Transcript Penaksiran parameter (lanjutan)

Taksiran Interval untuk Selisih 2 Mean
Populasi
X 11, X 12 ,..., X 1n
adalah sampel acak berukuran n1 dari
populasi yang mempunyai mean 1 dan variansi 12
X 21, X 22 ,..., X 2n adalah sampel acak berukuran n2 dari
populasi yang mempunyai mean  2 dan variansi  22
• Kedua sampel saling bebas.
• Mean sampel X i dan variansi sampel  i2 masingmasing merupakan penaksir titik unbiased
2


i
untuk dan i , i = 1 , 2
1
2
Kasus 1
• Jika n1 dan n2 besar, maka dengan dalil limit
pusat didapat bahwa:
 X 1  X 2   1  2 
 12  22
n1

mendekati N(0,1)
n2
• Sehingga
Pr   z  Z  z   (1   )100%

2
2
• Sehingga





X 1  X 2   1   2 


Pr   z 
 z   (1   )100%
2
2
2
2


1
2





n
n
1
2


• Sehingga jika x1 dan x 2 adalah nilai
pengamatan untuk X 1 dan X 2 maka
(1-  ) 100% interval kepercayaan untuk 1  2
adalah:
2
2
2
2





1
1
 x1  x 2  z
 2 ; x1  x 2  z
 2


n
n
2 n1
2 n1
2
2


Kasus 2
• Jika  i2 tidak diketahui untuk i=1,2, dan jika
ni besar untuk i=1,2 , maka ( 1-  ) 100%
interval kepercayaan untuk 1   2 adalah:
2
2
2
2

s
s
s
s
1
1
 x1  x 2  z
 2 ; x1  x 2  z
 2


n
n
2 n1
2 n1
2
2


Kasus 3
• X11, X12 ,..., X1n adalah sampel acak berukuran
dari populasi berdistribusi normal yang
mempunyai mean 1 dan variansi 12
• X 21, X 22 ,..., X 2n adalah sampel acak berukuran
dari populasi berdistribusi normal yang
2


2
mempunyai mean
dan variansi 2
• n1 dan n2 kecil
2
2


• 1 dan 2 tidak diketahui
• Kedua sampel saling bebas
1
2
n1
n2
• Jika
12   22   2
~ t dengan d.b. (n-1)
dimana
• Diperoleh





X 1  X 2   1   2 


Pr   t 
 t   1   100%
2
2


1
1
2


Sp  


n
n
 1
2


• Sehingga ( 1-  ) 100% interval kepercayaan
untuk 1   2 adalah:

1 1
 1 1 
2
2
 x1  x 2  t s p   ; x1  x 2  t s p    


n
n
n
n
2
2




1
2
1
2


• Jika 12   22

X 1  X 2   1   2 
t
S12 S 22

n1 n2
dimana
 S12

mendekati distribusi t
dengan d.b. k
2 2
S2

n n 
k   12 2  2
 S12   S 22 
   
n  n 
 1   2 
n1  1 n2  1
• Diperoleh





X 1  X 2   1   2 


Pr   t 
 t   1   100%
2
2
2
2
S
S
1
2





n
n
1
2


• Sehingga ( 1-  ) 100% interval kepercayaan
untuk 1   2 adalah:
2
2
2
2

s
s
s
s
1
1
 x1  x 2  t
 2 ; x1  x 2  t
 2


n
n
2 n1
2 n1
2
2


Taksiran Interval untuk Proporsi
Populasi
• X suatu variabel binomial (n,p) dengan p
tidak diketahui. Penaksir titik bagi proporsi
populasi p adalah statistik X . Jika ukuran
n
sampel n cukup besar , maka distribusi dari
mendekati distribusi normal dengan
mean  X  p dan variansi  2  p1  p 
n
sehingga
Z
X
p
n
p1  p 
n
X
n
n
mendekati N(0,1)
X
n
• Sehingga
Z
X
p
n
X X
1  
n
n
n
mendekati N(0,1)
• Sehingga

X X
X  X 

1  
1   
X
X
n
n
n
n 

Pr
 z
 p   z
 1   100%
n

n
n
n
2
2




• Sehingga ( 1-  ) 100% interval kepercayaan
untuk p adalah: 
x x
x x

1  
1   
n n x
n n 
xz
;

z

n 2

n
n
n
2




Taksiran Interval untuk selisih
Proporsi Populasi
• Misalkan ada dua populasi binomial dengan proporsi
masing-masing p1 dan p2 .
• Dari populasi I diambil sampel acak berukuran n1
• Banyak sukses dalam sampel 1 dinyatakan dengan X 1
• Dari populasi II diambil sampel acak berukuran n2
• Banyak sukses dalam sampel 2 dinyatakan dengan X 2
• Sampel acak yang diambil dari kedua populasi cukup
besar dan saling bebas.
• Penaksir titik untuk beda dua proporsi populasi p1  p2
adalah ˆ ˆ X 1 . X 2
P1  P2 
n1

n2
• Berdistribusi pendekatan normal dengan mean
dan variansi:
p1 1  p1  p2 1  p2 
 X X  p1  p2 dan  2

X X 

1
2
n1
n2
1
n1

2
n2
n1
n2
• Sehingga

Pˆ1  Pˆ2    p1  p2 
Z
Pˆ1Qˆ1 Pˆ2Qˆ 2

n1
n2
mendekati N(0,1)
dimana
Qˆ  1  Pˆ
• Sehingga:





Pˆ1  Pˆ2    p1  p2 


Pr   z 
 z   1   100%
2
2
Pˆ1Qˆ1 Pˆ2Qˆ 2



n1
n2


• Sehingga ( 1-  ) 100% interval kepercayaan
untuk p1  p2 adalah:

pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2
pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2 
  pˆ1  pˆ 2   z


;  pˆ1  pˆ 2   z

n1
n2
n1
n2 
2
2

• Dimana:
x1
pˆ1 
n1
x2
pˆ 2 
n2
qˆ1  1  pˆ1
qˆ2  1  pˆ 2
• Contoh:
Suatu penelitian dilakukan untuk melihat
proporsi mahasiswa UI yang berasal dari luar
Jakarta. Dari 200 mahasiswa FMIPA diketahui
150 berasal dari luar Jakarta. Dari 300
mahasiswa FIB diketahui 160 berasal dari luar
Jakarta. Tentukan 90% interval kepercayaan
untuk selisih proporsi mahasiswa FMIPA dan
FIB yang berasal dari luar Jakarta.
Taksiran Interval untuk Variansi
Populasi
• Sampel acak berukuran n diambil dari
populasi normal dengan variansi  2 . Dari
sampel acak dapat dihitung variansi sampel S 2
• Interval kepercayaan untuk  2 dapat
diperoleh dengan menggunakan :
2
2


n

1

S
yang berdistribusi
2 
2
dengan d.b. (n-1)
• Sehingga
•
 2

2
2
Pr           1   100%
 1


2
2


Sehingga  n  1S 2 2 n  1S 2 
Pr
 
 1   100%
2
2
  
 


1

2
2 
• Sehingga ( 1-  ) 100% interval kepercayaan


2
untuk  adalah:  n  1s 2 n  1s 2 





2
2
;

2
1

2




• Contoh:
Berikut ini menunjukkan berat badan (kg) dari
10 orang mahasiswa departemen Matematika
56,9 61,1 70,3 57,9 43,2 50,0 48,0 45,2
47,5 48,3
Tentukan 90% interval kepercayaan untuk
variansi berat badan mahasiswa departemen
Matematika.
Taksiran Interval untuk Ratio Dua
Variansi
• Misalkan ada dua populasi normal,masing2
2


masing mempunyai variansi 1 dan 2 .
2
S
• 1 adalah variansi sampel acak berukuran n1
yang diambil dari populasi I.
2
S
• 2 adalah variansi sampel acak berukuran n2
yang dianbil dari populasi II.
• Kedua sampel acak saling bebas.
 12
• Penduga titik untuk ratio variansi 2 adalah
2
S12
S 22
• Taksiran interval untuk
menggunakan statistik:
S12
F
S 22
 12
 22
didapat dengan
 12
 22
yang berdistribusi F dengan d.b.
v2 n 2 1
• Sehingga
v1 n1 1

Pr  f 
 F  f
 1 v ,v 
 v ,v
 2
2
1
2
1
2
dan

  1   100%


• Sehingga

S12

2

Pr  f 
 2 1  f
 1 v ,v  S 2
 v ,v
2
2

2


2
1
2
1
2


  1   100%



f 

1
1 v ,v 
f
dimana
2
 v ,v 
2

• Sehingga2 ( 1- ) 100% interval kepercayaan

untuk 12 adalah:  2
2

1
2
2
2
s1
1
s1
 2

; 2 f
 s2 f v ,v  s2 2 v2 ,v1  
1 2


2
1
• Contoh:
Suatu penelitian dilakukan untuk melihat waktu yang
dibutuhkan antara pekerja laki-laki dan perempuan
dalam merakit suatu produk. Diasumsikan waktu yang
dibutuhkan untuk merakit produk tersebut
berdistribusi normal. Suatu sampel acak dari waktu
perakitan untuk 11 pekerja laki-laki dan 9 pekerja
perempuan masing-masing mempunyai standar deviasi
6,1 dan 5,3. Tentukan 90% interval kepercayaan untuk
ratio variansi waktu perakitan pekerja laki-laki dan
perempuan.