficas del ejemplo 2
DERIVADAS PARCIALES
Gráficas del ejemplo 2
DERIVADAS PARCIALES
Gráficas del ejemplo 6
DERIVADAS PARCIALES
Planos Tangentes
DERIVADAS PARCIALES
Aproximaciones Lineales
DERIVADAS PARCIALES
Función no diferenciable en (0,0)
DERIVADAS PARCIALES
Diferenciales
DERIVADAS PARCIALES
La regla de la Cadena
Caso I: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g(t)
y y = h(t) son ambas funciones diferenciables de t. Entonces z es una función
diferenciable de t.
Caso II: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x =
g(s,t) y y = h(s,t) son ambas funciones diferenciables de s y t. Entonces z es una
función diferenciable de s y t.
DERIVADAS PARCIALES
La regla de la Cadena: versión general
Suponga que u es una función diferenciable de las n variables x1, x2,…, xn y que
cada xj es una función diferenciables delas m variables t1, t2,…,tm. Entonces u es
una función diferenciable de t1, t2, …, tm.
DERIVADAS PARCIALES
Derivación Implícita
Suponga una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y en forma implícita como una
función diferenciable de x, es decir, y =f(x), donde F(x,f(x))=0 para toda x en el dominio
de f. Si F es diferenciable se aplica la regla de la cadena a ambos lados y se obtiene:
Peros dx/dx = 1, de este modo si ∂F/ ∂y≠0 se obtiene
DERIVADAS PARCIALES
En el caso de z =f(x,y), se tiene la ecuación F(x,y,z)=0. Esto quiere decir que
F(x,y,f(x,y))=0 y la regla de la cadena para esta ecuación es
pero
entonces
Siempre que ∂F/∂z≠0
DERIVADAS PARCIALES
Derivadas direccionales y su vector gradiente
Derivas parciales en
la dirección en x y y.
Derivas parciales en
la dirección de u.
P' Q '  hu  ha, hb 
x  x0  ha; y  y0  hb
z z  z0 f x0  ha, y0  hb 


h
h
h
f x  ha, y0  hb 
Du f x0 , y0   lim 0
h 0
h
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
Maximización de la derivada direccional
Teorema: Suponga que f es una función diferenciable de dos o tres
variables. El valor máximo de la derivada direccional Duf(x) es f (x ) y
se presenta cuando u tiene la misma dirección que el vector gradiente f (x )
Demostración:
El valor máximo de cos θ es 1 y sucede cuando θ=0. Por lo tanto, el valor
máximo de Duf(x) es f (x) y se presenta cuando θ=0, es decir cuando u
tiene la misma dirección de f (x) .
DERIVADAS PARCIALES
Planos tangentes a superficies de nivel
Suponga que S es una superficie cuya ecuación es F(x,y,z) = k, es decir una superficie
de nivel de una función F de tres variables, y sea P(x0,y0,z0) un punto en S. Sea C una
curva que queda en la superficie de S y pasa por el punto P. Recuerde que la curva C
se describe mediante una función vectorial r(t) = <x(t),y(t),z(t)>. Sea t0 el valor del
parámetro que corresponde a P; es decir r(t0) = <x0,y0,z0>. Puesto que C está en S,
cualquier punto (x(t),y(t),z(t)) debe cumplir con la ecuación de S, es decir
Si x,y,z son funciones diferenciables de t y F es también diferenciable, entonces se
aplica la regla de la cadena para derivar ambos miembros de la anterior ecuación,
dando:
DERIVADAS PARCIALES
Pero como
En particular, cuando t = t0 se tiene
entonces se puede escribir
de modo que
Esta ecuación establece que el vector gradiente en P,
es perpendicular
al vector tangente
a cualquier curva C en S que pasa por P. Si
es por lo tanto natural definir el plano tangente a la superficie de nivel
en
como el plano que pasa por P y tiene vector normal
Por lo que se puede escribir la ecuación del plano tangente
DERIVADAS PARCIALES
La recta normal a S en P es la recta que pasa por P y es perpendicular al plano
tangente. La dirección de la recta normal está definida por lo tanto por el vector
gradiente
y por lo tanto sus ecuaciones simétricas son
En el caso especial en el cual la ecuación de la superficie S sea de la forma
z =f(x,y); es decir , S es la gráfica de una función f de dos variables, puede volverse
a escribir la ecuación como
y considerar a S como una superficie de nivel F con k = 0. Entonces
y su ecuación del plano sería
DERIVADAS PARCIALES
Importancia del vector tangente
Considere una función de tres variables y un punto
en su dominio:
• El vector
indica la dirección del incremento más rápido en f.
• Se sabe que
es ortogonal a la superficie de nivel S que pasa por P.
De manera similar para una función de dos variables y un punto
:
• El vector
indica la dirección del incremento más rápido en f.
• Se sabe que
es perpendicular a la curva de nivel
que pasa por P.
DERIVADAS PARCIALES
Campo de gradiente de la función
Curvas de nivel
DERIVADAS PARCIALES
Valores máximos y mínimos
Una función de dos variables tiene un máximo relativo en (a,b) si f(x,y) ≤ f(a,b)
cuando (x,y) está cerca de (a,b). El número f(a,b) recibe el nombre de valor
máximo relativo. Si f(x,y) ≥ f(a,b) cuando (x,y) está cerac de (a,b), entonces f(a,b)
es un mínimo relativo en (a,b) y f(a,b) es un valor mínimo relativo.
Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a,b) y las
derivadas parciales de primer orden existen allí, entonces fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0.
DERIVADAS PARCIALES
Valores máximos y mínimos
Prueba de la segunda derivada. Suponga que las segundas
derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro
(a,b), y suponga que fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0, es decir f(a,b) es un
punto crítico de f. Sea
a. Si D > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) es un mínimo relativo.
b. Si D > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) es un máximo relativo.
c. Si D < 0, entonces f(a,b) no es ni un máximo relativo ni un
mínimo relativo.
DERIVADAS PARCIALES
Nota 1: En el caso de c) el punto (a,b) se llama punto de silla de f y la
gráfica de f cruza el plano tangente en (a,b).
Nota 2: Si D = 0, la prueba no proporciona información: f podría tener en
(a,b) un máximo relativo o un mínimo relativo o podría ser un punto de
silla.
Nota 3: Para recordar la fórmula de D es útil escribirla como como un
determinante
D
f xx
f yx
f xy
2
 f xx f yy   f xy 
f yy
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
f ( x, y , z )  V  xyz
g ( x, y , z )  xy  2 xz  2 yz  12
 xy  2 z ( x  y )  12
12  xy
z
2( x  y )
V
12 xy  x y
2( x  y )
2
2
y 2 12  2 xy  x 2 
Vx 
2( x  y ) 2
Vy 
x 2 12  2 xy  y 2 
2( x  y ) 2
y 2 12  2 xy  x 2   0
x 2 12  2 xy  y 2   0
12  2 xy  x 2  0
12  2 xy  y 2  0
x2  y2  x  y
12  3x 2  0  x  2; y  2
V  2  2 1  4
DERIVADAS PARCIALES
Valores máximos y mínimos absolutos
Un conjunto cerrado en R2 es aquel que contiene
todos los puntos límite o frontera. (Un punto límite
de D es un punto (a,b) tal que todo disco centrado en
(a,b) contiene puntos en D y también puntos que no
están en D).
Un conjunto acotado en R2 es aquel que está
contenido dentro de un disco. En otras palabras su
extensión es finita.
Teorema del valor extremo para funciones de dos
variables. Si f es continua en un conjunto D cerrado y
acotado en R2, entonces f alcanza un valor máximo
absoluto f(x1,y1) y un valor mínimo absoluto f(x2,y2)
en algunos punto (x1,y1) y (x2,y2).
DERIVADAS PARCIALES
Para encontrar los máximos y mínimos absolutos de una función
continua f en un conjunto D cerrado y acotado:
1. Encontrar los valores críticos de f en D.
2. Encontrar los valores extremos de f en los límites de D.
3. El valor más grande de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto;
el más pequeño de estos valores es el mínimo absoluto.
Revisar prueba del teorema de la
prueba de la segunda derivada
DERIVADAS PARCIALES
Multiplicadores de Lagrange
Para calcular los valores extremos de f(x,y) sujeta
a una restricción g(x,y)=k, es decir, buscar los
valores extremos de f(x,y) cuando el punto (x,y)
está restringido a quedar en la curva de nivel
g(x,y) = k. Lo anterior sucede cuando las curvas
de nivel se tocan, es decir cuando tienen una
recta tangente común en el punto (x0,y0), lo que
representa que las rectas normales en el punto
(x0,y0) son paralelas :
para un escalar λ.
Revisar multiplicadores de Lagrange
para dos restricciones.
DERIVADAS PARCIALES
Método de los multiplicadores de Lagrange: Para determinar los valores
máximos y mínimos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z) = k [suponiendo que
estos valores existan y que
se encuentra en la superficie g(x,y,z) = k]:
a) Determinar los valores de x,y,z y λ tal que
b) Evalúe f en todos los punto (x,y,z) que resulten de a). El más grande de
estos valores es el valor máximo de f; el más pequeño es el valor mínimo de
f.
DERIVADAS PARCIALES
V  xyz
2 xz  2 yz  xy  12
Maximizar V (f(x,y,z)) sujeto a la restricción 2xz+2yz+xy=12 (g(x,y,z)=k).
V   g
 Vx ,V y ,Vz    g x , g y , g z 
Vx  g x ;V y  g y ;Vz  g z ; g  x, y , z   k
Se tienen 4 ecuaciones con 4 incógnitas: x, y, z, λ.
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES
Dos restricciones