Transcript Reider-Jerry

Más que un
conocimiento la
ingeniería es una forma
de ver la vida….
de este punto de
vista vino la HP
50g
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Impacto de las
calculadoras graficadoras
en la enseñanza de las
Matemáticas
Saber, Hacer y Saber Hacer
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Educación por competencias
"Lo que entra por los ojos (Saber) y sale por las manos (Hacer) debe pasar
por la mente (Saber Hacer) y ya no se olvida."
• La tendencia más avanzada en
educación.
• Se le ha adoptado al nivel global para la
enseñanza en el siglo XXI.
• Representa la culminación de la
evolución histórica en cuanto a los
procesos para transmitir el conocimiento:
• Enfoque tradicional (desde siempre) ─
Adquirir el SABER
• Educación por objetivos (1980 ~ 2000) ─
Aprender a HACER
• Educación por competencias (el futuro) ─
SABER para después HACER
3
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La Ingeniería pone el ejemplo
La formación universitaria de ingenieros
siempre se ha basado en educación por
competencias
• SABER: Sesiones teóricas y conceptuales
• HACER: Prácticas, talleres, simulaciones,
visitas a industria, problemarios
• SABER HACER: Proyectos,
presentaciones, aplicaciones
En contraste con la ingeniería, las
matemáticas son más abstractas y precisan
de mayor esfuerzo para el logro adecuado
del proceso enseñanza aprendizaje.
• Aquí es donde los nuevos estándares
resultan de gran utilidad
4
Ingeniería: “Más que un conocimiento
es una forma de ver la vida”
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Principios y Estándares del NCTM
¿Qué es el NCTM?
• El National Council for Teachers of
Mathematics es una organización sin
fines de lucro cuya meta principal consiste
en mejorar la educación para las
matemáticas en Norteamérica.
• El NCTM publica una serie de practicas
mejoradas para profesores de
matemáticas, la cual incluye principios y
estándares basados en investigaciones
académicas, así como en experiencia
practica.
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La Visión del NCTM
¿Qué establecen los principios y estándares del NCTM en cuanto las
calculadoras?
El Principio de la Tecnología1
• La tecnología es esencial para enseñar y
aprender matemáticas; influencia las
matemáticas que se enseñan y mejora el
aprendizaje de estudiantes.”
• “Con calculadoras y computadoras, los
estudiantes pueden examinar más
ejemplos o formas figurativas que sólo a
mano. Este hecho hace posible explorar
conjeturas fácilmente.”
El Estándar de Representación2:
Los estudiantes de matemáticas al nivel
universitario deben poder…
• Crear y usar representaciones para
organizar, registrar y comunicar ideas
matemáticas;
• Seleccionar, aplicar y traducir
representaciones matemáticas para
solucionar problemas;
• Usar representaciones para modelar e
interpretar fenómenos físicos, sociales y
matemáticos.”
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Métodos tradicionales de enseñanza matemática
Sin Tecnología
Un profesor escribe la formula de la función
seno en el pizarrón y dibuja, lo mejor posible,
una curva sinusoide para hacer la conexión
entre la formula y la curva. Pero sus
estudiantes siguen confundidos. ¿Qué significan
esas letras raras, y cómo afectan a la curva?
A
amplitud
w
f
frecuencia angular
fase
No existe interactividad ─ los estudiantes
son receptores pasivos y olvidan pronto.
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El Principio de la Tecnología del NCTM
Con Tecnología
Vamos a usar nuestras calculadoras
gráficas para analizar curvas
sinusoides creadas por ondas
sonoras.
Con la manipulación interactiva de la
función podemos responder a varias
preguntas:
¿Cuál de estas curvas indica el
sonido más fuerte?
¿Cual indica el sonido más agudo?
¿Cómo podemos notar la diferencia?
¿Qué relación existe entre el valor
de un parámetro y la manifestación
física percibida?
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sin (x)
Cambio de
amplitud (A)
2sin (x)
Cambios en A afectan la
amplitud de las ondas sonido más intenso.
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Cambio de
frecuencia (w)
sin (2x)
Cambios en w afectan la
frecuencia de las ondas
- sonido más agudo.
Estándar de Representación del NCTM
Diferentes formas de ver la misma cosa
• Las imágenes muestran tres
representaciones esenciales de
conceptos matemáticos. Según el
estándar de representación del
NCTM, los estudiantes deben
poder aplicar e intercambiar
pensamientos entre estas
representaciones cuando resuelven
problemas.
Vista
Simbólica
Vista
Gráfica
• Con sólo oprimir algunas teclas, las
calculadoras graficadoras de HP
permiten a los estudiantes cambiar
entre diferentes representaciones
para conectar todas las formas
relevantes con facilidad.
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Vista Tabla
Numérica
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Reforma del Currículo de Matemáticas en China
En China, Shu Xing jie he (combinar números con gráficos) [desde mucho tiempo] ha
sido un principio esencial para la educación de matemáticas, pero la adaptación de
calculadoras gráficas en China es un concepto nuevo que ha resultado de un programa
de prueba y proyectos de investigaciones.” ~ Professor Wang, Universidad Beijing Normal
El Proyecto EMCL de HP
Desde 2008, el Ministerio de Educación de
China ha colaborado con HP para crear un
nuevo currículo de matemáticas para
preparatorias por todo el país. Con esta
iniciativa, HP y el Ministerio han dotado a
miles de estudiantes con calculadoras
gráficas, han entrenado a más de cien
profesores y han creado una serie de libros
de texto y cuadernos para mejorar la
comprensión de calculadoras gráficas por
parte de los estudiantes.
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Proyecto Universidad ULBRA en Brazil
Investigación de tecnología en la educación de matemáticas
En 2008, la Universidade Luterano do Brazil
(ULBRA) entró en una colaboración de
investigaciones con HP para lograr una mejor
comprensión de las aplicaciones tecnológicas en
las matemáticas. La meta del proyecto fue la
integración de calculadoras con las tecnologías
de información y comunicación (ICT) en todas
áreas del currículo de matemáticas y el
establecimiento de una conexión directa entre el
uso de recursos del siglo 21 y el entrenamiento
de maestros de matemáticas. Desde el año
2008, ULBRA ha producido una cantidad extensa
de informes de investigación, posters y libros de
texto para propagar el conocimiento entre los
estudiantes con relación a las calculadoras
gráficas y otras tecnologías asociadas.
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HP Mobile Calculating Laboratory ─ MCL
Solución integrada para aprendizaje en ciencias
• Integra una calculadora graficadora con un conjunto
•
•
•
•
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de sensores para diversas variables físicas.
Permite conducir una amplia gama de experimentos
científicos en forma muy dinámica y desplegar los
resultados en tiempo real.
Convierte el aprendizaje en una actividad estimulante
al permitir a los estudiantes visualizar muy
claramente el progreso de los experimentos.
Es muy fácil de usar, pues no requiere configuración
ni ajustes previos, dejando más tiempo para el
aprendizaje.
Siendo ligero y compacto, su uso no está restringido
al salón de clases o el laboratorio, permitiendo que
los estudiantes lo lleven consigo y lo operen donde
mejor les acomode.
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Resultados del MCL
La aplicación de esta solución educativa condujo a…
•
•
•
•
•
Promover un entendimiento más profundo de las matemáticas.
Mantener el énfasis en el conocimiento básico pero redefiniéndolo.
Mejorar la orientación de los estudiantes hacia temas matemáticos y científicos.
Cumplir los requerimientos particulares debido a su amplio espectro de opciones.
Contribuir con los estudiantes para construir su propia comprensión a través del
aprendizaje activo.
• Enfatizar la importancia de la tecnología en cualquier aspecto de la vida actual.
• Los 3 aspectos a desarrollar para que el MCL rinda frutos son:
1. Profesores
2. Materiales
3. Estudiantes
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Cómo pasar de las 3 Y's a las 3 A's
De la educación centrada en el profesor a la educación centrada en el estudiante
• Las 3 Y's (del idioma Mandarín) se refieren a los siguientes principios fundamentales:
1. Úsalo
2. Úsalo frecuentemente
3. Úsalo apropiadamente
• Adaptando estos principios a los idiomas e idiosincracias occidentales, se obtienen las 3
A's (del inglés):
1. Attractable
2. Approachable
3. Applicable
• Cumplir los requerimientos particulares debido a su amplio espectro de opciones.
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Experiencias adquiridas
De los diversos estudios realizados se concluyó que:
• Una herramienta móvil, capaz de ofrecer a cada estudiante diferentes formas de
representación, así como las oportunidades para explorar en cualquier momento,
cambia la forma de aprendizaje.
• Brinda mejor comprensión, mayor confianza y les permite disfrutar más.
• Además, toman la iniciativa tanto durante las lecciones como afuera de ellas y se
someten a retos más difíciles.
• Los profesores también cambian su estilo docente, enfocándose todavía más hacia las
representaciones múltiples.
• Ello les permite plantear preguntas abiertas a problemas en forma tal de estimular el
razonamiento.
• La creatividad y pensamiento avanzado de los estudiantes mejora las expectativas
sobre su desempeño.
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Nadie dijo que fuera fácil
No obstante las ventajas, es importante señalar que…
• Para asegurar el progreso en la integración de la tecnología a la enseñanza se requiere brindar
•
•
•
soporte externo a los profesores mientras éstos se adaptan al nuevo entorno, vencen su temor
al cambio y comienzan a percibir los beneficios.
El lapso promedio requerido suele ser de un año.
La tecnología debe ser empleada frecuente y apropiadamente (las 3 Y's).
Esto lleva la cuestionamiento en cuanto a la aplicabilidad de estos proyectos a gran escala.
Inicio
16
Final
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Calculadora graficadora HP 50g
¿Cómo me puede ayudar?
• Incorpora más de 2,300 funciones – una valiosa referencia de consulta.
• Opera mediante un sistema contextual de menús.
• Permite desplegar variables tanto en forma numérica como simbólica.
• Despliega funciones y ecuaciones tal cómo lucen en la página de un libro
("notebook").
• Requiere pulsar pocas teclas para acceso fácil a cualquier función.
• Permite personalizar el teclado conforme a las preferencias particulares.
• Ahorra una gran cantidad de trabajo manual.
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Calculadora graficadora HP 50g
Beneficios adicionales
• Almacena variables y programas, evitando la necesidad de apuntar y de
"arrastrar errores“.
• Facilita la estimación y la visualización de los fenómenos físicomatemáticos.
• Contribuye al desarrollo del pensamiento lógico y matemático.
• Por su interactividad permite ensayar muchas opciones y/o casos.
• Es un valioso auxiliar para confirmar la consistencia de un procedimiento
o modelo.
• Se pueden hacer cosas que a veces ni siquiera aparecen en los libros de
texto o de consulta.
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Despliegue simbólico o numérico
Representación simbólica
de  y del seno de 45°
Representación numérica
de  y del seno de 45°
Propiedades configurables mediante los menús del CAS (Computer Algebra
System) para manipulación de expresiones simbólicas.
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Despliegue “notebook” facilita visualización
Despliegue en formato
"notebook" de una
operación numérica
Resultado de la operación
numérica anterior
El editor de ecuaciones (EQW  Equation Writer) permite ensamblar
expresiones complejas y manejar objetos matemáticos simbólicos
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Notación de números complejos
Forma rectangular de
3.825j6.491
Forma polar del mismo
número
La forma para la representación de números complejos se configura en los
menús MODE y CAS.
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Números complejos ─ Observaciones
Mayores funcionalidad y facilidad
Antiguamente se requería trabajar en forma separada con dos valores
• Forma rectangular: partes real e imaginaria
• Forma polar: magnitud y argumento (ángulo)
Se precisaba efectuar dos o más conjuntos de cálculos para las distintas funciones,
considerando la forma de representación que mejor se adapta en cada caso y
realizando multitud de conversiones de forma a medida que avanzaba el
procedimiento de manera lenta y complicada
• Empleo de la forma rectangular para suma y resta
• Uso de la forma polar para multiplicación y división
Hoy en día los registros para representar números complejos constan de dos para
las partes real e imaginaria. Las conversiones de formato y operaciones de
cualquier tipo se realizan de inmediato, en un solo paso y sin que el usuario tenga
necesidad de preocuparse.
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Operaciones con números complejos
Suma y resta
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Multiplicación y división
3.0  j 4.0  6.0  j 7.0  9.0  j 3.0
3.0  j 4.0 6.0  j 7.0  46.0  j 3.0
3.0  j 4.0  6.0  j 7.0  3.0  j11.0
3.0  j 4.0  6.0  j 7.0  0.1  j 0.5
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Operaciones con números complejos
Raíces cuadrada y superiores
5
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Potencias real y compleja
3.0  j 4.0  2.0  j1.0
3.0  j 4.03  117.0  j 44.0
3.0  j 4.0  1.4  j 0.3
3.0  j 4.0 1.0 j 2.0  21.1 j 24.0
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Operaciones con números complejos
Funciones trigonométricas
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Logaritmos decimal y natural
sin 3.0  j 4.0  3.9  j 27.0
log3.0  j 4.0  0.7  j 0.4
arctan3.0  j 4.0  1.4  j 0.2
ln3.0  j 4.0  1.6  j 0.9
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Dudas con respecto a las operaciones complejas
• ¿Las soluciones desplegadas para algunas de las operaciones
detalladas representan todas las opciones posibles?
• ¿Qué aplica con respecto a la multiplicidad de soluciones, según
corresponde a operaciones tales como la extracción de raíces?
m
zz
Pero:
1
m

 r e j
r e 
j
1
m

1
m

 re j   2 k 
Por consiguiente:
z
1
m

r
1
k  entero
m
1
m
e
j   2 k  
m
 0  k  m 1
 La raíz m - ésima de un número complejo posee m soluciones posibles.
O'Neil, P.V. (1995). Advanced Engineering Mathematics. Pacific Grove, CA, USA: Brooks-Cole Publ. Co. Ch. 17
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Geometría analítica y raíces de un polinomio
2
Graficar la función y  x  3x  4
de una parábola.
En el intervalo  6  x  3
Y encontrar sus raíces.
Función y = x2+3x–4 en
EQW
Configuración de gráfica
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Configuración de ventana
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Gráfica de Polinomio
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Gráfica 2D resultante
Trazado de coordenadas
Menú NUM.SLV con
opción Solve poly elegida
Captura de coeficientes de
polinomio
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Raíces de Polinomio
Menú Solve poly con función
ya definida
Solución: x1 = 1; x2 = –4
Otra vista de la solución
x 2  3x  4  x  4  x  1
Polinomio capturado para
factorización
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Resultado de la factorización
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Polinomio factorizado
Caso 1 para discusión
Establezca las semejanzas entre las funciones:
y1  2 x y2  log2 x 
• ¿Cómo se aprovechan las
propiedades de los logaritmos para
definir una base distinta a 10 y
graficar la función y2 ?
• ¿Cómo se puede partir de la función
y1 para encontrar la función y2 ?
• Sugerencia: Grafique la función:
y3  x
Y observe cuidadosamente
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Solución del caso 1
• Si se intercambian entre sí las
variables x y y en la función y1
se obtiene la función y2.
• Lo anterior es equivalente a
intercambiar los ejes de
abscisas y ordenadas.
Se observa que y2 (rama inferior) es
el "reflejo" de y1 (rama superior) si se
toma a la recta y3 = x como línea de
simetría.
• Para escribir la función y2 se
recurre al procedimiento para
conversión de bases aplicable
a los logaritmos:
logk x  
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logx 
logk 
Caso 2 para discusión: velocidad máxima
PD
PM
PM  HP  745.7 T  3.0007105 W
PD 
PR
1
 CD A u 3  0.41650 u 3 W
2
PR  mCR g  u  149.204u W
Se ilustran las fuerzas actuando sobre cierto automóvil que avanza a velocidad
máxima, de modo que ya no acelera, no incrementando su energía cinética.
En este esquema:
PM Potencia mecánica suministrada por el motor
PD Pérdidas por arrastre aerodinámico
PR Pérdidas por resistencia al rodamiento
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Una función cúbica
Siendo la velocidad máxima una condición de equilibrio, se tiene que:
PM  PD  PR
 PD  PR  PM  0
Al sustituir las expresiones numéricas de las potencias, resulta una función cúbica:
0.41650u 3  149.204u  3.0007105  0  A u 3  C u  D  0
Ecuación programada
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Gráfica mostrando posición de raíz
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Solución de ecuación
Con la utilería NUM.SLV para solución numérica de ecuaciones, se resuelve
para la velocidad máxima. El resultado se expresa en metros por segundo.
Nótese el empleo de registros de memoria para los coeficientes numéricos.
Menú NUM.SLV
Resolución de ecuación
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Solución: uMÁX = 88.3151 m/s
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Velocidad máxima
Se logra la conversión a kilómetros por hora multiplicando por 3.6
uMÁX = 317.9343 km/h
Cambiando interactivamente los valores numéricos de los coeficientes resulta
factible evaluar muchos casos distintos y establecer tablas comparativas.
Pero todo lo anterior es sólo parte de la historia
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No creas todo lo que ves
Podrían faltar varias cosas...
Función cúbica original:
Se despliegan las dos ramas
pero aparece solamente una raíz
Función cúbica modificada:
Ahora aparecen tres raíces
Cualquier función cúbica de tipo algebraico debe poseer tres raíces.
¿En dónde están las otras dos raíces de la función cúbica original?
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Raíces del polinomio cúbico
Se toma la función cúbica como polinomio y se resuelve mediante NUM.SLV
Menú NUM.SLV
Raíces de polinomio
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Polinomio resuelto
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La solución completa de la función cúbica
Una raíz real y dos raíces complejas y conjugadas
x1 = 88.3151 + j0.0000
= 88.3151  0.0000°
x2 = ─ 44.1575 + j78.7902
= 90.3205  119.2682°
x3 = ─ 44.1575 ─ j78.7902
= 90.3205  ─119.2682°
¿Qué significado físico implica cada una de estas tres soluciones?
¿Cómo podrían visualizarse?
¿Qué interpretación podría dárseles en cuanto al cálculo de la velocidad máxima?
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El plano complejo
Ubicación de las raíces sobre el plano complejo
x2
Imaginario
Forma
rectangular
x1
Real
Forma
polar
x3
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Arreglo simétrico conforme
al contorno de una elipse
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Pensando afuera del plano ("Thinking out of the box")
Sea el cambio de variable, de real (1D) a compleja (2D): x  x  j y
En la función cúbica: A x3  C x  D  0
Tal que ahora se tiene una función compleja: z  A x  j y   C x  j y   D
3
Donde la variable z representa la tercera dimensión
 
  


Desarrollando y simplificando, resulta: z  A x3  3xy2  C x  D  j A 3x2 y  y 3  C y

Esta última expresión tiene la forma: z  P  j Q
Pudiéndose entonces definir las siguientes funciones:
A x
  
Magnitud
(valor
absoluto):
z  abs  z   P 2  Q 2 
Ángulo
(argumento):
 A 3x 2 y  y 3  C y 
 z  arg z   arctan

3
2
 A x  3xy  C x  D 
40
 
 
3


 3 xy 2  C x  D 2  A 3 x 2 y  y 3  C y



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

2
Una solución de altura
En realidad, nuestra función cúbica es una superficie en el espacio
z
x2
jy
x3
x1
x
Plano complejo visto en
perspectiva 3D
41
Superficie en el espacio
(función de magnitud)
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La visión 3D de la HP-50g
Diferentes aspectos de la superficie en el espacio mostrando las tres raíces
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Una asociación sinérgica
Conclusiones
La tecnología representa un muy valioso auxiliar para el análisis y la solución de
problemas en matemáticas, ciencias físicas e ingeniería.
Pero...
Por sí sola, la tecnología no resuelve dichos problemas.
Más bien...
Además de una apreciable base teórica de conocimiento, el correcto empleo de la
tecnología precisa de grandes dosis de pensamiento.
Debe tenerse una idea razonable de aquello que se busca y se pretende obtener,
así como la manera correcta para lograrlo. ("Saber platicar con los alambres")
"Los problemas se resuelven con neuronas, no con silicio"
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Funciones de la HP 50g
• Modos numéricos estándar, puntos fijo y flotante,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
44
• Solución numérica y simbólica de ecuaciones con
notación de ingeniería
Modos angulares en grados, radianes y grads
•
Modos de operación algebraico y RPN
•
Bases numéricas: decimal, binario, octal y hexadecimal •
Funciones lógicas
•
Transformación de coordenadas:
•
rectangulares – polares – cilíndricas – esféricas
•
Biblioteca de constantes y operaciones con unidades •
Operaciones con fracciones
•
Aritmética real y compleja
•
Funciones trigonométricas directas e inversas
Funciones hiperbólicas
•
Funciones logarítmicas y exponenciales
Funciones estadísticas
Pruebas de hipótesis
Ajuste de curvas (LIN, LOG, EXP, POW)
biblioteca incorporada
Búsqueda de raíces en polinomios
Series de Taylor
Diferenciación e integración numéricas y simbólicas
Cálculo multivariado
Operaciones vectoriales multidimensionales
Aritmética y álgebra con matrices
Conectividad USB serial e infrarroja IrDA
Sistema algebraico computacional CAS
Programación convencional o RPL, avanzada, con
niveles de subrutinas y 256 banderas
Gráficas en 2D, en modalidades de barras, histograma,
dispersión, polar, paramétrica, y 3D; con herramientas
de búsqueda de intersección, lectura de pendiente y
coordenadas, cálculo de área, zoom, traza y sombreado
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Recursos Educativos
HP ofrece una variedad de recursos educativos para apoyar a profesores
Recursos en www.hp.com/calculators
• Módulos de aprendizaje—Instrucciones fáciles
con teclados específicos para su calculadora
• Entrenamiento por computadora—Aprenda a
usar su calculadora paso a paso con tutoriales
interactivos
• Emuladores—despliega teclados en pantalla
grande
Talleres de Capacitación Profesional
HP ofrece seminarios educativos hechos por
expertos en educación y calculadoras. Si gusta
mas informacíón contacte a Enrique Ortiz
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45 ([email protected])
Gracias
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